2020年中考数学基础题提分讲练专题27 函数运用提升

2020年中考数学基础题提分讲练
专题27 函数运用提升专题卷
（时间：90分钟 满分120分）
一、选择题（每小题3分，共36分）
1．（2019·济宁市第十五中学初三月考）已知函数y =（m +3）2m
4m 5x ++是关于x 的二次函数，则m 的值为（ ） A ．﹣1
B ．﹣3
C ．﹣1或﹣3
D ．3 【答案】A
【解析】
由题意得：m 2+4m +5=2，m +3≠0，
解得：m =﹣1，
故选：A ．
【点睛】
本题主要考查二次函数的定义，掌握二次函数的一般形式形式：2y ax bx c =++（a≠0）是解题的关键． 2．（2020·全国初三课时练习）如图中是抛物线形拱桥，P 处有一照明灯，水面OA 宽4m ，从O 、A 两处观测P 处，仰角分别为α、β，且tanα=
12，tanβ=32
，以O 为原点，OA 所在直线为x 轴建立直角坐标系.若水面上升1m ，水面宽为（ ）
A ．
B ．
C
D 【答案】A
【解析】 设AB =2b ，则PB =3b ，OB =6b ，
所以OA =8b ，则8b =4，所以b =12
，
所以OB =3，PB =1，则P (3，32
). 设抛物线的解析式为y =ax (x －4)，
把x =3，y =32代入得332
＝×(3－4)a ，解得x ，
所以水面上升1m 后的宽为2(2)=
故选A .
点睛：根据所给条件求出抛物线上三个点的坐标，用待定系数法求出抛物线的解析式，再根据函
数值得到相应点的横坐标.
3．（2020·德州市第九中学初三期中）将抛物线23y x =-平移，得到抛物线23(1)2y x =---，下列平移方
式中，正确的是（ ）
A ．先向左平移1个单位，再向上平移2个单位
B ．先向左平移1个单位，再向下平移2个单位
C ．先向右平移1个单位，再向上平移2个单位
D ．先向右平移1个单位，再向下平移2个单位
【答案】D
【解析】
将抛物线y =-3x 2平移，先向右平移1个单位得到抛物线y =-3（x -1）2, 再向下平移2个单位得到抛物线y =-3（x -1）2-2.
故选D.
4．（2020·四川初三）对于二次函数y =2(x ﹣3)2+2的图象，下列叙述正确的是( )
A ．顶点坐标：(﹣3，2)
B ．对称轴是直线y =3
C ．当x ＞3时，y 随x 增大而增大
D ．当x =0时，y =2
【答案】C
【解析】
解：由二次函数y =2（x ﹣3）2+2可知，开口向上．对称轴为直线x =3，顶点坐标为（3，2），当x ＞3时，y 随x 增大而增大，故A 、B 错误，C 正确；
令x =0，则y =20，故D 错误；
故选：C ．
【点睛】
本题考查了二次函数的性质，主要利用了开口方向，顶点坐标，对称轴以及二次函数的增减性． 5．（2020·四川初三）二次函数y =ax 2+bx +c 的图象如图所示、则下列结论：①abc ＞0；②a ﹣5b +9c ＞0；③3a +c ＜0，正确的是( )
A ．①③
B ．①②
C ．①②③
D ．②③
【答案】C
【解析】
解：①∵抛物线的对称轴在y 轴的左侧，
∴ab ＞0，
由图象可知：c ＞0，
∴abc ＞0，
故①正确；
②∵ x =﹣2b
a =﹣1，
∴b =2a ，
又∵c ＞0，由开口向下得a<0,
∴ a ﹣5b +9c =9c ﹣9a =9（c ﹣a ）＞0，
故②正确，
③∵b =2a ，
由图象可知：9a ﹣3b +c ＜0，
∴9a ﹣6a +c ＜0，即3a +c ＜0，
故③正确；
故选：C ．
【点睛】
