五年级奥数.行程.比例解行程问题.教师版

比例的知识是小学数学最后一个重要内容，从某种意义上讲仿佛扮演着一个小学“压轴知识点”的角色。

从一个工具性的知识点而言，比例在解很多应用题时有着“得天独厚”的优势，往往体现在方法的灵活性和思维的巧妙性上，使得一道看似很难的题目变得简单明了。

比例的技巧不仅可用于解行程问题，对于工程问题、分数百分数应用题也有广泛的应用。

我们常常会应用比例的工具分析2个物体在某一段相同路线上的运动情况，我们将甲、乙的速度、时间、路程分别用,,v v t t s s 乙乙乙甲甲甲，
；；来表示，大体可分为以下两种情况：
1. 当2个物体运行速度在所讨论的路线上保持不变时，经过同一段时间后，他们走过的路程之比就等于他们的速度之比。

s v t s v t =⨯⎧⎨
=⨯⎩甲甲甲乙乙乙
，这里因为时间相同，即t t t ==乙甲,所以由s s
t t v v ==甲乙乙甲乙甲， 得到s s t v v ==
甲乙
乙甲
，s v s v =甲甲乙乙
，甲乙在同一段时间t 内的路程之比等于速度比
2. 当2个物体运行速度在所讨论的路线上保持不变时，走过相同的路程时，2个物体所用的时间之比等于他们速度的反比。

s v t s v t =⨯⎧⎨
=⨯⎩甲甲甲
乙
乙乙，这里因为路程相同，即s s s ==乙甲，由s v t s v t =⨯=⨯乙乙乙甲甲甲， 得s v t v t =⨯=⨯乙乙甲甲，v t v t =
甲乙
乙
甲
，甲乙在同一段路程s 上的时间之比等于速度比的反比。

知识框架
比例解行程问题
【例 1】甲、乙两车往返于A，B两地之间。

甲车去时的速度为60千米／时，返回时的速度为40千米／时；乙车往返的速度都是50千米／时。

求甲、乙两车往返一次所用时间的比。

【考点】行程问题之比例解行程【难度】2星【题型】解答【解析】25∶24。

提示：设A，B两地相距600千米。

【答案】25∶24
【巩固】一段路程分为上坡、平路、下坡三段，各段路程的长度之比是1∶2∶3，某人走这三段路所用的时间之比是4∶5∶6。

已知他上坡时每小时行2.5千米，路程全长为20千米。

此人走完全程需多长时间？
【考点】行程问题之比例解行程【难度】2星【题型】解答【解析】5时。

提示：先求出上坡的路程和所用时间。

【答案】5时
【例 2】甲、乙两车从相距330千米的A、B两城相向而行，甲车先从A城出发，过一段时间后，乙车才
从B城出发，并且甲车的速度是乙车速度的5
6。

当两车相遇时，甲车比乙车多行驶了30千米，
则甲车开出千米，乙车才出发。

【考点】行程问题之比例解行程【难度】2星【题型】解答【解析】两车相遇时共行驶330千米，但是甲多行30千米，可以求出两车分别行驶的路程，可得甲车行
驶180千米，乙车行驶150千米，由甲车速度是乙车速度的5
6
可以知道，当乙车行驶150千米的
时候，甲车实际只行驶了
5
150125
6
⨯=千米，那么可以知道在乙车出发之前，甲车已经行驶了
180-125=55千米。

【答案】55千米
【巩固】甲乙两车分别从A、B两地同时相向开出，甲车的速度是50千米/时，乙车的速度是40千米/时，
当甲车驶过A、B距离的1
3
多50千米时,与乙车相遇.A、B两地相距______千米。

【考点】行程问题之比例解行程【难度】2星【题型】解答
【解析】A B距离的1
3
多50千米即是AB距离的
55
459
=
+
，所以50千米的距离相当于全程的
512
939
⎛⎫
-=
⎪
⎝⎭
，例题精讲
全程的距离为
2
50225
9
÷=（千米）.
【答案】225千米
【例 3】甲乙两地相距12千米，上午10：45一位乘客乘出租车从甲地出发前往乙地，途中，乘客问司机
距乙地还有多远，司机看了计程表后告诉乘客：已走路程的1
3
加上未走路程的2倍，恰好等于已
走的路程，又知出租车的速度是30千米/小时，那么现在的时间是。

