薛城区高中2018-2019学年高二下学期第二次月考试卷数学

薛城区高中2018-2019学年高二下学期第二次月考试卷数学
一、选择题
1． 关于函数2
()ln f x x x
=
+，下列说法错误的是（ ） （A ）2x =是()f x 的极小值点
（ B ） 函数()y f x x =-有且只有1个零点 （C ）存在正实数k ，使得()f x kx >恒成立
（D ）对任意两个正实数12,x x ，且21x x >，若12()()f x f x =，则124x x +>
2．
若函数是R 上的单调减函数，则实数a 的取值范围是（ ）
A ．（﹣∞，2）
B
．
C ．（0，2）
D
．
3． 在长方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，底面是边长为2的正方形，高为4，则点A 1到截面AB 1D 1的距离是（ ） A
． B
．
C
．
D
．
4． 在ABC ∆中，60A =，1b =
sin sin sin a b c
A B C
++++等于（ ）
A
． B
．3 C
．3
D
．2
5．
如果
（m ∈R ，i 表示虚数单位），那么m=（ ）
A ．1
B ．﹣1
C ．2
D ．0
6． 过点（﹣1，3）且平行于直线x ﹣2y+3=0的直线方程为（ ）
A ．x ﹣2y+7=0
B ．2x+y ﹣1=0
C ．x ﹣2y ﹣5=0
D ．2x+y ﹣5=0
7． 设奇函数f （x ）在（0，+∞）上为增函数，且f （1）=0
，则不等式＜0的解集为（ ）
A ．（﹣1，0）∪（1，+∞）
B ．（﹣∞，﹣1）∪（0，1）
C ．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）
D ．（﹣1，0）∪（0，1）
8． 设平面α与平面β相交于直线m ，直线a 在平面α内，直线b 在平面β内，且b ⊥m ，则“α⊥β”是“a ⊥b ”
的（ ） A ．必要不充分条件
B ．充分不必要条件
C ．充分必要条件
D ．既不充分也不必要条件
9． 某市重点中学奥数培训班共有14人，分为两个小组，在一次阶段考试中两个小组成绩的茎叶图如图所示，其中甲组学生成绩的平均数是88，乙组学生成绩的中位数是89，则m n +的值是（ ）
班级_______________ 座号______ 姓名_______________ 分数_______________
___________________________________________________________________________________________________
A ．10
B ．11
C ．12
D ．13
【命题意图】本题考查样本平均数、中位数、茎叶图等基础知识，意在考查识图能力和计算能力． 10．已知△ABC 的周长为20，且顶点B （0，﹣4），C （0，4），则顶点A 的轨迹方程是（ ）
A ．（x ≠0）
B ．（x ≠0）
C ．
（x ≠0）
D ．
（x ≠0）
11．若曲线f （x ）=acosx 与曲线g （x ）=x 2+bx+1在交点（0，m ）处有公切线，则a+b=（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4
12．执行如图所示的程序框图，若输出的S=88，则判断框内应填入的条件是（ ）
A ．k ＞7
B ．k ＞6
C ．k ＞5
D ．k ＞4
二、填空题
13．已知曲线y=（a ﹣3）x 3+lnx 存在垂直于y 轴的切线，函数f （x ）=x 3﹣ax 2﹣3x+1在[1，2]上单调递减，则a 的范围为 ．
14．已知[2,2]a ∈-，不等式2
(4)420x a x a +-+->恒成立，则的取值范围为__________.
