高中数学 第一章 单元质量测评(一)(含解析)新人教A版选修2-2-新人教A版高二选修2-2数学试题

第一章 单元质量测评(一)
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．满分150分，考试时间120分钟．
第Ⅰ卷 (选择题，共60分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)
1．若物体的运动规律是s ＝f (t )，则物体在时刻t 0的瞬时速度可以表示为( ) (1)lim
Δt →0
f t 0＋Δt －f t 0
Δt ；
(2)lim
Δt →0
f t 0－f t 0＋Δt
Δt
；
(3)f ′(t 0)； (4)f ′(t )．
A ．(1)(2)
B ．(1)(3)
C ．(2)(3)
D ．(2)(4) 答案 B
解析 根据瞬时速度的概念及导数的意义易知(1)(3)正确，故选B.
2．以正弦曲线y ＝sin x 上一点P 为切点的切线为直线l ，则直线l 的倾斜角的X 围是( )
A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫3π4，πB ．[0，π)
C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4
，3π4 D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4∪⎝ ⎛⎦⎥⎤π2，3π4 答案 A
解析 y ′＝cos x ，∵cos x ∈[－1,1]，∴切线的斜率X 围是[－1,1]，∴倾斜角的X 围
是⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4∪⎣⎢⎡⎭
⎪⎫3π4，π.
3．下列积分等于2的是( )
A.⎠⎛0
22x d x B.⎠⎛0
2⎝ ⎛⎭⎪⎫12
x ＋1d x
C.⎠⎛0
21d x D.⎠
⎛1
2
12x d x 答案 C
解析 ⎠⎛0
22x d x ＝x 2| 2
0＝4；
⎠⎛02
⎝ ⎛⎭⎪⎫12
x ＋1d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫14x 2＋x |
20＝3； ⎠⎛0
2
1d x ＝x |
20＝2； ⎠
⎛1
212x d x ＝12ln x | 2
1＝12ln 2.
4．若函数f (x )＝13x 3－f ′(1)·x 2
－x ，则f ′(3)的值为( )
A ．0
B ．－1
C ．8
D ．－8 答案 C
解析 f ′(x )＝x 2
－2f ′(1)·x －1， 则f ′(1)＝12
－2f ′(1)·1－1，
得f ′(1)＝0，∴f (x )＝13x 3－x ，f ′(x )＝x 2
－1，
∴f ′(3)＝8.
5．函数y ＝x 2e x 的单调递减区间是( ) A ．(－1,2) B ．(－∞，－1)与(1，＋∞) C ．(－∞，－2)与(0，＋∞) D．(－2,0) 答案 D
解析 y ′＝(x 2e x )′＝2x e x ＋x 2e x ＝x e x (x ＋2)．∵e x >0，∴x e x
(x ＋2)<0，即－2<x <0，故函数y ＝x 2e x
的单调递减区间是(－2,0)．
6．已知函数y ＝f (x )，其导函数y ＝f ′(x )的图象如图所示，则y ＝f (x )( ) A ．在(－∞，0)上为减函数 B ．在x ＝0处取极小值 C ．在(4，＋∞)上为减函数 D ．在x ＝2处取极大值 答案 C
解析 在(－∞，0)上，f ′(x )>0，故f (x )在(－∞，0)上为增函数，A 错；在x ＝0处，导数由正变负，f (x )由增变减，故在x ＝0处取极大值，B 错；在(4，＋∞)上，f ′(x )<0，f (x )为减函数，C 对；在x ＝2处取极小值，D 错．
7．方程2x 3
－6x 2
＋7＝0在(0,2)内根的个数为( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 答案 B
解析 设f (x )＝2x 3
－6x 2
＋7， 则f ′(x )＝6x 2
－12x ＝6x (x －2)． ∵x ∈(0,2)，∴f ′(x )<0.
