2020-2021初中数学相交线与平行线图文答案

2020-2021初中数学相交线与平行线图文答案
一、选择题
1．如图，AB CD ∥，BF 平分ABE ∠，且BF DE P ，则ABE ∠与D ∠的关系是（ ）
A ．2ABE D ∠=∠
B ．180ABE D ∠+∠=︒
C ．90ABE
D ∠=∠=︒
D ．3AB
E D ∠=∠
【答案】A
【解析】
【分析】 延长DE 交AB 的延长线于G ，根据两直线平行，内错角相等可得D G ∠=∠，再根据两直线平行，同位角相等可得G ABF ∠=∠，然后根据角平分线的定义解答．
【详解】
证明：如图，延长DE 交AB 的延长线于G ，
//AB CD Q ，
D G ∴∠=∠，
//BF DE Q ，
G ABF ∴∠=∠，
D ABF ∴∠=∠，
BF Q 平分ABE ∠，
22ABE ABF D ∴∠=∠=∠，即2ABE D ∠=∠．
故选：A ．
【点睛】
本题考查了平行线的性质，角平分线的定义，熟记性质并作辅助线是解题的关键．
2．如图，直线a ∥b ，直线c 分别交a ，b 于点A ，C ，∠BAC 的平分线交直线b 于点D ，若∠1=50°，则∠2的度数是( )
A．50°B．70°C．80°D．110°
【答案】C
【解析】
【分析】
根据平行线的性质可得∠BAD=∠1，再根据AD是∠BAC的平分线，进而可得∠BAC的度数，再根据补角定义可得答案．
【详解】
因为a∥b，
所以∠1=∠BAD=50°，
因为AD是∠BAC的平分线，
所以∠BAC=2∠BAD=100°，
所以∠2=180°-∠BAC=180°-100°=80°.
故本题正确答案为C.
【点睛】
本题考查的知识点是平行线的性质，解题关键是掌握两直线平行，内错角相等．
3．如图，能判定EB∥AC的条件是（）
A．∠C＝∠ABE B．∠A＝∠EBD C．∠C＝∠ABC D．∠A＝∠ABE
【答案】D
【解析】
【分析】
在复杂的图形中具有相等关系的两角首先要判断它们是否是同位角或内错角，被判断平行的两直线是否由“三线八角”而产生的被截直线．
【详解】
A、∠C＝∠ABE不能判断出EB∥AC，故A选项不符合题意；
B、∠A＝∠EBD不能判断出EB∥AC，故B选项不符合题意；
C、∠C＝∠ABC只能判断出AB＝AC，不能判断出EB∥AC，故C选项不符合题意；
D、∠A＝∠ABE，根据内错角相等，两直线平行，可以得出EB∥AC，故D选项符合题意．故选：D．
此题考查平行线的性质，正确识别“三线八角”中的同位角、内错角、同旁内角是解题的关键，只有同位角相等、内错角相等、同旁内角互补，才能推出两被截直线平行．
4．如图，下列能判定AB ∥CD 的条件有几个（ ）
（1）12∠=∠ （2）34∠=∠（3）5B ∠=∠ （4）180B BCD ∠+∠=︒．
A ．4
B ．3
C ．2
D ．1
【答案】B
【解析】
【分析】 根据平行线的判定逐一判定即可.
【详解】
因为12∠=∠，所有AD ∥BC ，故（1）错误.
因为34∠=∠，所以AB ∥CD ，故（2）正确.
因为5B ∠=∠，所以AB ∥CD ，故（3）正确.
因为180B BCD ∠+∠=︒，所以AB ∥CD ，故（4）正确.
所以共有3个正确条件.
故选B
【点睛】
本题考查的是平行线的判定，找准两个角是哪两条直线被哪条直线所截形成的同位角、同旁内角、内错角是关键.
