2019版数学浙江省学业水平考试专题复习选修2-1-§1

知识点一命题的概念
在数学中，把用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题．其中判断为真的语句叫做真命题，判断为假的语句叫做假命题．
知识点二四种命题的关系
知识点三四种命题的真假性关系
原命题逆命题否命题逆否命题
真真真真
真假假真
假真真假
假假假假
结论1：两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性．
结论2:两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系．
知识点四充分条件与必要条件
1．若p⇒q,则p是q的充分条件，q是p的必要条件．
2．若p⇒q，且q⇒p，则p是q的充要条件．
3．若p⇒q，且q⇏p，则p是q的充分不必要条件．
4．若p⇏q，且q⇒p,则p是q的必要不充分条件．
5．若p⇏q，且q⇏p,则p是q的既不充分也不必要条件．
题型一命题及其关系
例1(1)已知a，b，c∈R，命题“a＋b＋c＝3，则a2＋b2＋c2≥3”的否命题是() A．若a＋b＋c≠3，则a2＋b2＋c2<3
B．若a＋b＋c＝3，则a2＋b2＋c2<3
C．若a＋b＋c≠3，则a2＋b2＋c2≥3
D．若a2＋b2＋c2≥3，则a＋b＋c＝3
（2）命题“若x＝3，则x2－2x－3＝0”的逆否命题是()
A．若x≠3，则x2－2x－3≠0
B．若x＝3，则x2－2x－3≠0
C．若x2－2x－3≠0，则x≠3
D．若x2－2x－3≠0，则x＝3
答案(1）A（2）C
解析(1)根据四种命题的定义可得．
感悟与点拨(1）熟悉四种命题的概念是正确书写或判断四种命题真假的关键;(2）根据“原命题与逆否命题同真同假，逆命题与否命题同真同假”这一性质，当一个命题直接判断不易进行时,可转化为判断其等价命题的真假;(3)判断一个命题为假命题可举反例．
跟踪训练1(1）命题“若α＝错误!，则cos α＝错误!"的逆命题是（）
A．若α＝错误!,则cos α≠错误!
B．若α≠错误!，则cos α≠错误!
C．若cos α＝错误!,则α＝错误!
D．若cos α≠错误!，则α≠错误!
（2）下列命题:
①“若a≤b，则a〈b"的否命题；
②“若a＝1，则ax2－x＋3≥0的解集为R”的逆否命题;
③“周长相同的圆面积相等”的逆命题；
④“若错误!x为有理数，则x为无理数”的逆否命题．
其中真命题的序号为（)
A．②④B．①②③
C．②③④D．①②③④
答案（1）C(2)B
解析（2)对于①，逆命题为真，故否命题为真；
对于②，“若a＝1，则ax2－x＋3≥0的解集为R”，原命题为真，故逆否命题为真；
对于③,“面积相等的圆周长相同”为真；
对于④，“若错误!x为有理数,则x为0或无理数”,故原命题为假,逆否命题为假．
题型二充分条件、必要条件与充要条件的判断
例2(1）（2018年4月学考）设a为实数，则“a〉错误!”是“a2〉错误!”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
（2)(2016年10月学考)已知非零向量a,b，则“a∥b”是“|a－b｜＝|a｜－|b|”的() A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
答案(1）A(2）B
解析(1）由a〉错误!，知a>0，
∴a2>错误!，
∴“a>1
a2”是“a
2>错误!”的充分条件，
由a2>错误!不能确定a〉0还是a〈0，
∴推不出a〉错误!，
∴“a〉错误!"不是“a2>错误!”的必要条件．
（2）由“a∥b”显然推不出|a－b｜＝｜a｜－|b｜，
比如：｜a|<｜b|时，显然不成立．
∴“a∥b"不是“|a－b｜＝|a｜－|b|”的充分条件．
由|a－b｜＝|a|－｜b｜得，|a－b|2＝(｜a｜－|b|）2，
∴a·b＝|a｜·｜b｜，∴cos θ＝1(θ为a与b的夹角）,
∴θ＝0，即a∥b。

感悟与点拨充要关系的几种判断方法：
（1）定义法：直接判断若p则q，若q则p的真假．
（2)等价法：即利用A⇒B与綈B⇒綈A；B⇒A与綈A⇒綈B;A⇔B与綈B⇔綈A的等价关系，对于条件或结论是否定形式的命题,一般运用等价法．
(3)利用集合间的包含关系判断：设A＝{x|p(x)｝,B＝{x|q（x)},若A⊆B，则p是q的充分条件或q是p的必要条件；若A＝B，则p是q的充要条件．
跟踪训练2(1)设a〉0，且a≠1，则“a〉1”是“log a错误!<1”的（)
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
（2）已知直线l⊥平面α，直线m⊂平面β，则“α∥β”是“l⊥m"的（)
A．充要条件B．必要不充分条件
C．充分不必要条件D．既不充分也不必要条件
（3）（2017年4月学考）设实数a，b满足|a｜>｜b｜,则“a－b〉0"是“a＋b>0"的(）A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．即不充分也不必要条件
答案(1)A(2)C（3)C
解析（1）当a〉1时，有log a错误!〈log a a＝1，
所以充分性成立;
当log a错误!〈1时，即log a错误!〈1＝log a a,
当a>1时,上式恒成立，当0〈a<1时，解得0〈a〈错误!，则a的取值范围是a〉1或0〈a<错误!,所以必要性不成立．
（2）由α∥β⇒l⊥β⇒l⊥m，
∴“α∥β”是“l⊥m"的充分条件，
由l⊥m可知，l⊥β或l不垂直于β，
∴α∥β或α不平行β，必要性不成立．
（3)由｜a|〉｜b｜得a2－b2>0，
即（a－b)(a＋b）>0，
由错误!得a＋b>0。

