2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析(1581)

顺义区第二中学校2019-2020学年上学期高二数学12月月考试题含解析
班级__________ 姓名__________ 分数__________
一、选择题
1． 数列{}n a 中，11a =，对所有的2n ≥，都有2123
n a a a a n =，则35a a +等于（ ）
A ．
259 B ．2516 C ．61
16 D ．3115
2． 已知全集U={0，1，2，3，4}，集合A={0，1，3}，B={0，1，4}，则（∁U A ）∪B 为（ ）
A ．{0，1，2，4}
B ．{0，1，3，4}
C ．{2，4}
D ．{4}
3． 已知集合A={x|x 是平行四边形}，B={x|x 是矩形}，C={x|x 是正方形}，D={x|x 是菱形}，则（ ）
A ．A ⊆
B B ．
C ⊆B C ．
D ⊆C D ．A ⊆D
4． 已知点A （0，1），B （3，2），C （2，0），若AD →＝2DB →，则|CD →
|为（ ）
A ．1 B.4
3
C.53
D ．2 5． 如图所示是一个几何体的三视图，其中正视图是一个正三角形，则这个几何体的表面积是（ ）
A ．
B ．
C ． +
D ． ++1
6． 已知在数轴上0和3之间任取一实数，则使“2log 1x <”的概率为（ ）
A ．
14 B ．18 C ．2
3 D ．112
7． 等比数列的前n 项，前2n 项，前3n 项的和分别为A ，B ，C ，则（ ）
A ．
B 2=A
C B ．A+C=2B C ．B （B ﹣A ）=A （C ﹣A ）
D ．B （B
﹣A ）=C （C ﹣A ）
8． 设,,a b c 分别是ABC ∆中，,,A B C ∠∠∠所对边的边长，则直线sin 0A x ay c ++=与
sin sin 0bx B y C -+=的位置关系是（ ）
A ．平行
B ． 重合
C ． 垂直
D ．相交但不垂直
9． 过抛物线y 2=﹣4x 的焦点作直线交抛物线于A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），若x 1+x 2=﹣6，则|AB|为（ ） A ．8
B ．10
C ．6
D ．4
10．定义在[1，+∞）上的函数f （x ）满足：①当2≤x ≤4时，f （x ）=1﹣|x ﹣3|；②f （2x ）=cf （x ）（c 为正常数），
若函数的所有极大值点都落在同一直线上，则常数c 的值是（ ）
A ．1
B ．±2
C ．或3
D ．1或2
11．已知x ＞1，则函数的最小值为（ ）
A ．4
B ．3
C ．2
D ．1
12．若P 是以F 1，F 2为焦点的椭圆
=1（a ＞b ＞0）上的一点，且
=0，tan ∠PF 1F 2=
，则此椭圆的离心率为（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
二、填空题
13．设是空间中给定的个不同的点，则使成立的点的
个数有_________个．
14．已知实数x ，y 满足
，则目标函数z=x ﹣3y 的最大值为
15．已知M N 、为抛物线2
4y x =上两个不同的点，F 为抛物线的焦点．若线段MN 的中点的纵坐标为2，||||10MF NF +=，则直线MN 的方程为_________. 16．设直线系M ：xcos θ+（y ﹣2）sin θ=1（0≤θ≤2π），对于下列四个命题： A ．M 中所有直线均经过一个定点
B ．存在定点P 不在M 中的任一条直线上
C ．对于任意整数n （n ≥3），存在正n 边形，其所有边均在M 中的直线上
D．M中的直线所能围成的正三角形面积都相等
其中真命题的代号是（写出所有真命题的代号）．
17．复数z=（i虚数单位）在复平面上对应的点到原点的距离为．
