2019年广东省广州市白云区第二中学高一数学文模拟试题含解析

2019年广东省广州市白云区第二中学高一数学文模拟
试题含解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1. 某市对上下班交通情况作抽样调查，作出上下班时间各抽取12辆机动车行驶时速（单位：km/h）的茎叶图（如下）：
则上下班时间行驶时速的中位数分别为
A．28与28．5 B．29与28．5 C．28与27．5 D．29与27．5
参考答案：
D
2. 若角α的终边经过点P（1，﹣2），则tanα的值为（）
A．B．C．﹣2 D．
参考答案：
C
【考点】任意角的三角函数的定义．
【专题】计算题；方程思想；综合法；三角函数的图像与性质．
【分析】由三角函数的定义，求出值即可
【解答】解：∵角α的终边经过点P（1，﹣2），
∴tanα=﹣2．
故选：C．
【点评】本题考查三角函数的定义，利用公式求值是关键．
3. 若a>b，则下列各项正确的是（）
A．ac>bc B．ax2>bx2 C．a2>b2 D．a2x>b2x
参考答案：
D
4. 的值为（）
A. B.
C.
D.
参考答案：
A
考点：诱导公式.
【易错点晴】本题主要考查诱导公式，属于容易题型.本题虽属容易题型，但如果不细心的话容易因判断错象限、或因忘了改变函数名而犯错.解决此类题型的口诀是：奇变偶不
变，符号看象限,应用改口诀的注意细节有：1、“奇”、“偶”指的是的奇数倍或偶数倍，2、符号看象限，既要看旧角，又要看旧函数名.要熟练掌握这两个细节才不会“走火入魔”.
5. 已知函数的部分图象，则函数的解析式为（）
A． B．
C. D．
参考答案：
B
略
6. 若 ABC中，sinA:sinB:sinC=2:3:4，那么cosC=（）
A、B、C、D、
参考答案：
7. （5分）函数f（x）=Asin（ωx+φ）（其中A＞0，|φ|＜）的图象如图所示，为了得到g（x）=sin2x的图象，则只要将f（x）的图象（）
A．向右平移个单位长度B．向右平移个单位长度
C．向左平移个单位长度D．向左平移个单位长度
参考答案：
A
考点：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．
专题：三角函数的图像与性质．
分析：由条件根据函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，可得结论．
解答：由函数f（x）=Asin（ωx+φ）（其中A＞0，|φ|＜）的图象可得A=1，
==﹣，求得ω=2．
再根据五点法作图可得2×+φ=π，求得φ=，
故f（x）=sin（2x+）=sin2（x+）．
故把f（x）的图象向右平移个单位长度，可得g（x）=sin2x的图象，
故选：A．
点评：本题主要考查函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，属于基础题．
8. 长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=BC=，AA1=，则异面直线BD1与CC1所成的角等于（）
A．30°B．45°C．60°D．90°
参考答案：
B
【考点】异面直线及其所成的角．
【分析】由CC1∥BB1，得∠D1BB1是异面直线BD1与CC1所成的角，由此能求出异面直线BD1与CC1所成的角的大小．
【解答】解：∵CC1∥BB1，
∴∠D1BB1是异面直线BD1与CC1所成的角，
∵AB=BC=，AA1=，
∴B1D1==，
∵BB1⊥B1D1，
∴tan∠D1BB1===1，
∴∠D1BB1=45°．
∴异面直线BD1与CC1所成的角为45°．
故选：B．
9. △ABC三边上的高依次为2、3、4，则△ABC为（）
A．锐角三角形B．钝角三角形
C．直角三角形D．不存在这样的三角形
参考答案：
B
【考点】正弦定理；余弦定理．
【分析】根据三角形的面积不变，知三角形三边的高的比和三边的比成反比，求得三边比，根据余弦定义求得最大角的余弦值，即可判断三角形的形状．
【解答】解：由三角形的面积不变，三角形三边的高的比和三边的比成反比，
即：a：b：c=：： =6：4：3，
设a=6k，b=4k，c=3k，
由4k+3k＞6k，6k﹣3k＜4k，故三角形存在，
由大边对大角可知，∠A最大，
