广西省北海市2021届新高考数学五模试卷含解析

广西省北海市2021届新高考数学五模试卷
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知方程1x x y y +=-表示的曲线为()y f x =的图象，对于函数()y f x =有如下结论：①()f x 在
()+-∞∞，
上单调递减；②函数()()F x f x x =+至少存在一个零点；③()y f x =的最大值为1；④若函数()g x 和()f x 图象关于原点对称，则()y g x =由方程1y y x x +=所确定；则正确命题序号为( ) A ．①③ B ．②③ C ．①④ D ．②④
【答案】C 【解析】 【分析】
分四类情况进行讨论，然后画出相对应的图象，由图象可以判断所给命题的真假性. 【详解】
（1）当00x y ≥≥，时，2
2
1x y +=-，此时不存在图象；
（2）当00，x y ≥<时，2
2
1-y x =，此时为实轴为y 轴的双曲线一部分；
（3）当00，x y <≥时，2
2
1x y -=，此时为实轴为x 轴的双曲线一部分；
（4）当00，x y <<时，22
1x y +=，此时为圆心在原点，半径为1的圆的一部分； 画出()y f x =的图象，
由图象可得：
对于①，()f x 在()+-∞∞，
上单调递减，所以①正确； 对于②，函数()y f x =与y x =-的图象没有交点，即()()F x f x x =+没有零点，所以②错误； 对于③，由函数图象的对称性可知③错误；
对于④，函数()g x 和()f x 图象关于原点对称，则1x x y y +=-中用x -代替x ，用y -代替y ，可得
1y y x x +=，所以④正确.
本题主要考查了双曲线的简单几何性质，函数的图象与性质，函数的零点概念，考查了数形结合的数学思想.
2．已知0x =是函数()(tan )f x x ax x =-的极大值点，则a 的取值范围是 A ．(,1)-∞- B ．(,1]-∞ C ．[0,)+∞ D ．[1,)+∞
【答案】B 【解析】 【分析】 【详解】
方法一：令()tan g x ax x =-，则(())f x x g x =⋅，21
()cos g'x a x
=-， 当1a ≤，(,)22
x ππ
∈-时，'()0g x ≤，()g x 单调递减， ∴(,0)2
x π
∈-
时，()(0)0g x g >=，()()0f x x g x =⋅<，且()()()>0f x xg'x g x '=+，
∴()0f 'x >，即()f x 在(,0)2
π
-
上单调递增，
(0,)2
x π
∈时，()(0)0g x g <=，()()0f x x g x =⋅<，且()()+()<0f 'x =xg'x g x ，
∴()0f 'x <，即()f x 在(0,
)2
π
上单调递减，∴0x =是函数()f x 的极大值点，∴1a ≤满足题意；
当1a >时，存在(0,)
2
t π
∈使得cos t =，即'()0g t =，
又21
()cos g'x a x =-
在
(0,)2
π上单调递减，∴,()0x t ∈时，()(0)0g x g >=，所以()()0f x x g x =⋅>， 这与0x =是函数()f x 的极大值点矛盾． 综上，1a ≤．故选B ．
方法二：依据极值的定义，要使0x =是函数()f x 的极大值点，须在0x =的左侧附近，()0f x <，即tan 0ax x ->；在0x =的右侧附近，()0f x <，即tan 0ax x -<．易知，1a =时，y ax =与tan y x =相
切于原点，所以根据y ax =与tan y x =的图象关系，可得1a ≤，故选B ．
3．已知集合{A =，{}1,B m =，若A B A ⋃=，则m =（ ）
A ．0
B ．0或3
C ．1
D ．1或3
【答案】B 【解析】
因为A B A ⋃=,所以B A ⊆,所以3m =或m m =
.
若3m =，则{1,3,3},{1,3}A B ==,满足A B A ⋃=. 若m m =
，解得0m =或1m =.若0m =，则{1,3,0},{1,3,0}A B ==，满足A B A ⋃=.若1m =，
{1,3,1},{1,1}A B ==显然不成立，综上0m =或3m =，选B.