18．在直三棱柱中，∠ACB=90°，AC=BC=1，侧棱AA1=，M为A1B1的中点，则AM 与平面AA1C1C所成角的正切值为（）
A．B．C．D．
三、解答题
19．设f（x）=ax2﹣（a+1）x+1
（1）解关于x的不等式f（x）＞0；
（2）若对任意的a∈[﹣1，1]，不等式f（x）＞0恒成立，求x的取值范围．
20．如图1，圆O的半径为2，AB，CE均为该圆的直径，弦CD垂直平分半径OA，垂足为F，沿直径AB将半圆ACB所在平面折起，使两个半圆所在的平面互相垂直（如图2）（Ⅰ）求四棱锥C﹣FDEO的体积
（Ⅱ）如图2，在劣弧BC上是否存在一点P（异于B，C两点），使得PE∥平面CDO？若存在，请加以证明；若不存在，请说明理由．
21． 坐标系与参数方程
线l ：3x+4y ﹣12=0与圆C ：（θ为参数 ）试判断他们的公共点个数．
22．某城市100户居民的月平均用电量（单位：度），以[)160,180，[)180,200，[)200,220，
[)220,240，[)240,260，[)260,280，[]280,300分组的频率分布直方图如图．
（1）求直方图中的值；
（2）求月平均用电量的众数和中位数．
1111]
23．在△ABC 中，cos2A ﹣3cos （B+C ）﹣1=0． （1）求角A 的大小；
（2）若△ABC 的外接圆半径为1，试求该三角形面积的最大值．
24．已知定义域为R的函数f（x）=是奇函数．
（Ⅰ）求b的值；
（Ⅱ）判断函数f（x）的单调性；
（Ⅲ）若对任意的t∈R，不等式f（t2﹣2t）+f（2t2﹣k）＜0恒成立，求k的取值范围．
顺义区第二中学校2019-2020学年上学期高二数学12月月考试题含解析（参考
答案）
一、选择题
1． 【答案】C 【解析】
试题分析：由2123
n a a a a n =，则2
1231
(1)n a a a a n -=-，两式作商，可得22(1)n n a n =-，所以2235223561
2416
a a +=+=，故选C ．
考点：数列的通项公式．
2． 【答案】A
【解析】解：∵U={0，1，2，3，4}，集合A={0，1，3}，
∴C U A={2，4}， ∵B={0，1，4}， ∴（C U A ）∪B={0，1，2，4}．
故选：A ．
【点评】本题考查集合的交、交、补集的混合运算，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答．
3． 【答案】B
【解析】解：因为菱形是平行四边形的特殊情形，所以D ⊂A ， 矩形与正方形是平行四边形的特殊情形，所以B ⊂A ，C ⊂A ， 正方形是矩形，所以C ⊆B ． 故选B ．
4． 【答案】
【解析】解析：选C.设D 点的坐标为D （x ，y ），
∵A （0，1），B （3，2），AD →＝2DB →
，
∴（x ，y －1）＝2（3－x ，2－y ）＝（6－2x ，4－2y ），
∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝6－2x ，y －1＝4－2y
即x ＝2，y ＝53
，
∴CD →
＝（2，53）－（2，0）＝（0，53
），
∴|CD →
|＝02＋（53）2＝53，故选C.
5． 【答案】D
【解析】解：由三视图可知：该几何体是如图所示的三棱锥，
其中侧面PAC ⊥面ABC ，△PAC 是边长为2的正三角形，△ABC 是边AC=2， 边AC 上的高OB=1，PO=
为底面上的高．
于是此几何体的表面积S=S △PAC +S △ABC +2S △
PAB =
××2+×2×1+2×××=+1+．
故选：D
【点评】本题考查的知识点是由三视图求体积和表面积，解决本题的关键是得到该几何体的形状．
6． 【答案】C 【解析】
试题分析：由2log 1x <得02x <<,由几何概型可得所求概率为202
303
-=-.故本题答案选C.
