2017版《大高考》高考物理总复习 模拟创新题：专题四 曲线运动

专题四 曲线运动
一、选择题
*1．两根长度不同的细线下面分别悬挂两个小球，细线上端固定在同一点，若两个小球以相同的角速度，绕共同的竖直轴在水平面内做匀速圆周运动，则两个摆球在运动过程中，相对位置关系示意图正确的是( )
解析 小球做匀速圆周运动，mg tan θ＝mω2L sin θ，整理得：L cos θ＝g
ω2
是常量，即两球处于同一高度，故B 正确。

2．在冬奥会短道速滑项目中，运动员绕周长仅111米的短道竞赛。

运动员比赛过程中在通过弯道时如果不能很好地控制速度，将发生侧滑而摔离正常比赛路线。

图中圆弧虚线Ob 代表弯道，即为正常运动路线，Oa 为运动员在O 点时的速度方向(研究时可将运动员看做质点)。

下列论述正确的是( )
A ．发生侧滑是因为运动员受到的合力方向背离圆心
B ．发生侧滑是因为运动员受到的合力大于所需要的向心力
C ．若在O 点发生侧滑，则滑动的方向在Oa 左侧
D ．若在O 点发生侧滑，则滑动的方向在Oa 右侧与Ob 之间
答案 D
*3．(多选) 如图所示，质量为m ＝1 kg 的物体自空间O 点以水平初速度v 0抛出，落在地面上的A 点，其轨迹为一抛物线，现仿此抛物线制作一个光滑滑道并固定在与OA 完全重合的位置上，然后将此物体从O 点由静止释放，受微小扰动而沿此滑道滑下，在下滑过程中物体未脱离滑道，P 为滑道上一点，OP 连线与竖直方向成45°角，此时物体的速度是10 m/s ，取g ＝10 m/s 2，下列说法正确的是( )
A ．物体做平抛运动的水平初速度v 0为2 5 m/s
B ．物体沿滑道经过P 点时速度的水平分量为 5 m/s
C ．OP 的长度为5 2 m
D ．物体沿滑道经过P 点时重力的功率为40 5 W
解析 物体下滑过程中，只有重力做功，物体和地球组成的系统机械能守恒，根据机械能守恒得：mgh
＝12mv 2，解得h ＝5 m ，则OP 的长度为5 2 m ；若做平抛运动，根据h ＝1
2
gt 2得，t ＝1 s ，平抛运动初速度v 0＝x
t
＝5 m/s ，故A 错误，C 正确；设物体滑到P 点时速度方向与水平方向夹角为α。

物体滑到
P 点时速度方向与水平方向夹角的正切值是位移与水平方向夹角正切值的2倍，即tan α＝2tan 45°，
解得cos α＝55，P 点速度水平分量v x ＝v cos α＝2 5 m/s ，故B 错误；由数学知识可得，sin α＝25
5
，
则物体经过P 点时竖直方向上的分速度v y ＝v sin α。

物体沿滑道经过P 点时重力的功率为P ＝mgv y ＝40 5 W ，故D 正确。

选C 、D
*4．(多选) 如图所示，小木块a 、b 和c (可视为质点)放在水平圆盘上，a 、b 两个质量均为m ，c 的质量
为m
2
，a 与转轴OO ′的距离为L ，b 、c 与转轴OO ′的距离为2L 且均处于水平圆盘的边缘。

木块与圆盘的最大静摩擦力为木块所受重力的k 倍，重力加速度大小为g ，若圆盘从静止开始绕转轴缓慢地加速转动，下列说法正确的是( )
A ．b 、c 所受的摩擦力始终相等，故同时从水平圆盘上滑落
B ．当a 、b 和c 均未相对圆盘滑动时，a 、c 所受摩擦力的大小相等
C ．b 和c 均未相对圆盘滑动时，它们的线速度相同
D ．b 开始相对圆盘滑动时的转速是12πkg
2L
解析 物体做圆周运动的向心力等于物体与转盘之间的静摩擦力，根据f ＝mω2r 可知，b 所受的摩擦力大于c ，a 、c 所受摩擦力的大小相等，选项A 错误，B 正确；根据v ＝ωr 可知，b 和c 均未相对圆盘滑动时，它们的线速度大小相同，方向不同，选项C 错误；b 开始相对圆盘滑动时满足：kmg ＝m (2πn )2·2L ，
解得n ＝12πkg
2L
，故选项D 正确。

