6-2 轴对称、平移、旋转 五年中考荟萃汇总

§6.2轴对称、平移、旋转
A组2015年全国中考题组
一、选择题
1．(2015·浙江嘉兴，2，4分)下列四个图形分别是四届国际数学家大会的会标，其中属于中心对称图形的有()
解析第一个和第三个属于中心对称图形，第二个和第四个属于轴对称图形．答案 B
2．(2015·浙江温州，4，4分)下列选项中的图形，不属于中心对称图形的是() A．等边三角形B．正方形
C．正六边形D．圆
解析等边三角形是轴对称图形，正方形、正六边形、圆既是轴对称图形又是中心对称图形．
答案 A
3．(2015·福建福州，7，3分)如图，在3×3的正方形
网格中由四个格点A，B，C，D，以其中一点为原
点，网格线所在直线为坐标轴，建立平面直角坐标
系，使其余三个点中存在两个点关于一条坐标轴对
称，则原点是()
A．A点B．B点
C．C点D．D点
解析当以点B为原点时，A(－1，－1)，C(1，－1)，则点A和点C关于y 轴对称，符合条件．
答案 B
4．(2015·河北，3，3分)一张菱形纸片按如图1、图2依次对折后，再按如图3打出一个圆形小孔，则展开铺平后的图案是
( )
解析 严格按照图中的顺序向右翻折，向右上角翻折，打出一个圆形小孔，展开得到结论． 答案 C
5．(2015·山东泰安，15，3分)如图，在平面直角坐标系
中，正三角形OAB 的顶点B 的坐标为(2，0)，点A 在第一象限内，将△OAB 沿直线OA 的方向平移至△O ′A ′B ′的位置，此时点A ′的横坐标为3，则点B ′的坐标为
( ) A ．(4，23) B ．(3，33) C ．(4，33)
D ．(3，23)
解析 作AM ⊥x 轴于点M .根据等边三角形的性质得
出OA ＝OB ＝2，∠AOB ＝60°，在直角△OAM 中利用含30°角的直角三角形的性质求出OM ＝1
2OA ＝1，AM ＝3OM ＝3，则A (1，3)，直线OA 的解析式为y ＝3x ，将x ＝3代入，求出y ＝33，那么A ′(3，33)，
由一对对应点A 与A ′的坐标求出平移规律，再根据此平移规律即可求出点B ′
的坐标．
答案 A
6．(2015·湖南邵阳，10，3分)如图，在矩形ABCD中，已知AB＝4，BC＝3，矩形在直线l上绕其右下角的顶点B向右旋转90°至图①位置，再绕右下角的顶点继续向右旋转90°至图②位置，…，以此类推，这样连续旋转2 015次后，顶点A在整个旋转过程中所经过的路程之和是()
A．2 015πB．3 019.5π
C．3 018πD．3 024π
解析转动一次A的路线长是：90π×4
180＝2π，
转动第二次的路线长是：90π×5
180＝
5π
2，
转动第三次的路线长是：90π×3
180＝
3
2π，
转动第四次的路线长是：0，
转动五次A的路线长是：90π×4
180＝2π，
以此类推，每四次循环，
故顶点A转动四次经过的路线长为：3π
2＋
5π
2＋2π＝6π，
2 015÷4＝503余3.
顶点A转动四次经过的路线长为：6π×504＝3 024π.