4．已知双曲线
)，其右焦点F 的坐标为
，点是第一象限内双曲线渐近线上
的一点，为坐标原点，满足，线段交双曲线于点.若为的中点，则双曲线的离心率为
（ ） A ．
B ．2
C ．
D ．
【答案】C 【解析】 【分析】 计算得到，
，代入双曲线化简得到答案.
【详解】
双曲线的一条渐近线方程为
，是第一象限内双曲线渐近线上的一点，
，
故，，故，代入双曲线化简得到：，故.
故选：. 【点睛】
本题考查了双曲线离心率，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.
5．已知函数2()ln(1)33x x f x x x -=++-，不等式()
22(4)50f a x f x +++对x ∈R 恒成立，
则a 的取值范围为（ ） A ．[2,)-+∞ B ．(,2]-∞-
C ．5,2⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭
D ．5,2⎛
⎤-∞- ⎥⎝⎦
【答案】C
确定函数为奇函数，且单调递减，不等式转化为224a x
⎫=-+，利用双勾函数单调性求最值得到答案. 【详解】
())33(),(
)x x f x
x f x f x --=+-=-是奇函数，
())3333x x x x
f x x --=+=+--，
易知,33x x
y y y -==-=均为减函数，故()f x 且在R 上单调递减，
不等式()
2(5
0f f x ++
，即()2(5f f x --，
结合函数的单调性可得2
5x --，即224
a
x ⎫
=-+， 设t
=，2t ≥
，故1y t t ⎛⎫
=-+ ⎪⎝⎭单调递减，故max 5
2⎫-=-， 当2t =，即0x =时取最大值，所以5
2
a -
. 故选：C . 【点睛】
本题考查了根据函数单调性和奇偶性解不等式，参数分离求最值是解题的关键. 6．将函数()sin(3)6
f x x π
=+
的图像向右平移(0)m m >个单位长度，再将图像上各点的横坐标伸长到原来
的6倍（纵坐标不变），得到函数()g x 的图像，若()g x 为奇函数，则m 的最小值为（ ） A ．
9
π
B ．
29
π C ．
18
π D ．
24
π
【答案】C 【解析】 【分析】
根据三角函数的变换规则表示出()g x ，根据()g x 是奇函数，可得m 的取值，再求其最小值. 【详解】
解：由题意知，将函数()sin(3)6
f x x π
=+
的图像向右平移(0)m m >个单位长度，得
()sin 36y x m π⎡⎤=-+⎢⎥⎣
⎦，再将sin 336y x m π⎡
⎤=-+⎢⎥⎣⎦图像上各点的横坐标伸长到原来的6倍（纵坐标不
变），得到函数()g x 的图像，1
()sin(3)2
6
g x x m π
∴=-+，
因为()g x 是奇函数， 所以3,6
m k k Z π
π-+
=∈，解得,18
3
k m k Z π
π
=
-
∈， 因为0m >，所以m 的最小值为18
π. 故选：C 【点睛】
本题考查三角函数的变换以及三角函数的性质，属于基础题. 7．函数()sin (0)f x x ωω=>的图象向右平移12
π
个单位得到函数()y g x =的图象，并且函数()g x 在区
间[,]63ππ
上单调递增，在区间[
,]32ππ
上单调递减，则实数ω的值为（ ） A ．74
B ．32
C ．2
D ．54
【答案】C 【解析】
由函数()sin (0)f x x ωω=>的图象向右平移12π个单位得到[]1212
g x sin x sin x πωπ
ωω=-=-（）（）（），
函数()g x 在区间,63ππ⎡⎤⎢
⎥⎣⎦上单调递增，在区间,32ππ⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
上单调递减，可得3
x π
=
时，()g x 取得最大值，即
23
12
2
k π
ωπ
π
ωπ⨯-
=
+（），k Z ∈，0ω>，当0
k =时，解得2ω=，故选C.
