第5章 二维几何02—布尔运算

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5.2 环（3）
例如： 例如： LOOP1：{1, 2, 3, 4, 5, 6, 1} ： LOOP2：{7, 10, 9, 8, 7} ： 根据封闭图形的边界走向的定义， 根据封闭图形的边界走向的定义，可以得到 两种性质完全不同的环： 两种性质完全不同的环： 外环和 外环和内环
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5.3 平面图形的描述（3） 平面图形的描述（
② LINE(LIN)：环顶点指针。一个环一个环的顶 ：环顶点指针。
点序号；
③LOOP(LOP,2)：环指针。 ：环指针。 LOOP(I,1) 和 LOOP(I,2) 分别指向第 环的末顶点 分别指向第I环的末顶点
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5.1概述（ 5.1概述（2） 概述
设所给几何图形为A和 ： 设所给几何图形为 和B： C=A ∪ B， 或 C=A+B，C 是 A ， ， 和 B的 “ 并 ” 集 ， 该操作实现 的 了两个图形的“溶合” 了两个图形的“溶合” C=A∩B，或 C=A×B，即 “ 交” ， × ， 操作， 操作，其结果是仅保留了两个 图形的公共部份 C=A-B，即执行“差”的运算， 的运算， ，即执行“ 其结果是实现了B图形对 图形对A图 其结果是实现了 图形对 图 形的“切割” 形的“切割” C=B-A，和上面相反，结果是 ， 和上面相反， B与A的重合部份被 切割掉 的重合部份被A切割掉 与 的重合部份被
2002年10月24日上海交通大学计算机系何援军545411平面上两点间的连接关系顺圆连接逆圆连接r0直线连接r不连接r2002年10月24日上海交通大学计算机系何援军555522平面图形的描述圆弧曲线序号1011122002年10月24日上海交通大学计算机系何援军5656交点在布尔运算中的关键作用从交点处改变环的走向用交点的特征值处理重点问题圆弧切点特征值的定值问题数据结构的设计数据结构的知识在布尔运算中的可发挥得淋漓尽致2002年10月24日上海交通大学计算机系何援军5757编制一个直线边界图形二维布尔运算的程2002年10月24日上海交通大学计算机系何援军5858设计一种圆弧切点特征值的定值方法
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5.5.1环与环交点的求取 5.5.1环与环交点的求取
这个约定只有在一种情况下出现同一个点的 两种表达方式： 两种表达方式：
环的首点的几何参数可以是1，也可以是 n+1(或m+1)， 或 ， 这是因为它可认为是环的第一条边向量的起 点，也可是第n(m)条边向量的终点。 也可是第 条边向量的终点。 条边向量的终点
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5.2 环（2）
环：环由一组首尾相接的封闭的边向量构 成。每一个环由一循环有序正整数集 L1, L2, … , Ln, L1 描述，正整数指出环的顶点 描述， (xL1,yL1),(xL2,yL2),…... ,(xLn,yLn),(xL1,yL1) 两个相邻的整数(L 两个相邻的整数 i,Li+1)给出环的一条边 给出环的一条边 向量
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5 .2 环
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5.2 环（1）
在屏幕显示中， 在屏幕显示中 ， 图形都是由直线段 构造的； 构造的； 这样， 这样 ， 图形的每一条封闭的边界就 是一个多角形； 是一个多角形； 为了有效地描述出图形的外部和内 在计算机图形学中常以“ 部 ， 在计算机图形学中常以 “ 环 ” 替代多角形描述图形的边界。 替代多角形描述图形的边界。
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5.3 平面图形的描述（2） 平面图形的描述（
环的各项数据可设计为： 环的各项数据可设计为： ① xy(2,NV)：图形顶点节点数据域的一部 ： 分别表示顶点的x， 坐标 坐标； 分，分别表示顶点的 ，y坐标；
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λi=i+λ 整数部份指出交点所在的边向量 µi=j+µ小数部份指出交点在边向量上的位置