15．如图，一船以每小时20km 的速度向东航行，船在A 处看到一个灯塔B 在北偏东60°方向，行驶4小时后，船到达C 处，看到这个灯塔在北偏东15°方向，这时船与灯塔间的距离为 km ．
16．= ．
17．在棱长为1的正方体上，分别用过共顶点的三条棱中点的平面截该正方体，则截去8个三棱锥后，剩下的凸多面体的体积是 ．
18．已知函数f （x ）=sinx ﹣cosx ，则= ．
三、解答题
19．椭圆C ：
=1，（a ＞b ＞0）的离心率
，点（2，
）在C 上．
（1）求椭圆C 的方程；
（2）直线l 不过原点O 且不平行于坐标轴，l 与C 有两个交点A ，B ，线段AB 的中点为M ．证明：直线OM
的斜率与l 的斜率的乘积为定值．
20．【盐城中学2018届高三上第一次阶段性考试】已知函数f （x ）=ax 2+lnx （a ∈R ）． （1）当a=
1
2
时，求f （x ）在区间[1，e]上的最大值和最小值； （2）如果函数g （x ），f 1（x ），f 2（x ），在公共定义域D 上，满足f 1（x ）＜g （x ）＜f 2（x ），那么就称g （x ）为f 1（x ），f 2（x ）
的“活动函数”．已知函数()()
22
1121-a ln ,2f x a x ax x ⎛⎫=-++ ⎪⎝
⎭.()22122
f x x ax =+。

若在区间（1，+∞）上，函数f （x ）是f 1（x ），f 2（x ）的“活动函数”，求a 的取值范围．
21．函数f （x ）是R 上的奇函数，且当x ＞0时，函数的解析式为f （x ）=﹣1． （1）用定义证明f （x ）在（0，+∞）上是减函数； （2）求函数f （x ）的解析式．
22．已知函数f （x ）=xlnx ，求函数f （x ）的最小值．
23．（本题满分13分）已知圆1C 的圆心在坐标原点O ，且与直线1l ：062=+-y x 相切，设点A 为圆上 一动点，⊥AM x 轴于点M ，且动点N 满足OM OA ON )2
133(21-+=，设动点N 的轨迹为曲线C . （1）求曲线C 的方程；
（2）若动直线2l ：m kx y +=与曲线C 有且仅有一个公共点，过)0,1(1-F ，)0,1(2F 两点分别作21l P F ⊥，
21l Q F ⊥，垂足分别为P ，Q ，且记1d 为点1F 到直线2l 的距离，2d 为点2F 到直线2l 的距离，3d 为点P
到点Q 的距离，试探索321)(d d d ⋅+是否存在最值？若存在，请求出最值.
24．在极坐标系下，已知圆O ：ρ=cos θ+sin θ和直线l ：．
（1）求圆O 和直线l 的直角坐标方程；
（2）当θ∈（0，π）时，求直线l 与圆O 公共点的极坐标．
25．已知函数f（x）的导函数f′（x）=x2+2ax+b（ab≠0），且f（0）=0．设曲线y=f（x）在原点处的切线l1的斜率为k1，过原点的另一条切线l2的斜率为k2．
（1）若k1：k2=4：5，求函数f（x）的单调区间；
（2）若k2=tk1时，函数f（x）无极值，且存在实数t使f（b）＜f（1﹣2t）成立，求实数a的取值范围．
26．已知数列{a n}是各项均为正数的等比数列，满足a3=8，a3﹣a2﹣2a1=0．
（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式
（Ⅱ）记b n=log2a n，求数列{a n•b n}的前n项和S n．
薛城区高中2018-2019学年高二下学期第二次月考试卷数学（参考答案）
一、选择题
1． 【答案】 C
【解析】
22212
'()x f x x x x
-=-
+=，'(2)0f =，且当02x <<时，'()0f x <，函数递减，当2x >时，'()0f x >，函数递增，因此2x =是()f x 的极小值点，A 正确；()()g x f x x =-，221'()1g x x x =-+-2217()24x x
-+