本题主要考查了图象与二次函数系数之间的关系，二次函数系数符号由抛物线开口方向、对称轴和抛物线与y轴的交点、抛物线与x轴交点的个数确定，熟练掌握二次函数的性质是关键．
6．（2020·广东初三期末）在同一直角坐标系中，函数y=mx＋m和函数y=mx2＋2x＋2 (m是常数，且m≠0)的图象可能是（）
A．B．C．
D．
【答案】D
【解析】
A．由函数y=mx+m的图象可知m＜0，即函数y=mx2+2x+2开口方向朝下，对称轴为x=−
21 22
b
a m m
-=-
＝＞
0，则对称轴应在y轴右侧，与图象不符，故A选项错误；
B．由函数y=mx+m的图象可知m＜0，即函数y=mx2+2x+2开口方向朝下，开口方向朝下，与图象不符，故B选项错误；
C．由函数y=mx+m的图象可知m＞0，即函数y=mx2+2x+2开口方向朝上，对称轴为x=−
21 22
b
a m m
-=-
＝＜
0，则对称轴应在y轴左侧，与图象不符，故C选项错误；
D．由函数y=mx+m的图象可知m＜0，即函数y=mx2+2x+2开口方向朝下，对称轴为x=−
21
22
b
a m m
-=-
＝＞
0，则对称轴应在y轴右侧，与图象相符，故D选项正确．
故选：D．
【点睛】
此题考查一次函数和二次函数的图象性质，解题关键在于要掌握它们的性质才能灵活解题．7．（2019·湖南初三期中）已知二次函数的图象（0≤x≤3）如图所示，关于该函数在所给自变量取值范围内，下列说法正确的是（）
A ．有最小值0，有最大值3
B ．有最小值﹣1，有最大值0
C ．有最小值﹣1，有最大值3
D ．有最小值﹣1，无最大值
【答案】C
【解析】 根据函数图象自变量取值范围得出对应y 的值，即是函数的最值．
解答：解：根据图象可知此函数有最小值-1，有最大值3．
故选C ．
8．（2019·湖南初三期中）当a ﹣1≤x ≤a 时，函数y =x 2﹣2x +1的最小值为1，则a 的值为（ ） A ．1
B ．2
C ．1或2
D ．0或3
【答案】D
【解析】
当1y =时，有2211x x -+=，
解得：10x =，22x =， Q 当1a x a -≤≤时，函数有最小值1，
∴12a -=或0a =，
∴3a =或0a =.
故选：D .
【点睛】
本题考查了二次函数图象上点的坐标特征以及二次函数的最值，利用二次函数图象上点的坐标特征找出当1y =时x 的值是解题的关键.
9．（2020·深圳市龙岗区布吉贤义外国语学校初三期中）如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD 的顶点A
点，D 点分别在x 轴、y 轴上，对角线BD ∥x 轴，反比例函数(0,0)k y k x x
=
>>的图象经过矩形对角线的交点E ，若点A(2，0)，D(0，4)，则k 的值为（ ）
A ．16
B ．20
C ．32
D ．40
【答案】B
【解析】 解：∵BD//x 轴，D （0，4），
∴B 、D 两点纵坐标相同，都为4，
∴可设B （x ，4）.
∵矩形ABCD 的对角线的交点为E ，.
∴E 为BD 中点，∠DAB=90°.
∴E （12
x ，4） ∵∠DAB=90°，
∴AD 2+AB 2=BD 2，
∵A （2，0），D （0，4），B （x ，4），
∴22+42+（x -2）2+42=x 2，解得x=10，
∴E （5，4）. 又∵反比例函数k y x
=（k>0，x>0）的图象经过点E ， ∴k=5×4=20；故选B.
【点睛】
本题考查了矩形的性质，勾股定理，反比例函数图象上点的坐标特征，线段中点坐标公式等知识，求出E 点坐标是解题的关键.
