杭锦后旗第三高级中学2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学

杭锦后旗第三高级中学2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学
班级__________ 姓名__________ 分数__________
一、选择题
1． 已知角α的终边上有一点P （1，3），则
的值为（ ）
A ．﹣
B ．﹣
C ．﹣
D ．﹣4
2． 设偶函数f （x ）满足f （x ）=2x ﹣4（x ≥0），则{x|f （x ﹣2）＜0}=（ ）
A ．{x|x ＜﹣2或x ＞4}
B ．{x|x ＜0或x ＞4}
C ．{x|x ＜0或x ＞6}
D ．{x|0＜x ＜4}
3． 已知集合A={x|a ﹣1≤x ≤a+2}，B={x|3＜x ＜5}，则A ∩B=B 成立的实数a 的取值范围是（ ） A ．{a|3≤a ≤4} B ．{a|3＜a ≤4} C ．{a|3＜a ＜4} D ．∅
4． 数列{}n a 中，11a =，对所有的2n ≥，都有2123n a a a a n =，则35a a +等于（ ）
A ．259
B ．2516
C ．6116
D ．3115
5． 如图F 1、F 2是椭圆C 1：
+y 2=1与双曲线C 2的公共焦点，A 、B 分别是C 1、C 2在第二、四象限的公共
点，若四边形AF 1BF 2为矩形，则C 2的离心率是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
6． 已知f （x ）为偶函数，且f （x+2）=﹣f （x ），当﹣2≤x ≤0时，f （x ）=2x ；若n ∈N *，a n =f （n ），则a 2017等于（ ）
A ．2017
B ．﹣8
C ．
D ．
7． 已知命题p ：2≤2，命题q ：∃x 0∈R ，使得x 02+2x 0+2=0，则下列命题是真命题的是（ ） A ．￢p B ．￢p ∨q
C ．p ∧q
D ．p ∨q
8． 设x ∈R ，则x ＞2的一个必要不充分条件是（ ） A ．x ＞1 B ．x ＜1 C ．x ＞3 D ．x ＜3
9．已知向量=（1，），=（，x）共线，则实数x的值为（）
A．1 B．C．tan35°D．tan35°
10．设集合()
{,|,,1
A x y x y x y
=--是三角形的三边长}，则A所表示的平面区域是（）
A．B．C．D．
11．已知函数
(5)2
()e22
()2
x
f x x
f x x
f x x
+>
⎧
⎪
=-≤≤
⎨
⎪-<-
⎩
，则(2016)
f-=（）
A．2e B．e C．1 D．
1
e
【命题意图】本题考查分段函数的求值，意在考查分类讨论思想与计算能力．
12．函数()log1
x
a
f x a x
=-有两个不同的零点，则实数的取值范围是（）
A．()
1,10
B．()
1,+∞
C．()
0,1
D．()
10,+∞二、填空题
13．若数列{a n}满足：存在正整数T，对于任意的正整数n，都有a n+T=a n成立，则称数列{a n}为周期为T的周期数列．已知数列{a n}满足：a1＞=m （m＞a ），a n+1=，现给出以下三个命题：
①若m=，则a5=2；
②若a3=3，则m可以取3个不同的值；
③若m=，则数列{a n}是周期为5的周期数列．
其中正确命题的序号是．
14．已知随机变量ξ﹣N（2，σ2），若P（ξ＞4）=0.4，则P（ξ＞0）=．
15．已知圆O ：x 2+y 2=1和双曲线C ：
﹣=1（a ＞0，b ＞0）．若对双曲线C 上任意一点A （点A 在圆O
外），均存在与圆O 外切且顶点都在双曲线C 上的菱形ABCD ，则
﹣
= ．
16．观察下列等式 1=1
2+3+4=9
3+4+5+6+7=25
4+5+6+7+8+9+10=49 …
照此规律，第n 个等式为 ．
17．过抛物线C ：y 2=4x 的焦点F 作直线l 交抛物线C 于A ，B ，若|AF|=3|BF|，则l 的斜率是 ．
18．定义在R 上的函数)(x f 满足：1)(')(>+x f x f ，4)0(=f ，则不等式3)(+>x
x e x f e （其
中为自然对数的底数）的解集为 .
三、解答题
19．求曲线y=x 3的过（1，1）的切线方程．
20．（本小题满分12分）
已知直三棱柱111C B A ABC -中，上底面是斜边为AC 的直角三角形，F E 、分别是11AC B A 、的中点.