选B 、D
5．如图甲所示，轻杆一端与一小球相连，另一端连在光滑固定轴上，可在竖直平面内自由转动。

现使小球在竖直平面内做圆周运动，到达某一位置开始计时，取水平向右为正方向，小球的水平分速度v x 随时间t 的变化关系如图乙所示。

不计空气阻力。

下列说法中正确的是( )
A ．t 1时刻小球通过最高点，图乙中S 1和S 2的面积相等
B ．t 2时刻小球通过最高点，图乙中S 1和S 2的面积相等
C ．t 1时刻小球通过最高点，图乙中S 1和S 2的面积不相等
D ．t 2时刻小球通过最高点，图乙中S 1和S 2的面积不相等
答案 A
6．“太极球”是近年来在广大市民中较流行的一种健身器材。

做该项运动时，健身者半马步站立，手持太极球拍，拍上放一橡胶太极球，健身者舞动球拍，球却不会掉落地上。

现将太极球简化成如图1所示的平板和小球，熟练的健身者让球在竖直面内始终不脱离板而做匀速圆周运动，且在运动到图1中的A 、B 、C 、D 位置时球与板间无相对运动趋势，A 为圆周的最高点，C 为最低点，B 、D 与圆心O 等高。

设球的重力为1 N ，不计拍的重力。

下列说法正确的是( )
A ．健身者在C 处所需施加的力比在A 处大3 N
B ．健身者在
C 处所需施加的力比在A 处大1 N
C ．设在A 处时健身者需施加的力为F ，当球运动到B 、
D 位置时，板与水平方向需有一定的夹角θ，作出的tan θ－F 的关系图象为图2
D ．设在A 处时健身者需施加的力为F ，当球运动到B 、D 位置时，板与水平方向需有一定的夹角θ，作出的tan θ－F 的关系图象为图3
解析 设球运动的线速度为v ，半径为R ，则在A 处时F ＋mg ＝m v 2R ，在C 处时F ′－mg ＝m v 2
R
，联立以上
两个方程式可以得到ΔF ＝F ′－F ＝2mg ＝2 N ，故A 、B 错误；在A 处时健身者需施加的力为F ，球在
匀速圆周运动的向心力F 向＝F ＋mg ，在B 处不受摩擦力作用，受力分析如图，则tan θ＝F 向mg ＝F ＋mg
mg
＝
1
mg
F ＋1，作出的tan θ－F 的关系图象如题图2所示，故C 正确，D 错误。

选C
*7．(多选) 如图甲所示，一长为l 的轻绳，一端穿在过O 点的水平转轴上，另一端固定一质量未知的小球，整个装置绕O 点在竖直面内转动。

小球通过最高点时，绳对小球的拉力F 与其速度平方v 2的关系如图乙所示，重力加速度为g ，下列判断正确的是( )
A ．图象函数表达式为F ＝m v 2
l
＋mg
B ．重力加速度g ＝b
l
C ．绳长不变，用质量较小的球做实验，得到的图线斜率更大
D ．绳长不变，用质量较小的球做实验，图线b 点的位置不变
解析 小球在最高点，根据牛顿第二定律有：F ＋mg ＝m v 2l ，解得F ＝m v 2
l
－mg ，故A 错误；当F ＝0
时，根据表达式有：mg ＝m v 2l ，解得g ＝v 2l ＝b l ，故B 正确；根据F ＝m v 2l －mg 知，图线的斜率k ＝m
l
，
绳长不变，用质量较小的球做实验，斜率更小，故C 错误；当F ＝0时，g ＝b
l
，可知b 点的位置与小
球的质量无关，绳长不变，用质量较小的球做实验，图线b 点的位置不变，故D 正确。

选BD
8．固定在竖直平面内的光滑细圆管，管道半径为R 。

若沿如图所示的两条虚线截去轨道的四分之一，管内有一个直径略小于管径的小球在运动，且恰能从一个截口抛出，从另一个截口无碰撞的进入继续做圆周运动，那么小球每次飞越无管区域的时间为( )
A.
3R g B.22R
g
C.23R g
D.2R
g
答案 B
二、非选择题 9．如图所示，一足够长的固定斜面与水平方向的夹角为θ＝37°，物体B 与斜面间的动摩擦因数为μ＝0.5。