为两环对应边向量交点的几何参数， 为两环对应边向量交点的几何参数， 即把环中对应向量在各自环中的编号加到交点参 数λ和μ上。 环顶点几何参数的小数部份为零。 环顶点几何参数的小数部份为零。
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5.5.1 环与环交点的求取
特征值的求解前已述及； 特征值的求解前已述及； 几何信息尚不能仅应用参数λ和 ， 几何信息尚不能仅应用参数 和µ，因 为他们均为［ ］之间的参数， 为他们均为［0,1］之间的参数，无法 判定它属于环的哪一条边向量； 判定它属于环的哪一条边向量； 为此， 为此，对几何参数的表示法需要作出 修正。 修正。
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5.2 环（4）
外环表示图形的外周界 例如 外环表示图形的外周界(例如 表示图形的外周界 例如LOOP1) 内环表示图形的开孔 例如LOOP2)。 表示图形的开孔(例如 内环表示图形的开孔 例如 。
环的方向定义为：当人沿着环行走时， 环的方向定义为：当人沿着环行走时，他的 左手指向图形的内部，为负侧， 左手指向图形的内部，为负侧，他的右手指 向图形的外部，为正侧。 向图形的外部，为正侧。 这种约定将给图形处理带来极大的方便。 这种约定将给图形处理带来极大的方便。
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5.5.2 新环的组织
已知： 已知： 环I = {1 2 3 4 1} 环II={5 6 7 8 5} 求：环III=I∪II ∪ 解：求取两个环的所有边向量的交点A和B。 求取两个环的所有边向量的交点 和 。 交点A对环 称为A 对环II称为 对环I称为 称为A 交点 对环 称为 1，对环 称为 2。 A1有负特征值，记为 1； 有负特征值，记为-A A2有正特征值，记为 2。 有正特征值，记为+A 对交点B也作类似的处理 也作类似的处理。 对交点 也作类似的处理。 把两个交点分别插入到各环中， 因为交点中包含 把两个交点分别插入到各环中，(因为交点中包含 了位于哪条边及边中的位置，因此这是可能的！ 了位于哪条边及边中的位置，因此这是可能的！)
和首顶点(编号是相同的 在LINE中的位置； 中的位置； 和首顶点 编号是相同的!)在 编号是相同的 中的位置
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5.3 平面图形的描述（4） 平面图形的描述（
④ FACE(NF，2)：图形 在三维中描述一 ， ：图形(在三维中描述一 个面)节点数据域的一部分 个面 节点数据域的一部分 FACE(I,2)和FACE(I,1)分别指出首环和 和 分别指出首环和 终环(内环，当无内环时也指向首环)在 终环 内环，当无内环时也指向首环 在 内环 LOOP中的位置。 中的位置。 中的位置
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5.3 平面图形的描述
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5.3 平面图形的描述（1） 平面图形的描述（
一个平面图形由一个外环， 一个平面图形由一个外环，零个或多个内 环描述
例图是由1个外环和 个内环构造的平面图 例图是由 个外环和3个内环构造的平面图 个外环和 形。
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5.5.2 新环的组织
得到两个中间环： 得到两个中间环：
1→-A1→2→+B1→3→4→1 5→6→7→-B2→8→+A2→5
如果从交点-A 出发， 注意此时它是环I上的 如果从交点 1 出发 ， 注意此时它是环 上的 且是入点 因为是求并运算 入点， 求并运算， 点 ， 且是 入点 ， 因为是 求并运算 ， 新环应改 变方向进入到环II， 变方向进入到环 ，即-A1→+A2。 虽然此时仍是同一个点， 虽然此时仍是同一个点 ， 但有完全不同的含 所在的环改变了。 义——所在的环改变了。 所在的环改变了
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5.5.2 新环的组织
然后沿环方向前进，就得到： 然后沿环方向前进，就得到： –A1→+A2→5→6→7→-B2
由于又碰到一个入点，环的走向要改变， 由于又碰到一个入点，环的走向要改变， 由-B2→+B1，再按+B1方向走下去得到环： 再按 方向走下去得到环： –A1→+A2→5→6→7→-B2→+B1→3→4→1→–A1 得到的环已构成循环，新环就产生了。 得到的环已构成循环，新环就产生了。 合并相同点，就得到一个真正的新环： 合并相同点，就得到一个真正的新环： A→5→6→7→B→3→4→1→A
