2019年高三数学上期末模拟试卷(带答案)

2019年高三数学上期末模拟试卷(带答案)
一、选择题
1．若,x y 满足1010330x y x y x y +-≥⎧⎪
--≤⎨⎪-+≥⎩
，则2z x y =+的最大值为( )
A ．8
B ．7
C ．2
D ．1
2．在ABC ∆中，2AC =
,BC =135ACB ∠=o ，过C 作CD AB ⊥交AB 于D ，则CD =( ) A
B
C
D
3．已知数列{}n a 的通项公式是2
21
sin
2n n a n π+=（），则12310a a a a ++++=L A ．110
B ．100
C ．55
D ．0
4．等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若36=2S =18S ，，则10
5
S S 等于( )
A ．－3
B ．5
C ．33
D ．－31
5．若n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，其首项10a >，991000a a +>，991000a a ⋅< ，则使0n S >成立的最大自然数n 是（ ） A ．198
B ．199
C ．200
D ．201
6．“干支纪年法”是中国历法上自古以来就一直使用的纪年方法，干支是天干和地支的总称，把干支顺序相配正好六十为一周，周而复始，循环记录，这就是俗称的“干支表”甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、癸等十个符号叫天干，子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥等十二个符号叫地支，如公元1984年农历为甲子年，公元1985年农历为乙丑年，公元1986年农历为丙寅年，则公元2047年农历为 A ．乙丑年
B ．丙寅年
C ．丁卯年
D ．戊辰年
7．已知实数,x y 满足0{20
x y x y -≥+-≤则2y x -的最大值是( )
A ．-2
B ．-1
C ．1
D ．2 8．设x y ，满足约束条件10102
x y x y y -+≤⎧⎪+-⎨⎪≤⎩
＞，则y
x 的取值范围是（ ）
A ．()[),22,-∞-+∞U
B ．(]2,2-
C ．(][),22,-∞-+∞U
D ．[]22-,
9．设实数,x y 满足24
2210
x y x y x -≤⎧⎪+≤⎨⎪-≥⎩
，则1
y x +的最大值是（ ）
A ．-1
B ．
12
C ．1
D ．
32
10．已知正项等比数列{}n a 的公比为3，若2
29m n a a a =，则
212m n
+的最小值等于（ ） A ．1
B ．
12
C ．
34 D ．
32
11．已知数列{}n a 的前n 项和2
n S n n =-，数列{}n b 满足1
sin
2
n n n b a π+=，记数列{}n b 的前n 项和为n
T
，则2017T =（ ） A ．2016
B ．2017
C ．2018
D ．2019
12．已知x ，y 均为正实数，且111226
x y +=++，则x y +的最小值为（ ） A ．20
B ．24
C ．28
D ．32
二、填空题
13．关于x 的不等式a 34
≤
x 2
﹣3x +4≤b 的解集为[a ，b ]，则b －a ＝________． 14．(广东深圳市2017届高三第二次（4月）调研考试数学理试题)我国南宋时期著名的数学家秦九韶在其著作《数书九章》中独立提出了一种求三角形面积的方法---“三斜求积
术”，即ABC △
的面积S =，其中a b c 、、分别为ABC △内角、、A B C 的对边.若2b =
，且tan C =，则ABC △的面积S 的最大值为
__________．
15．已知数列{}n a 的前n 项和为2*
()2n S n n n N =+∈，则数列{}n a 的通项公式
n a =______．
16．已知平面四边形ABCD 中，120BAD ∠=︒，60BCD ∠=︒，2AB AD ==，则
AC 的最大值为__________．
17．已知x ，y 满足3010510x y x y x y +-≤⎧⎪
-+≥⎨⎪-+≤⎩
，则2z x y =+的最大值为______.
18．
设(
3
()lg f x x x =+，则对任意实数,a b ，“0a b +≥”是
“()()0f a f b +≥”的_________条件．（填“充分不必要”.“必要不充分”.“充要”.“既不充分又不必要”之一）
19．已知数列{}n a (*n ∈N )，若11a =，112n
n n a a +⎛⎫+= ⎪⎝⎭
，则2lim n n a →∞= ．
20．已知二次函数f （x ）=ax 2+2x+c （x ∈R ）的值域为[0，+∞），则11
a c c a
+++的最小值为_____．
三、解答题
21．已知ABC ∆的内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且2a =.