【考点】行程问题之比例解行程【难度】2星【题型】解答【解析】可设已走路程为X千米，未走路程为（12-X）千米。

列式为：X-1
3
X=(12-X)×2 解得：X=9
9306018
÷⨯=分钟，现在时间是11:03
【答案】11:03
【巩固】欢欢和贝贝是同班同学，并且住在同一栋楼里．早晨 7 : 40 ，欢欢从家出发骑车去学校， 7 :
46 追上了一直匀速步行的贝贝；看到身穿校服的贝贝才想起学校的通知，欢欢立即调头，并将
速度提高到原来的 2倍，回家换好校服，再赶往学校；欢欢 8 : 00赶到学校时，贝贝也恰好到学校．如果欢欢在家换校服用去 6分钟且调头时间不计，那么贝贝从家里出发时是几点几分．【考点】行程问题之比例解行程【难度】3星【题型】解答
【解析】欢欢从出发到追上贝贝用了 6分钟，她调头后速度提高到原来的 2倍，根据路程一定，时间比等于速度的反比，她回到家所用的时间为 3 分钟，换衣服用时 6 分钟，所以她再从家里出发到到达学校用了 20- 6-3- 6 =5分钟，故她以原速度到达学校需要 10 分钟，最开始她追上贝贝用了 6分钟，还剩下 4 分钟的路程，而这 4 分钟的路程贝贝走了 14 分钟，所以欢欢的 6 分钟路程贝贝要走 14 ×（6÷ 4）= 21分钟，也就是说欢欢追上贝贝时贝贝已走了 21 分钟，所以贝贝是 7 点 25 分出发的．
【答案】7 点 25 分
【例 4】明明每天早上7：00从家出发上学，7：30到校。

有一天，明明6：50就从家出发，他想：“我今天出门早，可以走慢点。

”于是他每分钟比平常少走lO米，结果他到校时比往常迟到了5分钟。

明明家离学校________米。

【考点】行程问题之比例解行程【难度】2星【题型】填空
【解析】平时明明用30分钟，今天用了45分钟，时间比为2:3,则速度比为3:2，那么可知平时速度为30米/分钟，所以明明家离学校900米。

、、
【答案】900米
【巩固】甲、乙、丙三辆车先后从A地开往B地，乙比丙晚出发5分，出发后45分追上丙；甲比乙晚出发15分，出发后1时追上丙。

甲出发后多长时间追上乙？
【考点】行程问题之比例解行程【难度】2星【题型】解答
【解析】75分。

提示：行驶相同路程所需时间之比为：
459
5010
==
乙
甲
，
603
804
==
甲
丙。

【答案】75分
【例 5】大、小客车从甲、乙两地同时相向开出，大、小客车的速度比为4∶5，两车开出后60分相遇，并继续前进。

问：大客车比小客车晚多少分到达目的地？
【考点】行程问题之比例解行程【难度】2星【题型】解答
【解析】27分。

解：大客车还需
5
6075
4
⨯=（分）、小客车还需
4
6048
5
⨯=（分）。

大客车比小客车晚到
754827
-=（分）
【答案】27分
【巩固】甲、乙分别从A，B两地同时相向出发。

相遇时，甲、乙所行的路程比是a∶b。

从相遇算起，甲到达B地与乙到达A地所用的时间比是多少？
【考点】行程问题之比例解行程【难度】2星【题型】解答【解析】b2∶a2。

解：因为甲、乙的速度比是a∶b，所以相遇后甲、乙还要行的路程比是b∶a，还要用的时间比是（b÷a）∶（a÷b）＝b2：a2。

【答案】b2∶a2
【例 6】甲、乙两辆车分别同时从A，B两地相向而行，相遇后甲又经过15分到达B地，乙又经过1时到达A地，甲车速度是乙车速度的几倍？
【考点】行程问题之比例解行程【难度】2星【题型】解答【解析】2倍。