点睛：本题主要考查了三角函数图象的平移变换和性质的灵活运用，属于基础题；据平移变换“左加右减，
上加下减”的规律求解出()g x ，根据函数()g x 在区间,63ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，在区间,32ππ⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
上单调递减可得3
x π
=
时，()g x 取得最大值，求解可得实数ω的值.
8．著名的斐波那契数列{}n a ：1，1，2，3，5，8，…，满足121a a ==，21n n n a a a ++=+，*N n ∈，若
2020
211
n n k a a -==∑，则k =( )
A ．2020
B ．4038
C ．4039
D ．4040
【答案】D 【解析】 【分析】
计算134a a a +=，代入等式，根据21n n n a a a ++=+化简得到答案.
11a =，32a =，43a =，故134a a a +=，
202021
134039457403967403940401
............n n a
a a a a a a a a a a a -==+++=++++=+++==∑，
故4040k =. 故选：D . 【点睛】
本题考查了斐波那契数列，意在考查学生的计算能力和应用能力. 9．设,,a b c ∈R 且a b >，则下列不等式成立的是（ ） A ．c a c b -<- B ．22ac bc >
C ．
11a b
< D ．
1b a
< 【答案】A 【解析】
A 项，由a b >得到a b -<-，则c a c b -<-，故A 项正确；
B 项，当0c 时，该不等式不成立，故B 项错误；
C 项，当1a =，2b =-时，112>-，即不等式11
a b
<不成立，故C 项错误；
D 项，当1a =-，2b =-时，21b
a =>，即不等式1
b a
<不成立，故D 项错误．
综上所述，故选A ．
10．某工厂一年中各月份的收入、支出情况的统计如图所示，下列说法中错误的是（ ）．
A ．收入最高值与收入最低值的比是3:1
B ．结余最高的月份是7月份
C ．1与2月份的收入的变化率与4至5月份的收入的变化率相同
D ．前6个月的平均收入为40万元
【解析】
由图可知，收入最高值为90万元，收入最低值为30万元，其比是3:1，故A 项正确； 结余最高为7月份，为802060-=，故B 项正确；
1至2月份的收入的变化率为4至5月份的收入的变化率相同，故C 项正确；
前6个月的平均收入为1
(406030305060)456
+++++=万元，故D 项错误． 综上，故选D ．
11．金庸先生的武侠小说《射雕英雄传》第12回中有这样一段情节，“……洪七公道：肉只五种，但猪羊混咬是一般滋味，獐牛同嚼又是一般滋味，一共有几般变化，我可算不出了”.现有五种不同的肉，任何两种（含两种）以上的肉混合后的滋味都不一样，则混合后可以组成的所有不同的滋味种数为（ ） A ．20 B ．24 C ．25 D ．26
【答案】D 【解析】 【分析】
利用组合的意义可得混合后所有不同的滋味种数为2345
5555C C C C +++，再利用组合数的计算公式可得所
求的种数. 【详解】
混合后可以组成的所有不同的滋味种数为2345
5555205126C C C C +++=++=（种），
故选：D. 【点睛】
本题考查组合的应用，此类问题注意实际问题的合理转化，本题属于容易题. 12．已知定义在R 上的奇函数()f x 满足：(2)()f x e f x +=-（其中 2.71828e =），且在区间[,2]e e 上
是减函数，令ln 22a =
，ln3
3b =，ln 55
c =，则()f a ，()f b ，()f c 的大小关系（用不等号连接）为（ ）
A ．()()()f b f a f c >>
B ．()()()f b f c f a >>
C ．()()()f a f b f c >>