（1）若b =30A =︒，求角B 的值； （2）若ABC ∆的面积3ABC S ∆=，cos 4
5
B =
，求,b c 的值. 22．已知000a b c ＞，＞，＞，函数().f x a x x b c =-+++ (1)当1a b c ===时,求不等式()3f x ＞的解集； (2)当()f x 的最小值为3时,求
111
a b c
++的最小值. 23．已知函数()()2
2f x x x a x R =++∈
（1）若函数()f x 的值域为[0,)+∞，求实数a 的值；
（2）若()0f x >对任意的[1,)x ∈+∞成立，求实数a 的取值范围。

24．在ABC ∆sin cos C c A =． （Ⅰ）求角A 的大小；
（Ⅱ）若ABC S ∆，2b c +=+a 的值．
25．已知在公比为q 的等比数列{}n a 中，416a =，()34222a a a +=+. （1）若1q >，求数列{}n a 的通项公式；
（2）当1q <时，若等差数列{}n b 满足31b a =，512b a a =+，
123n n S b b b b =+++⋅⋅⋅+，求数列1n S ⎧⎫
⎨⎬⎩⎭
的前n 项的和.
26．ABC △的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且
cos )()cos a B C c b A -=-．
（1）求A ；
（2）若b =
D 在BC 边上，2CD =，3
ADC π
∠=
，求ABC △的面积．
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一、选择题
1．B 解析：B 【解析】
试题分析：作出题设约束条件可行域，如图ABC ∆内部（含边界），作直线
:20l x y +=，把直线l 向上平移，z 增加，当l 过点(3,2)B 时，3227z =+⨯=为最大值．故选B ．
考点：简单的线性规划问题．
2．A
解析：A 【解析】 【分析】
先由余弦定理得到AB 边的长度，再由等面积法可得到结果. 【详解】
根据余弦定理得到2222
22
AC BC AB AC BC +-=-⨯⨯将2AC =,22BC =,代入等式得到
AB=5 再由等面积法得到11225
25222222CD CD ⨯=⨯⨯⇒=
故答案为A. 【点睛】
这个题目考查了解三角形的应用问题，涉及正余弦定理，面积公式的应用，在解与三角形有关的问题时，正弦定理、余弦定理是两个主要依据.解三角形时，有时可用正弦定理，有时也可用余弦定理，应注意用哪一个定理更方便、简捷一般来说 ,当条件中同时出现ab 及
2b 、2a 时，往往用余弦定理，而题设中如果边和正弦、余弦函数交叉出现时，往往运用
正弦定理将边化为正弦函数再结合和、差、倍角的正余弦公式进行解答.
3．C
解析：C 【解析】 【分析】
由已知条件得a n ＝n 2sin （2n 1
2+π）＝22,,n n n n ⎧-⎨⎩是奇数是偶数
，所以a 1+a 2+a 3+…+a 10＝22﹣12+42﹣32+…+102﹣92，由此能求出结果． 【详解】
∵2n 12+π =n π+2π，n ∈N *，∴a n ＝n 2sin （2n 1
2+π）＝2
2,,n n n n ⎧-⎨⎩是奇数是偶数
， ∴a 1+a 2+a 3+…+a 10＝22﹣12+42﹣32+…+102﹣92＝1+2+3+…+10＝()101+10=552
故选C ． 【点睛】
本题考查了等差数列的通项公式与求和公式、分类讨论方法、三角函数的周期性，属于中档题．
4．C
解析：C 【解析】 【分析】
由等比数列的求和公式结合条件求出公比，再利用等比数列求和公式可求出10
5
S S . 【详解】
设等比数列{}n a 的公比为q （公比显然不为1），则
()(
)
6
163
6333111119111a q S q q q S q
a q q
---===+=---，得2q =， 因此，()(
)
10
11055
10555111111233111a q S q q q S q a q
q
---===+=+=---，故选C. 【点睛】
本题考查等比数列基本量计算，利用等比数列求和公式求出其公比，是解本题的关键，一般在求解等比数列问题时，有如下两种方法：
（1）基本量法：利用首项和公比列方程组解出这两个基本量，然后利用等比数列的通项公式或求和公式来进行计算；
（2）性质法：利用等比数列下标有关的性质进行转化，能起到简化计算的作用．
5．A
解析：A
【解析】 【分析】
先根据10a >，991000a a +>，991000a a ⋅<判断出991000,0a a ><；然后再根据等差数列前n 项和公式和等差中项的性质，即可求出结果． 【详解】
∵991000a a ⋅<， ∴99a 和100a 异号； ∵1991000,0a a a >+>，991000,0a a ∴><， 有等差数列的性质可知，等差数列{}n a 的公差0d <， 当99,*n n N ≤∈时，0n a >；当100,*n n N ≥∈时，0n a <； 又()()11989910019819819802
2
a a a a S +⨯+⨯=
=> ，
()1199199100
19919902
a a S a
+⨯=
=<，
由等差数列的前n 项和的性质可知，使前n 项和0n S >成立的最大自然数n 是198. 故选：A ． 【点睛】
本题主要考查了等差数列的性质．考查了学生的推理能力和运算能力．
6．C
解析：C 【解析】
记公元1984年为第一年，公元2047年为第64年，即天干循环了十次，第四个为“丁”，地支循环了五次，第四个为“卯”,所以公元2047年农历为丁卯年. 故选C.