=-，所以当0x >时，'()0g x <恒成立，即()g x 单调递减，又11()210g e e e =+->，2222
()20g e e e
=+-<，
所以()g x 有零点且只有一个零点，B 正确；设2()2ln ()f x x
h x x x x
==+
，易知当2x >时，222ln 21112()x h x x x x x x x x =+<+<+=，对任意的正实数k ，显然当2x k >时，2k x <，即()
f x k x
<，
()f x kx <，所以()f x kx >不成立，C 错误；作为选择题这时可得结论，选C ，下面对D 研究，画出函数草图
可看出（0，2）的时候递减的更快，所以124x x +>
2． 【答案】B
【解析】
解：∵函数
是R 上的单调减函数，
∴
∴ 故选B
【点评】本题主要考查分段函数的单调性问题，要注意不连续的情况．
3． 【答案】C
【解析】解：如图，设A 1C 1∩B 1D 1=O 1，∵B 1D 1⊥A 1O 1，B 1D 1⊥AA 1，∴B 1D 1⊥平面AA 1O 1， 故平面AA 1O 1⊥面AB 1D 1，交线为AO 1，在面AA 1O 1内过B 1作B 1H ⊥AO 1于H ， 则易知A
1H 的长即是点A 1到截面AB 1D 1的距离，在Rt △A 1O 1A 中，A 1O 1=，
AO 1=3，由A 1O 1•A 1A=h •AO 1，可得A 1H=
，
故选：C ．
【点评】本题主要考查了点到平面的距离，同时考查空间想象能力、推理与论证的能力，属于基础题．
4． 【答案】B 【解析】
试题分析：由题意得，三角形的面积011sin sin 60224
S bc A bc =
===4bc =，又1b =，所
以4c =，又由余弦定理，可得222220
2cos 14214cos6013a b c bc A =+-=+-⨯⨯=，所以a =
sin sin sin sin a b c a A B C A ++===++，故选B ．
考点：解三角形．
【方法点晴】本题主要考查了解三角形问题，其中解答中涉及到三角形的正弦定理和余弦定理、三角形的面积公式等知识点的综合考查，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，以及推理与运算能力，本题的解答中利用比例式的性质，得到sin sin sin sin a b c a
A B C A
++=
++是解答的关键，属于中档试题． 5． 【答案】A
【解析】解：因为，
而
（m ∈R ，i 表示虚数单位），
所以，m=1． 故选A ．
【点评】本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数相等的概念，两个复数相等，当且仅当实部等于实部，虚部等于虚部，此题是基础题．
6． 【答案】A 【解析】解：由题意可设所求的直线方程为x ﹣2y+c=0
∵过点（﹣1，3）
代入可得﹣1﹣6+c=0 则c=7
∴x ﹣2y+7=0 故选A ． 【点评】本题主要考查了直线方程的求解，解决本题的关键根据直线平行的条件设出所求的直线方程x ﹣
2y+c=0．
7． 【答案】D
【解析】解：由奇函数f （x ）可知，即x 与f （x ）异号，
而f （1）=0，则f （﹣1）=﹣f （1）=0，
又f （x ）在（0，+∞）上为增函数，则奇函数f （x ）在（﹣∞，0）上也为增函数，
当0＜x ＜1时，f （x ）＜f （1）=0，得＜0，满足；
当x ＞1时，f （x ）＞f （1）=0，得
＞0，不满足，舍去；
当﹣1＜x ＜0时，f （x ）＞f （﹣1）=0，得＜0，满足；
当x ＜﹣1时，f （x ）＜f （﹣1）=0，得＞0，不满足，舍去；
所以x 的取值范围是﹣1＜x ＜0或0＜x ＜1． 故选D ．
【点评】本题综合考查奇函数定义与它的单调性．
8． 【答案】B
【解析】解：∵b ⊥m ，∴当α⊥β，则由面面垂直的性质可得a ⊥b 成立，