∴f (x )在(0,2)上递减，又f (0)＝7，f (2)＝－1， ∴f (x )在(0,2)上有且只有一个零点，
即方程2x 3－6x 2
＋7＝0在(0,2)内只有一个根．
8．设a ∈R ，若函数y ＝e x
＋2ax 有大于0的极值点，则( ) A ．a ＜－1e B ．a ＞－1
e
C ．a ＜－12
D ．a ＞－1
2
答案 C
解析 由y ＝e x
＋2ax ，得y ′＝e x
＋2a ，由题意，得e x
＋2a ＝0有正数解．当x ＞0时，e x
＝－2a ＞1，即a ＜－12
.
9．已知函数f (x )＝14x 2
＋cos x ，f ′(x )是函数f (x )的导函数，则f ′(x )的图象大致是
( )
答案 A
解析 因为f (x )＝14x 2＋cos x ，所以f ′(x )＝1
2x －sin x .因为f ′(x )为奇函数，所以排
除B 、D ；设y ＝12x －sin x ，则y ′＝12－cos x ，所以当0＜x ＜π
3时，y ′＜0，所以函数f ′(x )
＝12x －sin x 在⎝
⎛⎭⎪⎫0，π3上单调递减，排除C.故选A.
10．已知函数f (x )在定义域R 内可导，若f (x )＝f (2－x )，且当x ∈(－∞，1)时，(x
－1)f ′(x )<0，设a ＝f (0)，b ＝f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫12，c ＝f (3)，则a 、b 、c 的大小关系为( )
A. a <b <c
B. c <a <b
C. c <b <a
D. b <c <a 答案 B
解析 由f (x )＝f (2－x )知函数f (x )图象关于x ＝1对称． 当x <1时，由(x －1)f ′(x )<0知f ′(x )>0，
即x <1时，f (x )单调递增．
a ＝f (0)，
b ＝f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫
12
，c ＝f (3)＝f (－1)，
∵－1<0<1
2
，∴c <a <b ，故选B.
11．已知函数f (x )＝12x 4－2x 3
＋3m ，x ∈R ，若f (x )＋9≥0恒成立，则实数m 的取值X
围是( )
A ．m ≥32
B ．m >32
C ．m ≤32
D ．m <32
答案 A
解析 ∵f (x )＝12x 4－2x 3
＋3m ，
∴f ′(x )＝2x 3
－6x 2
.
令f ′(x )＝0，得x ＝0或x ＝3，经检验知x ＝3是函数的一个最小值点，∴函数的最小值为f (3)＝3m －272，不等式f (x )＋9≥0恒成立，即f (x )≥－9恒成立，∴3m －27
2≥－9，解
得m ≥3
2
.故选A.
12．把一个周长为12 cm 的长方形围成一个圆柱，当圆柱的体积最大时，该圆柱底面周长与高的比为( )
A ．1∶2
B ．1∶π C．2∶1 D ．2∶π 答案 C
解析 设圆柱的高为x ，底面半径为r ，则r ＝6－x 2π，圆柱体积V ＝π⎝ ⎛⎭⎪⎫6－x 2π2x ＝14π(x 3
－12x 2
＋36x )(0<x <6)，V ′＝
3
4π
(x －2)(x －6)． 当x ＝2时，V 最大．此时底面周长为6－x ＝4,4∶2＝2∶1，故选C. 第Ⅱ卷 (非选择题，共90分)
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分) 13.⎠
⎛1
2
x －1
x 2d x ＝________. 答案 ln 2－1
2
解
析
14．已知函数f(x)＝e x
，x ∈R .若直线y ＝kx ＋1与f (x )的反函数的图象相切，则实数k 的值为________．
答案
1e
2 解析 设f (x )的反函数为g (x )，则g (x )＝ln x ．设直线y ＝kx ＋1与g (x )＝ln x 的图象在点(x 0，y 0)处相切，则有y 0＝kx 0＋1＝ln x 0，k ＝g ′(x 0)＝1x 0，解得x 0＝e 2
，k ＝1e
2.
