2020年陕西高三二模理科数学试卷-学生用卷

2020年陕西高三二模理科数学试卷-学生用卷
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）
1、【来源】 2020年陕西高三二模理科第1题5分 2020年陕西咸阳高三二模文科第2题5分 2020年陕西咸阳高三二模理科第2题5分 已知复数z =4
1+i
（i 为虚数单位），则z 的虚部为（ ）． A. 2
B. 2i
C. −2
D. −2i
2、【来源】 2020年陕西高三二模理科第2题5分
已知集合A ={x |−1⩽x <1} ,B ={y |y =x 2,x ∈A }，则 A ∪B = （ ）． A. {x |−1⩽x <1} B. {x |−1⩽x ⩽1} C. {x |−1<x <1} D. {x |−1<x ⩽1}
3、【来源】 2020年陕西高三二模理科第3题5分
若变量x ，y 满足约束条件{x +y ⩾3
x −y +1⩽0x +2y −6⩽0
，则目标函数z =2x −y 的最小值是（ ）．
A. −3
B. 0
C. 13
D. 103
4、【来源】 2020年陕西高三二模理科第4题5分
已知向量a →
，b →
满足a →
=(1,√3)，(a →
−2b →
)⊥a →
，则b →
在a →
上的投影为（ ）． A. −1
B. 1
C. −12
D. 12
5、【来源】 2020年陕西高三二模理科第5题5分
已知函数f(x)={
−ln⁡x,0<x⩽1
−x2+4x−3,x>1，若f(f(a))=1，则满足条件的实数a的个数是（）．
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
6、【来源】 2020年陕西高三二模理科第6题5分
设X∼N(0,1)，其正态分布密度曲线如图所示，点A(1,0)，点B(2,0)，点C(2,1)，点D(1,1)，向正方形ABCD内任意投掷一粒黄豆，则该黄豆落入阴影部分的概率是（）．
（注：X∼N(μ,σ2)，则P(μ−σ<X⩽μ+σ)=0.6827，P(μ−2σ<X⩽μ+2σ)=0.9545，P(μ−3σ<X⩽μ+3σ)=0.9973）
A. 0.8641
B. 0.6587
C. 0.5228
D. 0.9785
7、【来源】 2020年陕西高三二模理科第7题5分
在公差不为0的等差数列{a n}中，a1=1，a32=a4a6，则a2=（）．
A. 7
11B. 5
11
C. 3
11
D. 1
11
8、【来源】 2020年陕西高三二模理科第8题5分
2019~2020学年4月陕西西安碑林区西安市第三中学高一下学期月考第3题4分
已知0<α<β<π
2
，且cos⁡(α−β)=63
65
，sin⁡β=12
13
，则sin⁡α=（）．
A. −3
5B. 3
5
C. −4
5
D. 4
5
9、【来源】 2020年陕西高三二模理科第9题5分
2021年陕西西安碑林区西安交通大学附属中学高三零模理科第6题5分
若将函数f(x)=2sin⁡(3x +π4
)的图象向右平移a(a >0)个单位长度，所得图象关于坐标原点对称，则a 的最小值为（ ）． A. π
4 B. 5π4 C. π12 D. 5π12
10、【来源】 2020年陕西高三二模理科第10题5分
在直三棱柱ABC −A 1B 1C 1中，AB =BC =AC =a ，AA 1=b ，若该三棱柱的六个顶点都在同一个球面上，且a +b =2，则该球的表面积的最小值为（ ）． A. 7π
