庆元县高中2018-2019学年上学期高三数学期末模拟试卷含答案
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庆元县高中2018-2019学年上学期高三数学期末模拟试卷含答案 班级__________ 座号_____ 姓名__________ 分数__________
一、选择题
1. 已知函数f (x )=
是R 上的增函数,则a 的取值范围是( )
A .﹣3≤a <0
B .﹣3≤a ≤﹣2
C .a ≤﹣2
D .a <0
2. 已知集合P={x|﹣1<x <b ,b ∈N},Q={x|x 2﹣3x <0,x ∈Z},若P ∩Q ≠∅,则b 的最小值等于( ) A .0
B .1
C .2
D .3
3. 设集合S=|x|x <﹣1或x >5},T={x|a <x <a+8},且S ∪T=R ,则实数a 的取值范围是( ) A .﹣3<a <﹣1 B .﹣3≤a ≤﹣1 C .a ≤﹣3或a ≥﹣1
D .a <﹣3或a >﹣1
4. 某校为了了解1500名学生对学校食堂的意见,从中抽取1个容量为50的样本,采用系统抽样法,则分段
间隔为( )1111]
A .10
B .51
C .20
D .30
5. 如图是某几何体的三视图,正视图是等腰梯形,俯视图中的曲线是两个同心的半圆组成的半圆环,侧视图是直角梯形.则该几何体表面积等于( )
A .12+
B .12+23π
C .12+24π
D .12+π
6. 已知集合{2,1,0,1,2,3}A =--,{|||3,}B y y x x A ==-∈,则A B =( )
A .{2,1,0}--
B .{1,0,1,2}-
C .{2,1,0}--
D .{1,,0,1}-
【命题意图】本题考查集合的交集运算,意在考查计算能力.
7. 下列函数中,与函数()3
x x
e e
f x --=的奇偶性、单调性相同的是( )
A .(ln y x =
B .2y x =
C .tan y x =
D .x
y e =
8. 在△ABC 中,已知a=2,b=6,A=30°,则B=( )
A .60°
B .120°
C .120°或60°
D .45°
9. 函数sin()y A x ωϕ=+在一个周期内的图象如图所示,此函数的解析式为( ) A .2sin(2)3
y x π
=+
B .22sin(2)3y x π=+
C .2sin()23x y π=-
D .2sin(2)3
y x π=-
10.点A 是椭圆
上一点,F 1、F 2分别是椭圆的左、右焦点,I 是△AF 1F 2的内心.若
,则该椭圆的离心率为( )
A .
B .
C .
D .
11.为了得到函数y=sin3x 的图象,可以将函数y=
sin (3x+
)的图象( )
A .向右平移个单位
B .向右平移个单位
C .向左平移
个单位 D .向左平移
个单位
12.设命题p :函数y=sin (2x+)的图象向左平移
个单位长度得到的曲线关于y 轴对称;命题q :函数
y=|2x ﹣1|在[﹣1,+∞)上是增函数.则下列判断错误的是( ) A .p 为假
B .¬q 为真
C .p ∨q 为真
D .p ∧q 为假
二、填空题
13.若函数63e ()()32e
x x b
f x x a =-∈R 为奇函数,则ab =___________. 【命题意图】本题考查函数的奇偶性,意在考查方程思想与计算能力.
14.若正数m 、n 满足mn ﹣m ﹣n=3,则点(m ,0)到直线x ﹣y+n=0的距离最小值是 .
15.如图,是一回形图,其回形通道的宽和OB1的长均为1,回形线与射线OA交于A1,A2,A3,…,若从点O到点A3的回形线为第1圈(长为7),从点A3到点A2的回形线为第2圈,从点A2到点A3的回形线为第3圈…依此类推,第8圈的长为.
16.已知两个单位向量,a b满足:
1
2
a b
∙=-,向量2a b
-与的夹角为,则cosθ=.
17.【盐城中学2018届高三上第一次阶段性考试】已知函数f(x)=lnx-m
x
(m∈R)在区间[1,e]上取得
最小值4,则m=________.
18.若函数f(x)=,则f(7)+f(log36)=.
三、解答题
19.如图,在三棱柱ABC﹣A1B1C1中,底面△ABC是边长为2的等边三角形,D为AB中点.(1)求证:BC1∥平面A1CD;
(2)若四边形BCC
1
B1是正方形,且A1D=,求直线A1D与平面CBB1C1所成角的正弦值.
20.如图,四边形ABCD与A′ABB′都是边长为a的正方形,点E是A′A的中点,AA′⊥平面ABCD.(1)求证:A′C∥平面BDE;
(2)求体积V A′﹣ABCD与V E﹣ABD的比值.
21.已知等差数列{a n}的首项和公差都为2,且a1、a8分别为等比数列{b n}的第一、第四项.(1)求数列{a n}、{b n}的通项公式;
(2)设c n=,求{c n}的前n项和S n.
22.已知x2﹣y2+2xyi=2i,求实数x、y的值.
23.设函数,若对于任意x∈[﹣1,2]都有f(x)<m成立,求实数m的取值范围.