解： 60∶15＝22∶12，所以甲车速度是乙车的2倍。

【答案】2倍
【巩固】A，B两地相距1800米，甲、乙二人分别从A，B两地同时出发，相向而行。

相遇后甲又走了8分到达B地，乙又走了18分到达A地。

甲、乙二人每分钟各走多少米？
【考点】行程问题之比例解行程【难度】2星【题型】解答【解析】每分甲走90米，乙走60米。

解： 18∶8＝32∶22，所以甲的速度是乙的3÷2＝1.5（倍）。

相遇时乙走了1800÷（1＋1.5）＝720（米）。

推知，甲每分走720÷8＝90（米），乙每分走90÷1.5＝60（米）。

【答案】60米
【例 7】甲、乙两人同时从A、B两点出发，甲每分钟行 80米，乙每分钟行 60米，出发一段时间后，两人在C处相遇；如果甲出发后在途中某地停留了 7分钟，两人将在D处相遇，且中点距C、D距离相等，问A、B两点相距多少米？
【考点】行程问题之比例解行程【难度】3星【题型】解答
【解析】甲、乙两人速度比为80:604:3
=，相遇的时候时间相等，路程比等于速度之比，相遇时甲走了
全程的4
7
，乙走了全程的
3
7
．第二次甲停留，乙没有停留，且前后两次相遇地点距离中点相等，
所以第二次乙行了全程的4
7
，甲行了全程的
3
7
．由于甲、乙速度比为 4 : 3，根据时间一定，路
程比等于速度之比，所以甲行走期间乙走了33
74
⨯，所以甲停留期间乙行了
4331
7744
-⨯=，所以A、
B两点的距离为1
6071680
4
⨯÷= (米)．
【答案】1680米
【巩固】如图3，甲、乙二人分别在A、B两地同时相向而行，于E处相遇后，甲继续向B地行走，乙则休息了14分钟，再继续向A地行走。

甲和乙到达B和A后立即折返，仍在E处相遇，已知甲分钟行走60米，乙每分钟行走80米，则A和B两地相（）米。

图3
【考点】行程问题之比例解行程【难度】3星【题型】解答【解析】1680米
【答案】1680米
【例 8】甲、乙两车分别同时从A、B两地相对开出，第一次在离A地95千米处相遇．相遇后继续前进到达目的地后又立刻返回，第二次在离B地25千米处相遇．求A、B两地间的距离？
【考点】行程问题之比例解行程【难度】2星【题型】解答【解析】画线段示意图(实线表示甲车行进的路线，虚线表示乙车行进的路线)：
可以发现第一次相遇意味着两车行了一个A、B两地间距离，第二次相遇意味着两车共行了三个
A、B两地间的距离．当甲、乙两车共行了一个A、B两地间的距离时，甲车行了95千米，当它
们共行三个A、B两地间的距离时，甲车就行了3个95千米，即95×3=285（千米），而这285
千米比一个A、B两地间的距离多25千米，可得：95×3-25=285-25=260(千米)．
【答案】260千米
【巩固】地铁有A，B两站，甲、乙二人都要在两站间往返行走.两人分别从A，B两站同时出发，他们第一次相遇时距A站 800 米，第二次相遇时距B站 500 米.问：两站相距多远？
【考点】行程问题之比例解行程【难度】2星【题型】解答
【解析】从起点到第一次迎面相遇地点，两人共同完成 1 个全长，从起点到第二次迎面相遇地点，两人共同完成 3 个全长，一个全程中甲走 1 段 800 米，3 个全程甲走的路程为 3 段 800 米. 画图可知，由 3 倍关系得到：A，B两站的距离为 800×3－500=1900 米
【答案】1900 米
【例 9】如右图，A，B是圆的直径的两端，甲在A点，乙在B点同时出发反向而行，两人在C点第一次相遇，在D点第二次相遇.已知C离A有 80 米，D离B有 60 米，求这个圆的周长.
【考点】行程问题之比例解行程【难度】2星【题型】解答
【解析】根据总结可知，第二次相遇时，乙一共走了 80×3=240 米，两人的总路程和为一周半，又甲所走路程比一周少 60 米，说明乙的路程比半周多 60 米，那么圆形场地的半周长为 240-60=180 米，周长为 180×2=360 米.
【答案】360 米
【巩固】甲、乙两车同时从A地出发，不停地往返行驶于A、B两地之间．已知甲车的速度比乙车快，并且两车出发后第一次和第二次相遇都在途中C地．甲车的速度是乙车速度的多少倍？
【考点】行程问题之比例解行程【难度】2星【题型】解答
【解析】 第一次相遇时两车合走了两个全程，而乙车走了 AC 这一段路；第二次相遇两车又合走了两个全
程，而乙车走了从 C 地到 B 地再到 C 地，也就是 2 个 BC 段．由于两次的总行程相等，所以每次乙车走的路程也相等，所以 AC 的长等于 2 倍 BC 的长．而从第一次相遇到第二次相遇之间，甲车走了 2 个 AC 段，根据时间一定，速度比等于路程的比，甲车、乙车的速度比为 2 AC : 2 BC 2 :1 ，所以甲车的速度是乙车速度的 2 倍．
【答案】2 倍
【例 10】自行车队出发12分后，通信员骑摩托车去追他们，在距出发地点9千米处追上了自行车队，然
后通信员立即返回出发点，到达后又返回去追自行车队，再追上时恰好离出发点18千米。