答案 D
二、填空题
7．(2015·四川攀枝花，15，4分)如图，在边长为2的等
边△ABC 中，D 为BC 的中点，E 是AC 边上一点，则BE ＋DE 的最小值为________．
解析 作B 关于AC 的对称点B ′，连结BB ′，B ′D 交AC 于E ，此时BE ＋ED ＝B ′E ＋ED ＝B ′D ，根据两点
之间线段最短可知B ′D 就是BE ＋ED 的最小值．∵B ，B ′关于AC 对称，∴AC ，BB ′互相垂直平分，∴四边形ABCB ′是平行四边形．∵△ABC 是边长为2的等边三角形，D 为BC 的中点，∴AD ⊥BC ，
∴AD ＝3，BD ＝CD ＝1，BB ′＝2AD ＝2 3.作
B ′G ⊥B
C 的延长线于G ，∴B ′G ＝A
D ＝ 3.在Rt △B ′BG 中，BG ＝
BB ′2－B ′G 2＝
（23）2－（3）2＝3，
∴DG ＝BG －BD ＝3－1＝2.在Rt △B ′DG 中，B ′D ＝DG 2＋B ′G 2＝
22＋（3）2＝7.故BE ＋ED 的最小值为7. 答案
7
8．(2015·四川宜宾，15，3分)如图，一次函数的图象与
x 轴、y 轴分别相交于点A ，B ，将△AOB 沿直线AB 翻折，得△ACB .若C ⎝ ⎛⎭⎪⎫
32，32，则该一次函数的解析
式为________．
解析 连结OC ，过点C 作CD ⊥x 轴于点D ，∵将△AOB
沿直线AB 翻折，得△ACB ，C ⎝ ⎛⎭
⎪⎫
32，32，∴AO ＝AC ，
OD ＝32，DC ＝3
2，BO ＝BC ，
则tan ∠COD ＝CD OD ＝3
3，故∠COD ＝30°，∠BOC ＝60°，
∴△BOC 是等边三角形，且∠CAD ＝60°，则sin 60°＝CD AC ，即AC ＝DC
sin 60°＝1，
∴OA ＝1，故A (1，0)，sin 30°＝CD CO ＝3
2CO ＝1
2，则CO ＝3，故BO ＝3，B 点
坐标为：(0，3)，设直线AB 的解析式为：y ＝kx ＋b ，则⎩⎪⎨⎪⎧k ＋b ＝0，
b ＝3，
解得：
⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－3，b ＝3，
即直线AB 的解析式为：y ＝－3x ＋ 3. 答案 y ＝－3x ＋ 3
三、解答题
9．(2015·江苏连云港，22，10分)如图，将平行四边形ABCD 沿对角线BD 进行折叠，折叠后点C 落在点F 处，DF 交AB 于点E . (1)求证：∠EDB ＝∠EBD ；
(2)判断AF 与DB 是否平行，并说明理由． 证明 (1)由折叠可知：∠CDB ＝∠EDB ， ∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴DC ∥AB ，∴∠CDB ＝∠EBD ， ∴∠EDB ＝∠EBD ； (2)AF ∥DB ；
∵∠EDB ＝∠EBD ，∴DE ＝BE . 由折叠可知：DC ＝DF .
∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴DC ＝AB ，∴DF ＝AB ，∴AE ＝EF ， ∴∠EAF ＝∠EF A .
在△BED 中，∠EDB ＋∠EBD ＋∠DEB ＝180°， ∴2∠EDB ＋∠DEB ＝180
°.
同理，在△AEF中，2∠EF A＋∠AEF＝180°，
∵∠DEB＝∠AEF，∴∠EDB＝∠EF A，
∴AF∥DB.
10．(2015·浙江金华，19，6分)在平面直角坐
标系中，点A的坐标是(0，3)，点B在x
轴上，将△AOB绕点A逆时针旋转90°得
到△AEF，点O，B对应点分别是E，F.
(1)若点B的坐标是(－4，0)，请在图中画
出△AEF，并写出点E，F的坐标；
(2)当点F落在x轴上方时，试写出一个符合条件的点B的坐标．
解(1)∵△AOB绕点A逆时针旋转90°后得
到△AEF，
则AO⊥AE，AO＝AE，
∴点E的坐标是(3，3)．
∵EF＝OB＝4，
∴点F的坐标是(3，－1)，
(2)∵点F落在x轴的上方，
∴EF<AO.又∵EF＝OB，
∴OB<AO，AO＝3，∴OB<3，
∴一个符合条件的点B的坐标是(－2，0)．
11．(2015·山东潍坊，23，12分)如图1，点O是正方形ABCD两对角线的交点，分别延长OD到点G，OC到点E，使OG＝2OD，OE＝2OC，然后以OG，OE为邻边作正方形OEFG，连结AG，DE.
(1)求证：DE⊥AG；
(2)正方形ABCD固定，将正方形OEFG绕点O逆时针旋转α角(0°＜α＜360°)
得到正方形OE′F′G′，如图2.