7．C
解析：C 【解析】
作出可行域，如图BAC ∠内部（含两边），作直线:20l y x -=，向上平移直线l ，
2z y x =-增加，当l 过点(1,1)A 时，2111z =⨯-=是最大值．故选C ．
8．A
解析：A 【解析】 【分析】
根据题意，作出可行域，分析y
x
的几何意义是可行域内的点(),x y 与原点O 连线的斜率，根据图象即可求解. 【详解】
作出约束条件表示的可行域，如图所示，
y
x 的几何意义是可行域内的点(),x y 与原点O 连线的斜率，由102x y y -+=⎧⎨=⎩
，得点A 的
坐标为()1,2，所以2OA k =，同理，2OB k =-， 所以
y
x
的取值范围是()[),22,-∞-+∞U . 故选：A 【点睛】
本题考查简单的线性规划，考查斜率型目标函数问题，考查数形结合思想，属于中等题型.
9．D
解析：D 【解析】 【分析】
由约束条件确定可行域，由
1
y x
+的几何意义，即可行域内的动点与定点P （0，-1）连线
的斜率求得答案． 【详解】
由约束条件242210x y x y x -≤⎧⎪
+≤⎨⎪-≥⎩
，作出可行域如图，
联立10220
x x y -=⎧⎨+-=⎩，解得A （112，），
1
y x
+的几何意义为可行域内的动点与定点P （0，-1）连线的斜率， 由图可知，
11
3212
PA
k +==
最大．
故答案为3
2
． 【点睛】
本题考查简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，属于中档题型．
10．C
解析：C 【解析】
∵正项等比数列{}n a 的公比为3，且2
29m n a a a =
∴2
2242
22223
339m n m n a a a a --+-⋅⋅⋅=⋅=
∴6m n +=
∴
121121153()()(2)(2)62622624m n m n m n n m ⨯++=⨯+++≥⨯+=，当且仅当24m n ==时取等号. 故选C.
点睛：利用基本不等式解题的注意点：
（1）首先要判断是否具备了应用基本不等式的条件，即“一正、二正、三相等”，且这三个条件必须同时成立．
（2）若不直接满足基本不等式的条件，需要通过配凑、进行恒等变形，构造成满足条件的形式，常用的方法有：“1”的代换作用，对不等式进行分拆、组合、添加系数等． （3）多次使用基本不等式求最值时，要注意只有同时满足等号成立的条件才能取得等号．
11．A
解析：A 【解析】 【分析】
由2
n S n n =-得到22n a n =-，即n b =2(1)cos
2
n n π
-，利用分组求和法即可得到结果. 【详解】
由数列{}n a 的前n 项和为2
n S n n =-，
当1n =时，11110a S ==-=；
当2n …时，1n n n a S S -=-22
(1)(1)22n n n n n ⎡⎤=-----=-⎣⎦，
上式对1n =时也成立， ∴22n a n =-， ∴cos
2n n n b a π==2(1)cos 2
n n π
-， ∵函数cos 2
n y π=的周期24
2
T ππ==，
∴()2017152013T b b b =++++L (26b b +)
2014b ++L ()()3720154820162017b b b b b b b +++++++++L L
02(152013)0=-+++++L 2(3+72015)045042016+++=⨯=L ，
故选：A. 【点睛】
本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法及应用，利用分组法求数列的和，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于中档题．
12．A
解析：A 【解析】
分析：由已知条件构造基本不等式模型()()224x y x y +=+++-即可得出. 详解：,x y Q 均为正实数，且
111226x y +=++，则116122x y ⎛⎫+= ⎪++⎝⎭
(2)(2)4
x y x y ∴+=+++-
116(
)[(2)(2)]422
x y x y =++++-++ 2222
6(2)46(22)4202222
y x y x x y x y ++++=+
+-≥+⋅-=++++ 当且仅当10x y ==时取等号.
x y ∴+的最小值为20. 故选A.
