2021年高考数学模拟训练卷 (48)(含答案解析)

2021年高考数学模拟训练卷 (48)
一、单项选择题（本大题共12小题，共60.0分） 1. 若i 是虚数单位，则3i
i−3=( )
A. 310+9
10i
B. 310−9
10i
C. 910+3
10i
D. 910−3
10i
2. 设集合A ={x|x 2−4x +3=0}，B ={y|y =−x 2+2x +2,x ∈R}，全集U =R ，则A ∩(∁U B)=
( )
A. ⌀
B. [1,3]
C. {3}
D. {1,3}
3. 如图是一个算法的程序框图，当输入值x 为10时，则其输出的结果是( )
A. 1
2
B. 2
C. 1
4
D. 4
4. 已知变量x ，y 满足约束条件{y ≤2
x +y ≥4x −y ≤1
则z =3x +y 的最小值为( )
A. 11
B. 12
C. 8
D. 3
5. 将函数y =sin2x 的图像向右平移φ(φ>0)个单位长度，若所得图像过点(π3,1
2)，则φ的最小值为
( )
A. π
12
B. π
6
C. π
4
D. π
3
6. 如图，网络纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某四棱锥的三视
图，则该几何体的体积为( )
A. 2
B. 8
3 C. 6 D. 8
7. 从1，2，…，10这十个数中任取三个不同的数，则至少有一个奇数和一个偶数的概率为( )
A. 5
6
B. 5
12
C. 5
18
D. 5
36
8. 若双曲线C ：
x 2m
2−
y 2n 2
=1的离心率为2，则双曲线的渐近线方程是( )
A. 2x ±y =0
B. x ±2y =0
C. √3x ±y =0
D. x ±√3y =0
9. 函数f(x)=e ln|x|−2sinx 的图象大致是( )
A.
B.
C.
D.
10. 已知函数y =
sinx x
在(0,π)上是( )
A. 增函数
B. 减函数
C. 既是增函数又是偶函数
D. 既是减函数又是偶函数
11. 已知抛物线y 2=2px 的焦点F 到其准线的距离是6，抛物线的准线与x 轴的交点为K ，A 在抛物
线上，且|AK|=√2|AF|，则△AFK 的面积为( )
A. 18
B. 16
C. 9
D. 6
12. 设长方体的对角线长是4，过每一个顶点有两条棱与对角线的夹角都是60∘，则此长方体的体积
是( )
A. √39
B. 8√2
C. 8√3
D. 16√3
二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
13. 若k 为任意实数，直线(k +1)x −ky −1=0被圆(x −1)2+(y −1)2=4截得的弦长为________． 14. 若n =∫(2
13x 2−2)dx ，则(x −√x )n 展开式中含x 2项的系数为______ ．
15. 在平行四边形ABCD 中，AB =3，AD =1，∠BAD =60°，若CE ⃗⃗⃗⃗⃗ =2ED ⃗⃗⃗⃗⃗ ，则AE ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BE ⃗⃗⃗⃗⃗ 的值为______．
16.如图，△ABC中，∠ACB为钝角，AC=10，BC=6，过点B向∠ACB的角平分线引垂线交于点P，
岩AP=6√2，则△ABP的面积为______．
三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）
17.已知数列a n的前n项和S n=3n2−n
，n∈N+．
2
(1)求数列{a n}的通项公式；
(a n+2)⋅2n，n∈N+，试求{b n}的前n项和公式T n．
(2)若数列b n满足：b n=1
3
18.已知三棱锥P−ABC(如图1)的展开图如图2，其中四边形ABCD为边长等于√2的正方形，ΔABE
和ΔBCF均为正三角形．
(1)证明：平面PAC⊥平面ABC;
(2)若M是PC的中点，点N在线段PA上，且满足PN=2NA，求直线MN与平面PAB所成
角的正弦值．
19.已知A点坐标为(−2√3,0)，B点坐标为(2√3,0)，且动点M到A点
的距离是8，线段MB的垂直平分线l交线段MA于点P．
(Ⅰ)求动点P的轨迹C方程．
(Ⅱ)已知A(2,−1)，过原点且斜率为k(k>0)的直线l与曲线C交
于P，Q两点，求△APQ面积的最大值．
20.过去五年，我国的扶贫工作进入了“精准扶贫”阶段．目前“精准扶贫”覆盖了全部贫困人口，
东部帮西部，全国一盘棋的扶贫格局逐渐形成．到2020年底全国830个贫困县都将脱贫摘帽，最后4335万贫困人口将全部脱贫，这将超过全球其他国家过去30年脱贫人口总和．2020年是我国打贏脱贫攻坚战收官之年，越是到关键时刻，更应该强调“精准”.为落实“精准扶贫”政策，某扶贫小组，为一“对点帮扶”农户引种了一种新的经济农作物，并指导该农户于2020年初开始种植．已知该经济农作物每年每亩的种植成本为1000元，根据前期各方面调查发现，该经济农作物的市场价格和亩产量均具有随机性，且两者互不影响，其具体情况如下表：
(1)设2020年该农户种植该经济农作物一亩的纯收入为X元，求X的分布列；
(2)2020年全国脱贫标准约为人均纯收入4000元．假设该农户是一个四口之家，且该农户在2020
年的家庭所有支出与其他收入正好相抵，能否凭这一亩经济农作物的纯收入，预测该农户在2020年底可以脱贫？并说明理由．
21.已知函数f(x)=ax2−1−2lnx(a∈R)．
(1)当a=1时，求证：f(x)≥0；
(2)若函数f(x)有两个零点，求实数a的取值范围．
22. 在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为{x =−2+1
2
t
y =√3
2t
(t 为参数)，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，圆C 的极坐标方程为ρ=√10． (1)若l 与C 相交于A ，B 两点P(−2,0)，求|PA|⋅|PB|；
(2)圆M 的圆心在极轴上，且圆M 经过极点，若l 被圆M 截得的弦长为1，求圆M 的半径．
23. (Ⅰ)若不等式|x −m|<1成立的充分不必要条件为1
3<x <1
2求实数m 的取值范围；
(Ⅱ)关于x 的不等式|x −3|+|x −5|<a 的解集不是空集，求实数a 的取值范围．
【答案与解析】1.答案：B
解析：
本题考查复数的四则运算，是基础题．
分子分母同时乘以i+3化简即可求解．
解：3i
i−3=3i(i+3)
(i−3)(i+3)
=−3+9i
−10
=3
10
−9
10
i.