3 B. 13π
4 C. 52π21 D.
16π7
11、【来源】 2020年陕西高三二模理科第11题5分
已知抛物线C:y 2=4x ，点M (3,0)，直线l 过焦点F 且与抛物线C 交于A ，B 两点，若|AB |=8，则△
AMB 的面积为（ ）．
A. 4
B. 4√2
C. 4√3
D. 8
12、【来源】 2020年陕西高三二模理科第12题5分
已知函数f (x )=xe x +1
2x 2+x +a ，g (x )=xln⁡x +1，若存在x 1∈[−2,2]，对任意x 2∈[1
e 2,e]，
都有f (x 1)=g (x 2)，则实数a 的取值范围是（ ）． A. [−3−1e
−2e 2,e −3−2e 2] B. (−3−1
e −2e 2,e −3−2e 2)
C. [e−3−2e2,3
2
]
D. (e−3−2e2,3
2
)
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13、【来源】 2020年陕西高三二模理科第13题5分
如图是样本容量为1000的频率分布直方图，根据该图估计该样本数据的中位数与平均数的差的绝对值是．
14、【来源】 2020年陕西高三二模理科第14题5分
在(x+1)(ax+1)5的展开式中，x2的系数为15，则a=．
15、【来源】 2020年陕西高三二模理科第15题5分
在△ABC，D为AC的中点，且AD:BD:AB=1:√7:3，若BC=√7，则△ABC的周长
为．
16、【来源】 2020年陕西高三二模理科第16题5分
已知双曲线C:x 2
a2−y2
b2
=1(a>0,b>0)，过双曲线C的左焦点F作一斜率为√2的直线交双曲线C的
左支于A，B两点，若以AB为直径的圆过坐标原点O，则双曲线C的离心率为．
三、解答题（本大题共5小题，每小题12分，共60分）
17、【来源】 2020年陕西高三二模理科第17题12分
如图，正四棱锥P−ABCD的底边长为2，侧棱长为√3，M为PC上一点，且PM=3CM，点E，F 分别为AD，BC上的点，且AE=BF=3ED．
(1) 证明：平面MEF//平面PAB．
(2) 求锐二面角P−EF−M的余弦值．
18、【来源】 2020年陕西高三二模理科第18题12分
已知正项数列{a n}的前n项和为S n，a1=1，2S n=a n a n+1(n∈N∗)．
(1) 求数列{a n}的通项公式．
(2) 若数列{b n}满足b n=a2n，令T n=a1b1+a2b2+a3b3+⋅⋅⋅+a n b n，求证：T n<n⋅2n+1．
19、【来源】 2020年陕西高三二模理科第19题12分
某市正在进行创建全国文明城市的复验工作，为了解市民对“创建全国文明城市”的知识知晓程度，某权威调查机构对市民进行随机调查，并对调查结果进行统计，共分为优秀和一般两类，先从结果中随机抽取100份，统计得出如下2×2列联表：
(1) 根据上述列联表，是否有85%的把握认为“创城知识的知晓程度是否为优秀与性别有关”？
(2) 现从调查结果为一般的市民中，按分层抽样的方法从中抽取9人，然后再从这9人中随机抽取3人，求这三位市民中男女都有的概率．
(3) 以样本估计总体，视样本频率为概率，从全市市民中随机抽取10人，用X表示这10人中优秀的人数，求随机变量X的期望和方差．
附：
K2=n(ad−bc)2
(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)
（其中n=a+b+c+d）．
20、【来源】 2020年陕西高三二模理科第20题12分
已知函数f(x)=e x(x2+ax+1)(a∈R)．
(1) 求函数f(x)的极值．
(2) 当3<a<4时，若函数f(x)有两个极值点x1，x2，且x1<x2，求证：−5
e3<f(x1)
f(x2)
<−3
e4
．
21、【来源】 2020年陕西高三二模理科第21题12分
已知椭圆C：x 2
a2+y2
b2
=1(a>b>0)的离心率为√3
2
，点P的坐标为(0,3
2
)，且椭圆C上任意一点到点
P的最大距离为√7．
(1) 求椭圆C的标准方程．
(2) 若过点(1,0)的直线l与椭圆C相交于A，B两点，点M为椭圆C长轴上的一点，求△MAB面积的最大值．
四、选做题（本大题共2小题，选做1题，共10分）
选修4-4：坐标系与参数方程
22、【来源】 2020年陕西高三二模理科第22题10分
2020年陕西高三二模文科第22题10分
在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为{x=8
2+t
y=4t
2+t
（t为参数），以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ=2sin⁡θ．
(1) 求直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程．
(ρ>0)与直线l和曲线C分别交于A，B两点，求|AB|的值．(2) 若射线θ=π
4
选修4-5：不等式选讲
23、【来源】 2020年陕西高三二模理科第23题10分
2020年陕西高三二模文科第23题10分
设函数f(x)=|x−1|+|x−t|(t>0)的最小值为1．
(1) 求t的值．
(2) 若a3+b3=t(a,b∈R∗)，求证：a+b⩽2．
1 、【答案】 C;
2 、【答案】 B;
3 、【答案】 A;
4 、【答案】 B;
5 、【答案】 D;
6 、【答案】 A;
7 、【答案】 A;
8 、【答案】 D;
9 、【答案】 C;
10 、【答案】 D;
11 、【答案】 B;
12 、【答案】 C;
13 、【答案】3.5;
14 、【答案】−3
或1;
2
15 、【答案】5+√7;
16 、【答案】√3;
17 、【答案】 (1) 证明见解析．;
(2) √10
10
．
;
18 、【答案】 (1) a n=n．
;
(2) 证明见解析．
;
19 、【答案】 (1) 没有．
;
(2) 5
6
．
;
(3) 期望5.5，方差2.475．
;
20 、【答案】 (1) 当a<0时，函数f(x)的极大值为2−a
e ，极小值为2+a
e a+1
；
当a=0时，无极值；
当a>0时，函数f(x)的极大值为2+a
e a+1，极小值为2−a
e
．
;
(2) 证明见解析．
;
21 、【答案】 (1) x2
4
+y2=1．
;
(2) 3√3
2
．
;
22 、【答案】 (1) 直线l的普通方程为x+y−4=0(x≠0)，曲线C的直角坐标方程为x2+y2−2y=0．
;
(2) √2．
;
23 、【答案】 (1) t=2．;
(2) 证明见解析．
;。