∴cosA==＜0，
所以A为钝角，
所以△ABC为钝角三角形．
故答案选：B．
10. 已知命题p：关于x的函数y=x2﹣3ax+4在[1，+∞）上是增函数，命题q：y=（2a﹣1）x为减函数，若p且q为真命题，则a的取值范围是（）
A．B．C．D．
参考答案：
C
【考点】4C：指数函数单调性的应用；2E：复合命题的真假；3F：函数单调性的性质．【分析】由p且q为真命题，故p和q均为真命题，我们可根据函数的性质，分别计算出p为真命题时，参数a的取值范围及分别计算出q为真命题时，参数a的取值范围，求其交集即可．
【解答】解：命题p等价于，3a≤2，即．
由y=（2a﹣1）x为减函数得：0＜2a﹣1＜1即．
又因为p且q为真命题，所以，p和q均为真命题，
所以取交集得．
故选C．
二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 欧阳修《卖油翁》中写到：（翁）乃取一葫芦置于地，以钱覆其口，徐以杓酌油沥之，自钱入孔入，而钱不湿，可见“行行出状元”，卖油翁的技艺让人叹为观止，若铜钱是直径为2cm的圆，中间有边长为0.5cm的正方形孔，若你随机向铜钱上滴一滴油，则油（油滴的大小忽略不计）正好落入孔中的概率为．
参考答案：
【考点】几何概型．
【分析】求出圆和正方形的面积，结合几何概型的概率公式进行计算即可．【解答】解：正方形的面积S=0.5×0.5=0.25，
若铜钱的直径为2cm，则半径是1，圆的面积S=π×12=π，
则随机向铜钱上滴一滴油，则油（油滴的大小忽略不计）正好落入孔中的概率P==，
故答案为：．
12. 已知则．
参考答案：
1
13. 如图程序框的运行结果是．
参考答案：
120
【考点】程序框图．
【分析】由图知，循环体执行一次，a的值减少一次，其初值为6，当a＜4时，循环体不再执行，故此循环体可执行三次，又S的初值为1，每执行一次循环体，其值变成原来的a倍，由此规律计算出S的值即可得到答案
【解答】解：由图，循环体共执行三次，由S的初值为1，每执行一次循环体，其值变成原来的a倍，
故S=1×6×5×4=120
故答案为120．
14. 函数的单调增区间是 .
参考答案：
［2，+∞）
15. 已知为锐角，且cos，cos，则的值是_____________.
参考答案：
略
16. 给出下列命题
①函数的最小正周期为，图象的一条对称轴为
②若向量与共线，则
③两个单位向量与的夹角为，当时，向量与向量垂直
④函数的一个对称中心为，且在区间上单调递减
其中结论正确的编号为①（把你认为正确的结论编号都填上）
参考答案：
③①
17. 设数列中，，，，则通项
参考答案：
由已知有
所以
三、解答题：本大题共5小题，共72分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
18. 已知定义在区间（﹣1，1）上的函数是奇函数，且，
（1）确定y=f（x）的解析式；
（2）判断y=f（x）的单调性并用定义证明．
参考答案：
【考点】函数单调性的判断与证明；函数解析式的求解及常用方法．
【专题】计算题；函数思想；分析法；函数的性质及应用．
【分析】（1）根据奇函数的性质，和函数值，即可求出函数的解析式；
（2）利用函数单调性的定义进行证明即可．
【解答】解：（1）y=f（x）是奇函数，
∴f（0）=0，
∴b=0，
∵，
∴a=1，
∴f（x）=，
（2）设﹣1＜x1＜x2＜1，
则f（x1）﹣f（x2）=﹣=，
∵﹣1＜x1＜x2＜1，
∴x1﹣x2＜0，1﹣x1x2＞0，
又x12，+1＞0，x22+1＞0，
∴f（x1）﹣f（x2）＜0，
即f（x1）＜f（x2），
∴y=f（x）在（﹣1，1）上单调递增．
【点评】本题主要考查函数单调性的判断以及奇函数的性质，利用函数单调性的定义是解决此类问题的基本方法．
19. 已知幂函数的图象过点(2,4)，函数是[－1,1]上的奇函数. （1）求g(x)的解析式；
（2）判断并证明g(x)在[－1,1]上的单调性；
（3）解不等式.
参考答案：
（1）（2）在[－1,1]上单调增，见解析（3）
【分析】
（1）用待定系数法求出，利用奇函数的必要条件求出，再加以验证；
（2）按照函数单调性定义，在[－1,1]任取两个自变量，用作差法比较函数值大小，即可证明结论；
（3）不等式变式为，根据函数的单调性转化为自变量的大小关系，即可求解.