①在旋转过程中，当∠OAG′是直角时，求α的度数；
②若正方形ABCD的边长为1，在旋转过程中，求AF′长的最大值和此时α的
度数，直接写出结果不必说明理由．
解 (1)如图1，延长ED 交AG 于点H ， ∵点O 是正方形ABCD 两对角线的交点， ∴OA ＝OD ，OA ⊥OD . ∵OG ＝OE ，
在△AOG 和△DOE 中，
⎩⎨⎧OA ＝OD ，
∠AOG ＝∠DOE ＝90°，OG ＝OE ，
∴△AOG ≌△DOE ， ∴∠AGO ＝∠DEO . ∵∠AGO ＋∠GAO ＝90°， ∴∠AGO ＋∠DEO ＝90°， ∴∠AHE ＝90°，即DE ⊥AG ；
(2)①在旋转过程中，∠OAG ′成为直角有两种情况：
(Ⅰ)如图2，α由0°增大到90°过程中，当∠OAG ′＝90°时，
∵OA ＝OD ＝12OG ＝1
2OG ′， ∴在Rt △OAG ′中，
sin ∠AG ′O ＝OA OG ′＝1
2，∴∠AG ′O ＝30°.
∵OA ⊥OD ，OA ⊥AG ′，∴OD ∥AG ′，
图
1
图2
∴∠DOG ′＝∠AG ′O ＝30°， 即α＝30°；
(Ⅱ)α由90°增大到180°过程中，当∠OAG ′＝90°时， 同理可求∠BOG ′＝30°， ∴α＝180°－30°＝150°.
综上所述，当∠OAG ′＝90°时，α＝30°或150°. ②如图3，当旋转到A ，O ，F ′在一条直线上时，AF ′的长最大，
∵正方形ABCD 的边长为1， ∴OA ＝OD ＝OC ＝OB ＝22. ∵OG ＝2OD ，∴OG ′＝OG ＝2，
∴OF ′＝2，∴AF ′＝AO ＋OF ′＝2
2＋2.∵∠COE ′＝45°，∴此时α＝315°.
B 组 2014～2011年全国中考题组
一、选择题
1．(2013·浙江杭州，1，3分)下列“表情图”中，属于轴对称图形的是
( )
解析 A 、B 图中，嘴角部分不能关于直线对称；C 图中出现的手不能关于某条直线对称，D 所示轴对称图形，对称轴是两眼中间的直线． 答案 D
2．(2013·浙江宁波，3，3分)下列电视台的台标，是中心对称图形的是
( )
解析 A 不是中心对称图形，故本选项错误；B 不是中心对称图形，故本选项错误；
C 不是中心对称图形，故本选项错误；
D 是中心对称图形，故本选
图3
项正确．故选D.
答案 D
3．(2012·浙江丽水，9，3分)如图是一台球桌面示
意图，图中小正方形的边长均相等，黑球放在
如图所示的位置，经白球撞击后沿箭头方向运
动，经桌边反弹最后进入球洞的序号是()
A．①B．②C．⑤D．⑥
解析入射光线与水平线的夹角等于反射光线
与水平线的夹角，动手操作即可．如图，球最
后落入①球洞．
答案 A
4．(2013·浙江湖州，6，3分)在正三角形、等腰梯形、矩形、平行四边形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是()
A．正三角形B．等腰梯形
C．矩形D．平行四边形
解析根据轴对称图形和中心对称图形的概念可知，正三角形、等腰梯形是轴对称图形，不是中心对称图形；矩形是轴对称图形，也是中心对称图形；
平行四边形不是轴对称图形，是中心对称图形．故选C.
