学案导学与随堂笔记苏教数学选修22全套备课精选同步练习：第2章 22直接证明与间接证明2

2.2.2 间接证明 课时目标 1.结合已学过的数学实例了解间接证明的一种基本方法——反证法.2.了解反证法的思考过程、特点．
1．间接证明
________________的方法通常称为间接证明．常用的一种间接证明方法：反证法．
2．反证法的证题步骤
(1)反设——假设命题的________不成立，即假设原结论的________为真；
(2)归谬——从__________________出发，经过一系列正确的逻辑推理，得出________结果；
常见的归谬包括推出的结果与已知定义、公理、定理、公式矛盾或与已知条件、临时假设矛盾，以及自相矛盾等各种情形．
(3)存真——由________结果，断定反设________，从而________原结论成立．
一、填空题
1．用反证法证明结论“a ，b ，c 中至少有一个大于0”，应假设的内容是_____________．
2．用反证法证明命题“三角形的内角中至少有一个不大于60°”时，反设为______________．
3．用反证法证明命题“如果a ，b ∈N ，a ·b 可被5整除，那么a ，b 至少有一个能被5整除”，应假设的内容是__________________．
4．用反证法证明命题 “若x 2－(a ＋b )x ＋ab ≠0，则x ≠a 且x ≠b ”时，应假设为____________．
5．用反证法证明“形如4k ＋3(k ∈N *)的数不能化为两个整数的平方和”时，应假设____________________________________________．
6．用反证法证明：“△ABC 中，若∠A >∠B ，则a >b ”的结论的否定为________．
7．将“函数f (x )＝4x 2－2(p －2)x －2p 2－p ＋1在区间上至少存在一个实数c ，使f (c )>0”反设，所得命题为“__________________________________”．
8．若下列两个方程x 2＋(a －1)x ＋a 2＝0，x 2＋2ax －2a ＝0中至少有一个方程有实根，则实数a 的取值范围是______________．
二、解答题
9．已知a 是整数，a 2是偶数，求证：a 也是偶数．
10．若a 、b 、c 均为实数，且a ＝x 2－2y ＋π2，b ＝y 2－2z ＋π3，c ＝z 2－2x ＋π6
，求证：a 、b 、c 中至少有一个大于0.
能力提升
11．求证：不论x ，y 取何非零实数，等式1x ＋1y ＝1x ＋y
总不成立．
12．等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1＋2，S 3＝9＋3 2.
(1)求数列{a n }的通项a n 与前n 项和S n ；
(2)设b n ＝S n n
(n ∈N *)，求证：数列{b n }中任意不同的三项都不可能成为等比数列．
1．对于否定性命题或结论中出现“至多”、“至少”、“不可能”等字样时，常用反证法．
2．反证法中引出的矛盾结论，不是推理本身的错误，而是假定“结论的反面是正确的”引起的，从而否定了假设，原命题成立．
3．反证法主要适用于以下两种情形：
(1)要证的结论与条件之间的联系不明显，直接由条件推出的线索不够清晰；
(2)如果从正面证明，需要分成多种情形进行分类讨论，而从反面进行证明时只要研究一种或很少的几种情形．
答 案
知识梳理
1．不是直接证明
2．(1)结论 反面 (2)反设和已知条件 矛盾
(3)矛盾 不真 肯定
作业设计
1．a 、b 、c 都不大于0
2．三内角都大于60°
3．a 、b 都不能被5整除
4．x ＝a 或x ＝b
5．形如4k ＋3(k ∈N *)的数能化为两个整数的平方和
6．a ≤b
7．函数f (x )＝4x 2－2(p －2)x －2p 2－p ＋1在区间上恒小于等于0
8．a ≤－2或a ≥－1
解析 若方程x 2＋(a －1)x ＋a 2＝0有实根，
则(a －1)2－4a 2≥0，∴－1≤a ≤13
. 若方程x 2＋2ax －2a ＝0有实根．
则4a 2＋8a ≥0，∴a ≤－2或a ≥0，
∴当两个方程至少有一个实根时，－1≤a ≤13
或a ≤－2或a ≥0. 即a ≤－2或a ≥－1.
9．证明 假设a 不是偶数，则a 为奇数．
设a ＝2m ＋1(m 为整数)，则a 2＝4m 2＋4m ＋1.
因为4(m 2＋m )是偶数，所以4m 2＋4m ＋1为奇数，
所以a 2为奇数，与已知矛盾，所以假设错误，
所以原命题成立，即a 是偶数．
10．证明 设a 、b 、c 都不大于0，即a ≤0，b ≤0，c ≤0， ∴a ＋b ＋c ≤0.
而a ＋b ＋c ＝⎝
⎛⎭⎫x 2－2y ＋π2＋⎝⎛⎭⎫y 2－2z ＋π3＋⎝⎛⎭⎫z 2－2x ＋π6 ＝(x 2－2x )＋(y 2－2y )＋(z 2－2z )＋π
＝(x －1)2＋(y －1)2＋(z －1)2＋π－3.
∴a ＋b ＋c >0，这与a ＋b ＋c ≤0矛盾，
故a 、b 、c 中至少有一个大于0.
11．证明 假设存在非零实数x ，y 使得等式1x ＋1y ＝1x ＋y
成立． 于是有y (x ＋y )＋x (x ＋y )＝xy ，
即x 2＋y 2＋xy ＝0，
即(x ＋y 2)2＋34
y 2＝0. 由y ≠0，得34
y 2>0. 又(x ＋y 2)2≥0，所以(x ＋y 2)2＋34
y 2>0. 与x 2＋y 2＋xy ＝0矛盾，故原命题成立．
12．(1)解 设公差为d ，由已知得
⎩
⎪⎨⎪⎧
a 1＝2＋1，
3a 1＋3d ＝9＋32， ∴d ＝2，
故a n ＝2n －1＋2，S n ＝n (n ＋2)．
(2)证明 由(1)得b n ＝S n n
＝n ＋ 2. 假设数列{b n }中存在三项b p 、b q 、b r (p 、q 、r 互不相等)成等比数列，则b 2q ＝b p b r ， 即(q ＋2)2＝(p ＋2)(r ＋2)，
∴(q 2－pr )＋(2q －p －r )2＝0.
∵p ，q ，r ∈N *，
∴⎩⎪⎨⎪⎧
q 2－pr ＝0，2q －p －r ＝0，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫p ＋r 22＝pr ，(p －r )2＝0， ∴p ＝r ，这与p ≠r 矛盾． 所以数列{b n }中任意不同的三项都不可能成为等比数列．。