若a ⊥b ，则α⊥β不一定成立， 故“α⊥β”是“a ⊥b ”的充分不必要条件， 故选：B ．
【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，利用线面垂直的性质是解决本题的关键．
9． 【答案】C
【解析】由题意，得甲组中78888486929095
887
m +++++++=，解得3m =．乙组中888992<<，
所以9n =，所以12m n +=，故选C ．
10．【答案】B
【解析】解：∵△ABC 的周长为20，顶点B （0，﹣4），C （0，4），
∴BC=8，AB+AC=20﹣8=12，
∵12＞8
∴点A 到两个定点的距离之和等于定值， ∴点A 的轨迹是椭圆， ∵a=6，c=4
∴b2=20，
∴椭圆的方程是
故选B．
【点评】本题考查椭圆的定义，注意椭圆的定义中要检验两个线段的大小，看能不能构成椭圆，本题是一个易错题，容易忽略掉不合题意的点．
11．【答案】A
【解析】解：∵f（x）=acosx，g（x）=x2+bx+1，
∴f′（x）=﹣asinx，g′（x）=2x+b，
∵曲线f（x）=acosx与曲线g（x）=x2+bx+1在交点（0，m）处有公切线，
∴f（0）=a=g（0）=1，且f′（0）=0=g′（0）=b，
即a=1，b=0．
∴a+b=1．
故选：A．
【点评】本题考查利用导数研究曲线上某点的切线方程，函数在某点处的导数，就是曲线上过该点的切线的斜率，是中档题．
12．【答案】C
【解析】解：程序在运行过程中各变量值变化如下表：
K S 是否继续循环
循环前1 0
第一圈2 2 是
第二圈3 7 是
第三圈4 18 是
第四圈5 41 是
第五圈6 88 否
故退出循环的条件应为k＞5？
故答案选C．
【点评】算法是新课程中的新增加的内容，也必然是新高考中的一个热点，应高度重视．程序填空也是重要的考试题型，这种题考试的重点有：①分支的条件②循环的条件③变量的赋值④变量的输出．其中前两点考试的概率更大．此种题型的易忽略点是：不能准确理解流程图的含义而导致错误．
二、填空题
13．【答案】．
【解析】解：因为y=（a ﹣3）x 3
+lnx 存在垂直于y 轴的切线，即y'=0有解，即
y'=在x ＞0时有解，
所以3（a ﹣3）x 3
+1=0，即a ﹣3＜0，所以此时a ＜3．
函数f （x ）=x 3﹣ax 2
﹣3x+1在[1，2]上单调递减，则f'（x ）≤0恒成立，
即f'（x ）=3x 2
﹣2ax ﹣3≤0恒成立，即
，
因为函数在[1，2]上单调递增，所以函数
的最大值为
，
所以，所以．
综上．
故答案为：
．
【点评】本题主要考查导数的基本运算和导数的应用，要求熟练掌握利用导数在研究函数的基本应用．
14．【答案】(,0)(4,)-∞+∞ 【解析】
试题分析：把原不等式看成是关于的一次不等式,在2]，[-2a ∈时恒成立,只要满足在2]，[-2a ∈时直线在轴上方即可，设关于的函数44)2(24)4(x f(x )y 2
2
+-+-=-+-+==x x a x a x a 对任意的2]，[-2a ∈，
当-2a =时，044)42(x )2(f(a)y 2
>++--+=-==x f ，即086x )2(2
>+-=-x f ，解得4x 2x ><或；当2
a =时，044)42(x )2(y 2
>-+-+==x f ，即02x )2(2
>-=x f ，解得2x 0x ><或，∴的取值范围是
{x|x 0x 4}<>或；故答案为：(,0)(4,)-∞+∞．
考点：换主元法解决不等式恒成立问题.
【方法点晴】本题考查了含有参数的一元二次不等式得解法，解题时应用更换主元的方法，使繁杂问题变得简洁，是易错题．把原不等式看成是关于的一次不等式,在2]，[-2a ∈时恒成立,只要满足在2]，[-2a ∈时直线在轴上方即可.关键是换主元需要满足两个条件，一是函数必须是关于这个量的一次函数，二是要有这个量的具体范围.