点睛：本题考查了基本不等式的性质，“一正、二定、三相等”.
二、填空题
13．4【解析】【分析】设f （x ）x2﹣3x+4其函数图象是抛物线画两条与x 轴平行的直线y ＝a 和y ＝b 如果两直线与抛物线有两个交点得到解集应该是两个区间；此不等式的解集为一个区间所以两直线与抛物线不可能有
解析：4 【解析】 【分析】 设f （x ）34
=
x 2
﹣3x +4，其函数图象是抛物线，画两条与x 轴平行的直线y ＝a 和y ＝b ，如果两直线与抛物线有两个交点，得到解集应该是两个区间；此不等式的解集为一个区间，所以两直线与抛物线不可能有两个交点，所以直线y ＝a 应该与抛物线只有一个或没有交点，所以a 小于或等于抛物线的最小值且a 与b 所对应的函数值相等且都等于b ，利用f （b ）＝b 求出b 的值，由抛物线的对称轴求出a 的值，从而求出结果． 【详解】
解：画出函数f （x ）＝
34x 2﹣3x +4＝3
4
（x －2）2＋1的图象，如图，
可得f （x ）min ＝f （2）＝1， 由图象可知，若a >1，则不等式a ≤
34
x 2
－3x ＋4≤b 的解集分两段区域，不符合已知条件， 因此a ≤1，此时a ≤x 2－3x ＋4恒成立． 又不等式a ≤
34
x 2
－3x ＋4≤b 的解集为[a ，b ]，
所以a ≤1<b ，f （a ）＝f （b ）＝b ，可得2
23344
3344
a a
b b b b ⎧-+=⎪⎪⎨⎪-+=⎪⎩
由
34
b 2
－3b ＋4＝b ，化为3b 2－16b ＋16＝0， 解得b ＝4
3
或b ＝4. 当b ＝
43时，由34a 2－3a ＋4－43＝0，解得a ＝43或a ＝83， 不符合题意，舍去， 所以b ＝4，此时a ＝0， 所以b －a ＝4. 故答案为：4 【点睛】
本题考查了二次函数的图象与性质的应用问题，解题时应灵活应用函数的思想解决实际问题，是中档题．
14．【解析】由题设可知即由正弦定理可得所以当时故填
【解析】
由题设可知
)sin sin sin cos cos sin cos C C B C B C C =⇒=+
，即sin C A =
，由正弦定理可得c =
，所以
S ==242a a =⇒=时，
max S =
=
15．【解析】【分析】由当n ＝1时a1＝S1＝3当n≥2时an ＝Sn ﹣Sn ﹣1即可得出【详解】当且时又满足此通项公式则数列的通项公式故答案为：【点睛】本题考查求数列通项公式考查了推理能力与计算能力注意检验 解析：*2)1(n n N +∈
【解析】 【分析】
由2*
2n S n n n N =+∈，，当n ＝1时，a 1＝S 1＝3．当n ≥2时，a n ＝S n ﹣S n ﹣1，即可得出．
【详解】
当2n ≥，且*n N ∈时，
()
()()2
212121n n n a S S n n n n -⎡⎤=-=+--+-⎣⎦
()
2222122n n n n n =+--++-
21n =+，
又2
11123S a ==+=，满足此通项公式，
则数列{}n a 的通项公式(
)*
21n a n n N =+∈．
故答案为：(
)*
21n n N +∈
【点睛】
本题考查求数列通项公式，考查了推理能力与计算能力，注意检验n=1是否符合，属于中档题．
16．4【解析】【分析】由题知：四边形为圆内接四边形的最大值为四边形外接圆的直径由正弦定理即可求出的最大值【详解】因为所以故的最大值为四边形外接圆的直径当为四边形外接圆的直径时得到：又因为所以在中由正弦定
解析：4 【解析】 【分析】
由题知：四边形ABCD 为圆内接四边形，AC 的最大值为四边形外接圆的直径，由正弦定理即可求出AC 的最大值. 【详解】
因为120BAD ∠=︒，60BCD ∠=︒，所以 故AC 的最大值为四边形外接圆的直径. 当AC 为四边形外接圆的直径时，
得到：90ADC ABC ∠=∠=︒，又因为2AB AD ==，60BCD ∠=︒， 所以30ACD ACB ∠=∠=︒. 在ABC V 中，由正弦定理得：
sin 90sin 30AC AB
=︒︒
，解得：4AC =.
