贵州省六盘水市第二中学-度高三数学第二学期考试试题(理科)

贵州省六盘水市第二中学2007-2008学年度高三数学第二学
期考试试题（理科）
（本试卷不交，只交答题卷）
满分150分，考试时间120分钟。

第Ⅰ卷（选择题 共60分）
一、选择题（本大题共12小题，每小5分，共60分。

只有一项是符合题目要求） 1．已知集合B A x x x B x x A 则},06|{},3|12||{2≤-+=>+== （ ）
A ．]2,1()2,3[ --
B ．],1(]2,3(+∞--
C ．)2,1[]2,3( --
D ．]2,1()3,( --∞ 2．复数i i z 2)1(+=等于
（ ）
A ．2
B ．－2
C ．2i
D ．－2i
3．已知ααα
ααπ
cos sin cos sin ,2)4
tan(+-=+则
的值为
（ ）
A ．2
B ．21-
C ．－2
D ．2
1
4．在等差数列===⋅d a a a a n 则公差中,3,8,}{231 （ ）
A ．1
B ．－1
C ．±1
D ．±2
5．对于两条直线a,b 和平面α，若αα////,a b a b 是则⊂的 （ ）
A ．充分但不必要条件
B ．必要但不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分又不必要条件
6．若把一个函数的图象按)2,3
(--
=π
a 平移后，得到函数x y cos =的图象，则原图象的函
数解析式是
（ ）
A ．2)3
cos(-+=π
x y B ．2)3
cos(--=π
x y
C ．2)3
cos(++
=π
x y
D ．2)3
cos(+-
=π
x y
7．在平面直角坐标系中，不等式组,040⎪⎩
⎪
⎨⎧≤≥+-≥+a x y x y x （a 是常数）表示的平面区域面积是9，那
么实数a 的值为
（ ）
A ．223+
B ．－223+
C ．－5
D ．1
8．设O 在△ABC 内部，且ABC ∆=++则,02的面积与AOC ∆的面积之比为（ ） A ．3
B ．4
C ．5
D ．6
9．已知函数)(,]
3,1(,2]1,0[,2)(1
x f x x x x f x
-⎩⎨⎧∈∈=则的最大值是 （ ）
A ．8
B ．6
C ．3
D ．
2
3 10．从正方体的八个顶点中任取三个点为顶点作三角形，其中直角三角形的个数为（ ） A ．40 B ．48
C ．52
D ．56
11．11．设P 为双曲线112
2
2
=-y x 上的一点F 1、F 2是该双曲线的两个焦点，若|PF 1|：|PF 2|=3：2，则△PF 1F 2的面积为
（ ） A ．36
B ．12
C ．312
D ．24
12．已知二次函数0)0(),()(2>''++=f x f c bx ax x f 的导数为，对任意实数x ，有
0)(≥x f ，则
)
0()
1(f f '的最小值为 （ ）
A ．2
B ．3
C ．
23
D ．
2
5 第Ⅱ卷（非选择题，共90分）
二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分，把正确答案填在题中的横线上） 13．二项式x
x x 1
)22(9展开式中-的系数为 。

14．半径为25的球面上有A 、B 、C 三点，AB=6，BC=8，AC=10，则球心到平面ABC 的
距离为 。

15．已知点)4,1(P 在圆042:22=+-++b y ax y x C ，点P 关于直线03=-+y x 的对称点
也在圆C 上，则啊a+b= 。

16．数列n x x n n n 前的通项,)1(}{1+-=项和为=+++∞→n
S S S S n
n n 21lim ,则 。

三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（本小题满分10分）有A 、B 、C 、D 四个城市，它们各有一个著名的旅游景点，依次记
为a ，b ，c ，d ，把A ，B ，C ，D 和a ，b ，c ，d 分别写成左、右两列，现在一名旅游爱好者随机用4条线把左边一个城市和右边一个景点全部连接起来，构成“一一对应”，已知连对一组得2分，连错得0分。

（1）求该爱好者得分的分布列； （2）求所得分的数学期望。

18．（本小题满分12分）已知向量)cos 2,1(),cos ,22sin 3(x x x =+=，设函数
x f ∙=)(。

（Ⅰ）求)(x f 的最小正周期与单调递减区间。

（Ⅱ）在ABC ∆中，a 、b 、c 分别是角A 、B 、C 的对边，若ABC
b A f ∆==,1,4)(的面积为
2
3
，求a 的值。

19．（本小题满分12分）如图，已知直三棱柱111C B A ABC -中，ABC ∆是等腰直角三
角形，︒=∠90BAC ，且D AA AB ,1=、
E 、
F 分别是A B 1、1CC 、BC 的中点。