5．如图，点,D E 分别在BAC ∠的边,AB AC 上，点F 在BAC ∠的内部，若
1,250F ︒∠=∠∠=，则A ∠的度数是（ ）
A ．50︒
B ．40︒
C ．45︒
D ．130︒
【答案】A
【解析】
【分析】 利用平行线定理即可解答.
解：根据∠1=∠F，
可得AB//EF，
故∠2=∠A=50°.
故选A.
【点睛】
本题考查平行线定理：内错角相等，两直线平行.
6．如图，已知正五边形ABCDE，AF∥CD，交DB的延长线于点F，则∠DFA的度数是（）
A．28°B．30°C．38°D．36°
【答案】D
【解析】
【分析】
根据两直线平行，内错角相等，得到∠DFA=∠CDB，根据三角形的内角和求出∠CDB的度数从而得到∠DFA的度数.
【详解】
解：∠C=(52)180
108
5
︒
-⨯
=，且CD=CB，
∴∠CDB=∠CBD
∵由三角形的内角和∠C+∠CDB+∠CBD=180°∴∠CDB+∠CBD=180°-∠C =180°-108°=72°
∴∠CDB==∠CBD=72
36 2
︒
︒
=
又∵AF∥CD
∴∠DFA=∠CDB=36°（两直线平行，内错角相等）
故选D
【点睛】
本题主要考查多边形的基本概念和三角形的基本概念，正n边形的内角读数为
(2)180n n
-⨯.
7．已知△ABC 中，BC=6，AC=3，CP ⊥AB ，垂足为P ，则CP 的长可能是（ ）
A ．2
B ．4
C ．5
D ．7
【答案】A
【解析】
试题分析：如图，根据垂线段最短可知：PC ＜3，∴CP 的长可能是2，故选A ．
考点：垂线段最短．
8．如图，一条公路修到湖边时，需拐弯绕湖而过，如果第一次拐弯处的∠A 是72°，第二次拐弯处的角是∠B ，第三次拐弯处的∠C 是153°，这时道路恰好和第一次拐弯之前的道路平行，则∠B 等于( )
A ．81°
B ．99°
C ．108°
D ．120°
【答案】B
【解析】 试题解析：过B 作BD ∥AE ，
∵AE ∥CF ，
∴BD ∥CF ，
∴72,180A ABD DBC C ∠=∠=∠+∠=o o
，
∵153C ∠=o ，
∴27DBC ∠=o ，
则99.ABC ABD DBC ∠=∠+∠=o 故选B.
9．下面四个图形中，∠1与∠2是对顶角的是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
【答案】D
【解析】
【分析】 根据对顶角的定义，可得答案．
【详解】
解：由对顶角的定义，得D 选项是对顶角，
故选：D ．
【点睛】
考核知识点：对顶角.理解定义是关键.
10．如图，已知//AB CD ，直线EF 分别交AB ，CD 于M ，N 两点，将一个含有30°角的直角三角尺按如图所示的方式放置（30PNG ∠=︒），若75EMB ∠=︒，则PNM ∠的度数是（）
A ．30°
B ．45︒
C ．60︒
D ．75︒
【答案】B
【解析】
【分析】 根据75EMB ∠=︒，可以计算75END ∠=︒（两直线平行，同位角相等），又由75END PNM PNG ∠=∠+∠=︒，30PNG ∠=︒从而得到PNM ∠的度数.
【详解】
解：∵//AB CD ，
∴75EMB EFD ∠=∠=︒（两直线平行，同位角相等），
又∵30PNG ∠=︒，75END PNM PNG ∠=∠+∠=︒，
∴753045PNM END PNG ∠=∠-∠=︒-︒=︒，
故答案为B.