考点：几何概型． 7． 【答案】C 【解析】解：若公比q=1，则B ，C 成立；
故排除A ，D ； 若公比q ≠1，
则A=S n =，B=S 2n =
，C=S 3n =
，
B （B ﹣A ）=（﹣）=
（1﹣q n
）（1﹣q n
）（1+q n
）
A （C ﹣A ）=
（﹣）=
（1﹣q n
）（1
﹣q n ）（1+q n
）；
故B （B ﹣A ）=A （C ﹣A ）；
故选：C ． 【点评】本题考查了等比数列的性质的判断与应用，同时考查了分类讨论及学生的化简运
算能力．
8． 【答案】C 【解析】
试题分析：由直线sin 0A x ay c ++=与sin sin 0bx B y C -+=，
则sin (sin )2sin sin 2sin sin 0A b a B R A B R A B ⋅+⋅-=-=，所以两直线是垂直的，故选C. 1
考点：两条直线的位置关系.
9． 【答案】A
【解析】解：由题意，p=2，故抛物线的准线方程是x=1，
∵抛物线y 2
=﹣4x 的焦点作直线交抛物线于A （x 1，y 1）B （x 2，y 2）两点
∴|AB|=2﹣（x 1+x 2）， 又x 1+x 2=﹣6
∴∴|AB|=2﹣（x 1+x 2）=8 故选A
10．【答案】D
【解析】解：∵当2≤x ≤4时，f （x ）=1﹣|x ﹣3|． 当1≤x ＜2时，2≤2x ＜4，
则f （x ）=f （2x ）=（1﹣|2x ﹣3|），
此时当x=时，函数取极大值； 当2≤x ≤4时， f （x ）=1﹣|x ﹣3|；
此时当x=3时，函数取极大值1；
当4＜x ≤8时，2＜≤4，
则f （x ）=cf （）=c （1﹣|﹣3|）， 此时当x=6时，函数取极大值c ．
∵函数的所有极大值点均落在同一条直线上，
即点（，），（3，1），（6，c ）共线，
∴=，
解得c=1或2．
故选D．
【点评】本题考查的知识点是三点共线，函数的极值，其中根据已知分析出分段函数f（x）的解析式，进而求出三个函数的极值点坐标，是解答本题的关键．
11．【答案】B
【解析】解：∵x＞1∴x﹣1＞0
由基本不等式可得，
当且仅当即x﹣1=1时，x=2时取等号“=”
故选B
12．【答案】A
【解析】解：∵
∴，即△PF1F2是P为直角顶点的直角三角形．
∵Rt△PF1F2中，，
∴=，设PF2=t，则PF1=2t
∴=2c，
又∵根据椭圆的定义，得2a=PF1+PF2=3t
∴此椭圆的离心率为e====
故选A
【点评】本题给出椭圆的一个焦点三角形为直角三角形，根据一个内角的正切值，求椭圆的离心率，着重考查了椭圆的基本概念和简单几何性质，属于基础题．
二、填空题
13．【答案】1
【解析】【知识点】平面向量坐标运算
【试题解析】设
设，则
因为，
所以，所以
因此，存在唯一的点M，使成立。

故答案为：
14．【答案】5
【解析】解：由z=x﹣3y得y=，
作出不等式组对应的平面区域如图（阴影部分）：
平移直线y=，
由图象可知当直线y=经过点C时，直线y=的截距最小，此时z最大，
由，解得，即C（2，﹣1）．
代入目标函数z=x﹣3y，
得z=2﹣3×（﹣1）=2+3=5，
故答案为：5．
15．【答案】20x y --=
【解析】解析： 设1122(,)(,)M x y N x y 、，那么12||||210MF NF x x +=++=，
128x x +=，∴线段MN 的中点坐标为(4,2).由2114y x =，2
2
24y x =两式相减得121212()()4()y y y y x x +-=-，而12
22
y y +=，∴12121y y x x -=-，∴直线MN 的方程为
24y x -=-，即20x y --=.