D ．()()()f a f c f b >>
【答案】A 【解析】
因为()()2f x e f x +=-，所以()()f x e f x +=４，即周期为４，因为()f x 为奇函数，所以可作一个周期[-2e,2e]示意图，如图()f x 在（０，１）单调递增，因为
1
1112
5
3
2
53
225252,232301c a b <∴<<∴<∴<<<<，因此()()()f b f a f c >>，选Ａ．
点睛：函数对称性代数表示
（1）函数()f x 为奇函数()()f x f x ⇔=-- ，函数()f x 为偶函数()()f x f x ⇔=-（定义域关于原点对称）；
（2）函数()f x 关于点(,)a b 对称()(2)2f x f x a b ⇔+-+=，函数()f x 关于直线x m =对称
()(2)f x f x m ⇔=-+，
（3）函数周期为T,则()()f x f x T =+
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．设(,)P x y 为椭圆22
11612
x y +=在第一象限上的点，则346x y x y +--的最小值为________. 【答案】4 【解析】 【分析】
利用椭圆的参数方程，将所求代数式的最值问题转化为求三角函数最值问题，利用两角和的正弦公式和三角函数的性质，以及求导数、单调性和极值，即可得到所求最小值． 【详解】
解：设点(4cos P α，3)α，其中02
π
α<<
，
∴
33443(6)18
()()464646
x y x y x y x y x y x y -+-++=-+=-+------ 418418
4(
)44646x y x y
=--+=-++----， 由4cos x α=，23y α=，02
π
α<<，
可设41844644cos 623sin z x y αα
=
+=+---- 133
1cos 3sin αα
=
--，
导数为2
2
sin 33cos (1cos )(3sin )z αα
αα'=-
+-- 由0z '=，可得23323363333sin sin 23sin αααααα-+--+
22sin )(36cos 3cos sin cos )0αααααααα=---+++=，
sin 0αα-=
或2236cos 3cos sin cos 0αααααα--+++=，
由3)2cos225)2sin(2)336πππ
ααααα-+++=-+++
223)4sin ()(2sin()0333πππααα=-+++=+>，(0)2
π
α<<，
sin 0αα-=
，即tan α=3
π
α=，
由03
π
α<<可得函数z 递减；由
3
2
π
π
α<<
，可得函数z 递增， 可得3
π
α=
时，函数z
取得最小值，且为
1
8
112
=-，
则
346x y x y
+--的最小值为1． 故答案为：1． 【点睛】
本题考查椭圆参数方程的应用，利用三角函数的恒等变换和导数法求函数最值的方法，考查化简变形能力和运算能力，属于难题．
14
．6
2x x ⎛- ⎝⎭
的展开式中的常数项为_______． 【答案】135 【解析】 【分析】
写出展开式的通项公式，考虑当x 的指数为零时，对应的值即为常数项. 【详解】
6
2x x ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝
⎭的展开式通项公式为： (
)(62123166r
r r r r r
r T C x C x x --+⎛⎫=⋅⋅-=⋅⋅ ⎪ ⎪⎝⎭， 令4r =
，所以(4
4
6
135C ⋅=，所以常数项为135.
故答案为：135. 【点睛】
本题考查二项展开式中指定项系数的求解，难度较易.解答问题的关键是，能通过展开式通项公式分析常数项对应r 的取值.
15．已知集合{|21,}A x x k k Z ==-∈，{}|2,B x x k k Z ==∈，则A B =________.