答案 C
5．(2012·浙江绍兴，6，4分)在如图所示的平面直角坐
标系内，画在透明胶片上的▱ABCD，点A的坐标是(0，
2)．现将这张胶片平移，使点A落在点A′(5，－1)处，
则此平移可以是()
A．先向右平移5个单位，再向下平移1个单位
B．先向右平移5个单位，再向下平移3个单位
C．先向右平移4个单位，再向下平移1个单位
D．先向右平移4个单位，再向下平移3个单位
解析 根据A 的坐标是(0，2)，点A ′(5，－1)，横坐标加5，纵坐标减3得出，故先向右平移5个单位，再向下平移3个单位． 答案 B
6．(2013·浙江湖州，9，3分)如图，已知四边形ABCD
是矩形，把矩形沿直线AC 折叠，点B 落在点E 处，连结DE .若DE ∶AC ＝3∶5，则AD
AB 的值为 ( ) A.1
2
B.33
C.23
D.22
解析 ∵已知四边形ABCD 是矩形，把矩形沿直线
AC 折叠，点B 落在点E 处，∴∠B ＝∠AEC ＝∠ADC ＝90°，AB ＝AE ＝DC ，∠BAC ＝∠EAC .∵AB ∥DC ，∴∠DCA ＝∠BAC ，∴∠DCA ＝∠EAC ，∴F A ＝CF .∵AE ＝
CD ，∴DF ＝EF ，∴EF FC ＝DF AF .∵∠DFE ＝∠AFC ，∴△DFE ∽△AFC .∴DF AF ＝DE AC ＝3
5.设DF ＝3x ，则AF ＝5x ，AD ＝AF 2－DF 2＝4x ，AB ＝AE ＝AF ＋EF ＝AF ＋DF
＝8x ，∴AD AB ＝4x 8x ＝1
2，故选A. 答案 A 二、填空题
7．(2012·浙江温州，12，5分)分别以正方形的各边为
直径向其内部作半圆得到的图形如图所示．将该图形绕其中心旋转一个合适的角度后会与原图形重合，则这个旋转角的最小度数是________度． 解析 观察图形可得，图形有四个形状相同的部分组成，从而能计算出旋转角度．图形可看作由一个
基本图形每次旋转90°，旋转4次所组成，故最小旋转角为90°. 答案 90°
8．(2011·浙江宁波，13，8分)如果点P (4，－5)和点Q (a ，b )关于原点对称，则
a的值为________．
解析根据两点关于原点对称，横纵坐标均为相反数即可得出结果．∵点P(4，－5)和点Q(a，b)关于原点对称，∴a＝－4，b＝5.
答案－4
9．(2012·浙江绍兴，15，5分)如图，在矩形ABCD中，
点E，F分别在BC，CD上，将△ABE沿AE折叠，
使点B落在AC上的点B′处，又将△CEF沿EF折叠，
使点C落在EB′与AD的交点C′处．则BC∶AB的值
为________．
解析连结CC′，∵将△ABE沿AE折叠，使点B落
在AC上的点B′处，又将△CEF沿EF折叠，使点
C落在EB′与AD的交点C′处，∴EC＝EC′，∴∠EC′
C＝∠ECC′.∵∠DC′C＝∠ECC′，∴∠EC′C＝∠DC′C，∴得到CC′是∠EC′D的平分线．∵∠CB′C′＝∠D＝90°，∴CB′＝CD，又∵AB′＝AB，∴B′是对角线AC
中点，即AC＝2AB，∴∠ACB＝30°，∴tan∠ACB＝tan 30°＝AB
BC＝
3
3，BC∶AB的
值为 3.
答案 3
10．(2012·浙江台州，14，5分)如图，将正方形ABCD 沿BE对折，使点A落在对角线BD上的A′处，连结A′C，则∠BA′C＝________度．
解析由折叠性质知BA′＝BA.
∵四边形ABCD为正方形，∴BC＝AB，∠CBD＝45°.
∴△CBA′中BA′＝BC，
∴∠BA′C＝1
2(180°－45°)＝67.5°.
答案67.5
三、解答题
11．★(2013·浙江温州，19，9分)如图，在方格纸中，△ABC的三个顶点和点P 都在小方格的顶点上．按要求画一个三角形，使它的顶点在方格的顶点上．
甲
乙
(1)将△ABC平移，使点P落在平移后的三角形内部，在图甲中画出示意图；
(2)以点C为旋转中心，将△ABC旋转，使点P落在旋转后的三角形内部，在
图乙中画出示意图．
解(1)
(2)
12．(2014·浙江丽水，19，6分)如图，正方形网格中的每个小正方形的边长都是1，每个小正方形的顶点叫做格点．△ABC 的三个顶点A ，B ，C 都在格点上．将△ABC 绕点A 按顺时针方向旋转90°得到△AB ′C ′.
(1)在正方形网格中，画出△AB ′C ′；
(2)计算线段AB 在变换到AB ′的过程中扫过的区域的面积． 解 (1)如图所示
(2)由图可知，线段AB 在变换到AB ′的过程中扫过区域的面积就是扇形B ′AB 的面积，其中∠B ′AB ＝90°，AB ＝32＋42＝5，
∴线段AB 在变换到AB ′的过程中扫过的区域的面积为：90360π×52＝254π.。