现设a A A 21=。

（1）求证：//DE 平面ABC ；（2）求证：⊥F B 1平面AEF ；（3）求二面角F AE B --1的正切值。

20．（本小题满分12分）设3
4211,1,}{,}{b a a b a b a n n =+==为等比数列为等差数列
342a b b =，分别求出}{}{n n b a 与的前10项和S 10及T 10。

21．（本小题满分12分）已知函数x x x f ln 2
1)(2
-=。

（Ⅰ）求)(x f 的单调区间； （Ⅱ）若23
3
2)(x x x g +-=，证明当1>x 时，函数)(x f 的图象恒在函数)(x g 图象的上方。

22．（本小题满分12分）已知椭圆)0(1:22
22>>=+b a b
y a x C 过点)23,1(，且离心率21=e 。

（Ⅰ）求椭圆方程；
（Ⅱ）若直线)0(:≠+=k m kx y l 与椭圆交于不同的两点M 、N ，且线段MN 的垂直平分线过定点)0,8
1(G ，求k 的取值范围。

参考答案 一、选择题（每小题5分，满分60分）
1．A 2．B 3．B 4．C 5．D 6．D 7．D 8．B 9．C 10．B 11．B 12．A
二、填空题：每小题4分，满分16分。

13．－252 14．5 15．0 16．2
1 三、解答题（满分74分）
17．本小题考查随机变量的分布列及数学期望
解：（1）设连对的个数为y ，得分为x 。

.8,4,2,0;4,2,1,0=∴=x y （2分）
,2499)0(4
4
==
=A x P ,31
2)2(4
41
4=⨯==A C x P ,4
1
)4(442
4===A C x P
.2411)8(4
4
==
=A x P （6分） 于是x 的分布列为
（8分）
（2）.224
184143122490=⨯+⨯+⨯+⨯
=Ex 即该人得分的期望为2分。

（12分）
18．解：（Ⅰ）)cos 2,1(),cos ,22sin 3(x n x x m =+= ，
n m x f ∙=∴)(x x 2cos 222sin 3++= ……1分 32cos 2sin 3++=x x ……2分
3)6
2sin(2++=π
x ……3分
ππ
==
∴22T ……4分 令)z (2326222∈+
≤+≤+k k x k π
ππππ )(3
2
6Z k k x k ∈+≤≤+∴ππππ
)(x f ∴的单调区间为)](3
2
,6[Z k k k ∈++ππππ ……6分
（Ⅱ）由4)(=A f 得43)6
2sin(2)(=++
=π
A A f
2
1
)6
2sin(=
+
∴π
A ……7分
又A 为ABC ∆的内角
676
26
ππ
π
<
+
<∴
A 6
562ππ=+∴A 3
π
=
∴A ……8分
1,2
3
==
∆b S ABC 23
sin 21=
∴A bc ……9分 2=∴c ……10分
32
1
12214cos 2222=⨯
⨯⨯-+=-+=∴A bc c b a ……11分 3=∴a ……12分
19．解法1：（1）取AB 的中点H ，连结,DH
,2
1
//,21//
11B B CE B B DH .//CE DH ∴ ∴四边形CHDE 为平行四边形。

.//CH DE ∴
，
平面平面ABC DE ABC CH ⊄⊂, ABC DE 平面//∴…………………………………………4分
（2）在等腰中点，为中BC F BAC AB AC ABC Rt ,90,,0
=∠=∆
.CB AF ⊥∴
又∵直三棱柱111C B A ABC -中，平面⊥ABC 平面11C CBB ，
且平面 ABC 平面CB C CBB =11，
⊥∴AF 平面11C CBB ，
又⊂F B 1 平面F B AF C CBB 111,⊥∴。

由题设，a CE =，则a E C a FB a CF ===1,2,2，
a B C a B B 22,2111==。

222211212198a a a C B E C E B =+=+=∴，
22221221222222642,32a a a B B BF F B a a a CF CE EF =+=+==+=+=， ︒=∠∴+=∴90,121221FE B F B EF E B 。

EF F B ⊥∴1。

又⊥∴=F B F AF EF 1, 平面AEF 。

………………………………………………8分 （3）在平面EA B 1内，作AE K B ⊥1，垂足为K ，连结KF 。

则KF B AE KF 1.∠∴⊥为二面角F AE B --1的平面角。

∵在Rt AFE ∆中，a EF a BC AF 3,22
1
===
， 而a a a AC CE AE 542222=+=+=，
a a a a AE AF EF KF 5
6
523=∙=∙=
∴
∴在Rt FK B 1∆中，55
66tan 11===
∠a a
KF
F
B KF B 。