10．（2020·山东初三期末）如图，已知一次函数y=ax+b 与反比例函数y=
k x 图象交于M 、N 两点，则不等式ax+b ＞k x
解集为( )
A ．x ＞2或﹣1＜x ＜0
B ．﹣1＜x ＜0
C ．﹣1＜x ＜0或0＜x ＜2
D ．x ＞2
【答案】A
【解析】 解：由图可知，x ＞2或﹣1＜x ＜0时，ax+b ＞
x
k ． 故选A ．
【点睛】 本题考查了反比例函数与一次函数的交点，利用数形结合，准确识图是解题的关键．
11．（2020·重庆初三）抛物线2y ax bx c =++（0a ≠）的部分图象如图所示，与x 轴的一个交点坐标为(4,0)，
抛物线的对称轴是1x =，下列结论是：①0abc >；②20a b +=；③方程22ax bx c ++=有两个不相等的实数根；④420a b c -+=；⑤若点(,)A m n 在该抛物线上，则2am bm c a b c ++≤++，其中正确的个数有（ ）
A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个
【答案】D
【解析】 如图，∵与x 轴的一个交点坐标为(4,0)，抛物线的对称轴是1x =，
实验求出二次函数与x 轴的另一个交点为（-2,0）
故可补全图像如下，
由图可知a ＜0，c ＞0，对称轴x=1,故b ＞0，
∴0abc >，①错误，
②对称轴x=1,故x=-12b a
-=,∴20a b +=，正确； ③如图，作y=2图像，与函数有两个交点，∴方程22ax bx c ++=有两个不相等的实数根，正确；④∵x=-2时，y=0,即420a b c -+=，正确；⑤∵抛物线的对称轴为x=1,故点(,)A m n 在该抛物线上，则
2am bm c a b c ++≤++，正确；
故选D
【点睛】
此题主要考查二次函数的图像，解题的关键是熟知二次函数的对称性.
12．（2019·安徽初三月考）在平面直角坐标系xOy 中，将一块含有45°角的直角三角板如图放置，直角顶点C 的坐标为（1，0），顶点A 的坐标为（0，2），顶点B 恰好落在第一象限的双曲线上，现将直角三角板沿x 轴正方向平移，当顶点A 恰好落在该双曲线上时停止运动，则此时点C 的对应点C ′的坐标为（ ）
A ．（32，0）
B ．（2，0）
C ．（52，0）
D ．（3，0）
【答案】C
【解析】
解：过点B 作BD ⊥x 轴于点D ，
∵∠ACO +∠BCD =90°，
∠OAC+∠ACO=90°，∴∠OAC=∠BCD，
在△ACO与△BCD中，
OAC BCD
AOC BDC AC BC
∠=∠
⎧
⎪
∠=∠
⎨
⎪=
⎩
∴△ACO≌△BCD（AAS）∴OC=BD，OA=CD，
∵A（0，2），C（1，0）∴OD=3，BD=1，
∴B（3，1），
∴设反比例函数的解析式为y=k
x
，
将B（3，1）代入y=k
x
，
∴k=3，
∴y=3
x
，
∴把y=2代入y=3
x
，
∴x=3
2
，
当顶点A恰好落在该双曲线上时，
此时点A移动了3
2
个单位长度，
∴C也移动了3
2
个单位长度，
此时点C的对应点C′的坐标为（5
2
，0）
故选：C．
【点睛】
本题考查反比例函数的综合问题，涉及全等三角形的性质与判定，反比例函数的解析式，平移的性质等知识，综合程度较高，属于中等题型．
二、填空题（每小题3分，共18分）
13．（2019·四川初二期末）在一次函数y =（2﹣m ）x +1中，y 随x 的增大而减小，则m 的取值范围是_____．
【答案】m ＞2．
【解析】
∵一次函数y =（2﹣m ）x +1的函数值y 随x 的增大而减小，∴2﹣m ＜0，∴m ＞2．
故答案为m ＞2．
【点睛】
本题考查的是一次函数的性质，即一次函数y=kx+b （k≠0）中，当k ＜0时，y 随x 的增大而减小． 14．（2020·山东初三期末）如图，平行四边形ABCD 的一边AB 在x 轴上，长为5，且∠DAB=60°，反比例
函数y=和y=分别经过点C ，D ，则AD=_____．
【答案】2
【解析】
解：设点C （x ），则点D （3,2x -x ），
∴CD=x ﹣（32
x -）=52x ∵四边形ABCD 是平行四边形，
∴CD=AB=5， ∴52
x =5，解得x=2， ∴D （﹣3
，
作DE ⊥AB 于E ，则
∵∠DAB=60°，
2sin 60DE AD ∴===︒