15．【答案】
【解析】解：根据题意，可得出∠B=75°﹣30°=45°，
在△ABC 中，根据正弦定理得：BC==
海里，
则这时船与灯塔的距离为海里．
故答案为
．
16．【答案】2．
【解析】解：=2+lg100﹣2=2+2﹣2=2，
故答案为：2．
【点评】本题考查了对数的运算性质，属于基础题．
17．【答案】．
【解析】解：在棱长为1的正方体上，分别用过共顶点的三条棱中点的平面截该正方体，则截去8个三棱锥，
8个三棱锥的体积为：=．
剩下的凸多面体的体积是1﹣=．
故答案为：．
【点评】本题考查几何体的体积的求法，转化思想的应用，考查空间想象能力计算能力．
18．【答案】．
【解析】解：∵函数f（x）=sinx﹣cosx=sin（x﹣），
则=sin（﹣）=﹣=﹣，
故答案为：﹣．
【点评】本题主要考查两角差的正弦公式，属于基础题．
三、解答题
19．【答案】
【解析】解：（1）椭圆C：=1，（a＞b＞0）的离心率，点（2，）在C上，可得，
，解得a2=8，b2=4，所求椭圆C方程为：．
（2）设直线l ：y=kx+b ，（k ≠0，b ≠0），A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），M （x M ，y M ），
把直线y=kx+b 代入可得（2k 2+1）x 2+4kbx+2b 2
﹣8=0，
故x M =
=
，y M =kx M +b=
，
于是在OM 的斜率为：K OM =
=
，即K OM k=
．
∴直线OM 的斜率与l 的斜率的乘积为定值．
【点评】本题考查椭圆方程的综合应用，椭圆的方程的求法，考查分析问题解决问题的能力．
20．【答案】（1）()()2max
min 11,.22e f x f x =+= （2）a 的范围是11,24⎡⎤
-⎢⎥⎣⎦
.
【解析】试题分析：（1）由题意得 f （x ）=12
x 2+lnx ，()
2'11f
0x x x x x +=+=>，∴f （x ）在区间[1，e]上为增函数，即可求出函数的最值．
试题解析：
（1）当
时，
，
；
对于x ∈[1，e]，有f'（x ）＞0，∴f （x ）在区间[1，e]上为增函数， ∴
，
．
（2）在区间（1，+∞）上，函数f （x ）是f 1（x ），f 2（x ）的“活动函数”，则f 1（x ）＜f （x ）＜f 2（x ）令
＜0，对x ∈（1，+∞）恒成立，
且h （x ）=f 1（x ）﹣f （x ）=＜0对x ∈（1，+∞）恒成立，
∵
若
，令p ′（x ）=0，得极值点x 1=1，
，
当x 2＞x 1=1，即 时，在（x 2，+∞）上有p ′（x ）＞0，
此时p（x）在区间（x2，+∞）上是增函数，并且在该区间上有p（x）∈（p（x2），+∞），不合题意；
当x2＜x1=1，即a≥1时，同理可知，p（x）在区间（1，+∞）上，有p（x）∈（p（1），+∞），也不合题意；
若，则有2a﹣1≤0，此时在区间（1，+∞）上恒有p′（x）＜0，
从而p（x）在区间（1，+∞）上是减函数；
要使p（x）＜0在此区间上恒成立，只须满足，
所以≤a≤．
又因为h′（x）=﹣x+2a﹣=＜0，h（x）在（1，+∞）上为减函数，
h（x）＜h（1）=+2a≤0，所以a≤
综合可知a的范围是[，]．
21．【答案】
【解析】（1）证明：设x2＞x1＞0，∵f（x1）﹣f（x2）=（﹣1）﹣（﹣1）=，
由题设可得x2﹣x1＞0，且x2•x1＞0，∴f（x1）﹣f（x2）＞0，即f（x1）＞f（x2），
故f（x）在（0，+∞）上是减函数．
（2）当x＜0时，﹣x＞0，f（﹣x）=﹣1=﹣f（x），∴f（x）=+1．
又f（0）=0，故函数f（x）的解析式为f（x）=．
22．【答案】
【解析】解：函数的定义域为（0，+∞）
求导函数，可得f′（x）=1+lnx
令f′（x）=1+lnx=0，可得
∴0＜x＜时，f′（x）＜0，x＞时，f′（x）＞0
∴时，函数取得极小值，也是函数的最小值
∴f（x）min===﹣．
【点评】本题考查导数知识的运用，考查函数的最值，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．
23．【答案】
【解析】【命题意图】本题综合考查了圆的标准方程、向量的坐标运算，轨迹的求法，直线与椭圆位置关系；本题突出对运算能力、化归转化能力的考查，还要注意对特殊情况的考虑，本题难度大
.