故答案为：4 【点睛】
本题主要考查正弦定理得应用，判断四边形ABCD 为圆内接四边形是解题的关键，属于中
档题.
17．5【解析】【分析】画出不等式表示的可行域利用目标函数的几何意义当截距最小时取z 取得最大值求解即可【详解】画出不等式组表示的平面区域(如图阴影所示)化直线为当直线平移过点A 时z 取得最大值联立直线得A （
解析：5 【解析】 【分析】
画出不等式表示的可行域，利用目标函数的几何意义当截距最小时取z 取得最大值求解即可 【详解】
画出不等式组表示的平面区域(如图阴影所示)，化直线2z x y =+为122
z y x =-+ 当直线平移过点A 时，z 取得最大值，联立直线30
10
x y x y +-=⎧⎨
-+=⎩得A （1,2），故
max 145z =+=
故答案为：5
【点睛】
本题考查画不等式组表示的平面区域、考查数形结合求函数的最值，是基础题
18．充要【解析】所以为奇函数又为单调递增函数所以即是的充要条件点睛：充分必要条件的三种判断方法1定义法：直接判断若则若则的真假并注意和图示相结合例如⇒为真则是的充分条件2等价法：利用⇒与非⇒非⇒与非⇒非
解析：充要 【解析】
3232()()lg(1)()lg(1)lg10f x f x x x x x x x +-=+++-+-+== ，所以()f x 为
奇函数，又()f x 为单调递增函数，所以
0()()()()()()0a b a b f a f b f a f b f a f b +≥⇔≥-⇔≥-⇔≥-⇔+≥ ，即
“0a b +≥”是“()()0f a f b +≥”的充要条件
点睛：充分、必要条件的三种判断方法．
1．定义法：直接判断“若p 则q ”、“若q 则p ”的真假．并注意和图示相结合，例如“p ⇒q ”为真，则p 是q 的充分条件．
2．等价法：利用p ⇒q 与非q ⇒非p ，q ⇒p 与非p ⇒非q ，p ⇔q 与非q ⇔非p 的等价关系，对于条件或结论是否定式的命题，一般运用等价法．
3．集合法：若A ⊆B ，则A 是B 的充分条件或B 是A 的必要条件；若A ＝B ，则A 是B 的充要条件．
19．【解析】【分析】由已知推导出=(=1+（）从而-=-由此能求出【详解】∵数列满足：∴（）+（）+……+（）=++……+==(∴=(；又+……+（）=1+++……+=1+=1+（）即=1+（）∴-=-
解析：2
3
-
【解析】 【分析】 由已知推导出2n S =
23(11)4n -，21n S -=1+13（11
14
n --），从而22n n a S =-21n S -=
21132n -n -23，由此能求出2lim n n a →∞
【详解】 ∵数列{}n a 满足：1 1a =，112n
n n a a +⎛⎫+= ⎪⎝⎭， ∴（12
a a +）+（34 a a +）+……+（212 n n a a -+）=12+312⎛⎫ ⎪⎝⎭+……+2112n -⎛⎫ ⎪⎝⎭=
11
124114
n ⎛⎫- ⎪⎝⎭-=2
3(11)4n
-， ∴2n S =
23(1
1)4
n -； 又12345
a a a a a +++++……+（2221 n n a a --+）=1+212⎛⎫ ⎪⎝⎭+412⎛⎫ ⎪⎝⎭
+……+2212n -⎛⎫ ⎪⎝⎭=1+2
1111241
14
n -⎛⎫⎛
⎫- ⎪ ⎪
⎝⎭
⎝⎭-=1+13（1114n --），
即21n S -=1+
13（11
14
n --）
∴22n n a S =-21n S -=21132n -n -2
3
∴2211lim lim(
32n n n n a n -→∞
→∞
=-2)3=-2
3
，
故答案为：-2 3
【点睛】
本题考查数列的通项公式的求法，数列的极限的求法，考查逻辑思维能力及计算能力，属于中档题．
20．4【解析】【分析】先判断是正数且把所求的式子变形使用基本不等式求最小值【详解】由题意知则当且仅当时取等号∴的最小值为4【点睛】】本题考查函数的值域及基本不等式的应用属中档题
解析：4 【解析】 【分析】
先判断a c 、是正数，且1ac =，把所求的式子变形使用基本不等式求最小值． 【详解】
由题意知，044010a ac ac c =-=∴=V ＞，，，＞，
则
111111 2224a c a c a c c a c c a a c a c a +++=+++=+++≥+=+=（）（），
当且仅当1a c ==时取等号．
∴
11a c c a +++的最小值为4． 【点睛】
】本题考查函数的值域及基本不等式的应用．属中档题.