故答案为：2．
【点睛】
本题考查的是平行四边形的性质、反比例性质、特殊角的三角函数值，利用平行四边形性质和反比例函数的性质列出等式是解题的关键．
15．（2020·广东初三期末）反比例函数y=﹣3x
的图象与一次函数y=﹣x+5的图象相交，其中一个交点坐标为(a ，b)，则11a b
+=_____． 【答案】﹣
53
【解析】 ∵反比例函数3y x =-
的图象与一次函数y=﹣x+5的图象相交，其中一个交点坐标为(a ，b)， ∴ab=﹣3，b+a=5， 则
115533
b a a b ab ++===--， 故答案为：﹣53．
【点睛】
本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，掌握函数图象上点的坐标特征是解题的关键．
16．（2020·广东初三期末）如图，一次函数1(5)?
y k x b =-+的图象在第一象限与反比例函数2k y x
=的图象相交于A ，B 两点，当12y y >时，x 的取值范围是14x <<，则k =_____．
【答案】4．
【解析】
由已知得A 、B 的横坐标分别为1，4，所以有54(5)4k b k k k b -+=⎧⎪⎨-+=⎪⎩
解得4k =，故答案为4． 【点睛】
此题主要考查反比例函数与一次函数综合，解题的关键是熟知函数图像交点的性质.
17．（2020·重庆初三）某飞机着陆滑行的路程(s 米)与时间(t 秒)的关系式为：260 1.5s t t =-，那么飞机着陆后滑行______米才能停止．
【答案】600
【解析】
解：∵-1.5＜0，
∴函数有最大值．
当t=-()
602 1.5⨯-=20时， s 最大值=()
2
604 1.5-⨯-=600， 即飞机着陆后滑行600米才能停止．
故答案为600．
【点睛】
此题主要考查了二次函数的应用，运用二次函数求最值问题常用公式法或配方法是解题关键．
18．（2019·广东初三期中）如图所示，已知抛物线 C 1，抛物线 C 2 关于原点中心对称．如果抛物线 C 1 的解析式为y =34
(x ＋2)2－1，那么抛物线 C 2 的解析式为:___________________________
【答案】y=-
34
( x - 2)2 + 1 【解析】 抛物线 C 1 的解析式为23(2)14y x =
+-，抛物线 1C 的开口向上，顶点坐标为：()2,1.-- 抛物线 C 1，抛物线 C 2 关于原点中心对称．
抛物线 C 2的开口向下，顶点坐标为：()2,1.
∴抛物线C 2的解析式为23(2) 1.4
y x =--+ 故答案为23(2) 1.4
y x =--+
三、解答题（每小题6分，共12分）
19．（2020·德州市第九中学初三期中）如下图，隧道的截面由抛物线和矩形构成，8m 2m AB BC ==，，隧道的最高点P 位于AB 的中点的正上方，且与AB 的距离为4m ．
() 1建立如图所示的坐标系，求图中抛物线的解析式；
()2若隧道为单向通行，一辆高4米、宽3米的火车能否从隧道内通过？请说明理由．
【答案】（1）21(4)64
y x =-
-+；（2）货车可以通过，理由见解析． 【解析】 解：（1）由题意可知A （0，2），B （8，2），
∵隧道的最高点P 位于AB 的中点的正上方，且与AB 的距离为4m ，
∴抛物线的顶点P 的坐标为()46，
， 设抛物线的解析式为2(4)6y a x =-+，
将点A ()02，
代入解析式得， ∴22(04)6a =-+． ∴14
a =-． 即抛物线的解析式为21(4)64
y x =-
-+； （2）令4y =，则有214(4)64x =--+，
解得1244x x =+=-，
12||3x x -=，
∴货车可以通过．
【点睛】
本题主要考查二次函数的应用，掌握二次函数的顶点式是解题的关键，即在y=a （x -h ）2+k 中，对称轴为x=h ，顶点坐标为（h ，k ）．
20．（2020·安徽初三）对于二次函数y=mx 2+（5m+3）x+4m （m 为常数且m≠0）有以下三种说法： ①不论m 为何值，函数图象一定过定点（﹣1，﹣3）；
②当m=﹣1时，函数图象与坐标轴有3个交点；
③当m ＜0，x≥﹣6726
时，函数y 随x 的增大而减小；判断真假，并说明理由． 【答案】①是真命题，见解析；②是假命题，见解析；③是假命题，见解析.