将物体A 以初速度v 0从斜面顶端水平抛出的同时，物体B 在斜面上距顶端L ＝16.5 m 处由静止释放，经历时间t ，物体A 第一次落到斜面上时，恰与物体B 相碰。

已知sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8，g ＝10 m/s 2，不计空气阻力，两物体都可视为质点。

求v 0和t 的大小。

解析 设物体B 的质量为m ，下滑的加速度为a ，则 mg sin 37°－μm g cos 37°＝ma ①
A 、
B 正好相碰，有(1
2
at 2＋L )cos 37°＝v 0t ②
(12at 2＋L )sin 37°＝12gt 2③
12gt 2v 0t
＝tan 37°④
联立解得a ＝2 m/s 2，t ＝1.5 s ，v 0＝10 m/s 。

答案 10 m/s 1.5 s
*10．如图所示，从A 点以某一水平速度v 0抛出质量m ＝1 kg 的小物块(可视为质点)，当物块运动至B 点时，恰好沿切线方向进入圆心角∠BOC ＝37°的光滑圆弧轨道BC ，经圆弧轨道后滑上与C 点等高、静止在粗糙水平面上的长木板，圆弧轨道C 端的切线水平。

已知长木板的质量M ＝4 kg ，A 、B 两点距C 点的高度分别为H ＝0.6 m 、h ＝0.15 m ，圆弧轨道半径R ＝0.75 m ，物块与长木板间的动摩擦因数μ1＝0.7，长木板与地面间的动摩擦因数μ2＝0.2，g ＝10 m/s 2，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8，求：
(1)小物块在B 点时的速度大小；
(2)小物块滑至C 点时，对圆弧轨道的压力大小；
(3)长木板至少为多长，才能保证小物块不滑出长木板(设最大静摩擦力等于滑动摩擦力)。

解析 (1)从A 点到B 点，小物块做平抛运动，有H －h ＝1
2
gt 2
到达B 点时，竖直分速度v y ＝gt
tan 37°＝v y
v 0
联立解得：v B ＝v 20＋v 2
y ＝5 m/s
(2)从A 点到C 点，有mgH ＝12mv 22－12
mv 2
0 设小物块在C 点受到的支持力为F N ，则：
F N －mg ＝m v 22
R
联立解得：v 2＝27 m/s
F N ＝142
3 N
由牛顿第三定律可知，小物块在C 点时对圆弧轨道的压力大小为142
3
N
(3)小物块与长木板间的滑动摩擦力为 F f ＝μ1mg ＝7 N
长木板与地面间的最大静摩擦力为F f ′＝μ2(M ＋m )g ＝10 N 由F f <F f ′知，小物块在长木板上滑动时，长木板静止不动
故长木板的长度至少为l ＝v 22
2μ1g ＝2 m
答案 (1)5 m/s (2)142
3
N (3)2 m
创新导向题
1．生活实际——通过“过山车”考查圆周运动最高点的临界问题
例题： 如图所示为游乐场中过山车的一段轨道，P 点是该段轨道的最高点，A 、B 、C 三处是过山车的车头、中点和车尾。

假设这段轨道是圆轨道，各节车厢的质量相等，过山车在运行过程中不受牵引力，所受阻力可忽略。

那么，过山车在通过P 点的过程中，下列说法正确的是( )
A ．车头A 通过P 点时的速度最小
B ．车的中点B 通过P 点时的速度最小
C ．车尾C 通过P 点时的速度比车头A 通过P 点时的速度小
D ．A 、B 、C 通过P 点时的速度一样大
解析 过山车在运动过程中，受到重力和轨道支持力作用，只有重力做功，机械能守恒，动能和重力势能之间相互转化，则当重力势能最大时，过山车的动能最小，即速度最小，根据题意可知，车的中点B 通过P 点时，质心的位置最高，重力势能最大，则动能最小，速度最小，故仅B 正确
2．宇宙开发——设想建立“太空城”考查圆周运动规律
例题：(多选) 人类向宇宙空间发展最具可能的是在太阳系内地球附近建立“太空城”。

设想中的一个圆柱形太空城，其外壳为金属材料，长1 600 m ，直径200 m ，内壁沿纵向分隔成6个部分，窗口和人造陆地交错分布，陆地上覆盖1.5 m 厚的土壤，窗口外有巨大的铝制反射镜，可调节阳光的射入，城内部充满空气、太空城内的空气、水和土壤最初可从地球和月球运送，以后则在太空城内形成与地球相同的生态环境。