【点睛】
本题主要考查了两直线平行的性质. 牢记知识点: 两直线平行，同位角相等；两直线平行，内错角相等；两直线平行，同旁内角互补；
11．下列说法中错误的个数是( )
(1)过一点有且只有一条直线与已知直线平行；
(2)过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；
(3)不相交的两条直线叫做平行线；
(4)有公共顶点且有一条公共边的两个互补的角互为邻补角．
A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个
【答案】C
【解析】
（1）应强调过直线外一点，故错误；
（2）正确；
（3）不相交的两条直线叫做平行线，没有说明是否是在同一平面内，所以错误；
（4）有公共顶点且有一条公共边的两个角不一定互为邻补角，角平分线的两个角也满足，但可以不是,故错误.错误的有3个，故选C.
12．如图，□ABCD 的对角线AC ，BD 相交于点O(AD>AB).下列说法：
①AB=CD;②AOB AOD S S ∆∆=;③∠ABD=∠CBD;④对边AB,CD 之间的距离相等且等于BC 的长。

其中正确的结论有（ ）个
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
【答案】B
【解析】
【分析】 根据平行四边形的性质、三角形的面积公式、平行线的性质、等腰三角形的性质、直线之间的距离逐个判断即可得．
【详解】
Q 四边形ABCD 是平行四边形
//,//,,AB CD AD BC AB CD OB OD ∴==，则①正确
AOB ∆Q 边OB 上的高与AOD ∆边OD 上的高是同一条高，且OB OD =
AOB AOD S S ∆∆∴=，则②正确
//AD BC Q
ADB CBD ∴∠=∠
若ABD CBD ∠=∠，则ABD ADB ∠=∠
AD AB ∴=，这与已知条件AD AB >矛盾，则③错误
如图，过点A 作AE CD ⊥于点E
Q
AB CD
//
∴对边,
AB CD之间的距离相等，且等于AE的长
Q不一定垂直于CD
BC
∴不一定等于AE，则④错误
BC
综上，结论正确的个数为2个
故选：B．
【点睛】
本题考查了平行四边形的性质、平行线的性质、等腰三角形的性质等知识点，熟练掌握并灵活运用各性质是解题关键．
13．如图，直线AB，AB相交于点O，OE，OF为射线，则对顶角有()
A．1对B．2对C．3对D．4对
【答案】B
【解析】
【分析】
根据对顶角的定义，对顶角的两边互为反向延长线，可以判断.
【详解】
图中对顶角有：∠AOC与∠BOD、∠AOD与∠BOC，共2对．
故选B．
【点睛】
本题主要考查了对顶角的定义，注意对顶角是两条直线相交而成的四个角中，没有公共边的两个角．本题关键是分清楚已知的角是哪两条直线相交形成的，根据角的两条边，找出它的反向延长线形成的夹角即可
14．如图，下列说法一定正确的是（）
A ．∠1和∠4是内错角
B ．∠1和∠3是同位角
C ．∠3和∠4是同旁内角
D ．∠1和∠C 是同位角
【答案】D
【解析】
【分析】 根据内错角、同位角以及同旁内角的定义进行判断即可．
【详解】
解：A 、∠2和∠4是内错角，故本选项错误；
B 、∠1和∠
C 是同位角，故本选项错误；
C 、∠3和∠4是邻补角，故本选项错误；
D 、∠1和∠C 是同位角，故本选项正确；
故选：D ．
【点睛】
本题考查了同位角、内错角、同旁内角．解答此类题确定三线八角是关键，可直接从截线入手．对平面几何中概念的理解，一定要紧扣概念中的关键词语，要做到对它们正确理解，对不同的几何语言的表达要注意理解它们所包含的意义．
15．如图，11,,33
AB EF ABP ABC EFP EFC ∠=∠∠=∠∥，已知60FCD ∠=︒，则P ∠的度数为（ ）
A ．60︒
B ．80︒
C ．90︒
D ．100︒