（2）由（1）中知曲线C 是椭圆，将直线2l ：m kx y +=代入 椭圆C 的方程12432
2
=+y x 中，得
01248)34(222=-+++m kmx x k
由直线2l 与椭圆C 有且仅有一个公共点知，
0)124)(34(4642222=-+-=∆m k m k ，
整理得342
2
+=k m …………7分
且2
11||k
k m d +-=
，2
21||k
k m d ++=
1当0≠k 时，设直线2l 的倾斜角为θ，则|||tan |213d d d -=⋅θ，即||
2
13k
d d d -= ∴2
2
22
121213211|
|4||||)()(k m k d d k d d d d d d d +=-=-+=+ ||1||1614
3
||42m m m m +
=+-= …………10分
∵342
2
+=k m ∴当0≠k 时，3||>
m
∴33
43
13||1||=
+>+
m m ，∴34)(321<+d d d ……11分 2当0=k 时，四边形PQ F F 21为矩形，此时321==d d ，23=d
∴34232)(321=⨯=+d d d …………12分
综上 1、 2可知，321)(d d d ⋅+存在最大值，最大值为34 ……13分 24．【答案】
【解析】解：（1）圆O ：ρ=cos θ+sin θ，即ρ2
=ρcos θ+ρsin θ， 故圆O 的直角坐标方程为：x 2+y 2=x+y ，即x 2+y 2
﹣x ﹣y=0．
直线l ：
，即ρsin θ﹣ρcos θ=1，则直线的直角坐标方程
为：y ﹣x=1，即x ﹣y+1=0．
（2）由，可得 ，直线l 与圆O 公共点的直角坐标为
（0，1），
故直线l 与圆O 公共点的一个极坐标为
．
【点评】本题主要考查把极坐标方程化为直角坐标方程的方法，直线和圆的位置关系，属于基础题．
25．【答案】
【解析】解：（1）由已知，k 1=f'（0）=b ，设l 2与曲线y=f （x ）的切点为（x 0，y 0）
（x 0≠0）
则所以
，即，
则
．
又4k 2=5k 1，所以﹣3a 2+4b=5b ，即b=﹣3a 2
因此f'（x ）=x 2+2ax ﹣3a 2
=（x+3a ）（x ﹣a ）
①当a ＞0时，f （x ）的增区间为（﹣∞，﹣3a ）和（a ，+∞），减区间为（﹣3a ，a ）． ②当a ＜0时，f （x ）的增区间为（﹣∞，a ）和（﹣3a ，+∞），减区间为（a ，﹣3a ）．…
（2）由（1）若k 2=tk 1，则，∵ab ≠0，∴t ≠1，
于是
，所以
，
由f （x ）无极值可知，，即
，
所以
由f （b ）＜f （1﹣2t ）知，b ＜1﹣2t ，即
，
就是3a2＜4（1﹣t）（1﹣2t），
而，故，所以，
又a≠0，因此．…
【点评】本题考查函数的导数的应用，函数的极值以及函数的单调性考查分类讨论以及转化思想的应用，考查计算能力．
26．【答案】
【解析】解：（Ⅰ）设数列{a n}的公比为q，
由a n＞0可得q＞0，且a3﹣a2﹣2a1=0，
化简得q2﹣q﹣2=0，
解得q=2或q=﹣1（舍），
∵a3=a1•q2=4a1=8，∴a1=2，
∴数列{a n}是以首项和公比均为2的等比数列，
∴a n=2n；
（Ⅱ）由（I）知b n=log2a n==n，
∴a n b n=n•2n，
∴S n=1×21+2×22+3×23+…+（n﹣1）×2n﹣1+n×2n，
2S n=1×22+2×23+…+（n﹣2）×2n﹣1+（n﹣1）×2n+n×2n+1，
两式相减，得﹣S n=21+22+23+…+2n﹣1+2n﹣n×2n+1，
∴﹣S n=﹣n×2n+1，
∴S n=2+（n﹣1）2n+1．
【点评】本题考查等比数列的通项公式，错位相减法求和等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、数据处理能力，考查函数与方程思想、化归与转化思想，注意解题方法的积累，属于中档题．。