【答案】∅ 【解析】
【分析】
利用交集定义直接求解． 【详解】 解：
集合{|21,}A x x k k Z ==-∈{=奇数}，
{}|2,B x x k k Z ==∈{=偶数}， A B ∴⋂=∅．
故答案为：∅． 【点睛】
本题考查交集的求法，考查交集定义等基础知识，考查运算求解能力，属于基础题．
16．已知双曲线22
221(0,0)x y a b a b
-=>>
的左焦点为(F ，A 、B 为双曲线上关于原点对称的两点，
AF 的中点为H ，BF 的中点为K ，HK 的中点为G ，若|HK|=2|OG|，且直线AB
的斜率为
4
，则||AB =__________，双曲线的离心率为__________．
【答案】
【解析】 【分析】
设()00,A x y ，()00,B x y --，根据中点坐标公式可得,H K 坐标，利用0OH OK ⋅=可得到A 点坐标所
满足的方程，结合直线斜率可求得22
00,x y ，进而求得AB ；将A 点坐标代入双曲线方程，结合焦点坐标
可求得,a b ，进而得到离心率. 【详解】
左焦点为()
F ，∴
双曲线的半焦距c =
设()00,A x y ，()00,B x y --
，0022x y H ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭∴
，0022x y K ⎛⎫--- ⎪ ⎪⎝⎭
， 2HK OG =，OH OK ∴⊥，即0OH OK ⋅=，22
003044
x y -∴-=，即22
003x y +=，
又直线AB
斜率为
4
，即004y x =，2083x ∴=，2
013y =，
AB ∴==
A 在双曲线上，22
00
221x y a b
∴-=，即2281133a b -=， 结合2223c a b =+=可解得：2a =，1b =，∴离心率6c
e
a . 故答案为：23；6. 【点睛】
本题考查直线与双曲线的综合应用问题，涉及到直线截双曲线所得线段长度的求解、双曲线离心率的求解问题；关键是能够通过设点的方式，结合直线斜率、垂直关系、点在双曲线上来构造方程组求得所需变量的值.
三、解答题：共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．已知椭圆()222210x y a b a b +=>>，点()()1,0,0,1A B ，点P 满足2
2
OA OB OP +=（其中O 为坐
标原点），点,B P 在椭圆C 上. （1）求椭圆C 的标准方程；
（2）设椭圆的右焦点为F ，若不经过点F 的直线(): 0,0l y kx m k m =+<>与椭圆C 交于,M N 两点.且与圆2
2
1x y +=相切.MNF 的周长是否为定值?若是，求出定值；若不是，请说明理由.
【答案】（1）2
212
x y +=（2）是，22
【解析】 【分析】
（1）设(),P x y ,根据条件可求出P 的坐标，再利用B P ，在椭圆上，代入椭圆方程求出a b ，即可; （2）设()()()112212,,,0,0M x y N x y x x >> 运用勾股定理和点满足椭圆方程，求出MQ ，NQ ,再利用
焦半径公式表示出MF NF ，
,进而求出周长为定值． 【详解】
(1)设(),P x y ,因为2
2
OA OB OP +
=, 即2(1,0)(0,1)(,),2x y +=则21,2x y
==,即21,P ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭
, 因为,B P 均在C 上,代入得2221011
12
1b a b
⎧
+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩,解得22
2,1a b ==,所以椭圆C 的方程为2212x y +=; (2)由(1)得2
(1,0),,22
F e a =
=,作出示意图, 设切点为()()()112212,,,,0,0Q M x y N x y x x >>, 则2
2
2
2
2
21111||||||12
MQ OM OQ x y x =-=+-=, 同理2
2
2
2222112
NQ x y x =+-= 即1222||,||MQ x NQ x =
=,所以122||()MN x x =+, 又112222
22MF a ex x NF a ex x =-=
-
=-=-，, 则MNF 的周长()1212222
||||2222222
MN MF NF x x x x ++=++-+-=, 所以周长为定值22. 【点睛】
标准方程的求解,椭圆中的定值问题,考查焦半径公式的运用,考查逻辑推理能力和运算求解能力,难度较难. 18．如图，四边形ABCD 是边长为3的菱形，DE ⊥平面,,//,3ABCD AB AD AF DE DE AF ⊥=.
（1）求证：AC ⊥平面BDE ；
（2）若BE 与平面ABCD 所成角为60︒，求二面角F BE D --的正弦值. 【答案】（1）证明见解析（2239 【解析】
（1）由已知线面垂直得DE AC ⊥，结合菱形对角线垂直，可证得线面垂直；
（2）由已知知,,DA DC DE 两两互相垂直.以,,DA DC DE 分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系Dxyz 如图所示，由已知线面垂直知BE 与平面ABCD 所成角为60DBE ∠=︒，这样可计算出,DE DF 的长，写出各点坐标，求出平面的法向量，由法向量夹角可得二面角． 【详解】
证明：（1）因为DE ⊥平面ABCD ，AC ⊂平面ABCD ，所以DE AC ⊥. 因为四边形ABCD 是菱形，所以AC BD ⊥.