（1）求证：//EF 平面ABC ； （2）求证：平面 AEF 平面B B AA 11.
21．已知角α的终边在直线y=
x 上，求sin α，cos α，tan α的值．
22．已知函数f （x ）=a ﹣，
（1）若a=1，求f （0）的值；
（2）探究f （x ）的单调性，并证明你的结论；
（3）若函数f （x ）为奇函数，判断|f （ax ）|与f （2）的大小．
23．已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的短轴长为2，且离心率e=，设F1，F2是椭圆的左、右焦点，
过F2的直线与椭圆右侧（如图）相交于M，N两点，直线F1M，F1N分别与直线x=4相交于P，Q两点．（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）求△F2PQ面积的最小值．
24．（考生注意：请在下列三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题评分）
(不等式选做题)设，且，则的最小值为
（几何证明选做题）如图，中，，以为直径的半圆分别交于点，若,则
杭锦后旗第三高级中学2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学（参考答案）一、选择题
1．【答案】A
【解析】解：∵点P（1，3）在α终边上，
∴tanα=3，
∴====﹣．
故选：A．
2．【答案】D
【解析】解：∵偶函数f（x）=2x﹣4（x≥0），故它的图象
关于y轴对称，
且图象经过点（﹣2，0）、（0，﹣3），（2，0），
故f（x﹣2）的图象是把f（x）的图象向右平移2个
单位得到的，
故f（x﹣2）的图象经过点（0，0）、（2，﹣3），（4，0），
则由f（x﹣2）＜0，可得0＜x＜4，
故选：D．
【点评】本题主要考查指数不等式的解法，函数的图象的平移规律，属于中档题．
3．【答案】A
【解析】解：∵A={x|a﹣1≤x≤a+2}
B={x|3＜x ＜5} ∵A ∩B=B ∴A ⊇B
∴
解得：3≤a ≤4 故选A
【点评】本题考查集合的包含关系判断及应用，通过对集合间的关系转化为元素的关系，属于基础题．
4． 【答案】C 【解析】
试题分析：由2
123
n a a a a n =，则2
123
1(1)n a a a a n -=-，两式作商，可得2
2
(1)
n n a n =-，所以2235223561
2416
a a +=+=，故选C ．
考点：数列的通项公式． 5． 【答案】 D
【解析】解：设|AF 1|=x ，|AF 2|=y ，∵点A 为椭圆C 1： +y 2=1上的点，
∴2a=4，b=1，c=
；
∴|AF 1|+|AF 2|=2a=4，即x+y=4；① 又四边形AF 1BF 2为矩形，
∴
+
=
，即x 2+y 2=（2c ）2
=
=12，②
由①②得：，解得x=2﹣
，y=2+，设双曲线C
2的实轴长为2m ，焦距为2n ，
则2m=|AF
2|﹣|AF 1|=y ﹣x=2，2n=2c=2，
∴双曲线C 2的离心率e===
．
故选D ．
【点评】本题考查椭圆与双曲线的简单性质，求得|AF 1|与|AF 2|是关键，考查分析与运算能力，属于中档题．
6． 【答案】D
【解析】解：∵f （x+2）=﹣f （x ），
∴f（x+4）=﹣f（x+2）=f（x），
即f（x+4）=f（x），
即函数的周期是4．
∴a2017=f（2017）=f（504×4+1）=f（1），
∵f（x）为偶函数，当﹣2≤x≤0时，f（x）=2x，
∴f（1）=f（﹣1）=，
∴a2017=f（1）=，
故选：D．
【点评】本题主要考查函数值的计算，利用函数奇偶性和周期性之间的关系是解决本题的关键．
7．【答案】D
【解析】解：命题p：2≤2是真命题，
方程x2+2x+2=0无实根，
故命题q：∃x0∈R，使得x02+2x0+2=0是假命题，
故命题￢p，￢p∨q，p∧q是假命题，
命题p∨q是真命题，
故选：D
8．【答案】A
【解析】解：当x＞2时，x＞1成立，即x＞1是x＞2的必要不充分条件是，
x＜1是x＞2的既不充分也不必要条件，
x＞3是x＞2的充分条件，
x＜3是x＞2的既不充分也不必要条件，
故选：A
【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，比较基础．
9．【答案】B
【解析】解：∵向量=（1，），=（，x）共线，
∴x====，
故选：B．
【点评】本题考查了向量的共线的条件和三角函数的化简，属于基础题．
10．【答案】A
【解析】
考
点：二元一次不等式所表示的平面区域. 11．【答案】B
【解析】(2016)(2016)(54031)(1)f f f f e -==⨯+==，故选B ． 12．【答案】B 【解析】
试题分析：函数()f x 有两个零点等价于1x
y a ⎛⎫
= ⎪⎝⎭
与log a y x =的图象有两个交点，当01a <<时同一坐标
系中做出两函数图象如图（2），由图知有一个交点，符合题意；当1a >时同一坐标系中做出两函数图象如图
（1），由图知有两个交点，不符合题意,故选B.