24.已知函数f(x)=,求不等式f(x)<4的解集.
庆元县高中2018-2019学年上学期高三数学期末模拟试卷含答案(参考答案)
一、选择题
1.【答案】B
【解析】解:∵函数是R上的增函数
设g(x)=﹣x2﹣ax﹣5(x≤1),h(x)=(x>1)
由分段函数的性质可知,函数g(x)=﹣x2﹣ax﹣5在(﹣∞,1]单调递增,函数h(x)=在(1,+∞)单调递增,且g(1)≤h(1)
∴
∴
解可得,﹣3≤a≤﹣2
故选B
2.【答案】C
【解析】解:集合P={x|﹣1<x<b,b∈N},Q={x|x2﹣3x<0,x∈Z}={1,2},P∩Q≠∅,
可得b的最小值为:2.
故选:C.
【点评】本题考查集合的基本运算,交集的意义,是基础题.
3.【答案】A
【解析】解:∵S=|x|x<﹣1或x>5},T={x|a<x<a+8},且S∪T=R,
∴,解得:﹣3<a<﹣1.
故选:A.
4.【答案】D
【解析】
试题分析:分段间隔为5030
1500
=,故选D. 考点:系统抽样 5. 【答案】C
【解析】解:根据几何体的三视图,得; 该几何体是一半圆台中间被挖掉一半圆柱, 其表面积为
S=[×(2+8)×4﹣2×4]+[×π•(42﹣12)+×(4π×﹣π×)+×8π]
=12+24π. 故选:C .
【点评】本题考查了空间几何体三视图的应用问题,也考查了空间想象能力与计算能力的应用问题,是基础题目.
6. 【答案】C
【解析】当{2,1,0,1,2,3}x ∈--时,||3{3,2,1,0}y x =-∈---,所以A B ={2,1,0}--,故选C .
7. 【答案】A 【解析】
试题分析:()()f x f x -=-所以函数为奇函数,且为增函数.B 为偶函数,C 定义域与()f x 不相同,D 为非奇非偶函数,故选A.
考点:函数的单调性与奇偶性. 8. 【答案】C 【解析】解:∵a=2
,b=6,A=30°,
∴由正弦定理可得:sinB==
=
,
∵B ∈(0°,180°), ∴B=120°或60°. 故选:C .
9. 【答案】B 【解析】
考点:三角函数()sin()f x A x ωϕ=+的图象与性质. 10.【答案】B
【解析】解:设△AF 1F 2的内切圆半径为r ,则
S △IAF1=|AF 1|r ,S △IAF2=|AF 2|r ,S △IF1F2=|F 1F 2|r ,
∵
,
∴|AF 1|r=2
×|F 1F 2|r ﹣|AF 2|r ,
整理,得|AF
1|+|AF 2|=2|F 1F 2|.∴a=2,
∴椭圆的离心率e===
.
故选:B .
11.【答案】A
【解析】解:由于函数y=sin (3x+)=sin[3(x+)]的图象向右平移
个单位,
即可得到y=sin[3(x+
﹣
)]=
sin3x 的图象,
故选:A .
【点评】本题主要考查函数y=Asin (ωx+∅)的图象平移变换,属于中档题.
12.【答案】C
【解析】解:函数y=sin (2x+)的图象向左平移个单位长度得到y=sin (2x+)的图象,
当x=0时,y=sin =,不是最值,故函数图象不关于y 轴对称,
故命题p 为假命题;
函数y=|2x
﹣1|在[﹣1,0]上是减函数,在[0,+∞)上是增函数.
故命题q 为假命题; 则¬q 为真命题; p ∨q 为假命题; p ∧q 为假命题, 故只有C 判断错误, 故选:C
二、填空题
13.【答案】2016
【解析】因为函数()f x 为奇函数且x ∈R ,则由(0)0f =,得0063e 032e
b
a -=,整理,得2016a
b =.
14.【答案】
.
【解析】解:点(m ,0)到直线x ﹣y+n=0的距离为d=,
∵mn ﹣m ﹣n=3,
∴(m ﹣1)(n ﹣1)=4,(m ﹣1>0,n ﹣1>0),
∴(m ﹣1)+(n ﹣1)≥2,
∴m+n ≥6,
则d=≥3
.
故答案为:
.
【点评】本题考查了的到直线的距离公式,考查了利用基本不等式求最值,是基础题.
15.【答案】 63 .
【解析】解:∵第一圈长为:1+1+2+2+1=7 第二圈长为:2+3+4+4+2=15
第三圈长为:3+5+6+6+3=23 …
第n 圈长为:n+(2n ﹣1)+2n+2n+n=8n ﹣1 故n=8时,第8圈的长为63, 故答案为:63.
【点评】本题主要考查了归纳推理,解答的一般步骤是:先通过观察第1,2,3,…圈的长的情况发现某些相同性质,再从相同性质中推出一个明确表达的一般性结论,最后将一般性结论再用于特殊情形.
16.【答案】7
-. 【解析】
考点:向量的夹角.
