山东省济南市济宁市联办高级中学高一数学文上学期期末试题含解析

山东省济南市济宁市联办高级中学高一数学文上学期
期末试题含解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1. 函数的定义域是
()．A．[－1，＋∞) B．(－∞，0)∪(0，＋∞)
C．[－1,0)∪(0，＋∞) D．R
参考答案：
C
略
2. （4分）要得到的图象，需要将函数y=sin2x的图象（）
A．向左平移个单位B．向右平移个单位
C．向左平移个单位D．向右平移个单位
参考答案：
D
考点：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．
专题：计算题．
分析：由左加右减上加下减的原则可确定函数y=sin2x到的路线，进行平移变换，推出结果．
解答：将函数y=sin2x向右平移个单位，即可得到的图象，就是的图象；
故选D．
点评：本题主要考查三角函数的平移．三角函数的平移原则为左加右减上加下减．注意x 的系数．
3. 长方体的一个顶点上三条棱的边长分别为3、4、5，且它的八个顶点都在同一个球面上，这个球的表面积是（）
A. B. C. D.
参考答案：
C
4. .若直线被圆截得弦长为4，则
的最小值是（）
A. 9
B. 4
C.
D.
参考答案：
A
圆的标准方程为：（x+1）2+（y﹣2）2 =4，
它表示以（﹣1，2）为圆心、半径等于2的圆；
设弦心距为d，由题意可得22+d2=4，求得d=0，
可得直线经过圆心，故有﹣2a﹣2b+2=0，
即a+b=1，再由a＞0，b＞0，可得
=（）（a+b）=5+≥5+2
当且仅当=时取等号，∴的最小值是9．
故选：A．
点睛：本题主要考查基本不等式，其难点主要在于利用三角形的一边及这条边上的高表示内接正方形的边长.在用基本不等式求最值时，应具备三个条件：一正二定三相等.①一
正：关系式中，各项均为正数；②二定：关系式中，含变量的各项的和或积必须有一个为定值；③三相等：含变量的各项均相等，取得最值.
5. 已知是常数，如果函数的图像关于点中心对称，那么
的最小值为（）
A. B. C. D.
参考答案：
C
分析】
将点的坐标代入函数的解析式，得出，求出的表
达式，可得出的最小值.
【详解】由于函数的图象关于点中心对称，则
，
，则，
因此，当时，取得最小值，故选：C.
【点睛】本题考查余弦函数的对称性，考查初相绝对值的最小值，解题时要结合题中条件求出初相的表达式，结合表达式进行计算，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.
6. 直线与圆的位置关系是
A. 相交且过圆心
B. 相切
C. 相交不过圆心
D. 相离
参考答案：
B
7. 化简得（）
A．6 B． C．6或 D．6或或
参考答案：
C
8. 已知函数f（x）=，则满足f（x）≤2的x的取值范围是（） A． [﹣1，2] B． [0，2] C． [1，+∞） D． [﹣1，+∞）
参考答案：
D
考点：分段函数的应用．
专题：函数的性质及应用．
分析：根据分段函数的表达式，分别进行求解即可得到结论．
解答：解：当x≤1时，x2+1≤2，得﹣1≤x≤1，
当x＞1时，由1﹣log2x≤2，得log2x≥﹣1．
∴x≥，∴x＞1
综上可知，实数x的取值范围是x≥﹣1．
故选：D
点评：本题主要考查不等式的求解，利用分段函数的表达式分别进行求解是解决本题的关键．
9. 如果函数f（x）=x2+2（a﹣1）x+2在（﹣∞，4]上是减函数，那么实数a取值范围是（）
A．a≤﹣3 B．a≥﹣3 C．a≤5D．a≥5
参考答案：
A
【考点】二次函数的性质．
【分析】先用配方法将二次函数变形，求出其对称轴，再由“在（﹣∞，4]上是减函数”，知对称轴必须在区间的右侧，求解即可得到结果．
【解答】解：∵f（x）=x2+2（a﹣1）x+2=（x+a﹣1）2+2﹣（a﹣1）2
其对称轴为：x=1﹣a
∵函数f（x）=x2+2（a﹣1）x+2在（﹣∞，4]上是减函数
∴1﹣a≥4
∴a≤﹣3
故选A
10. 在△ABC中，，，，则△ABC的面积为（）
A. 2
B. 3
C.
D.
参考答案：
C
【分析】
将题干中的式子变形为，解得，由余弦定理得到边长b,c,再由同角三角函数关系得到，进而得到面积.
【详解】在中，，两边同除以
因式分解得到
，
的面积为
代入得到面积为：.
故答案为：C.
【点睛】本题主要考查余弦定理的应用以及三角形面积公式，在解与三角形有关的问题时，正弦定理、余弦定理是两个主要依据.
二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. A={x|}的所有子集为______________.
参考答案：
略
12. 化简．
参考答案：
13. 已知多项式，且
满足则正数n的一个可能值为；
参考答案：
4
14. 若函数的定义域、值域都是闭区间[2，2b]，则b的取值为．
参考答案：
2
【考点】函数的值域；函数的定义域及其求法．
【分析】联系二次函数图象特点，注意函数在闭区间[2，2b]是单调增函数．
【解答】解：函数的图象是开口向上的抛物线，对称轴是x=2，
∴函数在闭区间[2，2b]上是单调增函数，
函数的定义域、值域都是闭区间[2，2b]
∴x=2b时，函数有最大值2b，
∴?4b2﹣2?2b+4=2b，∴b=1（舍去）或b=2，
∴b的取值为 2．
15. 已知f（x）=是（﹣∞，+∞）上的减函数，那么a的取值范围是．
参考答案：
≤a＜
【考点】分段函数的解析式求法及其图象的作法；函数单调性的性质；对数函数的单调性与特殊点．
【专题】计算题；压轴题．
【分析】由分段函数的性质，若f（x）=是（﹣∞，+∞）上的减函数，则分段函数在每一段上的图象都是下降的，且在分界点即x=1时，第一段函数的函数值应大于等于第二段函数的函数值．由此不难判断a的取值范围．
【解答】解：∵当x≥1时，y=log a x单调递减，
∴0＜a＜1；
而当x＜1时，f（x）=（3a﹣1）x+4a单调递减，
∴a＜；
又函数在其定义域内单调递减，
故当x=1时，（3a﹣1）x+4a≥log a x，得a≥，
综上可知，≤a＜．
故答案为：≤a＜
【点评】分段函数分段处理，这是研究分段函数图象和性质最核心的理念，具体做法是：分段函数的定义域、值域是各段上x、y取值范围的并集，分段函数的奇偶性、单调性要在各段上分别论证；分段函数的最大值，是各段上最大值中的最大者．
16. 如图一个水平放置的无盖透明的正方体容器，高12cm，将一个球放在容器口，在向容器内注水，当球面恰好接触水面时测得水深为8cm，如果不计容器厚度，则球的体积为cm3．
参考答案：
【考点】球的体积和表面积．
【分析】根据图形的性质，求出截面圆的半径，即而求出求出球的半径，得出体积
【解答】解：根据几何意义得出：边长为12的正方形，球的截面圆为正方形的内切圆，∴圆的半径为：6，
∵球面恰好接触水面时测得水深为8cm，
∴d=12﹣8=4，
∴球的半径为：R=，
R=
∴球的体积为π×（）3=cm3
故答案为：
17. 若，求函数的定义域为
参考答案：
三、解答题：本大题共5小题，共72分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
18. 在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，设S为△ABC的面积，满足4S=
（a2+b2﹣c2）．
（1）求角C的大小；
（2）若1+=，且?=﹣8，求c的值．
参考答案：
【考点】HR：余弦定理；9R：平面向量数量积的运算；GG：同角三角函数间的基本关系；HP：正弦定理．
【分析】（I）根据余弦定理与三角形的面积公式，化简题干中的等式解出
sinC=cosC，然后利用同角三角函数的关系得到，从而可得角C的大小；（II）根据同角三角函数的关系与正弦定理，化简得到，从而得出
A=，由三角形内角和定理算出B=．再由，利用向量数量积公式建立关于边c的等式，解之即可得到边c的值．
【解答】解：（Ⅰ）∵根据余弦定理得a2+b2﹣c2=2abcosC，△ABC的面积，∴由得，
化简得sinC=cosC，可得，
∵0＜C＜π，∴；
（Ⅱ）∵，∴ =，
可得，即．
∴由正弦定理得，解得，结合0＜A＜π，得A=．
∵△ABC中，，∴B=π﹣（A+C）=，
因此， =﹣||?||cosB=﹣c2
∵，
∴﹣c2=﹣8，解之得c=4（舍负）．
19. 已知数列{a n}满足：，
（1）求，的值；
（2）求数列{a n}的通项公式；
（3）设，数列{b n}的前n项和T n，求证：
参考答案：
(1) ；；(2) (3)见证明；
【分析】
（1）令可求得；
（2）在已知等式基础上，用代得另一等式，然后相减，可求得，并检验一下是否适合此表达式；
（3）用裂项相消法求和．
【详解】解：（1）由已知得
，∴
(2)由，①得
时，，②
①-②得
∴，
也适合此式，
∴（）．
（3）由（2）得，∴
∴
∵，∴
∴
【点睛】本题考查由数列的通项公式，考查裂项相消法求和．求通项公式时的方法与已知求的方法一样，本题就相当于已知数列的前项和，要求．注意首项求法的区别．
20. 已知，且.
（1）由的值；
（2）求的值.
参考答案：
（1）（2）
【解析】试题分析：（1）先根据诱导公式得,再根据同角三角函数关系求
的值；（2）先根据诱导公式化简得,再利用同角三角函数关系化切:,最后将(1)的数值代入化简得结果.
试题解析：解：（1）由，得，
又，则为第三象限角，所以，
所以.
（2）方法一：，
则
方法二：.
21. 已知如图几何体，正方形和矩形所在平面互相垂
直,,为的中点,。