【解析】
①是真命题，
理由：∵y=mx 2+（5m+3）x+4m=（x 2+5x+4）m+3x ，
∴当x 2+5x+4=0时，得x=-4或x=-1，
∴x=-1时，y=-3；x=-4时，y=-12；
∴二次函数y=mx 2+（5m+3）x+4m （m 为常数且m≠0）的图象一定过定点（-1，-3），
故①是真命题；
②是假命题，
理由：当m=-1时，则函数为y=-x 2-2x -4，
∵当y=0时，-x 2-2x -4=0，△=（-2）2-4×（-1）×（-4）=-12＜0；当x=0时，y=-4；
∴抛物线与x 轴无交点，与y 轴一个交点，
故②是假命题；
③是假命题，
理由：∵y=mx 2+（5m+3）x+4m ，
∴对称轴x=﹣
2b a =﹣5353222m m m
+=--， ∵m ＜0，x≥﹣6726
时，函数y 随x 的增大而减小， ∴5322m --= 6726，得m=392， ∵m ＜0与m=392
矛盾， 故③为假命题.
【点睛】
本题考查二次函数的性质，解题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答问题．
四、解答题（每小题8分，共16分）
21．（2019·四川初二期末）甲、乙两个工程队完成某项工程，首先是甲队单独做了10天，然后乙队加入合作，完成剩下的全部工程，设工程总量为单位1，工程进度满足如图所示的函数关系．
（1）求甲、乙两队合作完成剩下的全部工程时，工作量y 与天数x 间的函数关系式；
（2）求实际完成这项工程所用的时间比由甲队单独完成这项工程所需时间少多少天？
【答案】（1）y=
116x -38
；（2）实际完成这项工程所用的时间比由甲队单独完成这项工程所需时间少18天 【解析】 （1）设甲、乙两队合作完成剩下的全部工程时，工作量y 与天数x 间的函数关系式为：y=kx +b ， 110k b 4114k b 2⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，得1k 163b 8⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩
， 即甲、乙两队合作完成剩下的全部工程时，工作量y 与天数x 间的函数关系式是y=
116x -38； （2）令y=1，
则1=116x -38
，得x =22， 甲队单独完成这项工程需要的天数为：1÷（
14
÷10）=40（天）， ∵40-22=18， ∴实际完成这项工程所用的时间比由甲队单独完成这项工程所需时间少18天．
【点睛】
本题考查一次函数的应用，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．
22．（2020·深圳市龙岗区布吉贤义外国语学校初三期中）如图，一次函数1y k x b =+的图象与反比例函数2k y x
=的图象相交于A 、B 两点，其中点A 的坐标为()1,4-，点B 的坐标为()4,n .
（1）根据图象，直接写出满足21k k x b x
+>的x 的取值范围；
（2）求这两个函数的表达式；
（3）点P 在线段AB 上，且:1:2AOP BOP S S ∆∆=，求点P 的坐标.