自行车队和摩托车每分各行多少千米？
【考点】行程问题之比例解行程 【难度】2星
【题型】解答
【解析】 自行车每分行0.5千米，摩托车每分行1.5千米。

提示：摩托车在4个相等的时间里走了36千
米，自行车在其中三个相等时间里走了9千米，故摩托车的速度是自行车的3倍。

自行车出发12分后，摩托车需6分追上，所以摩托车每分行9÷6＝1.5（千米）。

【答案】1.5千米
【巩固】 B 地在A ，C 两地之间。

甲从B 地到A 地去，甲出发后1时乙从B 地出发到C 地，乙出发后1时丙
突然想起要通知甲、乙一件重要事情，于是从B 地出发骑车去追赶甲和乙。

已知甲、乙的速度相等，丙的速度是甲、乙速度的3倍，为使丙从B 地出发到最终赶回B 地所用时间最少，丙应当先追甲再返回追乙，还是先追乙再返回追甲？
【考点】行程问题之比例解行程 【难度】4星
【题型】解答
【解析】 先追乙。

解：若先追甲，甲已走了2时，则追上甲需1时，返回B 地又用1时，此时乙已走了3
时，再追上乙需1.5时，返回B 地再用1.5时。

共用5时。

若先追乙，乙已走了1时，则追上乙需0.5时，返回B 地又用 0.5时，此时甲已走了3时，再追上甲需1.5时，返回B 地再用1.5时。

共用4时。

【答案】4时
【随练1】甲、乙两人步行速度之比是3∶2，甲、乙分别由A ，B 两地同时出发，若相向而行，则1时后相
遇。

若同向而行，则甲需要多少时间才能追上乙？
【考点】行程问题之比例解行程 【难度】2星
【题型】解答
【解析】 5时。

解：设甲、乙速度分别为3x 千米／时和2x 千米／时。

由题意可知 A ，B 两地相距（3x ＋
课堂检测
2x）×1＝5x（千米）。

追及时间为5x÷（3x－2x）=5（时）。

【答案】5时
【随练2】一辆货车从甲地往乙地运货，然后空车返回，再继续运货。

已知装满货物每时行50千米，空车每时行70千米。

不计装卸货物时间，9时往返五次。

求甲、乙两地的距离。

【考点】行程问题之比例解行程【难度】2星【题型】解答【解析】52.5千米。

解：因为满车与空车的速度比为50∶70＝5∶7，所以9时中满车行的时间为的时间
为
721
9
574
⨯=
+
（时），两地距离为
21
50552.5
4
⨯÷=（千米）。

【答案】52.5千米
【随练3】甲、乙两车分别从A、B两地出发，在A、B之间不断往返行驶，已知甲车的速度是乙车的速
度的3
7
，并且甲、乙两车第 2007 次相遇（这里特指面对面的相遇）的地点与第 2008 次相遇
的地点恰好相距 120 千米，那么，A、B两地之间的距离等于多少千米？
【考点】行程问题之比例解行程【难度】2星【题型】解答
【解析】甲、乙速度之比是 3：7，所以我们可以设整个路程为 3+7=10 份，这样一个全程中甲走 3 份，第 2007 次相遇时甲总共走了 3×（2007×2-1）=12039 份，第 2008 次相遇时甲总共走了 3×（2008×2-1）=12045 份，所以总长为 120÷［12045-12040-（12040-12039）]×10=300 米. 【答案】300 米
【随练4】上午8点8分，小明骑自行车从家里出发，8分钟后，爸爸骑摩托车去追他，在离家4千米的地方追上了他.然后爸爸立即回家，到家后又立刻回头去追小明，再追上小明的时候，离家恰好是
8千米，这时是几点几分？
【考点】行程问题之比例解行程【难度】3星【题型】解答
【解析】画一张简单的示意图：
图上可以看出，从爸爸第一次追上到第二次追上，小明走了8-4＝4（千米）.而爸爸骑的距离是 4＋ 8＝ 12（千米）.这就知道，爸爸骑摩托车的速度是小明骑自行车速度的 12÷4＝3（倍）.按照这个倍数计算，小明骑8千米，爸爸可以骑行8×3＝24（千米）.但事实上，爸爸少用了8分钟，骑行了4＋12＝16（千米）.少骑行24-16＝8（千米）.摩托车的速度是8÷8=1（千米/分），爸爸骑行16千米需要16分钟.8＋8＋16＝32.所以这时是8点32分。

