安徽省肥东县高级中学2020届高三1月调研考试数学(理)试题 Word版含答案

2020届高三年级1月调研
理科数学试题
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2．作答时，务必将答案写在答题卡上，写在本试卷及草稿纸上无效。

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第I卷选择题（共60分）
一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

)
1.已知复数与为共轭复数，其中，为虚数单位，则
A. 1
B.
C.
D.
2.已知集合，则
A. B. C. D.
3.已知单位向量的夹角为，且，若向量m＝2-3，则|m|＝
A. 9
B. 10
C. 3
D.
4.下列说法正确的是
A. 若命题均为真命题，则命题为真命题
B. “若，则”的否命题是“若”
C. 在，“”是“”的充要条件
D. 命题“”的否定为“”
5.已知正项等比数列的前项和为，若，则
A. B. C. D.
6.已知函数.若不等式的解集中整数的个数为，则的取值范围是
A. B. C. D.
7.已知程序框图如图，则输出i 的值为
A. 7
B. 9
C. 11
D. 13 8.曲线
的一条切线l 与
轴三条直线围成的三角形记为
，则
外接圆面
积的最小值为 A.
B.
C.
D.
9.已知为实数，，若
，则函数
的单调递增区间为
A. B. C.
D.
10.定义在R 上的函数()2,10{
,01x x f x x x -≤<=≤<，且()()()1
2,2
f x f x
g x x +==-，则方程()()f x g x =在区间[]5,9-上的所有实数根之和最接近下列哪个数
A. 14
B. 12
C. 11
D. 10 11.如图，某住宅小区的平面图呈圆心角为120°的扇形AOB ，C 是该小区的一个出入口，且小区里有一条平行于AO 的小路CD ．已知某人从O 沿OD 走到D 用了2分钟，从D 沿着DC 走到C 用了3分钟．若此人步行的速度为每分钟50米，则该扇形的半径的长度为
A ．505
B ．507
C ．5011
D ．5019 12.()f x 是定义在R 上的奇函数，对x R ∀∈，均有()()2f x f x +=，已知当[
)0,1x ∈时，
()21x f x =-，则下列结论正确的是（ ）
A. ()f x 的图象关于1x =对称
B. ()f x 有最大值1
C. ()f x 在[]1,3-上有5个零点
D. 当[]
2,3x ∈时， ()1
2
1x f x -=-
第II 卷 非选择题（共90分）
二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分) 13.在中，已知
，若
，则
周长的取值范围为__________．
14.曲线
在点（0,0）处的切线方程为______________；
15.各项均为正数的等比数列的前项和为，已知
，
,则
_____.
16.已知
且
,则
______。

三、解答题(本大题共6小题,共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

) 17. （本题12分）
在中，内角
的对边分别为
，已知
．
求； 若
，且
面积
，求的值．
18. （本题12分）
在ABC ∆中， CA CB CA CB +=-u u u v u u u v u u u v u u u v
.
(1) 求角C 的大小；
(2)若CD AB ⊥，垂足为D ，且4CD =，求ABC ∆面积的最小值. 19. （本题12分）
在
中，内角
的对边分别为
，
，三边
成等比数列，且
面积
为1，在等差数列中，
，公差为.
（1）求数列的通项公式； （2）数列
满足
，设
为数列
的前项和，求
的取值范围.
20. （本题10分）
某地拟规划种植一批芍药，为了美观，将种植区域（区域I ）设计成半径为1km 的扇形，
中心角
（
）.为方便观赏，增加收入，在种植区域外围规划观赏区（区域II ）
和休闲区（区域III ），并将外围区域按如图所示的方案扩建成正方形，其中点，分
别在边
和
上．已知种植区、观赏区和休闲区每平方千米的年收入分别是10万元、20万
元、20万元.
（1）要使观赏区的年收入不低于5万元，求的最大值； （2）试问：当为多少时，年总收入最大？
21. （本题12分）
已知函数.
(1)当时求函数
的最小值；
(2)若函数
在
上恒成立求实数的取值范围.
22. （本题12分）
已知函数()()()3211
1323
a f x x a x x a R =
-++-∈. （1）若1a >，求函数()f x 的极值；
（2）当01a << 时，判断函数()f x 在区间[]
0,2上零点的个数.
参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 D A
C
D
B
D
D
C
B
A
B
C
13. 14. 15.10
16.1
17.（1）；（2）
解析：（1）∵
，
∴b=2a（cosCcos+sinCsin ），可得：b=acosC+asinC ， 由正弦定理可得：sinB=sinAcosC+sinAsinC ，
可得：sin （A+C ）=sinAcosC+cosAsinC=sinAcosC+sinAsinC ， 可得：cosA=sinA ，可得：tanA=， ∵A∈（0，π）， ∴A= （2）∵
，且△ABC 面积
=bcsinA=
2c×c×，
∴解得：c=2，b=4，
∴由余弦定理可得：a 2
=b 2
+c 2
-2bccosA=48+4-2××2×=28，解得：
a=2
18.（1）2
C π
∠=（2）()min 16ABC S ∆=
解析：（1）由CA CB CA CB +=-u u u v u u u v u u u v u u u v ，两边平方22CA CB CA CB +=-u u u v u u u v u u u v u u u v ，
即()()
22CA CB CA CB +=-u u u v u u u v u u u v u u u v ，得到20CA CB ⋅=u u u v u u u v ，即CA CB ⊥u u u v u u u v。

