等速螺线

等速螺旋(阿基米德螺线）
一、什么是等速螺旋
1、从点O出发的射线l绕点O作等角速度的转动。

2、同时点M沿l作等速直线运动，点M的轨迹叫等速螺旋
或阿基米德螺线。

二、等速螺线的极坐标方程
1、建立极坐标系
取O点为极点，以l的初始位置为极轴，建立极坐标系如上图。

2、建立参数方程
设点M的初始位置为（ρ0,0），点M在l上的运动速度为v,l绕点O转动的角速度为w，经过时间t后，l旋转了θ角，点M到达位置（ρ,θ）根据螺旋线的定义可得：
ρ-ρ0=vt, θ=wt
这就是以时间t为参数的参数方程。

3、建立极坐标方程
参数方程消去t后得：ρ-ρ0=vθ/w
这是所求得的等速螺线的极坐标方程。

设v/w=a
则ρ=ρ0+aθ
此为等速螺线极坐标的一般形式，ρ是θ的一次函数。

特殊情况下，ρ0=0时，ρ= aθ，ρ是θ的正比例函数。

三、ρ=aθ的图像
其中虚线为ρ和θ取负值时的图像
四、等速螺线的笛卡尔坐标系方程
1、极坐标系和直角坐标系的换算公式
x=ρcosθ
y=ρsinθ
ρ^2=x^2+y^2
tanθ=y/x
2、等速螺线的笛卡尔坐标系方程
由ρ=vt θ=wt
可得x=vtcosθ
y=vtsinθ
五、CREO下的参数方程
1、笛卡尔坐标系
第一个例子
s=v*t
angle=t*360
x=s*cos(angle)
y=s*sin(angle)
图中：v=50
表示螺线的极径在0-50
之间变化，转角在360
度之内，当达到360°时
极径长度为50
当转过90°时，
t=90/360=1/4
s=50/4=12.5
当转过180时，t=180/360=1/2，s=50/2=25 第二个例子
s=50*t
angle=5*t*360
x=s*cos(angle)
y=s*sin(angle)
第三个例子
s=50*t
angle=60+3*t*360
x=s*cos(angle)
y=s*sin(angle)
第四个例子
s=50*t
angle=-60-2*t*360
x=s*cos(angle)
y=s*sin(angle)
2、圆柱坐标系（极坐标系）
r=50*t
theta=t*360
z=0
（柱坐标系的三个参数为r ，theta ，z ）
此方程与第一个例子等价的。

六、等速螺线的面积问题
1、扇形的面积公式
S =1R 2θ S ——扇形面积
R ——半径
θ——圆心角，弧度
2、计算曲边扇形面积的数学模型
如上图，由曲线ρ=ψ(θ)，射线θ=α，θ=β围成曲边扇形，要计算其面积，取极角θ为积分变量，它的变化区间在[α，β]，相应于任一小区间[θ，θ+d θ]的窄曲边扇形的面积，可以用半径为ρ=ψ(θ)，圆心角为d θ的扇形的面积来近似代替，从而得到窄曲边扇形面积的近似值，即曲边扇形的面积元素：
dA =1[φ(θ)]2d θ 以此面积元素作为在闭区间[α，β]上作定积分，便得所求曲边扇形面积的面积为：
1[φ(θ)]2d θβα
3、计算等速螺线的面积
如图，计算阿基米德螺旋θ变化区间为[0，2π]的一段圆弧与极轴围成图形的面积
根据数学模型，可得：
A =
1[αθ]2d θ2π
0= 1α2θ2d θ=α22π0 θ3 02π
=4α2π3 当α=10时，θ变化区间为[0，2π]时，等速螺线的柱坐标系参数方程为
theta=t*360
r=10*2*pi*t
（由theta化为弧度，即t*360*π/180=2*t*π）则
A=4
3
α2π3=
4
3
100π3=4134.17
计算等速螺旋θ变化区间为[0，4π]的一段圆弧与极轴围成图形的面积
如下图：
根据等速螺线的定义起始点为0时的极坐标方程为，ρ= aθ。

如图此时的起始点位置为ρ0=2πα由ρ-ρ0=vθ/w=αθ可得
ρ-2πα=αθ。

于是改图像所示的极坐标方程为ρ=2πα+αθ=α（θ+2π）
此时，当α=10时，θ变化区间为[0，4π]时，等速螺线的柱坐标系参数方程为
theta=2*t*360
r=10*4*pi*t
（此方程表示螺线从圆心开始绕两圈）
如果只考虑外圈，不考虑图中的虚线部分，则参数方程为
r=2*π*10+10*2*π*t
theta=t*360
（此方程表示螺线从2πα点开始绕一圈）
下面计算此图形的面积
A=
1
[α(θ+2π)]2dθ
2π
=
1
α2(θ+2π)2dθ=
α2
2π
(θ+2π)3
2π
A =50×(4π)3−50×(2π)3=33073.36−4134.17=28939.19
七、等速螺线的弧长问题
1、弧长元素
如图，设x ，x+Δx 为（a,b)内相邻的两个点，它们在曲线y=f(x)上对应的点为M,M'。

当Δx 足够小时，弧MM 近似等于其对应的弦长，用Δs 表示弧长，于是有
∆s = ∆2+∆y 2由函数微分学可知，∆x ≈dx ，∆y ≈dy 则∆s ≈ds
由此可得直角坐标系下的弧长元素为ds = (dx)2+(dy)2
2、各种形式方程下的弧长
——直角坐标方程
由ds = dx 2+dy 2可推出
ds = 2
2=dx (dx)2+(dy)2dx
=dx 2 故此，直角坐标系下区间（a,b)的弧长为 ds = 2b
a b a
——由参数方程所确定的弧长
x =∅(t)y =φ(t)
dx =∅(t)′dt
dy =φ(t)′dt
ds = ([∅ t ′dt]2+[φ t ′dt]2= [∅ t ′2+φ t ′2
dt
故此，在区间（a,b)的弧长为
ds = [∅ t ′2+φ t ′2dt b a b a
——由极坐标方程确定的弧长
x =ρ(θ)cos ⁡(θ)y =ρ(θ)sin ⁡(θ)
dx =[ρ(θ)′cos θ −ρ θ sin ⁡(θ)]d θ
dy =[ρ(θ)′sin θ +ρ θ cos ⁡(θ)]d θ
ds = ([ρ(θ)′cos θ −ρ θ sin ⁡(θ)]2+[ρ(θ)′sin θ +ρ θ cos ⁡(θ)]2d θ= [ρ θ ′]2+[ρ θ ]2d θ 故此，在区间（a,b)的弧长为
ds = [ρ θ ′]2+[ρ θ ]2d θb
a b a
3、计算等速螺线的弧长
1、θ变化区间为[0，2π]时，等速螺线的弧长s
ds = ′2 2θb a b a = α2 2d θ2π0=α 1+θd θ2π
s =α θ 1+θ2+ln ⁡( 1+θ2+θ) 0
2π 当α=10时,
s =5(39.975+2.537)=212.56
2、θ变化区间为[0，4π]时，等速螺线的弧长s
s =α θ 1+θ2+ln ⁡( 1+θ2+θ) 0
4π 当α=10时,
s =5(158.412+3.266)=808.19。