注意：小明第2个4千米，也就是从A到B的过程中，爸爸一共走12千米，这一点是本题的关
键．对时间相同或距离相同，但运动速度、方式不同的两种状态，是一大类行程问题的关键．本题的解答就巧妙地运用了这一点．
【答案】8点32分
【作业1】一段路程分为上坡、平路、下坡三段，各段路程的长度之比是2∶3∶5，某人骑车走这三段路所用的时间之比是6∶5∶4。

已知他走平路时速度为4.5千米／时，全程用了5时。

问：全程多少
千米？
【考点】行程问题之比例解行程【难度】2星【题型】解答
【解析】25千米。

提示：先求出走平路所用的时间和路程。

【答案】25千米
【作业2】甲、乙两车先后以相同的速度从A站开出，10点整甲车距A站的距离是乙车距A站距离的三倍，10点10分甲车距A站的距离是乙车距A站距离的二倍。

问：甲车是何时从A站出发的？
【考点】行程问题之比例解行程【难度】2星【题型】解答【解析】9点30分。

提示：因为两车速度相同，故甲、乙两车距A站的距离之比等于甲、乙两车行驶的时间之比。

设10点时乙车行驶了x分，用车行驶了3x分，据题意有2（x＋10）=3x＋10。

【答案】9点30分
【作业3】A、B两地相距 7200 米，甲、乙分别从A，B两地同时出发，结果在距B地 2400 米处相遇．如果乙的速度提高到原来的 3倍，那么两人可提前10分钟相遇，则甲的速度是每分钟行多
少米？
【考点】行程问题之比例解行程【难度】2星【题型】解答
【解析】第一种情况中相遇时乙走了 2400 米，根据时间一定，速度比等于路程之比，最初甲、乙的速度比为 (7200 －2400) : 2400 =2 :1，所以第一情况中相遇时甲走了全程的2/3．乙的速度提高 3倍后，两人速度比为 2 : 3，根据时间一定，路程比等于速度之比，所以第二种情况中相遇时甲
走了全程的
22
325
=
+
．两种情况相比，甲的速度没有变化，只是第二种情况比第一种情况少走 10
分钟，所以甲的速度为
22
7200()10192
35
⨯-÷= (米/分)．
家庭作业
【答案】192米/分
【作业4】小红从家步行去学校．如果每分钟走120米，那么将比预定时间早到5分钟：如果每分钟走90米，则比预定时间迟到3分钟，那么小红家离学校有多远？
【考点】行程问题之比例解行程【难度】2星【题型】解答【解析】两次的速度比为120:904:3
=，路程不变，所有时间比应该是3:4，两次所有时间相差8分钟，所以应该分别用了24分钟和32分钟，120242880
⨯=米
【答案】2880米
【作业5】甲、乙两车分别从A、B两地同时出发，相向而行．出发时，甲、乙的速度之比是 5 : 4，相遇后甲的速度减少 20%，乙的速度增加 20%．这样当甲到达B地时，乙离A地还有 10 千米．那
么A、B两地相距多少千米？
【考点】行程问题之比例解行程【难度】2星【题型】解答
【解析】两车相遇时甲走了全程的5
9
，乙走了全程的
4
9
，之后甲的速度减少 20%，乙的速度增加 20%，此
时甲、乙的速度比为5(120%):4(120%)5:6
⨯-⨯+=，所以甲到达B地时，乙又走了468 9515
⨯=，
距离A地581
91545
-=，所以A、B两地的距离为
1
10450
45
÷= (千米)．
【答案】450千米
【作业6】甲、乙二人分别从A、B两地同时出发，相向而行，甲、乙的速度之比是 4 : 3，二人相遇后继续行进，甲到达B地和乙到达A地后都立即沿原路返回，已知二人第二次相遇的地点距第一
次相遇的地点 30千米，则A、B两地相距多少千米？
【考点】行程问题之比例解行程【难度】2星【题型】解答【解析】两个人同时出发相向而行，相遇时时间相等，路程比等于速度之比，即两个人相遇时所走过的路程比为 4 : 3．第一次相遇时甲走了全程的4/7；第二次相遇时甲、乙两个人共走了 3个全程，
三个全程中甲走了45
31
77
⨯=个全程，与第一次相遇地点的距离为
542
(1)
777
--=个全程．所以A、
B两地相距
2
30105
7
÷= (千米)．
【答案】105千米
. .。