15．若函数f (x )＝4x
x 2
＋1
在区间(m,2m ＋1)上单调递增，则实数m 的取值X 围是__________．
答案 (－1,0] 解析 f ′(x )＝4－4x
2
x 2
＋1
2
，令f ′(x )>0，得－1<x <1，即函数f (x )的增区间为(－1,1)．
又f (x )在(m,2m ＋1)上单调递增，
所以⎩⎪⎨⎪
⎧
m ≥－1，m <2m ＋1，
2m ＋1≤1，
解得－1<m ≤0.
16．已知a <0，函数f (x )＝ax 3
＋12a
ln x ，且f ′(1)的最大值为－12，则实数a 的值为
________．
答案 －2
解析 f ′(x )＝3ax 2
＋12ax ，则f ′(1)＝3a ＋12a
.
∵a <0， ∴f ′(1)＝－⎣
⎢
⎡⎦⎥⎤－3a ＋12－a ≤－2
－3a ×12
－a
＝－12.
当－3a ＝12
－a ，即a ＝－2时，取“＝”．
三、解答题(本大题共6小题，共70分)
17．(本小题满分10分)已知函数f (x )＝x 3
－2ax 2
＋bx ＋c ，
(1)当c ＝0时，f (x )在点P (1,3)处的切线平行于直线y ＝x ＋2，求a ，b 的值； (2)若f (x )在点A (－1,8)，B (3，－24)处有极值，求f (x )的表达式． 解 (1)当c ＝0时，f (x )＝x 3
－2ax 2
＋bx .
所以f ′(x )＝3x 2
－4ax ＋b .依题意可得f (1)＝3，f ′(1)＝1，即⎩⎪⎨
⎪⎧
1－2a ＋b ＝3，3－4a ＋b ＝1，
解
得⎩
⎪⎨
⎪⎧
a ＝2，
b ＝6.
(2)f (x )＝x 3
－2ax 2
＋bx ＋c ， 所以f ′(x )＝3x 2
－4ax ＋b .
由题意知－1,3是方程3x 2
－4ax ＋b ＝0的两根， 所以⎩⎪⎨⎪⎧
－1＋3＝4a
3，－1×3＝b
3
，解得a ＝3
2
，b ＝－9，
由f (－1)＝－1－2a －b ＋c ＝8，a ＝3
2，b ＝－9，
可得c ＝3，所以f (x )＝x 3－3x 2
－9x ＋3. 检验知，合题意．
18．(本小题满分12分)求曲线y ＝－x 3
＋x 2
＋2x 与x 轴所围成的图形的面积． 解 首先求出函数y ＝－x 3
＋x 2
＋2x 的零点：x 1＝－1，x 2＝0，x 3＝2.又易判断出－1<x <0时，图形在x 轴下方，0<x <2时，图形在x 轴上方，
所以所求面积为S ＝－⎠
⎛0－1(－x 3
＋x 2
＋2x)d x ＋
⎠
⎛0
2(－x 3＋x 2
＋2x)d x ＝3712.
证明 设函数f (x )＝sin x －x ＋x 3
6
，
解 (1)函数的定义域为(0，＋∞)，因为f (x )＝12ax 2
＋2x －ln x ，当a ＝0时，f (x )＝2x
－ln x ，则f ′(x )＝2－1
x
，当x 变化时，f′(x )，f(x )的变化情况如表
所以当x ＝1
2时，f (x )的极小值为1＋ln 2，函数无极大值．
(2)由已知，得
f (x )＝1
2
ax 2＋2x －ln x ，且x ＞0，
则f′(x )＝ax ＋2－1x ＝ax 2
＋2x －1
x
，
若a ＝0，由f ′(x )＞0得x ＞1
2
，显然不合题意，
若a ≠0因为函数f(x)在区间⎣⎢⎡⎦
⎥⎤13，2上是增函数， 所以f′(x )≥0对x∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤13，2恒成立，即不等式ax 2
＋2x －1≥0对x ∈⎣⎢⎡⎦
⎥⎤13，2恒成立，
21．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝x 3＋32(a －1)x 2
－3ax ＋1，x ∈R .