16．【答案】BC 【解析】
【分析】验证发现，直线系M ：xcos θ+（y ﹣2）sin θ=1（0≤θ≤2π）表示圆x 2
+（y ﹣2）2
=1
的切线的集合，
A ．M 中所有直线均经过一个定点（0，2）是不对，可由圆的切线中存在平行线得出，
B ．存在定点P 不在M 中的任一条直线上，观察直线的方程即可得到点的坐标．
C ．对于任意整数n （n ≥3），存在正n 边形，其所有边均在M 中的直线上，由直线系的几何意义可判断，
D ．M 中的直线所能围成的正三角形面积一定相等，由它们是同一个圆的外切正三角形可判断出．
【解答】解：因为点（0，2）到直线系M ：xcos θ+（y ﹣2）sin θ=1（0≤θ≤2π）中每条直线的距离d=
=1，直线系M ：xcos θ+（y ﹣2）sin θ=1（0≤θ≤2π）表示圆
x 2
+（y ﹣2）2
=1的切线的集合，
A ．由于直线系表示圆x 2+（y ﹣2）2
=1的所有切线，其中存在两条切线平行，M 中所有直线均经过一个定点（0，2）不可能，故A 不正确；
B ．存在定点P 不在M 中的任一条直线上，观察知点M （0，2）即符合条件，故B 正确；
C ．由于圆的所有外切正多边形的边都是圆的切线，所以对于任意整数n （n ≥3），存在正n 边形，其所有边均在M 中的直线上，故C 正确；
D ．如下图，M 中的直线所能围成的正三角形有两类，
其一是如△ABB ′型，是圆的外切三角形，此类面积都相等，另一类是在圆同一侧，如△BDC 型，此一类面积相等，但两类之间面积不等，所以面积大小不一定相等， 故本命题不正确． 故答案为：BC ．
17．【答案】．
【解析】解：复数z==﹣i（1+i）=1﹣i，
复数z=（i虚数单位）在复平面上对应的点（1，﹣1）到原点的距离为：．
故答案为：．
【点评】本题考查复数的代数形式的混合运算，复数的几何意义，考查计算能力．
18．【答案】
【解析】解：法1：取A1C1的中点D，连接DM，
则DM∥C1B1，
在在直三棱柱中，∠ACB=90°，
∴DM⊥平面AA1C1C，
则∠MAD是AM与平面AA1C1C所的成角，
则DM=，AD===，
则tan∠MAD=．
法2：以C1点坐标原点，C1A1，C1B1，C1C分别为X，Y，Z轴正方向建立空间坐标系，则∵AC=BC=1，侧棱AA
=，M为A1B1的中点，
1
∴=（﹣，，﹣），=（0，﹣1，0）为平面AA1C1C的一个法向量
设AM与平面AA1C1C所成角为θ，
则sinθ=||=
则tanθ=
故选：A
【点评】本题考查的知识点是直线与平面所成的角，其中利用定义法以及建立坐标系，求出直线的方向向量和平面的法向量，将线面夹角问题转化为向量夹角问题是解答本题的关键．
三、解答题
19．【答案】
【解析】解：（1）f（x）＞0，即为ax2﹣（a+1）x+1＞0，
即有（ax﹣1）（x﹣1）＞0，
当a=0时，即有1﹣x＞0，解得x＜1；
当a＜0时，即有（x﹣1）（x﹣）＜0，
由1＞可得＜x＜1；
当a=1时，（x﹣1）2＞0，即有x∈R，x≠1；
当a＞1时，1＞，可得x＞1或x＜；
当0＜a＜1时，1＜，可得x＜1或x＞．
综上可得，a=0时，解集为{x|x＜1}；
a＜0时，解集为{x|＜x＜1}；
a=1时，解集为{x|x∈R，x≠1}；
a＞1时，解集为{x|x＞1或x＜}；
0＜a＜1时，解集为{x|x＜1或x＞}．
（2）对任意的a∈[﹣1，1]，不等式f（x）＞0恒成立，
即为ax2﹣（a+1）x+1＞0，
即a（x2﹣1）﹣x+1＞0，对任意的a∈[﹣1，1]恒成立．
设g（a）=a（x2﹣1）﹣x+1，a∈[﹣1，1]．
则g（﹣1）＞0，且g（1）＞0，
