12 决策分析2--后验决策

若完全信息认定市场需求小，投资者会选择Q3，得益5.
但投资者在购买信息之前并不知道信息内容，也就无法知 道确切的收益，只能根据各种自然状态出现的概率计算获 得完全信息的期望收益值：30*0.3+5*0.7=12.5
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S1(需求量大) S 2(需求量小)
P ( S1 )=0.3
Q （大批量生产） 1 Q （中批量生产） 2 Q （小批量生产） 3
P( S j | I i )
（3）每种预测结果下的期望收益：
P( S j ) P( I i S j ) P( I i )
预测结果为“经济形势好”I1时，三种方案的收益？---判断最优方案； 预测结果为“经济形势差”I2时，三种方案的收益？---判断最优方案； （4）购买信息的期望收益：
预测结果I1的概率*I1时最优方案的收益+预测结果I2的概率*I2时最优方案 的收益
P(I2)＝P(S1)P(I2S1)+P(S2)P(I2S2)＝ 0.5×0.1 + 0.5×0.8= 0.45 用Bayes公式求解各事件的后验概率：
做地震试验结果好的条件下有油的概率
P(S1 )P(I1 | S1 ) 0.45 9 P(S1 | I1 ) P ( I1 ) 0.55 11
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S1(需求量大) S 2(需求量小)
P ( S1 )=0.3
Q （大批量生产） 1 Q （中批量生产） 2 Q （小批量生产） 3
P ( S 2 )=0.7
E (Qi )
30 20 10
-6 -2 5
4.8 4.6 6.5
如果投资者可以买到有关需求形势大小的确切信息（完全
信息），愿意多少钱购买？ 若完全信息认定市场需求大，投资者会选择 Q1，得益30；
Chapter12 决策分析
本章主要内容：
基本问题
严格不确定决策
风险型决策
12.3
风险决策
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信息价值（EVPI）：
完全信息：决策者能完全肯定未来哪个自然状态会发生。 若能获得完全信息，风险型决策便转化为确定型决策，因此 决策的准确性会大幅度提高。 要获得信息必须支付一定的费用（调研，购买），在决定支 付这些费用之前，决策者应首先估计这些信息的价值。
做地震试验结果好的条件下无油的概率
P(S 2 )P(I1 | S 2 ) 0.10 2 P(S 2 | I1 ) P ( I1 ) 0.55 11
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做地震试验结果不好的条件下有油的概率
P(S1 )P(I 2 | S1 ) 0.05 1 P(S1 | I 2 ) P(I 2 ) 0.45 9
无油地区,做试验结果好(I1)的概率P(I1S2)＝0.2
无油地区,做试验结果不好(I2)的概率P(I2S2)＝0.8 求：在该地区做试验后,有油和无油的概率各为多少？
解：
做地震试验结果好的概率
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P(I1 )＝P(S1)P(I1S1)＋P(S2 ) P(I1S2)＝0.5×0.9+0.5×0.2=0.55 做地震试验结果不好的概率
0.3 *0.2 0.7 *0.9 0.69
P( S j | I i )
P( S j ) P( I i S j ) P( I i )
Hale Waihona Puke Baidu
P （I1 / S1 ) 0.8; P （I 2 / S1 ) 0.2 P （I1 / S2 ) 0.1; P （I 2 / S2 ) 0.9
（5）决策：是否购买信息？
P （I1 / S1 ) 0.8; P （I 2 / S1 ) 0.2 P （I1 / S2 ) 0.1; P （I 2 / S2 ) 0.9
P ( S1 )=0.3 P ( S 2 )=0.7
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解（1）根据全概率公式计算概率（每种预测结果出现的概 率）：
P( I1 ) P( S1I1 ) P( S2 I1 )
P( S1 ) P( I1 S1 ) P( S2 ) P( I1 S2 )
0.3 * 0.8 0.7 * 0.1 0.31
P( I 2 ) P( S1I 2 ) P( S2 I 2 )
P ( S1 ) P ( I 2 S1 ) P( S 2 ) P( I 2 S 2 )
S1(需求量大) S 2(需求量小)
P （I1 / S1 ) 0.8; P （I 2 / S1 ) 0.2 P （I1 / S2 ) 0.1; P （I 2 / S2 ) 0.9
P ( S1 )=0.3 P ( S 2 )=0.7
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P(I1)=0.31, P(I2)=0.69
0.24 0.07 I1：P ( S1 | I1 )= ；P( S 2 | I1 )= 0.31 0.31
I 2：P ( S1 | I 2 )= 0.06 0.63 ；P( S2 | I 2 )= 0.69 0.69
S1(需求量大) S 2(需求量小)
P （I1 / S1 ) 0.8; P （I 2 / S1 ) 0.2 P （I1 / S2 ) 0.1; P （I 2 / S2 ) 0.9
P( S2 ) P( I 2 S2 ) 0.7*0.9 0.63 = P( I 2 ) 0.69 0.69
0.24 0.07 I1：P ( S1 | I1 )= ；P( S 2 | I1 )= 0.31 0.31
I 2：P ( S1 | I 2 )= 0.06 0.63 ；P( S2 | I 2 )= 0.69 0.69
做地震试验结果不好的条件下无油的概率
P(S 2 )P(I 2 | S 2 ) 0.40 8 P(S 2 | I 2 ) P(I 2 ) 0.45 9
例2.油井钻探问题.