【答案】（1）1x <-或04x <<；（2）4y x =-
，3y x =-+；（3）27,33P ⎛⎫ ⎪⎝⎭ 【解析】
(1)观察图象可知当1x <-或04x <<，k 1x+b>
2k x ； (2)把()1,4A -代入2k y x =
，得24k =-， ∴4y x
=-， ∵点()4,B n 在4y x =-
上，∴1n =-， ∴()4,1B -，
把()1,4A -，()4,1B -代入11y k x b =+得
11441k b k b -+=⎧⎨+=-⎩，解得113k b =-⎧⎨=⎩
， ∴3y x =-+；
(3)设AB 与y 轴交于点C ，
∵点C 在直线3y x =-+上，∴()0,3C ，
()()113147.522
AOB A B S OC x x ∆=⋅+=⨯⨯+=， 又:1:2AOD BOP S S ∆∆=， ∴17.5 2.53AOP S ∆=
⨯=，5BOP S ∆=， 又131 1.52
AOC S ∆=⨯⨯=，∴点P 在第一象限， ∴ 2.5 1.51COP S ∆=-=，
又3OC =，∴
1312P x ⨯⨯=，解得23
P x =， 把23P x =代入3y x =-+，得73P y =，
∴27,33P ⎛⎫ ⎪⎝⎭
.
【点睛】
本题考查了一次函数与反比例函数的综合题，涉及了待定系数法，函数与不等式，三角形的面积等，熟练掌握相关知识是解题的关键.注意数形结合思想的应用.
五、解答题（每小题9分，共18分）
23．（2019·河南郑州四中实验学校初三期中）如图，一次函数y=kx+b 与反比例函数y=
a x
的图象在第一象限内交于A ，B 两点，点A 的纵坐标为4，点B 的坐标为（3，2），连接0A ，OB ．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）点M 是线段AB 上的一动点（不与点A ，B 重合），过点M 作ME ⊥x 轴于点E ，作MN ⊥y 轴为于点N ，求四边形MEON 的最大面积；
（3）将直线y=kx+b 向下平移n 个单位长度，若直线与反比例函数在第一象限内的图象只有一个交点，求n 的值．
【答案】（1）6y x =；（2）当94
p =时，四边形MEON 的面积最大，最大面积为274；（3）6n =-
【解析】
（1）点()3,2B 在反比例函数a
y x
=的图象上， ∴326a =⨯=. ∴反比例函数的解析式为6y x
=
. （2）∵点A 的纵坐标为4， ∴3,42A ⎛⎫ ⎪⎝⎭
， 设直线AB 的解析式为y=kx+b （k≠0） 把3,42A ⎛⎫ ⎪⎝⎭
、()3,2B 代入得 34223k b k b ⎧=+⎪⎨⎪=+⎩，解得436
k b ⎧=-⎪⎨⎪=⎩ ∴直线AB 的解析式为463
y x =-+. ∵点M 为线段AB 上的一动点，
∴设点M 的坐标为4,63p p ⎛⎫-
+ ⎪⎝⎭，323p <<. ∴MN p =，463
ME p =-+. ∴2
4492763344MEON
S p p p ⎛⎫⎛⎫=-+=--+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭四边形. ∴当94
p =时，四边形MEON 的面积最大，最大面积为274. （3）∵463
y x =-+， ∴设向下平移n 个单位长度后函数的解析式为364
y x n =-+-. 令4663x n x -+-=，整理，得24(6)603
x n x -+--=. ∵一次函数与反比例函数的图象在第一象限只有一个交点， ∴24(6)603
x n x -+--=有唯一的实数根.
∴224(6)4(6)(6)3203n n ⎛⎫∆=--⨯-
⨯-=--= ⎪⎝⎭
.
∴6n =± 由题意得交点在第一象限内，
∴6n =+.