即﹣（x2﹣1）﹣x+1＞0，且（x2﹣1）﹣x+1＞0，
即（x﹣1）（x+2）＜0，且x（x﹣1）＞0，
解得﹣2＜x＜1，且x＞1或x＜0．
可得﹣2＜x＜0．
故x的取值范围是（﹣2，0）．
20．【答案】
【解析】解：（Ⅰ）如图1，∵弦CD垂直平分半径OA，半径为2，
∴CF=DF，OF=，
∴在Rt△COF中有∠COF=60°，CF=DF=，
∵CE为直径，∴DE⊥CD，
∴OF∥DE，DE=2OF=2，
∴，
图2中，平面ACB⊥平面ADE，平面ACB∩平面ADE=AB，
又CF⊥AB，CF⊂平面ACB，
∴CF⊥平面ADE，则CF是四棱锥C﹣FDEO的高，
∴．
（Ⅱ）在劣弧BC上是存在一点P（劣弧BC的中点），使得PE∥平面CDO．证明：分别连接PE，CP，OP，
∵点P为劣弧BC弧的中点，∴，
∵∠COF=60°，∴∠COP=60°，则△COP为等边三角形，
∴CP∥AB，且，又∵DE∥AB且DE=，
∴CP∥DE且CP=DE，
∴四边形CDEP为平行四边形，
∴PE∥CD，
又PE⊄面CDO，CD⊂面CDO，
∴PE∥平面CDO．
【点评】本题以空间几何体的翻折为背景，考查空间几何体的体积，考查空间点、线、面的位置关系、线面平行及线面垂直等基础知识，考查空间想象能力，求解运算能力和推理论证能力，考查数形结合，化归与数学转化等思想方法，是中档题．
21．【答案】
【解析】解：圆C：的标准方程为（x+1）2+（y﹣2）2=4
由于圆心C（﹣1，2）到直线l：3x+4y﹣12=0的距离
d==＜2
故直线与圆相交
故他们的公共点有两个．
【点评】本题考查的知识点是直线与圆的位置关系，圆的参数方程，其中将圆的参数方程化为标准方程，进而求出圆心坐标和半径长是解答本题的关键．
x=；（２）众数是230，中位数为224．
22．【答案】（１）0.0075
【解析】
试题分析：（１）利用频率之和为一可求得的值；（２）众数为最高小矩形底边中点的横坐标；中位数左边和右边的直方图的面积相等可求得中位数．1
试题解析：（1）由直方图的性质可得
++++++⨯=，
x
(0.0020.00950.0110.01250.0050.0025)201
x=．
∴0.0075
考点：频率分布直方图；中位数；众数．
23．【答案】
【解析】（本题满分为12分）
解：（1）∵cos2A﹣3cos（B+C）﹣1=0．
∴2cos2A+3cosA﹣2=0，…2分
∴解得：cosA=，或﹣2（舍去），…4分
又∵0＜A＜π，
∴A=…6分
（2）∵a=2RsinA=，…
又∵a2=b2+c2﹣2bccosA=b2+c2﹣bc≥bc，
∴bc≤3，当且仅当b=c时取等号，…
∴S△ABC=bcsinA=bc≤，
∴三角形面积的最大值为．…
24．【答案】
【解析】解：（Ⅰ）因为f（x）是奇函数，所以f（0）=0，
即⇒b=1，
∴．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，
设x1＜x2则f（x1）﹣f（x2）=﹣=
因为函数y=2x在R上是增函数且x1＜x2∴f（x1）﹣f（x2）=＞0
即f（x1）＞f（x2）
∴f（x）在（﹣∞，+∞）上为减函数
（III）f（x）在（﹣∞，+∞）上为减函数，又因为f（x）是奇函数，
所以f（t2﹣2t）+f（2t2﹣k）＜0
等价于f（t2﹣2t）＜﹣f（2t2﹣k）=f（k﹣2t2），
因为f（x）为减函数，由上式可得：t2﹣2t＞k﹣2t2．
即对一切t∈R有：3t2﹣2t﹣k＞0，
从而判别式．
所以k的取值范围是k＜﹣．
【点评】本题主要考查函数奇偶性与单调性的综合应用；同时考查一元二次不等式恒成立问题的解决策略，是一道综合题．。