【答案】B
【解析】
【分析】 延长BC 、EF 交于点G ，根据平行线的性质得180ABG BGE +=︒∠∠，再根据三角形外角的性质和平角的性质得
60180120EFC FCD BGE BGE BCF FCD =+=︒+=︒-=︒∠∠∠∠，∠∠，最后根据四边形内角和定理求解即可．
【详解】
延长BC 、EF 交于点G
∵//AB EF
∴180ABG BGE +=︒∠∠
∵60FCD ∠=︒
∴60180120EFC FCD BGE BGE BCF FCD =+=︒+=︒-=︒∠∠∠∠，∠∠
∵11,33ABP ABC EFP EFC ∠=∠∠=∠ ∴360P PBC BCF PFC =︒---∠∠∠∠
2236012033
ABG EFC =︒---︒∠∠ ()223606012033
ABG BGE =︒--︒+-︒∠∠ 223604012033
ABG BGE =︒--︒--︒∠∠ ()22003
ABG BGE =︒-+∠∠ 22001803
=︒-⨯︒ 80=︒
故答案为：B ．
【点睛】
本题考查了平行线的角度问题，掌握平行线的性质、三角形外角的性质、平角的性质、四边形内角和定理是解题的关键．
16．如图，△ABC 中，∠C=90°，则点B 到直线AC 的距离是 ( )
A ．线段AB
B ．线段A
C C ．线段BC
D ．无法确定
【答案】C
【解析】
【分析】
直接利用点到直线的距离定义得出答案．
【详解】
解：如图，三角形ABC 中，∠C=90°，则点B 到直线AC 的距离是：线段BC ．
故选：C ．
【点睛】
本题考查点到之间的距离，正确把握相关定义是解题关键．
17．如图所示，下列条件中，能判定直线a ∥b 的是（ ）
A ．∠1＝∠4
B ．∠4＝∠5
C ．∠3+∠5＝180°
D ．∠2＝∠4
【答案】B
【解析】
【分析】 在复杂的图形中具有相等关系的两角首先要判断它们是否是同位角或内错角，被判断平行的两直线是否由“三线八角”而产生的被截直线．
【详解】
A 、∠1＝∠4，错误，因为∠1、∠4不是直线a 、b 被其它直线所截形成的同旁内角或内错角；
B 、∵∠4＝∠5，∴a ∥b （同位角相等，两直线平行）．
C 、∠3+∠5＝180°，错误，因为∠3与∠5不是直线a 、b 被其它直线所截形成的同旁内角；
D 、∠2＝∠4，错误，因为∠2、∠4不是直线a 、b 被其它直线所截形成的同位角． 故选：B ．
【点睛】
本题考查平行线的性质，解题关键是区分同位角、内错角和同旁内角
18．如图，等边ABC V 边长为a ，点O 是ABC V 的内心，120FOG ∠=︒，绕点O 旋转FOG ∠，分别交线段AB 、BC 于D 、E 两点，连接DE ，给出下列四个结论：①ODE V 形状不变；②ODE V 的面积最小不会小于四边形ODBE 的面积的四分之一；③四边形ODBE 的面积始终不变；④BDE V 周长的最小值为1.5a ．上述结论中正确的个数是（ ）
A ．4
B ．3
C ．2
D ．1
【答案】A
【解析】
【分析】 连接OB 、OC ，利用SAS 证出△ODB ≌△OEC ，从而得出△ODE 是顶角为120°的等腰三角
形，即可判断①；过点O 作OH ⊥DE ，则DH=EH ，利用锐角三角函数可得OH=12OE 和
OE ，然后三角形的面积公式可得S △ODE
=4
OE 2，从而得出OE 最小时，S △ODE 最小，根据垂线段最短即可求出S △ODE 的最小值，然后证出S 四边形ODBE =S △OBC
=
212
即可判断②和③；求出BDE V 的周长=a ＋DE ，求出DE 的最小值即可判断④．
【详解】
解：连接OB 、OC
∵ABC V 是等边三角形，点O 是ABC V 的内心，
∴∠ABC=∠ACB=60°，BO=CO ，BO 、CO 平分∠ABC 和∠ACB ∴∠OBA=∠OBC=
12∠ABC=30°，∠OCA=∠OCB=12