又错误!得a－b〉0。

∴“a－b>0”是“a＋b〉0”的充要条件．
题型三根据充要条件求参数范围
例3（1)已知“｜x－a｜〈1"是“x2－6x<0”的充分不必要条件，则实数a的取值范围是________．
答案[1，5]
解析∵｜x－a|〈1，
∴a－1<x<a＋1.
∵x2－6x〈0，
∴0<x<6.
又∵“|x－a|<1”是“x2－6x<0"的充分不必要条件，
∴错误!或错误!
∴1≤a≤5。

（2)已知集合A＝错误!，B＝{x|x＋m2≥1｝．若“x∈A"是“x∈B”的充分条件,求实数m的取值范围．
解y＝x2－错误!x＋1＝错误!2＋错误!，
因为x∈错误!，所以错误!≤y≤2,
所以A ＝错误!.
由x ＋m 2≥1，得x ≥1－m 2,所以B ＝｛x ｜x ≥1－m 2｝． 因为“x ∈A ”是“x ∈B ”的充分条件, 所以A ⊆B ，所以1－m 2≤错误!, 解得m ≥错误!或m ≤－错误!， 故实数m 的取值范围是错误!∪错误!。

感悟与点拨 集合与充要条件综合问题，一般先化简集合，然后根据充要条件建立等式或者不等式，进而求出参数的取值范围．
跟踪训练3 已知p ：｜x －a ｜≤5；q :x 2－6x ＋8≤0.若x ∈p 是x ∈q 的必要不充分条件，求实数a 的取值范围．
解 对于p ，不等式｜x －a ｜≤5的解集为－5＋a ≤x ≤5＋a ； 对于q ，不等式x 2－6x ＋8≤0的解集为2≤x ≤4。

∵x ∈p 是x ∈q 的必要不充分条件， ∴｛x ｜2≤x ≤4}{x |－5＋a ≤x ≤5＋a }， 即错误!或错误!可得－1≤a ≤7, ∴实数a 的取值范围是［－1，7］．
一、选择题
1．已知a ，b ∈R ，命题“若a ＋b ＝1，则a 2＋b 2≥1
2”的否命题是( )
A ．若a 2＋b 2〈错误!，则a ＋b ≠1
B ．若a ＋b ＝1，则a 2＋b 2<错误!
C ．若a ＋b ≠1，则a 2＋b 2〈错误!
D ．若a 2＋b 2≥错误!，则a ＋b ＝1 答案 C
解析 “a ＋b ＝1”，“a 2＋b 2≥错误!"的否定分别是“a ＋b ≠1”，“a 2＋b 2〈错误!”, 故否命题为“若a ＋b ≠1，则a 2＋b 2〈错误!”．
2．“若x ，y ∈R ,x 2＋y 2＝0,则x ，y 全为零"的逆否命题是（ ） A ．若x ,y ∈R ,x ，y 全不为零,则x 2＋y 2≠0 B ．若x ，y ∈R ,x ，y 不全为零，则x 2＋y 2＝0 C ．若x ，y ∈R ，x ，y 不全为零，则x 2＋y 2≠0 D ．若x ,y ∈R ，x ，y 全为零，则x 2＋y 2≠0 答案 C
解析依题意得，原命题的题设为“若x2＋y2＝0"，结论为“则x,y全为零”．逆否命题为“若x，y不全为零，则x2＋y2≠0”,故选C.
3．已知下列三个命题：
①“若xy＝0，则x＝0且y＝0"的逆否命题；
②“正方形是菱形”的否命题；
③“若m〉2,则不等式x2－2x＋m〉0的解集为R"．
其中真命题的个数为（)
A．0 B．1 C．2 D．3
答案 B
解析对于①，原命题为假，所以逆否命题为假；
对于②，逆命题为“菱形是正方形"，是假命题，所以否命题为假命题;
对于③，Δ＝4－4m，当m>2时，Δ〈0，
所以f(x)＝x2－2x＋m开口向上且与x轴无公共点，
故x2－2x＋m〉0的解集为R，③为真命题．故选B.
4．已知p：x2－x〈0，那么p的一个必要不充分条件是（）
A．0<x<1 B．－1〈x<1
C。