∴6n =-
【点睛】
此题主要考查反比例函数、二次函数与几何综合，解题的关键是熟知待定系数法、二次函数的图像与性质及一元二次方程根的判别式．
24．（2019·广东中山一中初三）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax 2+bx ﹣5交y 轴于点A ，交x 轴于点B （﹣5，0）和点C （1，0），过点A 作AD ∥x 轴交抛物线于点D ．
（1）求此抛物线的表达式；
（2）点E 是抛物线上一点，且点E 关于x 轴的对称点在直线AD 上，求△EAD 的面积；
（3）若点P 是直线AB 下方的抛物线上一动点，当点P 运动到某一位置时，△ABP 的面积最大，求出此时点P 的坐标和△ABP 的最大面积．
【答案】（1）y=x 2+4x ﹣5；（2）20；（3）
1258
【解析】 （1）∵抛物线y=ax 2+bx ﹣5交y 轴于点A ，交x 轴于点B （﹣5，0）和点C （1，0），
∴{25a -5b -5=0a +b −5=0
，得{a =1b =4 ， ∴此抛物线的表达式是y=x 2+4x ﹣5；
（2）∵抛物线y=x 2+4x ﹣5交y 轴于点A ，
∴点A 的坐标为（0，﹣5），
∵AD ∥x 轴，点E 是抛物线上一点，且点E 关于x 轴的对称点在直线AD 上，
∴点E 的纵坐标是5，点E 到AD 的距离是10，
当y=﹣5时，﹣5=x 2+4x ﹣5，得x=0或x=﹣4，
∴点D 的坐标为（﹣4，﹣5），
∴AD=4，
∴△EAD 的面积是：4×102=20；
（3）设点P 的坐标为（p ，p 2+4p ﹣5），如右图所示，
设过点A （0，﹣5），点B （﹣5，0）的直线AB 的函数解析式为y=mx+n ，
{n =−5−5m +n =0
，得{m =−1n =−5 ， 即直线AB 的函数解析式为y=﹣x ﹣5，
当x=p 时，y=﹣p ﹣5，
∵OB=5，
∴△ABP 的面积是：S=(−p−5)−(p 2+4p−5)2⋅5=52[−(p +52)2+254]，
∵点P 是直线AB 下方的抛物线上一动点，
∴﹣5＜p ＜0，
∴当p=﹣52时，S 取得最大值，此时S=
1258 ，点p 的坐标是（-52，﹣354）， 即点p 的坐标是（-52，﹣354）时，△ABP 的面积最大，此时△ABP 的面积是1258．
【点睛】
本题考查了二次函数综合题，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想和二次函数的性质解答．
六、解答题（每小题10分，共20分）
25．（2020·浙江初三期末）总公司将一批衬衫由甲、乙两家分店共同销售，因地段不同，甲店一天可售出20件，每件盈利40元；乙店一天可售出32件，每件盈利30元．经调查发现，每件衬杉每降价1元，甲、乙两家店一天都可多售出2件．设甲店每件衬衫降价a元时，一天可盈利y1元，乙店每件衬衫降价b元时，一天可盈利y2元．
（1）当a=5时，求y1的值．
（2）求y2关于b的函数表达式．
（3）若总公司规定两家分店下降的价格必须相同，请求出每件衬衫下降多少元时，两家分店一天的盈利和最大，最大是多少元？
【答案】（1）a=5时，y1的值是1050；（2）y2=﹣2b2+28b+960；（3）每件衬衫下降11元时，两家分店一天的盈利和最大，最大是2244元．
【解析】
解：（1）由题意可得，
y1=（40﹣a）（20+2a），
当a=5时，y1=（40﹣5）×（20+2×5）=1050，
即当a=5时，y1的值是1050；
（2）由题意可得，
y2=（30﹣b）（32+2b）=﹣2b2+28b+960，
即y2关于b的函数表达式为y2=﹣2b2+28b+960；
（3）设两家下降的价格都为x元，两家的盈利和为w元，
w=（40﹣x）（20+2x）+（﹣2x2+28x+960）=﹣4x2+88x+1760=﹣4（x﹣11）2+2244，