所以2
C π
∠=
.
（2）在直角ADC ∆中， 4
sin sin CD AC A A =
= ， 在直角BDC ∆中， 4
sin sin CD BC B B
== ， 又0,2A π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以sin sin cos 2B A A π⎛⎫=-= ⎪⎝⎭
， 所以1
144816
22sin sin sin cos sin2ABC S CA CB A B A A A
∆=⋅=⋅⋅== ， 由+2
A B π
=
得， ()20,A π∈，故(]sin20,1A ∈，
当且仅当4
A π
=时， ()max sin21A =，从而()min 16ABC S ∆= . 19.（1）
，
（2）
解析：（1）∵，，
，
∴，
.
（2）∵，
∴
∵是关于n 的增函数
，
∴
.
20.（1）（2） 解析：（1）∵，
，
，所以
与
全等.
所以
，观赏区的面积为
，要使得观赏区的
年收入不低于5万元，则要求，即，结合可知，
则的最大值为. （2）种植区的面积为，
正方形面积为，
设年总收入为
万元，则
，
其中，求导可得.
当时，，
递增；当
时，
，
递增.
所以当
时，
取得最大值，此时年总收入最大. 21.(1)4.(2) . 解析：（Ⅰ）当
时，
，当且仅当
，即
时等号成立，
所以．
（Ⅱ）由题意得在上恒成立，
即在
上恒成立， 所以在
上恒成立，
即在上恒成立， 设，则在
上单调递减，在
上单调递增，
∴， 又
， ，
解得，
所以实数的取值范围是．
22.解析：
（1）∵()()32
111323
a f x x a x x =-++-，
∴()()()2
1
111f x ax a x a x x a ⎛⎫=-++=-- ⎝
'⎪⎭
，
因为1a >，所以1
01a
<<，
当x 变化时， ()(),f x f x '的变化情况如下表：
x
1,a ⎛⎫-∞ ⎪⎝
⎭ 1a 1,1a ⎛⎫ ⎪⎝⎭
1 ()1,+∞
()f x '
+ 0 -
0 +
()f x
递增 极大值
递减 极小值
递增
由表可得当1x a =时， ()f x 有极大值，且极大值为2
21231
6a a f a a -+-⎛⎫= ⎪⎝⎭
，
当1x =时， ()f x 有极小值，且极小值为()()1
116
f a =--. （2）由（1）得()()11f x a x x a ⎛
⎫
=-- ⎝
'⎪⎭。

∵01a <<，∴1
1a
≥.
① 当11202
a a ≥<≤，即时， ()f x 在()0,1上单调递增，在()1,2上递减 又因为()()()()()111
00,110,2210363f f a f a =-=--=-≤ 所以()f x 在（0,1）和（1,2）上各有一个零点， 所以()[]0,2f x 在上有两个零点。

② 当1
12a <<，即112a <<时， ()f x 在()0,1上单调递增，在11,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭
上递减，
在1,2a ⎛⎫
⎪⎝⎭
上递增， 又因为()()()()()2
21111100,110,0366a a f f a f a a ---⎛⎫=-=--=> ⎪⎝⎭
所以()f x 在[]0,1上有且只有一个零点，在[]1,2上没有零点， 所以在[]0,2上有且只有只有一个零点.
综上：
当
1
2
a
<≤时，()
f x在[]
0,2上有两个零点；
当1
1
2
a
<<时，()
f x在[]
0,2上有且只有一个零点。