又因为BD DE D ⋂=，BD ⊂平面BDE ，DE ⊂平面BDE ， 所以AC ⊥平面BDE .
解：（2）据题设知，,,DA DC DE 两两互相垂直.以,,DA DC DE 分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系Dxyz 如图所示，
因为BE 与平面ABCD 所成角为60︒，即60DBE ∠=︒，所以3DE
DB
=又3,3AD DE AF ==，所以36,6DE AF ==
所以()()((()3,0,0,3,3,0,6,0,0,36,0,3,0A B F E C 所以(
)(0,3,
6,3,0,26BF EF =-=-
设平面BEF 的一个法向量(),,m x y z =，则360
360
y z x z ⎧-=⎪⎨-=⎪⎩令6z =(4,6m =.
因为AC ⊥平面BDE ，所以CA 为平面BDE 的一个法向量，且()3,3,0CA =-
所以
()
()2
2
2
2
22
34320613
cos ,426330m CA m CA m CA
⨯+-⨯+⋅<>=
=
=
++
⋅+-+，
239
sin ,13
m CA <>=
所以二面角F BE D --的正弦值为
239
13
.
本题考查线面垂直的判定定理和性质定理，考查用向量法求二面角．立体几何中求空间角常常是建立空间直角坐标系，用空间向量法求空间角，这样可减少思维量，把问题转化为计算．
19．已知椭圆22
22:1(0)x y C a b a b
+=>>的焦点为1F ，2F ，离心率为12，点P 为椭圆C 上一动点，且12
PF F △
O 为坐标原点. (1)求椭圆C 的方程；
(2)设点()11,M x y ，()22,N x y 为椭圆C 上的两个动点，当1212x x y y +为多少时，点O 到直线MN 的距离为定值.
【答案】（1）22143x y +=；
（2）当1212x x y y +＝0时，点O 到直线MN
的距离为定值7
. 【解析】 【分析】
（1）12PF F △的面积最大时，P
是短轴端点，由此可得bc =222a b c =+可得,a b ，从而得椭圆方程；
（2）在直线MN 斜率存在时，设其方程为y kx m =+，现椭圆方程联立消元（y ）后应用韦达定理得
1212,x x x x +，注意>0∆，一是计算1212x x y y +，二是计算原点到直线MN 的距离，两者比较可得结论．
【详解】
（1）因为P 在椭圆上，当P 是短轴端点时，P 到x 轴距离最大，此时12PF F ∆
面积最大，所以
122c b bc ⨯⨯==
2221
2bc c a a b c
⎧=⎪
⎪=⎨⎪=+⎪⎩
，解得21
a b c =⎧⎪=⎨⎪=⎩ 所以椭圆方程为22
143
x y +=．
（2）在12x x ≠时，设直线MN 方程为y kx m =+
，原点到此直线的距离为d =2
2
21m
d k =+， 由2214
3y kx m
x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，得222(34)84120k x kmx m +++-=，
2222644(34)(412)0k m k m ∆=-+->，2243m k <+，
所以122834km x x k +=-+，2122
412
34m x x k
-=+， 22121212121212()()(1)()x x y y x x kx m kx m k x x km x x m +=+++=++++
222222
2
222
4128712(1)(1)343434m k m m k k m k k k --+=+⋅-+=
+++， 所以当12120x x y y +=时，2
212(1)7m k =+，22
21217m d k ==+
，7
d = 若12x x =，则12y y =-，221212110x x y y x y +=-=，2211x y =，2
127x =
，d x ==， 综上所述，当1212x x y y +＝0时，点O 到直线MN
. 【点睛】