(1)讨论函数f (x )的单调区间；
(2)当a ＝3时，若函数f (x )在区间[m,2]上的最大值为28，求m 的取值X 围． 解 (1)由f (x )＝x 3＋32(a －1)x 2
－3ax ＋1，得：f ′(x )＝3x 2＋3(a －1)x －3a ＝3(x －1)(x
＋a )．
令f ′(x )＝0，得x 1＝1，x 2＝－a .
①当－a ＝1，即a ＝－1时，f ′(x )＝3(x －1)2
≥0，
f (x )在(－∞，＋∞)上单调递增；
②当－a ＜1，即a ＞－1时，
当x ＜－a 或x ＞1时，f ′(x )＞0，f (x )在(－∞，－a )，(1，＋∞)内单调递增． 当－a ＜x ＜1时，f ′(x )＜0，
f (x )在(－a,1)内单调递减；
③当－a ＞1，即a ＜－1时， 当x ＜1或x ＞－a 时，f ′(x )＞0，
f (x )在(－∞，1)，(－a ，＋∞)内单调递增．
当1＜x ＜－a 时f ′(x )＜0，
f (x )在(1，－a )内单调递减．
综上，当a ＜－1时，f (x )在(－∞，1)，(－a ，＋∞)内单调递增，f (x )在(1，－a )内单调递减；
当a ＝－1时，f (x )在(－∞，＋∞)上单调递增；
当a ＞－1时，f (x )在(－∞，－a )，(1，＋∞)内单调递增，f (x )在(－a,1)内单调递减． (2)当a ＝3时，f (x )＝x 3
＋3x 2
－9x ＋1，x ∈[m,2]，f ′(x )＝3x 2
＋6x －9＝3(x ＋3)(x －1)，
令f ′(x )＝0，得x 1＝1，x 2＝－3.
当x 变化时，f ′(x )，f (x )变化情况列表如下：
极大值极小值[m,2]内必须含有－3，即m 的取值X 围是(－∞，－3]．
22．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝ln x －f ′(1)·x ＋ln e 2，g (x )＝3x 2－2
x －f (x )．
(1)求f (x )的单调区间；
(2)设函数h (x )＝x 2
－x ＋m ，若存在x 1∈(0,1]，对任意的x 2∈[1,2]，总有g (x 1)≥h (x 2)成立，某某数m 的取值X 围．
解 (1)∵f ′(x )＝1
x
－f ′(1)，∴f ′(1)＝1－f ′(1)，
∴f ′(1)＝1
2
，
∴f (x )＝ln x －12x ＋ln e
2(x ＞0)，
f ′(x )＝1x －12＝2－x
2x
.
∴当0＜x ＜2时，f ′(x )＞0；当x ＞2时，f ′(x )＜0. ∴f (x )的单调增区间为(0,2)，单调减区间为(2，＋∞)． (2)∵g (x )＝2x －2x －ln x －ln e
2(x ＞0)，
∴g ′(x )＝2－1x ＋2x 2＝2x 2
－x ＋2
x
2
. 又2x 2
－x ＋2＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －142＋158
＞0，
∴在(0,1]上g ′(x )＞0，即函数g (x )在(0,1]上单调递增，g (x )在(0,1]上的最大值为
g (1)＝ln 2－1.
而“存在x 1∈(0,1]，对任意的x 2∈[1,2]，总有g (x 1)≥h (x 2)成立”等价于“g (x )在(0,1]
上的最大值不小于h(x)在[1,2]上的最大值”．∵h(x)在[1,2]上的最大值为h(2)＝2＋m.
∴ln 2－1≥2＋m，
∴m≤ln 2－3.
∴实数m的取值X围为(－∞，ln 2－3]．。