x
（1） （2）
考点：1、指数函数与对数函数的图象；2、函数的零点与函数交点之间的关系.
【方法点睛】本题主要考查指数函数与对数函数的图象、函数的零点与函数交点之间的关系.属于难题.判断方程()y f x =零点个数的常用方法：①直接法：可利用判别式的正负直接判定一元二次方程根的个数；②转化法：函数()y f x =零点个数就是方程()0f x =根的个数，结合函数的图象与性质（如单调性、奇偶性、周期性、对称性） 可确定函数的零点个数；③数形结合法：一是转化为两个函数()(),y g x y h x ==的图象的交点个数问题，画出两个函数的图象，其交点的个数就是函数零点的个数，二是转化为(),y a y g x ==的交点个数的图象的交点个数问题.本题的解答就利用了方法③.
二、填空题
13．【答案】①②．
【解析】解：对于①由a n+1=，且a1=m=＜1，
所以，＞1，，，∴a5=2 故①正确；
对于②由a3=3，若a3=a2﹣1=3，则a2=4，若a1﹣1=4，则a1=5=m．
若，则．
若a1＞1a1=，若0＜a1≤1则a1=3，不合题意．
所以，a3=2时，m即a1的不同取值由3个．
故②正确；
若a
=m=＞1，则a2=，所a3=＞1，a4=
1
故在a1=时，数列{a
}是周期为3的周期数列，③错；
n
故答案为：①②
【点评】本题主要考查新定义题目，属于创新性题目，但又让学生能有较大的数列的知识应用空间，是较好的题目
14．【答案】0.6．
【解析】解：随机变量ξ服从正态分布N（2，σ2），
∴曲线关于x=2对称，
∴P（ξ＞0）=P（ξ＜4）=1﹣P（ξ＞4）=0.6，
故答案为：0.6．
【点评】本题考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义，考查概率的性质，是一个基础题．
15．【答案】1．
【解析】解：若对双曲线C上任意一点A（点A在圆O外），
均存在与圆O外切且顶点都在双曲线C上的菱形ABCD，
可通过特殊点，取A（﹣1，t），
则B（﹣1，﹣t），C（1，﹣t），D（1，t），
由直线和圆相切的条件可得，t=1．
将A （﹣1，1）代入双曲线方程，可得﹣=1．
故答案为：1．
【点评】本题考查双曲线的方程和运用，同时考查直线和圆相切的条件，属于基础题．
16．【答案】 n+（n+1）+（n+2）+…+（3n ﹣2）=（2n ﹣1）2 ．
【解析】解：观察下列等式 1=1
2+3+4=9
3+4+5+6+7=25
4+5+6+7+8+9+10=49 …
等号右边是12，32，52，72…第n 个应该是（2n ﹣1）2 左边的式子的项数与右边的底数一致， 每一行都是从这一个行数的数字开始相加的，
照此规律，第n 个等式为n+（n+1）+（n+2）+…+（3n ﹣2）=（2n ﹣1）2， 故答案为：n+（n+1）+（n+2）+…+（3n ﹣2）=（2n ﹣1）2
【点评】本题考查归纳推理，考查对于所给的式子的理解，主要看清楚式子中的项与项的数目与式子的个数之间的关系，本题是一个易错题．
17．【答案】 ．
【解析】解：∵抛物线C 方程为y 2
=4x ，可得它的焦点为F （1，0）， ∴设直线l 方程为y=k （x ﹣1），
由
，消去x 得
．
设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），
可得y 1+y 2=，y 1y 2=﹣4①． ∵|AF|=3|BF|，
∴y 1+3y 2=0，可得y 1=﹣3y 2，代入①得﹣2y 2=，且﹣3y 22
=﹣4， 消去y
2得k 2
=3，解之得k=±
．
故答案为：．
【点评】本题考查了抛物线的简单性质，着重考查了舍而不求的解题思想方法，是中档题．
18．【答案】),0(+∞ 【
解
析
】
考点：利用导数研究函数的单调性.