∴当x=11时，w取得最大值，此时w=2244，
答：每件衬衫下降11元时，两家分店一天的盈利和最大，最大是2244元．
【点睛】
本题考查二次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，写出相应的函数关系式，利用二次函数的性质解答．
26．（2019·广东中山一中初三）如图，抛物线y=ax2+bx+2交x轴于A（﹣1，0），B（4，0）两点，交y轴于点C，与过点C且平行于x轴的直线交于另一点D，点P是抛物线上一动点．
（1）求抛物线解析式及点D 坐标；
（2）点E 在x 轴上，若以A ，E ，D ，P 为顶点的四边形是平行四边形，求此时点P 的坐标；
（3）过点P 作直线CD 的垂线，垂足为Q ，若将△CPQ 沿CP 翻折，点Q 的对应点为Q′．是否存在点P ，使Q′恰好落在x 轴上？若存在，求出此时点P 的坐标；若不存在，说明理由．
【答案】（1）213y x x 222=-++，点D 坐标为（3，2）（2）P 1（0，2）；P 2
，﹣2）；P 3
，﹣2）（3）存在，
），
（ 【解析】
解：（1）∵抛物线y=ax 2+bx+2经过A （﹣1，0），B （4，0）两点，
∴a b+2=0{16a+4b+2=0-，解得：1a=2{3b=2
-． ∴抛物线解析式为213y x x 222
=-++． 当y=2时，213x x 2222
-++=，解得：x 1=3，x 2=0（舍去）． ∴点D 坐标为（3，2）．
（2）A ，E 两点都在x 轴上，AE 有两种可能：
①当AE 为一边时，AE ∥PD ，∴P 1（0，2）．
②当AE 为对角线时，根据平行四边形对顶点到另一条对角线距离相等，可知P 点、D 点到直线AE （即x 轴）的距离相等，∴P 点的纵坐标为﹣2． 代入抛物线的解析式：213x x 2222-++=-
，解得：123x x 22
==．
∴P
点的坐标为（2
，﹣2），
（32-，﹣2）． 综上所述：P 1（0，2）；P 2
，﹣2）；P 3
，﹣2）． （3）存在满足条件的点P ，显然点P 在直线CD 下方．
设直线PQ 交x 轴于F ，点P 的坐标为（213a ?a a 222
-++，
）， ①当P 点在y 轴右侧时（如图1），CQ=a ， PQ=2213132a a 2=a a 222
2⎛⎫--++- ⎪⎝⎭． 又∵∠CQ′O+∠FQ′P=90°，∠COQ′=∠Q′FP=90°，
∴∠FQ′P=∠OCQ′，∴△COQ′∽△Q′FP ， ∴Q 'C Q 'P?=CO FQ '，即213? a a?a?22=?2FQ '
-，解得F Q′=a ﹣3 ∴OQ′=OF ﹣F Q′=a ﹣（a ﹣3）=3，
此时
a=13，点P 的坐标为（）．
②当P 点在y 轴左侧时（如图2）此时a ＜0，，213a a 222-
++＜0，CQ=﹣a ，（无图） PQ=2213132a a 2=a a 222
2⎛⎫--++- ⎪⎝⎭． 又∵∠CQ′O+∠FQ′P=90°，∠CQ′O+∠OCQ′=90°，
∴∠FQ′P=∠OCQ′，∠COQ′=∠Q′FP=90°．
∴△COQ′∽△Q′FP ． ∴Q 'C Q 'P?=CO FQ '，即213?a a?a?22=?2FQ'
--，解得F Q′=3﹣a ． ∴OQ′=3
，
此时a=
P
的坐标为（92
，--． 综上所述，满足条件的点P 坐标为（），（931313，---）． （1）用待定系数法可得出抛物线的解析式，令y=2可得出点D 的坐标．
（2）分两种情况进行讨论，①当AE 为一边时，AE ∥PD ，②当AE 为对角线时，根据平行四边形对顶点到另一条对角线距离相等，求解点P 坐标．
（3）结合图形可判断出点P 在直线CD 下方，设点P 的坐标为（213a ?a a 222
-++，），分情况讨论，①当P 点在y 轴右侧时，②当P 点在y 轴左侧时，运用解直角三角形及相似三角形的性质进行求解即可．。