为了使太空城内的居民能如地球上一样具有“重力”，以适应人类在地球上的行为习惯，太空城将在电力的驱动下，绕自己的中心轴以一定的角速度转动。

如图为太空城垂直中心轴的截面，以下说法正确的有( )
A ．太空城内物体所受的“重力”一定通过垂直中心轴截面的圆心
B ．人随太空城自转所需的向心力由人造陆地对人的支持力提供
C ．太空城内的居民不能运用天平准确测出质量
D ．太空城绕自己的中心轴转动的角速度越大，太空城的居民受到的“重力”越大
答案 ABD
3．娱乐游戏——通过“割绳子”游戏考查圆周运动规律
例题：如图所示为“割绳子”游戏中的一幅截图，游戏中割断左侧绳子，糖果就会通过正下方第一颗星星……。

糖果一定能经过星星处吗？现将其中的物理问题抽象出来进行研究：三根不可伸长的轻绳共同系住一颗质量为m 的糖果(可视为质点)，设从左到右三根轻绳的长度分别为l 1 、l 2 和l 3，其中最左侧的绳子处于竖直且张紧的状态，另两根绳均处于松弛状态，三根绳的上端分别固定在同一水平线上，且相邻两悬点间距离均为d ，糖果正下方的第一颗星星与糖果距离为h 。

已知绳子由松弛到张紧时沿绳方向的速度分量即刻减为零，现将最左侧的绳子割断，以下选项正确的是( )
A ．只要满足l 2≥（l 1＋h ）2＋d 2，糖果就能经过正下方第一颗星星处
B ．只要满足l 3≥（l 1＋h ）2＋4d 2，糖果就能经过正下方第一颗星星处
C ．糖果可能以mgl 22d
2(l 2
2－d 2－l 1)的初动能开始绕中间悬点做圆运动
D ．糖果到达最低点的动能可能等于mg [l 3－（l 22－d 2
）32l 22
－l 1d 2
l 22]
解析 糖果在绳拉直前做自由落体运动，绳2和绳3不能绷紧，后绕绳做圆周运动，则绕l 2运动而l 3未伸直，或绕l 3运动而l 2未伸直，则需同时满足l 2≥d 2＋（l 1＋h ）2和l 3≥（l 1＋h ）2＋4d 2，故选项A 、
B 均错误；从小球自由下落到l 2刚刚伸直，由动能定理得mg (l 22－d 2
－l 1)＝12
mv 2，在绳2绷紧后，沿绳方向速度会损失掉，剩余速度为v y ＝v ·d l 2；解得12mv 2y
＝mgd 2
l 22
(l 22－d 2
－l 1)，故C 错误；以C 选项末态为初态，以糖果刚刚到达最低点为末态，由动能定理得mg (l 3－l 2
2－d 2)＝E k －12mv 2y
，解得E k ＝mg [l 3
－（l 22－d 2）32l 22
－l 1d 2
l 22]，由于绳子绷紧过程可能有两次速度损失而产生能量损失，故绷紧后动能会少于
E k ，故D 正确。

4．休闲运动——通过“扔飞镖”考查平抛运动知识
例题：(多选) 飞镖运动于十五世纪兴起于英格兰，二十世纪初，成为人们日常休闲的必备活动。

一般打飞镖的靶上共标有10环，第10环的半径最小。

现有一靶的第10环的半径为1 cm ，第9环的半径为2 cm ……以此类推，若靶的半径为10 cm ，在进行飞镖训练时，当人离靶的距离为5 m ，将飞镖对准第10环中心以水平速度v 投出，g ＝10 m/s 2。

则下列说法中正确的是( ) A ．当v ≥50 m/s 时，飞镖将射中第8环线以内 B ．当v ＝50 m/s 时，飞镖将射中第6环线
C ．若要击中第10环的线内，飞镖的速度v 至少为50 2 m/s
D ．若要击中靶子，飞镖的速度v 至少为25 2 m/s
解析 根据平抛运动规律可得，飞镖在空中飞行有：x ＝vt ，h ＝1
2
gt 2，将第8环半径为3 cm 、第6环
半径为5 cm 、第10环半径为1 cm 、靶的半径为10 cm 代入两式可知正确选项为B 、D 。

答案 BD。