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某公司拥有一块可能有油的土地 ,该公司可以自己钻井 ,也可 以出租给其他公司开采;若出租土地,租约有两种形式:(1)无条 件出租,租金45万元; (2)有条件出租,租金依产量而定:产量在 20万桶或以上时,每桶提成5元;产量不足20万捅时不收租金. 设钻井费用为75万元,有油时需另加采油设备费25万元,油价 为15元/桶.为了简化,可以将油井产量离散化,分为4种状态:无 油、产油5万桶、产油20万桶、产油50万桶. 设各种状态的主观概率如下表 ,且决策人风险中性 ,决策人应 该选择什么行动?
P ( S1 ) P ( I1 S1 ) 0.3*0.8 0.24 = 0.3 1 0.31 P( I1 ) P( S 2 ) P( I1 S 2 ) 0.7*0.1 0.07 = 0.3 1 0.31 P ( I1 ) P ( S1 ) P ( I 2 S1 ) 0.7*0.1 0.07 = P( I 2 ) 0.31 0.31
公司面临的决策问题：
是否请调查公司调查 选择哪个方案
P( S j | I i )
P( S j ) P( I i S j ) P( I i )
解：（步骤）
（1）根据全概率公式计算概率（每种预测结果出现的概率）： P(I1)=?, P(I2)=?
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（2）根据贝叶斯公式计算后验概率（某种预测结果已知（I1或I2）的条件 下，行业形势好（S1）、差（S2）的概率）分别为：
Q （大批量生产） 1 Q （中批量生产） 2 Q （小批量生产） 3
30 20 10
-6 -2 5
（3）每种预测结果下的期望收益：
预测结果为“经济形势好”I1时，三种方案的收益？---判断最优方案； 预测结果为“经济形势差”I2时，三种方案的收益？---判断最优方案；
P( S2 | I1 )=22 方案Q1：30 P( S1 | I1 )+（-6） I1 方案Q2：20 P ( S1 | I1 )+（-2） P( S2 | I1 )=15 方案Q ：10 P ( S | I )+（5） P( S2 | I1 )=9 3 1 1 P( S2 | I 2 )=-2.9 方案Q1：30 P ( S1 | I 2 )+（-6） I 2 方案Q2：20 P( S1 | I 2 )+（-2） P( S2 | I 2 )=-0.1 方案Q ：10 P( S | I )+（5） P( S2 | I 2 ) =5.4 3 1 2
P ( S1 )=0.3 P ( S 2 )=0.7
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P(I1)=0.31, P(I2)=0.69
P( S2 | I1 )=22 方案Q1：30 P( S1 | I1 )+（-6） I1 方案Q2：20 P ( S1 | I1 )+（-2） P( S2 | I1 )=15 方案Q ：10 P ( S | I )+（5） P( S2 | I1 )=9 3 1 1 P( S2 | I 2 )=-2.9 方案Q1：30 P ( S1 | I 2 )+（-6） I 2 方案Q2：20 P( S1 | I 2 )+（-2） P( S2 | I 2 )=-0.1 方案Q ：10 P( S | I )+（5） P( S2 | I 2 ) =5.4 3 1 2
（5）决策：先验决策结果6.5，10.5-6.5=4>3(信息费)，所以够买。
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例 1、某钻井大队在某地进行石油勘探 ,主观估计该地区为有
油地区(S1)的概率为 P(S1)＝0.5,无油(S2 )的概率为P(S2 )＝0.5, 为提高勘探效果,先做地震试验,根据积累资料得知: 有油地区,做试验结果好(I1)的概率P(I1S1)＝0.9 有油地区,做试验结果不好(I2)的概率P(I2S1)＝0.1
P （I1 / S1 ) 0.8; P （I 2 / S1 ) 0.2 P （I1 / S2 ) 0.1; P （I 2 / S2 ) 0.9
条件概率能显示该公司市场调查的准确程度，这是通过其以 往表现得出的。
问题：
如何用样本情报进行决策？
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如果样本情报要价3万元，决策者是否要使用样本情报？
P ( S 2 )=0.7
E (Qi )
30 20 10
-6 -2 5
4.8 4.6 6.5
全信息的价值=有全信息时期望收益 – 无全信息时期望值
EVPI = EPPL - EMV
= 12.5 – 6.5 = 6
12.3
风险决策
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二、后验决策 处理风险决策问题时,需要知道各种状态出现的概率:P(S1), P(S2), … , P(Sn),这些概率称为先验概率. 风险是由于信息不充分造成的 ,决策过程还可以不断收集信 息,如果收集到进一步信息I,对原有各种状态出现概率估计可 能会有变化 ,变化后的概率为 P(SjI),此条件概率表示在追加 信息I后对原概率 P(Sj)的一个修正 ,所以称为后验概率 .Bayes 法就是一种后验概率方法.
P ( S1 )=0.3 P ( S 2 )=0.7
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P(I1)=0.31, P(I2)=0.69
（2）根据贝叶斯公式计算后验概率（某种预测结果已知（I1 或I2）的条件下，行业形势好（S1）、差（S2）的概率）分 别为：
I1 I2
P ( S1 | I1 ) P ( S2 | I1 ) P( S1 | I 2 ) P( S2 | I 2 )
Q （大批量生产） 1 Q （中批量生产） 2 Q （小批量生产） 3
30 20 10
-6 -2 5
（4）购买信息的期望收益： 预测结果I1的概率*I1时最优方案的收益+预测结果I2的概率*I2时最优方案 的收益
22 P( I1 )+5.4 P( I 2 )=22 0.31+5.4 0.69=10.5
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P(SjIi )通过概率论中Bayes公式计算得出 Bayes公式:
P( S j | I i )
其中
P( S j ) P( I i S j ) P( I i )
P(Sj):
先验概率
P(Sj |Ii ): 给定I=Ii是真实状态时Sj的后验概率.
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公司委托一个咨询公司作市场调查，调查结果（预测结果） 有两种： （1）经济形势好I1 （2）经济形势差I2