【方法点晴】本题是一道利用导数判断单调性的题目,解答本题的关键是掌握导数的相关知识,首先对已知的不
等式进行变形,可得()()01>-'+x f x f ,结合要求的不等式可知在不等式两边同时乘以x
e ,即
()()0>-'+x x x e x f e x f e ,因此构造函数()()x x e x f e x g -=,求导利用函数的单调性解不等式.另外本题也可
以构造满足前提的特殊函数,比如令()4=x f 也可以求解.1
三、解答题
19．【答案】
【解析】解：y=x 3的导数y ′=3x 2， ①若（1，1）为切点，k=3•12=3， ∴切线l ：y ﹣1=3（x ﹣1）即3x ﹣y ﹣2=0； ②若（1，1）不是切点，
设切点P （m ，m 3），k=3m 2=
，
即2m 2﹣m ﹣1=0，则m=1（舍）或﹣ ∴切线l ：y ﹣1=（x ﹣1）即3x ﹣4y+1=0． 故切线方程为：3x ﹣y ﹣2=0或3x ﹣4y+1=0．
【点评】本题主要考查导数的几何意义、利用导数研究曲线上某点处的切线方程等基础知识，注意在某点处和过某点的切线，考查运算求解能力．属于中档题和易错题．
20．【答案】（1）详见解析；（2）详见解析. 【
解
析
】
试
题解析：证明：（1）连接C A 1，∵直三棱柱111C B A ABC -中，四边形C C AA 11是矩形， 故点F 在C A 1上，且F 为C A 1的中点，
在BC A 1∆中，∵F E 、分别是11AC B A 、的中点，∴BC EF //. 又⊄EF 平面ABC ，⊂BC 平面ABC ，∴//EF 平面ABC .
考点：1.线面平行的判定定理；2.面面垂直的判定定理. 21．【答案】
【解析】解：直线y=x ，
当角α的终边在第一象限时，在α的终边上取点（1，
），
则sin α=
，cos α=，tan α=
；
当角α的终边在第三象限时，在α的终边上取点（﹣1，﹣），
则sin α=﹣
，cos α=﹣，tan α=
．
【点评】本题考查三角函数的定义，涉及分类讨论思想的应用，属基础题．
22．【答案】
【解析】解：（1）a=1时：f（0）=1﹣=；
（2）∵f（x）的定义域为R∴任取x1x2∈R且x1＜x2
则f（x1）﹣f（x2）=a﹣﹣a+=．
∵y=2x在R是单调递增且x1＜x2
∴0＜2x1＜2x2，∴2x1﹣2x2＜0，
2x1+1＞0，2x2+1＞0，
∴f（x1）﹣f（x2）＜0
即f（x1）＜f（x2），
∴f（x）在R上单调递增．
（3）∵f（x）是奇函数∴f（﹣x）=﹣f（x），
即a﹣=﹣a+，
解得：a=1．
∴f（ax）=f（x）
又∵f（x）在R上单调递增
∴x＞2或x＜﹣2时：|f（x）|＞f（2），
x=±2时：|f（x）|=f（2），
﹣2＜x＜2时：|f（x）|＜f（2）．
【点评】本题考查的是函数单调性、奇偶性等知识的综合问题．在解答的过程当中充分体现了计算的能力、单调性定义的应用以及问题转化的能力．值得同学们体会和反思．
23．【答案】
【解析】解：（Ⅰ）∵椭圆C：+=1（a＞b＞0）的短轴长为2，且离心率e=，
∴，解得a2=4，b2=3，
∴椭圆C的方程为=1．
（Ⅱ）设直线MN的方程为x=ty+1，（﹣），
代入椭圆，化简，得（3t2+4）y2+6ty﹣9=0，
∴，，
设M（x1，y1），N（x2，y2），又F1（﹣1，0），F2（1，0），
则直线F1M：，令x=4，得P（4，），同理，Q（4，），
∴=||=15×||=180×||，
令μ=∈[1，），则=180×，
∵y==在[1，）上是增函数，
∴当μ=1时，即t=0时，（）min=．
【点评】本题考查椭圆方程的求法，考查三角形面积的最小值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意韦达定理、直线方程、弦长公式、函数单调性、椭圆性质的合理运用．
24．【答案】
【解析】A
B。