11-12(2)概率统计B(答案)

东莞理工学院（本科）试卷（B 卷）
2011 --2012 学年第二学期
一、填空题（共70分 每空2分）
2、已知事件A ，B 满足)()(B A P AB P =，且3.0)(=A P ，则=)(B P 0.7 。

3、.抛掷两颗骰子,用X 和Y 分别表示它们的点数(向上的面上的点数),则这两颗
骰子的点数和为5的概率是91。

4、袋中有6只白球,4只红球,从中抽取两只。

如果作不放回抽样,则抽得的两个球颜色不同的概率为
158；如果作放回抽样,则抽得的两个球颜色不同的概率为 0.48 。

5、已知某对夫妇有四个小孩，则男孩的个数Y 服从的分布为 )5.0 ,4(B ，恰有两个男孩的概率为
83，在已知至少有一个女孩的条件下，至少还有一个男孩的概率为
1514。

10、一个系统由100个互相独立起作用的部件组成，各个部件损坏的概率均为 0.2，已知必须有80个以上的部件正常工作才能使整个系统工作，则由中心 极限定理可得，整个系统正常工作的概率为 0.5 。

13、设随机变量X 的概率密度为：⎩⎨⎧≤≤=其它 ,
010 ,)(2x kx x f ， 则=k 3 .，=2EX 53。

14、设二维随机向量),(Y X 的联合分布密度函数=)(x f XY ⎩⎨⎧≤≤-其它
, 00 ,y x e y ，则X 的密度函数=)(x f X ⎩⎨⎧<≥-0
,00 ,x x e x ，Y X 与的独立性为不独立。

15、某食品超市的牛奶销售量服从正态分布，每天平均销售200公斤，标准差
为20公斤。

如果老板希望牛奶供不应求的概率不超过0.025，则该超市购
进的牛奶量至少为239.2公斤。

16、设随机变量X 的概率密度为：⎩⎨⎧≤≤+=其它 ,
010 )1()(x x x f θθ，则参数θ的矩估计量=θ X
X --112 17、设X 1，X 2，X 3是来自总体X 的简单随机样本，则下列统计量
3211X X X T -+=，)(313212X X X T ++=，32136
14121X X X T ++=， )(2
1214X X T +=中， 总体均值的无偏估计量为421,,T T T ， 在上述无偏估计量中最有效的一个为 2T
18、在假设检验中，显著性水平α＝0.01时拒绝H 0，则当显著水平α＝0.05时应 拒绝 （拒绝、接收、有时拒绝有时接收）H 0。

二、计算题（每题6分，共24分）
1、若某型号电子元件的使用寿命)1000(~E X （单位：小时），
（1）写出X 的分布函数)(x F ，并求概率)2000(≥X P ；（3分）
（2）求这样的5个独立使用的元件在2000小时后，至多有一个能使用 的概率（3分）。

解：（1）X 的分布函数)(x F ＝⎩
⎨⎧≤>--0 ,00 ,1001.0x x e x )2000(≥X P ＝)2000(1F -＝2-e
（2）设5个这样的元件独立使用2000小时后，还能正常工作的个数为Y ，
则Y ～) ,5(2-e B ，i i i i e e C Y P ---=-=≤∑5221
5)1()()1(＝422)1)(41(---+e e 2、设）（Y X ,的密度函数为
⎩⎨⎧≤≤≤≤=.,
0,10,0,8),(其它y y x xy y x f 求：（1）求EX ；（2）分别求X 、Y 的边缘密度；（3）X 、Y 是否独立？。

解：令} 10 ,0 ),( {≤≤≤≤=y y x y x D
（1）EX ＝⎰⎰D dxdy y x xf ),(＝dx y x dy y ⎰⎰02108＝
0)(3
8103y x ydy ⎰
＝⎰10438dy y ＝15
80151385=⨯y （2）Y 的边缘密度⎰+∞
∞-=dx y x f y f Y ),()(
当10≤≤y 时，⎰+∞
∞-=dx y x f y f Y ),()(＝⎰=y
y xydx 0348 ∴)(y f Y ＝⎩⎨⎧≤≤其它
,010 ,43y y X 的边缘密度⎰+∞
∞-=dy y x f x f X ),()( } 10 ,1 ),( {≤≤≤≤=x y x y x D ∴当10≤≤x 时，⎰+∞
∞-=dy y x f x f Y ),()(＝⎰-=1
2)1(48x x x xydy ∴)(x f X ＝⎩⎨⎧≤≤-其它
,010 ),1(42x x x （3） ),()()(y x f y f x f Y X ≠，∴Y X ,不独立
3、 从一批牛奶中随机抽取25盒检测其三聚氰胺的含量。