即二面角
F
AE B --1的
平
面
角
的
正
切
值
为
5。

………………………………………………13分
解法2：如图建立空间直角坐标系
xyz
A -，则
)2,0,0(),0,2,0(),0,0,2(),0,0,0(1a A a C a B A ， )2,2,0(),2,0,2(11a a C a a B 。

（1） 取AB 的中点H ，连结CH 。

)0,0,(),,0,(),,2,0(a H a a D a a E = ，
)0,2,(),0,2,(a a a a -=-=∴，
⊂∴CH DE CH .//平面ABC ，
而⊄DE 平面ABC ，
//DE ∴平面ABC 。

……4分
（2）)0,2,0(),0,0,2(a C a B ，)0,,(a a F ∴，
)0,,(),,,(),2,,(1a a AF a a a EF a a a F B =--=--= 0)()2()()(1=-∙-+-∙+∙-=∙a a a a a a B ，， 00)2()(1=∙-+∙+∙-=∙a a a a a B ， AF F B EF F B ⊥⊥∴11,。

F AF EF = ，
⊥∴F B 1平面AEF 。

…………………………………………………………8分
（3）设平面E AB 1的一个法向量为),,(z y x m =
),2,0(),2,0,2(1a a a a == ，
02,0221=+=∙=+=∙∴az ay m az ax m ，
⎪⎩
⎪
⎨⎧-=-=∴.21
.
z y z x 令a z =，则),21,(a a a m --=。

由于平面AEF 的一个法向量为)2,,(1a a a B --=， 故设F B 1与m 所成角为θ。

612
36221
|
|||cos 2
2311-
=∙--=∙=∴a
a a a a m F B θ。

由于平面E AB 1与平面AEF 所成的二面角为锐二面角。

∴二面角F AE B --1的平面角的余弦值为
6
1。

∴二面角F AE B --1的正切值为5。

……12分
20．本小题考查等差、等比数列的性质及前n 项和公式
解：}{,}{n n b a 为等差数列为等比数列
.,22342342b b b a a a ==+∴ （2分）
由已知,,342342a b b b a a ==+
.2,,223323333b b b a a b ===∴得
.4
1,21,0333==≠a b b 由,8
3}{,41,131-===d a a a n 的公差知 （6分） .8
55291010110-=⨯+=∴d a S （8分） 由.2
222}{,21,131-====q q b b b n 或的公比知 );22(32
311)1(,2210110+=--==q q b T q 时 ).22(32
311)1(,2210110-=--=-=q q b T q 时（12分）
21．解：（Ⅰ）x x x f ln 2
1)(2-= 的定义域为),0(+∞， 又)(x f 求得：x
x x x x f 11)('2-=-=……2分 令0)('=x f ，则1=x ……3分
当x 变化时，)(),('x f x f 的变化情况如下表：
……5分 故)(x f 的单调递减区间是)1,0(。

单调递增区产是),1(+∞……6分
（Ⅱ）令x x x x g x f x h ln 2
132)()()(23--=-= 则x x x x x x x h 1212)('232
--=--= x
x x x )12)(1(2++-=……8分 0)('1>∴>x h x
)(x h ∴在),1(+∞上单调递增……10分
又06
1)1(>=h )()(x g x f >∴
∴当1>x 时，)(x f 的图象恒在)(x g 图象的上方。

……12分
22．解：（Ⅰ）由题意椭圆的离心率2
1=e 。

21=∴a c c a 2=∴22223c c a b =-=∴∴椭圆方程为1342222=+c
y c x ……2分 又点)23,1(在椭圆上13)23(41222=+∴c
c 12=∴c ∴椭圆的方程为13
42
2=+y x ……4分 （Ⅱ）设),(),,(2211y x N y x M 由⎪⎩
⎪⎨⎧+==+m kx y y x 1342
2 消去y 并整理得01248)43(2
22=-+++m kmx x k ……5分 ∵直线m kx y +=与椭圆有两个交点 0)124)(43(4)8(222>-+-=∆m k km ，即3422+<k m ……7分 又2
21438k km x x +-=+ MN ∴中点P 的坐标为)433,434(22k
m k km ++-……8分 设MN 的垂直平分线'l 方程：)8
1(1--=x k y p 在'l 上)8
1434(143322-+--=+∴k km k k m 即03842=++km k )34(812+-=∴k k
m ……10分 将上式代入得3464)34(2222+<+k k
k
2012>∴k 即105>k 或105-<k k ∴的取值范围为),105()105,(+∞--∞ ……12分。