新教材选择性必修一-2.2.1直线的倾斜角与斜率

2.2.1 直线的倾斜角与斜率
【学习目标】
1.理解直线的倾斜角和斜率的概念.(数学抽象)
2.理解用代数的方法探索直线斜率的过程.(逻辑推理)
3.掌握过两点的直线斜率的计算公式并能解决相关的实际问题.(数学运算)
4.初步理解直线的方向向量和法向量的概念,并能找出其与直线斜率和倾斜角的内在联系.(直观想象、逻辑推理)
【学习重点】
同目标2,3
【学习过程】
三峡大坝是当今世界上最大的水利枢纽工程,大坝拥有三峡展览馆、坛子岭园区、185园区、近坝园区、截流纪念园等五个园区.俯瞰长江,泄洪观景区和185米水位线的观景区则是波澜壮阔、雷霆万钧.浩大工程展现了国人的智慧和匠心.大坝上不同位置有的坡度“陡峭”,有的“平缓”,我们平常说的词语“陡峭”和“平缓”在数学中是如何刻画的呢?
阅读课本P71-P77,思考回答以下问题并完成自我检测：
问题1：直线的倾斜角及其范围是什么？
问题2：直线的斜率是什么？如何公式求直线的斜率？
问题3：直线的方向向量和直线的法向量是如何定义的？1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)平面直角坐标系中的每一条直线都有唯一的倾斜角.()
(2)直线x=0的倾斜角为90度．()
(3)任何一条直线都有倾斜角,都存在斜率.()
(4)任何一条直线有且只有一个斜率和它对应.()
(5)一个倾斜角α不能确定一条直线.()
(6)两条直线的倾斜角相等,它们的斜率也相等.()
2．下面选项中,两点确定的直线的斜率不存在的是()
A.(4,2)与(-4,1)
B.(0,3)与(3,0)
C.(3,-1)与(2,-1)
D.(-2,2)与(-2,5)
3．已知直线l:y=3x+1,你能给出这条直线的方向向量a和法向量v吗?该直线的斜率是多少?
┃┃典例剖析__■
类型1直线的倾斜角
【例1】(1)直线x=-1的倾斜角为()
A.135°
B.90°
C.45°
D.0°
(2)下列说法正确的是()
A.一条直线和x轴的正方向所成的角,叫做这条直线的倾斜角
B.直线的倾斜角α在第一或第二象限
C.和x轴平行的直线,它的倾斜角为0°
D.不是每一条直线都有倾斜角
(3)已知直线l经过第二、四象限,则直线l的倾斜角α的取值范围是()
A.[0°,90°)
B.[90°,180°)
C.(90°,180°)
D.(0°,180°)
小结：反思感悟求直线的倾斜角的方法及注意点。

变式训练1：(1)已知直线l的倾斜角为θ-25°,则角θ的取值范围为()
A.[25°,155°)
B.[-25°,155°)
C.[0°,180°)
D.[25°,205°)
(2)已知直线l向上方向与y轴正向所成的角为30°,则直线l的倾斜角为.
类型2直线的斜率和倾斜角的关系
【例2】例2已知直线l过点M(m+1,m-1),N(2m,1).
(1)当m为何值时,直线l的斜率是1?
(2)当m为何值时,直线l的倾斜角为90°?
小结：反思感悟通过本例的求解,一定要熟练地掌握直线的斜率与倾斜角的对应关系,若直线斜率存在,则除了斜率公式之外还可以应用k=tan α(其中α为直线的倾斜角,k为直线的斜率),斜率为零和斜率不存在时对应的情况要引起重视.
变式训练2：直线y=- x+9的斜率为,一个方向向量为,倾斜角为,一个法向量为.
【例3】已知直线过点A(-1,-2),B(3,2),试求:直线的一个方向向量a,法向量v,斜率k与倾斜角θ.
变式训练3：直线l的倾斜角为,则它的一个方向向量可以是（只写一个）检测达标
1．过点P(-2,m)和点Q(m,4)的直线的斜率为1,则m的值为()
A.1
B.4
C.1或3
D.1或4
2．(多选)若两直线l1,l2的倾斜角分别为α1,α2,则下列四个命题是假命题的有()
A.若α1<α2,则两直线的斜率k1<k2
B.若α1=α2,则两直线的斜率k1=k2
C.若两直线的斜率k1<k2,则α1<α2
D.若两直线的斜率k1=k2,则α1=α2
3．已知A(-1,-3),B(0,-1),C(1,2),D(3,5),则A,B,C共线吗？
4.已知直线l经过点A(-2,0)与B(-5,3)，求直线的一个方向向量、斜率与倾斜角。

5.已知实数x,y满足y=-2x+8,且2≤x≤3,求
x
y
的最大值和最小值.。