发现每盒牛奶中三聚氰胺的含量平均为1.4毫克/公斤，标准差为0.33毫克/公斤。

假设这批牛奶中三聚氰胺的含量（单位：毫克/公斤）服从正态分布),(2σμN 。

试求：
（1） 三聚氰胺含量的均值μ的置信度为95%的置信区间。

（2）三聚氰胺含量的方差2σ的置信度为95%的置信区间。

（364.39)24( ,401.12)24(2025.02975.0==x x ）
解：（1）三聚氰胺含量的均值μ的置信度为95%的置信区间为 ))24((025.0t n S
X ±，即)0639.22533
.04.1(⨯±，即)1362.04.1(±
即)5362.1
,2638.1( （2）三聚氰胺含量的方差2σ的置信度为95%的置信区间为
))
24()1( ,)24()1((2975.02
2025.02χχS n S n --，即)401.1233.024 ,364.3933.024(22⨯⨯， 即)2108.0 ,0664.0(
4、某批矿砂的5个样品中的镍含量，经测定为(%)
3.26 3.28 3.24 3.27 3.28
设测定值总体服从正态分布，但参数均未知。

经计算样本标准差0167.0=s 。

（1）在显著水平1.0=α时能否接受假设：这批矿砂的镍含量的均值为3.25；
（2）在显著水平05.0=α时能否接受假设：这批矿砂的镍含量的均值为3.25； （5332.1)4(1.0=t ，,1318.2)4(05.0=t 7764.2)4(025.0=t ，5706.2)5(025.0=t ） 解：样本均值x ＝266.3)28.327.324.328.326.3(4
1=++++，0167.0=s （1）0H ：25.3=μ，1H ：25.3≠μ
显著水平1.0=α，拒绝域：)4(05.0t t >，即1318.2>t 计算统计量1423.25
0167
.025.3266.30=-=-=n s x t μ在拒绝域，故拒绝0H ，接受1H ，所以在显著水平1.0=α时不能接受假设：批矿砂的镍含量的均值为3.25；
（2）0H ：25.3=μ，1H ：25.3≠μ
显著水平05.0=α，拒绝域：)4(025.0t t >，即7764.2>t 计算统计量1423.250167
.025.3266.30=-=-=n
s x t μ在接受域，故接受0H ，所以在显著水平05.0=α时可以接受假设：批矿砂的镍含量的均值为3.25；
三、应用题（共6分） 某保险公司多年的统计资料表明，在索赔户中，被盗索赔户占20%，以X 表示在随机抽查的10000个索赔户中，因被盗向保险公司索赔的户数，求被盗索赔户不少于1500户且不多于2000户的概率。

解：X ～)2.0 ,10000(B ，由中心极限定理，X 近似服从正态分布),(DX EX N ，
即X ～)04 ,2000(2N ，被盗索赔户不少于1500户且不多于2000户的概率 )20001500(≤≤X P ＝)1500()2000(F F - ＝5.0)5.12()0()40
20001500()4020002000(=-Φ-Φ=-Φ--Φ
1. 在一次事故中，有一矿工被困井下，他可以等可能地选择三个通道之一逃
生。

假设矿工通过第一个通道逃生成功的可能性为1/3，通过第二个通道逃生成功的可能性为2/5，通过第三个通道逃生成功的可能性为1/2.请问：该矿工能成功逃生的可能性是多少？（5分）
解:设B 表示该矿工成功逃生, i A 表示选择第i 个通道.( 1,2,3.)i = 则1231()()(),3P A P A P A ===11()3P B A =,22(),5P B A =31()2
P B A =, 所以, 112233()()()()()()()
11121137.33353290
P B P A P B A P A P B A P A P B A =++=⨯+⨯+⨯= 2.设随机变量X ，Y 的概率密度分别为： =)(x f X 2, 01,0, x x ≤≤⎧⎨⎩其它， =)(y f Y 23, 01,0 ,
y y ⎧≤≤⎨⎩其它. 已知随机变量X 和Y 相互独立.
（1）求（X, Y ）的联合概率密度),(y x f （3分）；
（2）计算概率{}0P Y X -<（4分）.
解：（1）由独立性可得 =),(y x f 26, 01,010, xy x y ⎧≤≤≤≤⎨⎩其它
（2）{}11240000622/5.x P Y X xy dxdy x dx -<===⎰
⎰⎰。