本题考查求椭圆方程与椭圆的几何性质，考查直线与椭圆的位置关系，考查运算求解能力．解题方法是“设而不求”法．在直线与圆锥曲线相交时常用此法通过韦达定理联系已知式与待求式．
20．在平面直角坐标系xOy
中，已知直线12:1x t l y ⎧
=-⎪⎪
⎨⎪=+⎪⎩
（t 为参数），以坐标原点O 为极点，x 轴的非
负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为2cos ρθ=. （1）求曲线C 的直角坐标方程； （2）设点M 的极坐标为1,
2π⎛⎫
⎪⎝⎭
，直线l 与曲线C 的交点为,A B ，求MA MB +的值. 【答案】（1）()2
211x y -+=（2
1 【解析】 【分析】
（1）由公式cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩
可化极坐标方程为直角坐标方程；
（2）把M 点极坐标化为直角坐标，直线l 的参数方程是过定点M 的标准形式，因此直接把参数方程代入曲线C 的方程，利用参数t 的几何意义求解． 【详解】
解：（1）2:cos C ρθ=，则22cos ρρθ=，∴22
2x y x +=，
所以曲线C 的直角坐标方程为2
2
20x y x +-=，即()2
211x y -+=
（2）点1,
2M π⎛⎫
⎪⎝⎭
的直角坐标为()0,1M ，易知M l ∈.设,A B 对应参数分别为12,t t
将12:1x t l y ⎧
=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩
与22
:20C x y x +-=联立得
)
21212110,1,1t t t t t t +
+=∴+=⋅=120,0t t ∴<<
12121MA MB t t t t +=+=+=
【点睛】
本题考查极坐标方程与直角坐标方程的互化，考查直线参数方程，解题时可利用利用参数方程的几何意义求直线上两点间距离问题．
21．在平面直角坐标系xOy 中，直线l
的参数方程为22
12
x t y ⎧
=+⎪⎪
⎨
⎪=-⎪⎩
（t 为参数），以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，圆C 的极坐标方程为24cos 3ρρθ-=. （1）求直线l 的普通方程和圆C 的直角坐标方程；
（2）直线l 与圆C 交于A ，B 两点，点P(2,1)，求|PA|⋅|PB|的值.
【答案】（1）直线l 的普通方程30x y +-=，圆C 的直角坐标方程：2
2
430x y x +--=.（2）6 【解析】 【分析】
（1）直接利用转换关系的应用，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换. （2）将直线的参数方程代入圆的直角坐标方程，利用一元二次方程根和系数关系式即可求解. 【详解】
（1）直线l
的参数方程为22
12
x t y ⎧
=+⎪⎪
⎨
⎪=-⎪⎩
（t 为参数），转换为直角坐标方程为x+y ﹣3＝0. 圆C 的极坐标方程为ρ2﹣4ρcosθ＝3，转换为直角坐标方程为x 2+y 2﹣4x ﹣3＝0.
（2）把直线l
的参数方程为22
12
x y t ⎧
=+⎪⎪
⎨
⎪=-⎪⎩
（t 为参数），代入圆的直角坐标方程x 2+y 2﹣4x ﹣3＝0，
得到260t -=，
所以|PA||PB|＝|t 1t 2|＝6. 【点睛】
本题考查参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，一元二次方程根和系数关系式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型. 22．已知函数()x
f x e ax =+，()ln x
g x e x =.
（1）若对于任意实数0x ≥，()0f x >恒成立，求实数a 的范围；
（2）当1a =-时，是否存在实数[]01,x e ∈，使曲线C ：()()y g x f x =-在点0x 处的切线与y 轴垂直？若存在，求出0x 的值；若不存在，说明理由.