错误!<x〈错误!D。

错误!<x〈2
答案 B
解析p:0<x〈1，0〈x〈1⇒－1〈x〈1，
－1<x<1D//⇒0〈x<1.故选B。

5．已知a〉0且a≠1，则“log a b〉0”是“(a－1）（b－1)>0”的（)
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
答案 A
解析因为log a b>0等价于错误!或错误!
而（a－1)·(b－1）>0等价于错误!或错误!故选A。

6．“m＝2 018”是“直线mx＋（m－2 017)y－2＝0和直线x－my＋5＝0垂直”的(）A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
答案 A
7．（2017年11月学考)已知a,b是实数,则“|a|<1且｜b|〈1"是“a2＋b2〈1”的(）A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D ．既不充分也不必要条件 答案 B
8．(2018年6月学考）已知直线l ，m 和平面α,m ⊂α，则“l ⊥m ”是“l ⊥α”的( ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件
答案 B
9．“a ＝1”是“函数f （x )＝｜x －a ｜在区间[1，＋∞）上为增函数”的（ ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件
答案 A
解析 ①由“a ＝1”得f (x ）＝错误! 所以“f (x ）在［1，＋∞)上为增函数"． ②由“f (x )在[1，＋∞)上为增函数"得a ≤1。

10．(2016年4月学考)设n ∈N ＊
，则“数列{a n ｝为等比数列”是“数列错误!为等比数列"的( ）
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件 答案 A
解析 {a n }是等比数列，设公比为q ， 则错误!＝q ， 由错误!＝错误! ＝⎝
⎛⎭
⎫a n
a n ＋1
2＝错误!，
∴错误!为等比数列，
则“数列｛a n }为等比数列”是“数列错误!为等比数列”的充分条件． 若数列｛a n }的通项公式为a n ＝错误! 数列｛a n ｝不是等比数列,
而错误!＝1，故错误!是等比数列，
∴“数列｛a n ｝为等比数列"是“数列错误!为等比数列”的不必要条件， ∴“数列｛a n }为等比数列"是“数列错误!为等比数列”的充分不必要条件． 二、填空题
11．命题“若ab ＝0，则a ，b 中至少有一个为零”的逆否命题是________________________．
答案若a，b都不为零，则ab≠0
12．若不等式|x－m｜<1成立的充分不必要条件是错误!<x<错误!，则实数m的取值范围是________．
答案错误!
解析设A＝错误!,
B＝｛x｜m－1〈x<m＋1},则A是B的真子集．
∴错误!（等号不同时成立），解得－错误!≤m≤错误!。

13．若集合A＝｛x｜x2－x－2<0｝，B＝｛x|－2〈x<a}，则“A∩B≠∅”的充要条件是________．答案a>－1
解析A＝{x|－1〈x<2｝,B＝{x｜－2〈x<a}，
由A∩B≠∅得a〉－1.
14．下列四个结论中：
①“λ＝0”是“λa＝0"的充分不必要条件;
②在△ABC中，“AB2＋AC2＝BC2”是“△ABC为直角三角形”的充要条件；
③若a，b∈R,则“a2＋b2≠0”是“a，b全不为零"的充要条件;
④若a，b∈R，则“a2＋b2≠0”是“a，b不全为零”的充要条件．
正确的是________．（填序号）
答案①④
解析由λ＝0可以推出λa＝0,但是由λa＝0不一定能推出λ＝0成立，所以①正确．
由AB2＋AC2＝BC2可以推出△ABC是直角三角形,但是由△ABC是直角三角形不能确定哪个角是直角，所以②不正确．
由a2＋b2≠0可以推出a，b不全为零;反之，由a,b不全为零可以推出a2＋b2≠0，所以③不正确，④正确．
三、解答题
15．已知集合A＝｛x｜x≥3或x≤－2}，B＝｛x|x〉－a或x〈2a}(a<0)．设p:x∈A，q：x∈B，且綈p是綈q的必要不充分条件，求实数a的取值范围．
解∵綈p是綈q的必要不充分条件，
则綈q⇒綈p，且綈p⇏綈q，
由此可得p⇒q，且q⇏p，∴A B，
∴错误!可得a>－1，
又∵a〈0，∴－1<a<0.
16．已知集合A＝{x｜x2－4x－5≤0,x∈R｝,B＝{x｜x2－2x－m〈0}．
(1)当m＝3时，求A∩（∁R B）;
(2）若m＝a是A∩B＝｛x|－1≤x〈4}的充要条件，求实数a的值．
解（1)当m＝3时，A＝｛x｜－1≤x≤5｝,B＝｛x｜－1<x〈3｝，
则∁R B＝｛x|x≤－1或x≥3｝，
所以A∩(∁R B)＝｛x|3≤x≤5或x＝－1｝．
(2）因为A＝{x｜－1≤x≤5｝，A∩B＝｛x|－1≤x〈4}，所以有42－2×4－a＝0，解得a＝8，
此时B＝{x|－2〈x〈4}，符合题意,故实数a的值为8.。