【详解】(1) 幂函数的图象过点(2,4)，
，得
在上为奇函数.
，…
，得
，此时，
所以为奇函数，即为所求；
(2) 在上单调增
证明:任取,且
则=
=
因为，
所以，,
即：函数在区间上是增函数.
(3) ，即
在上单调增
解得：
，故不等式解集为
【点睛】本题考查函数的奇偶性求参数，注意必要条件的运用，但要进行验证，考查函数的单调性证明及应用，要注意函数的定义域，属于中档题.
20. 已知半径为5的圆的圆心在x轴上，圆心的横坐标是整数，且与直线4x+3y﹣29=0相切．
（Ⅰ）求圆的方程；
（Ⅱ）设直线ax﹣y+5=0（a＞0）与圆相交于A，B两点，求实数a的取值范围；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，是否存在实数a，使得弦AB的垂直平分线l过点P（﹣2，4），若存在，求出实数a的值；若不存在，请说明理由．
参考答案：
【考点】JE：直线和圆的方程的应用；J1：圆的标准方程．
【分析】（Ⅰ）设圆心为M（m，0）（m∈Z）．由于圆与直线4x+3y﹣29=0相切，且半径
为5，所以，由此能求了圆的方程．
（Ⅱ）把直线ax﹣y+5=0代入圆的方程，得（a2+1）x2+2（5a﹣1）x+1=0，由于直线ax﹣y+5=0交圆于A，B两点，故△=4（5a﹣1）2﹣4（a2+1）＞0，由此能求出实数a的取值范围．
（Ⅲ）设符合条件的实数a存在，则直线l的斜率为，l的方程为，由
于l垂直平分弦AB，故圆心M（1，0）必在l上，由此推导出存在实数使得过点P （﹣2，4）的直线l垂直平分弦AB．
【解答】（本小题满分14分）
解：（Ⅰ）设圆心为M（m，0）（m∈Z）．
由于圆与直线4x+3y﹣29=0相切，且半径为5，
所以，
即|4m﹣29|=25．因为m为整数，故m=1．
故所求圆的方程为（x﹣1）2+y2=25．…
（Ⅱ）把直线ax﹣y+5=0，即y=ax+5，
代入圆的方程，消去y，
整理，得（a2+1）x2+2（5a﹣1）x+1=0，
由于直线ax﹣y+5=0交圆于A，B两点，
故△=4（5a﹣1）2﹣4（a2+1）＞0，
即12a2﹣5a＞0，
由于a＞0，解得a＞，
所以实数a的取值范围是（）．
（Ⅲ）设符合条件的实数a存在，
则直线l的斜率为，
l的方程为，
即x+ay+2﹣4a=0
由于l垂直平分弦AB，故圆心M（1，0）必在l上，
所以1+0+2﹣4a=0，解得．
由于，故存在实数
使得过点P（﹣2，4）的直线l垂直平分弦AB．…
21. （本小题满分10分)
已知等差数列{a n}满足：a3＝7，a5＋a7＝26，求数列{a n}的通项公式及其前n项和S n。

参考答案：
a n＝2n＋1，S n＝n2＋2n.
(1)设等差数列{a n}的首项为a1，公差为d.，由解得
所以a n＝3＋2(n－1)＝2n＋1，S n＝n2＋2n. …10分
22. （12分）已知直线l1：ax﹣by﹣1=0，（a，b不同时为0），l2：（a+2）x+y+a=0，（1）若b=0且l1⊥l2，求实数a的值；
（2）当b=2且l1∥l2时，求直线l1与l2之间的距离．
参考答案：
考点：直线的一般式方程与直线的垂直关系；直线的一般式方程与直线的平行关系．
专题：直线与圆．
分析：（1）由b=0得直线，然后根据l1⊥l2，得a+2=0，即a=﹣2；
（2）由b=2求出直线l1的斜率为，再由l1∥l2列式求得a的值，代入两直线方程后由两平行线间的距离公式求得直线l1与l2之间的距离．
解答：（1）∵b=0，∴直线，
∵l1⊥l2，∴a+2=0，即a=﹣2；
（2）∵b=2，∴直线l1的斜率为．
又∵l1∥l2，∴，解得，
∴直线l1：4x+6y+3=0，直线l2：4x+6y﹣8=0．
直线l1与l2之间的距离．
点评：本题考查了直线的一般式方程与直线平行和垂直的关系，考查了两平行线间的距离，是基础题．。