三、解答题
21．（1）60B =︒或120︒. (2) b =【解析】 【分析】
（1）根据正弦定理，求得sin B =
，进而可求解角B 的大小； （2）根据三角函数的基本关系式，求得3
sin 5
B =，利用三角形的面积公式和余弦定理，即可求解。

【详解】
（1）根据正弦定理得，sin sin30sin 22
b A B a ︒=
==
.
b a >Q ，30B A ∴>=︒，60B ∴=︒或120︒.
（2）4cos 05B =>Q ，且0B π<<，3
sin 5B ∴=.
1sin 32ABC S ac B ∆==Q ，13
2325
c ∴⨯⨯⨯=，5c ∴=.
∴
由正弦定理2222cos b a c ac B =+-，得b =.
【点睛】
本题主要考查了正弦定理、余弦定理的应用，其中利用正弦、余弦定理可以很好地解决三角形的边角关系，熟练掌握定理、合理运用是解本题的关键．其中在ABC ∆中，通常涉及三边三角，知三（除已知三角外）求三，可解出三角形，当涉及两边及其中一边的对角或两角及其中一角对边时，运用正弦定理求解；当涉及三边或两边及其夹角时，运用余弦定理求解.
22．（1）{|11}x x x <->或；（2）3 【解析】 【分析】
（1）通过讨论x 的范围，求出不等式的解集即可；
（2）先用绝对值不等式的性质求出最小值为a +b +c ＝3，然后用基本不等式可得． 【详解】
（1）()111f x x x =-+++， ∴1123x x ≤-⎧⎨
->⎩或1133x -<<⎧⎨>⎩或1213x x ≥⎧⎨+>⎩
，
解得{|11}x x x 或-.
（2）f x x a x b c =-+++ a x x b c a b c ≥-+++=++ 3a b c =++=，
()11111113a b c a b c a b c ⎛⎫++=++++ ⎪⎝⎭ 133b a c a c b a b a c b c ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++++++ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦
()1
322233
≥
+++=. 当且仅当1a b c ===时取得最小值3. 【点睛】 绝对值不等式的解法：
法一：利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想； 法二：利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想；
法三：通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程的思想． 23．（1）1；（2）()3,-+∞ 【解析】 【分析】
(1)根据函数()f x 的值域为[0,)+∞,可得0∆=,从而求出a 的值;
(2)()0f x >对任意的[)1,x ∈+∞成立等价于22a x x >--对任意的[)1,x ∈+∞成立,因此只需(
)
2
max
2a x x >--,然后求出22x x --的最小值即可得到a 的范围.
【详解】
解:(1)∵函数()()2
2f x x x a x R =++∈的值域为[)0,+∞,
∴22410a ∆=-⨯⨯=,∴1a =. (2)∵()0f x >对任意的[)1,x ∈+∞成立, ∴220x x a ++>对任意的[)1,x ∈+∞成立,
∴22a x x >--对任意的[)1,x ∈+∞成立,∴只需()
2
max
2a x x
>--.
∵当[)1,x ∈+∞时,()
2
2max
21213x x
--=--⨯=-,
∴3a >-.
∴实数a 的取值范围为()3,-+∞. 【点睛】
本题考查了根据函数的值域求参数的值和不等式恒成立问题,考查了转化思想和计算能力,属中档题. 24．(1) 6
A π
=;(2) 2a =.