∠ACB=30° ∴∠OBA=∠OCB ，∠BOC=180°－∠OBC －∠OCB=120° ∵120FOG ∠=︒
∴∠=FOG ∠BOC
∴∠FOG －∠BOE=∠BOC －∠BOE
∴∠BOD=∠COE
在△ODB 和△OEC 中
BOD COE BO CO
OBD OCE ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩
∴△ODB ≌△OEC
∴OD=OE
∴△ODE 是顶角为120°的等腰三角形，
∴ODE V 形状不变，故①正确；
过点O 作OH ⊥DE ，则DH=EH
∵△ODE 是顶角为120°的等腰三角形
∴∠ODE=∠OED=12
（180°－120°）=30° ∴OH=OE·
sin ∠OED=12OE ，EH= OE·cos ∠
∴
∴S △ODE =12DE·
2 ∴OE 最小时，S △ODE 最小，
过点O 作OE′⊥BC 于E′，根据垂线段最短，OE′即为OE 的最小值
∴BE ′=
12BC=12
a 在Rt △OBE ′中 OE′=BE′·tan ∠OBE ′=
12a 33 ∴S △ODE 3223 ∵△ODB ≌△OEC
∴S 四边形ODBE =S △ODB ＋S △OBE = S △OEC ＋S △OBE =S △OBC =1223 23=1423 ∴S △ODE ≤14
S 四边形ODBE 即ODE V 的面积最小不会小于四边形ODBE 的面积的四分之一，故②正确； ∵S 四边形ODBE 23 ∴四边形ODBE 的面积始终不变，故③正确；
∵△ODB ≌△OEC
∴DB=EC
∴BDE V 的周长=DB ＋BE ＋DE= EC ＋BE ＋DE=BC ＋DE=a ＋DE
∴DE 最小时BDE V 的周长最小
∵3OE
∴OE 最小时，DE 最小
而OE 的最小值为OE′=36
a ∴DE 336
a =12a ∴BDE V 的周长的最小值为a ＋
12a =1.5a ，故④正确； 综上：4个结论都正确，
故选A ．
【点睛】
此题考查的是等边三角形的性质、全等三角形的判定及性质、锐角三角函数、三角形的面积公式和垂线段最短的应用，掌握等边三角形的性质、全等三角形的判定及性质、锐角三角函数、三角形的面积公式和垂线段最短是解决此题的关键．
19．下列说法中不正确的是（ ）
①过两点有且只有一条直线
②连接两点的线段叫两点的距离
③两点之间线段最短
④点B 在线段AC 上，如果AB=BC ，则点B 是线段AC 的中点
A ．①
B ．②
C ．③
D ．④
【答案】B
【解析】
【分析】
依据直线的性质、两点间的距离、线段的性质以及中点的定义进行判断即可．
【详解】
①过两点有且只有一条直线，正确；
②连接两点的线段的长度叫两点间的距离，错误
③两点之间线段最短，正确；
④点B 在线段AC 上，如果AB=BC ，则点B 是线段AC 的中点，正确；
故选B ．
20．如图，一副三角板按如图所示的位置摆放，其中//AB CD ，45A ∠=︒，
60C ∠=°，90AEB CED ∠=∠=︒，则AEC ∠的度数为（ ）
A ．75°
B ．90°
C ．105°
D ．120°
【答案】C
【解析】
【分析】 延长CE 交AB 于点F ，根据两直线平行，内错角相等可得∠AFE ＝∠C ，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和列式计算即可得解．
【详解】
解：如图，延长CE 交AB 于点F ，
∵AB∥CD，
∴∠AFE＝∠C＝60°，
在△AEF中，由三角形的外角性质得，∠AEC＝∠A+∠AFE＝45°+60°＝105°．
故选：C．
【点睛】
本题考查了平行线的性质，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，熟记相关性质并作出正确的辅助线是解题的关键．。