故选：B．
2.答案：A
解析：
化简集合A、B，根据补集与交集的定义计算即可．
本题考查了集合的化简与运算问题，是基础题．
解：集合A={x|x2−4x+3=0}={1,3}，
B={y|y=−x2+2x+2,x∈R}={y|y=−(x−1)2+3}={y|y≤3}，全集U=R，∴∁U B={y|y>3}，
∴A∩(∁U B)=⌀．
故选：A．
3.答案：D
解析：
本题考查了程序的运行与应用问题，是基础题．
模拟程序的运行过程，即可得出程序运行后输出的y值．
解：模拟程序的运行过程，如下；
输入x=10，x>0，x=10−3=7，
x>0，x=7−3=4，
x>0，x=4−3=1，
x >0，x =1−3=−2， x ≤0，y =(1
2)−2=4， 输出y =4． 故选：D ．
4.答案：C
解析：解：由约束条件{y ≤2
x +y ≥4x −y ≤1作出可行域如图，
联立{y =2x +y =4，解得A(2,2)，
化目标函数z =3x +y 为y =−3x +z ，
由图可知，当直线y =−3x +z 过A 时，直线在y 轴上的截距
最小，z 有最小值为z =3×2+2=8． 故选：C ．
作出不等式组对应的平面区域，利用绵竹市的几何意义，通过数形结合即可的得到结论． 本题主要考查线性规划的应用，利用z 的几何意义，通过数形结合是解决本题的关键．
5.答案：C
解析：
本题主要考查了函数y =Asin(ωx +φ)的图象变换规律，属于基础题．
根据三角函数平移变换的性质求解右平移φ(φ>0)个单位长度的解析式，将点(π3,1
2)带入求解即可． 解：将函数y =sin2x 的图象向右平移φ(φ>0)个单位长度， 可得y =sin2(x − φ)=sin(2x −2φ)， 图象过点(π3,1
2)，
∴sin (2π
3−2φ)=1
2，即2π
3−2φ=π
6+2kπ或5π
6+2kπ，k ∈Z ∵φ>0， ∴φ的最小值为π
4． 故选C ．
6.答案：A
解析：
本题考查几何体的体积、几何体的三视图，考查学生的计算能力，确定直观图的形状是关键.直观图
如图所示，底面为梯形，面积为(1+2)×2
2
=3，四棱锥的高为2，即可求出几何体的体积．
解：直观图为四棱锥F−ABHI，如图所示：
底面为梯形，面积为(1+2)×2
2
=3，四棱锥的高为2，
∴几何体的体积为1
3
×3×2=2．
故选A．
7.答案：A
解析：
本题考查概率的求法，考查对立事件概率计算公式等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．
基本事件总数n=C103=120，至少有一个奇数和一个偶数包含的基本事件个数m=C103−C53−C53= 100，由此能求出至少有一个奇数和一个偶数的概率．
解：从1，2，3，…，10这十个数中任取3个不同的数，
基本事件总数n=C103=120，
至少有一个奇数和一个偶数包含的基本事件个数m=C103−C53−C53=100，
∴至少有一个奇数和一个偶数的概率为P=m
n =100
120
=5
6
．
故选A．
8.答案：C
解析：
本题考查双曲线的方程和性质，考查渐近线方程的求法和离心率公式的运用，考查运算能力，属于基础题.求出双曲线的c，由离心率公式，解方程求得a，再由双曲线的渐近线方程即可得到．
解：∵双曲线x2
m2−y2
n2
=1，
∴c=√m2+n2，∴离心率为2，
∴m2+n2
m2
=4，
解得n2
m2=3，即b
a
=√3，
∴双曲线的渐近线方程为y=±√3x，
即√3x±y=0．
故选C．
9.答案：B
解析：解：当x>0时，f(x)=e ln|x|−2sinx=x−2sinx，f′(x)=1−2cosx，
当x∈(0,π
3
)时，f′(x)<0，函数为减函数，故排除AC；
当x<0时，f(x)=e ln|x|−2sinx=−x−2sinx，
f′(x)=−1−2cosx，
当x∈(−2π
3
,0)时，f′(x)<0，函数为减函数，
当x∈(−4π
3,−2π
3
)时，f′(x)>0，函数为增函数，
故当x=−2π
3时，函数取极大值此时f(x)=2π
3
+√3
故当x=−4π
3时，函数取极小值此时f(x)=4π
3
−√3，故排除D，
故选：B．
由已知中函数f(x)=e ln|x|−2sinx，分类讨论函数的单调性及极值，利用排除法可得答案．本题考查的知识点是函数的图象，利用导数法研究函数的图象和性质，难度中档．。