【解析】
试题分析：（1sin sin cos A C C A ⋅=⋅．消去公因式得到所以
tan A =
．
进而得到角A ；（2）结合三角形的面积公式，和余弦定理得到2b c +=+式得到2a =． 解析：
（I sin cos C c A =，所以cos 0A ≠， 由正弦定理
sin sin sin a b c A B C
==，
sin sin cos A C C A ⋅=⋅． 又因为 ()0,C π∈，sin 0C ≠，
所以 tan A =
． 又因为 ()0,A π∈，
所以 6
A π
=
．
（II
）由11
sin 24
ABC S bc A bc ∆=
==
bc =， 由余弦定理2222cos a b c bc A =+-， 得2
2
2
2cos
6
a b c bc π
=+-，
即(
)(
)2
2
2212a b c bc b c =+-=+-，
因为2b c +=+ 解得 24a =. 因为 0a >， 所以 2a =.
25．（1）2n
n a =；（2）
99
n
n +. 【解析】 【分析】
（1）根据题意列出关于首项与公比的方程，求解，即可得出数列{}n a 的通项公式． （2）由q ＜1，可得数列{}n a 的通项公式，进而求得n b 及n S ，最后利用裂项相消法求
1n S ⎧⎫
⎨⎬⎩⎭
的前n 项和. 【详解】
（1）据题意，得()
3
123
1
1116
22a q a q a q a q ⎧=⎪⎨+=+⎪⎩， 解得2
3
q =或2q =， 又∵1q >
∴2q = ∴1316
22
a =
= ∴2n
n a =；
（2）据（1）求解知1q <时，23
q =
， ∴4
2163n n a -⎛⎫=⨯ ⎪⎝⎭
，
∴154a =，236a =，
∴3154b a ==，51290b a a =+=， ∴等差数列{}n b 的公差539054
1822
b b d --=
==， ∴1325421818b b d =-=-⨯=， ∴()
211818992
n n n S n n n -=⨯+⨯=+ ∴
2111119991n S n n n n ⎛⎫==- ⎪++⎝⎭
， ∴数列1n S ⎧⎫
⎨⎬⎩⎭
的前n 项和
111111111111929239199
n n n n S S S n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫++⋅⋅⋅+=-+-+⋅⋅⋅+-= ⎪ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭⎝⎭. 【点睛】
本题主要考查等差、等比数列的通项公式以及利用裂项相消法求数列的和，考查学生的运算能力． 26．（1）23
A π
=； （2
）4
ABC S V ＝. 【解析】 【分析】
（1）由正弦定理、三角函数恒等变换化简已知可得：1sin 62
A π⎛⎫
+
= ⎪⎝
⎭，结合范围()0,A π∈，可得7,666
A π
ππ⎛⎫
+
∈ ⎪⎝⎭
，进而可求A 的值． （2）在△ADC 中，由正弦定理可得sin 1CAD ∠=，可得2
CAD ＝π
∠，利用三角形内角和
定理可求C B ∠∠，
，即可求得AB AC ==解． 【详解】 （1
）∵)
()cos cos a
B C c b A -=-，
sin sin cos sin cos sin cos A B A C C A B A --＝，
sin sin cos sin cos sin cos A B B A C A A C ++＝
，可得：
)
sin cos sin B
A A
B +=，
∵sin 0B >，
cos 2sin 16A A A π⎛⎫
+=+= ⎪⎝
⎭，可得：1sin 62
A π⎛
⎫+= ⎪⎝⎭， ∵()0,A π∈， ∴7,666A π
ππ⎛⎫
+∈ ⎪⎝⎭
， ∴56
6
A π
π
+
=
，可得：23A π=．
（2）∵b =
D 在BC 边上，23
CD ADC π
∠＝，＝
，
∴在ADC V 中，由正弦定理sin sin AC CD ADC CAD
=∠∠2sin CAD =
∠，可得：
sin 1CAD ＝∠，
∴2
CAD ＝
π
∠，可得：6
C CA
D ADC π
π∠=-∠-∠=
，
∴6
B A
C ＝＝π
π∠-∠-∠，
∴AB AC ==
∴11sin 2224
ABC S AB AC A ⋅⋅==
V ＝． 【点睛】
本题主要考查了正弦定理、三角函数恒等变换的应用，三角形内角和定理及三角形的面积公式在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化能力，属于中档题．。