第5章 二维几何
之二——二维布尔运算 之二——二维布尔运算
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5.1概述（ 5.1概述（1） 概述
图形布尔运算是指对平面上的两个图形进 行几何运算以得到新的图形， 行几何运算以得到新的图形，这种几何运 算是以图形为作为运算对象的几何运算； 算是以图形为作为运算对象的几何运算； 图形布尔运算包括两个图形的交、 图形布尔运算包括两个图形的交、并、差 等运算。 等运算。
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5.5.1环与环交点的求取 5.5.1环与环交点的求取
个环分别有n和 条边向量 条边向量， 设2个环分别有 和m条边向量，各自分别独立地对 个环分别有 环的边向量从1开始编号 环的边向量从 开始编号 设环1的第 条和环2的第 条边向量有交点，其交点 设环 的第i条和环 的第j条边向量有交点， 的第 条和环 的第 条边向量有交点 的参数分别为λ∈ 的参数分别为 ∈［0,1］和µ∈［0,1］，则定义 ］ ∈ ］
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5.4 图形运算的基本原理
因为图形是由边界来定义的，因此， 因为图形是由边界来定义的，因此，图形的 运算必须通过边界来进行； 运算必须通过边界来进行； 两个图形进行运算产生新的图形也就是产生 新的边界； 新的边界； 新的边界由原来图形的各方的部份边界构成； 新的边界由原来图形的各方的部份边界构成； 边界的改变在参加运算的原图形边界的相交 处； 如果求得这些交点， 如果求得这些交点，就有可能组织新图形的 边界。 边界。
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5.5 图形运算的实施
一个环构成图形的一条封闭的边界(外边 一个环构成图形的一条封闭的边界 外边 界或内边界)。 界或内边界 。 先求取各边界与对方的各边界之间的所 有交点。 有交点。 分析这些交点的性质，得到运算的结果。 分析这些交点的性质，得到运算的结果。
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5.3 平面图形的描述（5） 平面图形的描述（
设图中表示的图形均从第一个元素开始(图形， 设图中表示的图形均从第一个元素开始 图形， 环 ， 顶 图形 点)，那末它们在计算机内有如下的数值： ，那末它们在计算机内有如下的数值： ② LINE：1,2,3,4,1, 5,8,7,6,5,13,14,15,13,9,10,11,12,9 ： 按行排列)： ③ LOOP：(按行排列 ：5, 1,10, 6,14, 11, 19, 15 ： 按行排列 ④ FACE：4, 1 ：
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5.3 平面图形的描述（6） 平面图形的描述（
这种存放形式是顺序存放加指针的形式(其 这种存放形式是顺序存放加指针的形式 其 为一组， 中 LINE和 LOOP为一组 ， LOOP和 FACE 和 为一组 和 为另一组)， 只适用于静态运算(例如隐藏 为另一组 ， 只适用于静态运算 例如隐藏 线消除算法)， 不适应于动态运算(例如几 线消除算法 ， 不适应于动态运算 例如几 何造型)。 何造型 。须采用链接存放的形式才便于几 何元素修改。 何元素修改。 如果几何信息xy扩展到 扩展到xyz(3,NV)，分别表 如果几何信息 扩展到 ， 坐标， 示 x,y,z坐标 ， 那末上述数据结构描述了空 坐标 间平表面物体的一个带有开孔的面。 间平表面物体的一个带有开孔的面 。 这种 描述方式将在三维几何计算中述及。 描述方式将在三维几何计算中述及。
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5.5.1 环与环交点的求取
求取两个环之间的所有交点就是环的各边向量之 间的求交运算。 间的求交运算。 向量的交点包括几何信息和特征值两方面信息： 向量的交点包括几何信息和特征值两方面信息： 几何信息 两方面信息
这个交点是属于每个环哪一条边向量？ 这个交点是属于每个环哪一条边向量？ 它在此边向量上的几何位置？ 它在此边向量上的几何位置？ 这个交点对另一环来说，是入点还是出点？ 这个交点对另一环来说，是入点还是出点？