【名师点睛】平面向量数量积的类型及求法 (1)
求平面向量的数量积有三种方法:一是定义cos a b a b θ⋅=;二是坐标运算公式1212a b x x y y ⋅=+;
三是利用数量积的几何意义.
(2)求较复杂的平面向量的数量积的运算时,可先利用平面向量数量积的运算律或相减公式进行化简 17.【答案】-3e 【解析】f ′(x )=1x +2m x =2
x m x +,令f ′(x )=0,则x =-m ,且当x<-m 时,f ′(x )<0,f (x )单调递减,
当x>-m 时,f ′(x )>0,f (x )单调递增.若-m ≤1,即m ≥-1时,f (x )min =f (1)=-m ≤1,不可能等于4;
若1<-m ≤e ,即-e ≤m<-1时,f (x )
min =f (-m )=ln (-m )+1,令ln (-m )+1=4,得m =-e 3(-e ,-
1);若-m>e ,即m<-e 时,f (x )min =f (e )=1-m e ,令1-m
e
=4,得m =-3e ,符合题意.综上所述,m
=-3e.
18.【答案】 5 .
【解析】解:∵f (x )=,
∴f (7)=log 39=2,
f (lo
g 36)=+1=
,
∴f (7)+f (log 36)=2+3=5.
故答案为:5.
三、解答题
19.【答案】
【解析】证明:(1)连AC1,设AC1与A1C相交于点O,连DO,则O为AC1中点,
∵D为AB的中点,
∴DO∥BC1,
∵BC1⊄平面A1CD,DO⊂平面A1CD,
∴BC1∥平面A1CD.
解:∵底面△ABC是边长为2等边三角形,D为AB的中点,
四边形BCC
B1是正方形,且A1D=,
1
∴CD⊥AB,CD==,AD=1,
∴AD2+AA12=A1D2,∴AA1⊥AB,
∵,∴,
∴CD⊥DA1,又DA1∩AB=D,
∴CD⊥平面ABB1A1,∵BB1⊂平面ABB1A1,∴BB1⊥CD,
∵矩形BCC1B1,∴BB1⊥BC,
∵BC∩CD=C∴BB1⊥平面ABC,
∵底面△ABC是等边三角形,
∴三棱柱ABC﹣A1B1C1是正三棱柱.
以C为原点,CB为x轴,CC1为y轴,过C作平面CBB1C1的垂线为z轴,建立空间直角坐标系,
B(2,0,0),A(1,0,),D(,0,),A1(1,2,),
=(,﹣2,﹣),平面CBB1C1的法向量=(0,0,1),
设直线A1D与平面CBB1C1所成角为θ,
则sinθ===.
∴直线A1D与平面CBB1C1所成角的正弦值为.
20.【答案】
【解析】(1)证明:设BD交AC于M,连接ME.
∵ABCD为正方形,∴M为AC中点,
又∵E为A′A的中点,
∴ME为△A′AC的中位线,
∴ME∥A′C.
又∵ME⊂平面BDE,A′C⊄平面BDE,
∴A′C∥平面BDE.
(2)解:∵V E﹣ABD====V A′﹣ABCD.∴V A′﹣ABCD:V E﹣ABD=4:1.
21.【答案】
【解析】解:(1)由等差数列通项公式可知:a n=2+(n﹣1)2=2n,
当n=1时,2b1=a1=2,b4=a8=16, (3)
设等比数列{b n}的公比为q,则, (4)
∴q=2, (5)
∴ (6)
(2)由(1)可知:log2b n+1=n (7)
∴ (9)
∴,
∴{c n}的前n项和S n,S n=. (12)
【点评】本题考查等比数列及等差数列通项公式,等比数列性质,考查“裂项法”求数列的前n项和,考查计算能力,属于中档题.
22.【答案】
【解析】解:由复数相等的条件,得﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣(4分)
解得或﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣(8分)
【点评】本题考查复数相等的条件,以及方程思想,属于基础题.
23.【答案】
【解析】解:∵,
∴f′(x)=3x2﹣x﹣2=(3x+2)(x﹣1),
∴当x∈[﹣1,﹣),(1,2]时,f′(x)>0;
当x∈(﹣,1)时,f′(x)<0;
∴f(x)在[﹣1,﹣),(1,2]上单调递增,在(﹣,1)上单调递减;
且f(﹣)=﹣﹣×+2×+5=5+,f(2)=8﹣×4﹣2×2+5=7;
故f max(x)=f(2)=7;
故对于任意x∈[﹣1,2]都有f(x)<m成立可化为7<m;
故实数m的取值范围为(7,+∞).
【点评】本题考查了导数的综合应用及恒成立问题的处理方法,属于中档题.
24.【答案】
【解析】解:函数f(x)=,不等式f(x)<4,
当x≥﹣1时,2x+4<4,解得﹣1≤x<0;
当x<﹣1时,﹣x+1<4解得﹣3<x<﹣1.
综上x∈(﹣3,0).
不等式的解集为:(﹣3,0).。