(Ⅰ）求证: ；
(Ⅱ）求二面角的大小。

参考答案：
（I）连结交于,连结
因为为中点，为中点,
所以,
又因为,
所以;
(II)因为正方形和矩形所在平面互相垂直,
所以
以为原点，以为轴建立空间直角坐标系，如图取=1
,,,,
设平面的法向量为= (x ,y , z ),
设平面的法向量为= (x ,y , z ),
所以二面角的大小为。

22. 定义在R上的单调函数f(x)满足f(x+y)=f(x)+f(y)且f(1)=2
(1)求证：f(x)为奇函数
（2）当t>2时，不等式f(k)+f(-log22t-2)<0恒成立，求k的取值范围
参考答案：
（1）令x=y=0得,f(0)=2f(0)f(0)=0
再令y=-x得f(0)=f(x)+f(-x)
f(-x)=-f(x)即f(x)为奇函数
（2） f(0)=0，f(1)=2，且f(x)是R上的单调函数，
故f(x)是R上的单调递增函数，又f(x)为奇函数
f(klog2t)<-f(log2t-log22t-2)= f(log22t-log2t+2)
klog2t< log22t-log2t+2在t>2时恒成立
令m=log2t则m>1 即 km<m2-m+2 在m>1时恒成立
∴可化为m2-（k+1）m+2>0在m>1时恒成立
设g(m)= m2-（k+1）m+2
∵g(0)=2>0
则或<0 或解得 k<略。