【答案】（1）(),e -+∞；（2）不存在实数[]01,x e ∈，使曲线()y M x =在点0x x =处的切线与y 轴垂直. 【解析】 【分析】
（1）分类0x =时，恒成立，0x ≠时，分离参数为x e a x >-，引入新函数()x e H x x
=-，利用导数求得
函数最值即可；
（2）()()()ln x
x
M x f x g x e x e x =-=-+，导出导函数()M x '，问题转化为()0M x '=在[1,]e 上有解．再
用导数研究()M x 的性质可得． 【详解】
解：（1）因为当0x ≥时，()0x
f x e ax =+>恒成立，
所以，若0x =，a 为任意实数，()0x
f x e ax =+>恒成立.
若0x >，()0x
f x e ax =+>恒成立，
即当0x >时，x
e a x
>-，
设()x e H x x =-，()()22
1'x
x x x e
e x e H x x x --=-=
， 当()0,1x ∈时，()'0H x >，则()H x 在()0,1上单调递增， 当()1,x ∈+∞时，()'0H x <，则()H x 在()1,+∞上单调递减， 所以当1x =时，()H x 取得最大值.
()()max 1H x H e ==-，
所以，要使0x ≥时，()0f x >恒成立，a 的取值范围为(),e -+∞. （2）由题意，曲线C 为：ln x x y e x e x =-+. 令()ln x
x
M x e x e x =-+，
所以()1'ln 1ln 11x x x x e M x e x e x e x x ⎛⎫
=+-+=+-+ ⎪⎝⎭
， 设()1ln 1h x x x =
+-，则()22111'x h x x x x
-=-+=， 当[]
1,x e ∈时，()'0h x ≥，
故()h x 在[]1,e 上为增函数，因此()h x 在区间[]1,e 上的最小值()1ln10h ==， 所以()1
ln 10h x x x
=
+-≥， 当[]01,x e ∈时，0
0x e >，00
1
ln 10x x +-≥， 所以()00001'ln 110x M x x e x ⎛⎫
=+-+>
⎪⎝⎭
， 曲线ln x x
y e x e x =-+在点0x x =处的切线与y 轴垂直等价于方程()0'0M x =在[]
1,x e ∈上有实数解. 而()0'0M x >，即方程()0'0M x =无实数解.
故不存在实数[]01,x e ∈，使曲线()y M x =在点0x x =处的切线与y 轴垂直. 【点睛】
本题考查不等式恒成立，考查用导数的几何意义，由导数几何把问题进行转化是解题关键．本题属于困难题．
23．已知数列{}n a 是等差数列，前n 项和为n S ，且533S a =，468a a +=． （1）求n a ． （2）设2n n
n b a =⋅，求数列{}n b 的前n 项和n T ．
【答案】 (1) ()23n a n =- (2) 2
(4)216n n T n +=-⋅+
【解析】 【分析】
(1)由数列{}n a 是等差数列，所以535S a =，解得30a =，又由46582a a a +==，解得2d =， 即可求得数列的通项公式；
(2)由（1）得()1
232
n
n n n b a n +=⋅=-⋅，利用乘公比错位相减，即可求解数列的前n 项和．
【详解】
(1)由题意，数列{}n a 是等差数列，所以535S a =，又533S a =，30a ∴=， 由46582a a a +==，得54a =，所以5324a a d -==，解得2d =， 所以数列的通项公式为()()3323n a a n d n =+-=-． (2)由（1）得()1
232
n
n n n b a n +=⋅=-⋅，
()()()234122120232n n T n +=-⋅+-⋅+⋅++-⋅，
()()()()3412221242322n n n T n n ++=-⋅+-⋅+
+-⋅+-⋅，
两式相减得(
)()2
34
1222222232n n n n T T n ++-=⋅-++
++-⋅，
()1228128(3)2(4)21612
n n n n n -++--
+-⋅=-⋅+=-，
即2
(4)216n n T n +=-⋅+．
【点睛】
本题主要考查等差的通项公式、以及“错位相减法”求和的应用，此类题目是数列问题中的常见题型，解答中确定通项公式是基础，准确计算求和是关键，易错点是在“错位”之后求和时，弄错等比数列的项数，能较好的考查考生的数形结合思想、逻辑思维能力及基本计算能力等.。