一类具有标准发生率和OrnsteinUhlenbeck过程的随机SIS传染病模型

烄ｄＳ（ｔ）＝ （μＮ －μＳ －βＮＳＩ ＋γＩ）ｄｔ
烅
．
ｄＩ（ｔ）＝ 烆
（βＳＩ Ｎ
－μＩ
－γＩ）ｄｔ
（５）
受到文献［５］的启发，假设参数β 满足均值回复过程，将式（３）代入式（５），得到如下的随机微分方程：
烄ｄＳ（ｔ）＝
（μＮ
－μＳ－
（βｅ
＋
（β０＋βｅ Ｎ
）ｅ－θｔ）ＳＩ＋γＩ）ｄｔ－σＳＩｄＮＢ
关 键 词 ：标 准 发 生 率 ；Ｏｒｎｓｔｅｉｎ－Ｕｈｌｅｎｂｅｃｋ 过 程 ；灭 绝 性 ；持 久 性 中 图 分 类 号 ：Ｏ１７５．１ 文 献 标 识 码 ：Ａ
１ 引言
人类对传染病模型的研究 已 经 有 很 长 一 段 历 史 ，自 从 Ｋｅｒｍａｃｋ 和 ＭｃＫｅｎｄｒｉｃｋ［１］对 传 染 病 的 研 究
做了开拓性的贡献以来，人们对传染 病 的 传 播 机 制 和 预 防 有 了 一 定 的 认 识 和 措 施 ．传 染 病 的 传 播 威 胁
人类的健康和社会的安定，例如２００３年在我国爆发、传播的 ＳＡＲＳ［２，３］，造成了一些患者 死 亡，给 社 会 造
成了一定的恐慌．对传染病建立数学模型，了解传染病的动力学行为，有助 于 制 定 可 行、有 效 的 预防、控
收 稿 日 期 ：２０１９－０１－０１ ＊基金项目：国家自然科学 基 金 资 助 项 目 （１１７７１１０４）；广 西 研 究 生 教 育 创 新 计 划 项 目（ＸＹＣＳＺ２０１９０８３，ＪＧＹ２０１９０３０）；
广 西 自 然 科 学 基 金 资 助 项 目 （２０１８ＧＸＮＳＦＡＡ２９４０８４，２０１８ＧＸＮＳＦＢＡ２８１１４０） 作 者 简 介 ：赖 祥 鑫 （１９９３— ），广 西 玉 林 人 ，硕 士 生 ，研 究 方 向 ：微 分 方 程 及 其 应 用 ． 通 讯 作 者 简 介 ：韦 煜 明 （１９７４— ），广 西 桂 平 人 ，教 授 ，研 究 方 向 ：微 分 方 程 及 其 应 用 ．
制传染病产生、传播的措施．一些学者研究了具有双线性发生率βＳ（ｔ）Ｉ（ｔ）的 ＳＩＳ 传染病模型 ．考 ［４，５，６］ 虑 到 传 染 病 的 传 播 受 到 随 机 环 境 的 影 响 ，文 献 ［６］给 出 如 下 的 随 机 微 分 方 程 ：
烄ｄＳ（ｔ）＝（μＮ －μＳ－（βｅ＋（β０＋βｅ）ｅ－θｔ）ＳＩ＋γＩ）ｄｔ－σＳＩｄＢ（ｔ） 烅烆ｄＩ（ｔ）＝（（βｅ＋（β０＋βｅ）ｅ－θｔ）ＳＩ－μＩ－γＩ）ｄｔ＋σＳＩｄＢ（ｔ）
第１期 赖祥鑫，等：一类具有标准发生率和 Ｏｒｎｓｔｅｉｎ－Ｕｈｌｅｎｂｅｃｋ过程的随机 ＳＩＳ传染病模型
· ２５·
由于Ｓ（ｔ）＋Ｉ（ｔ）＝Ｎ ，因此关于Ｉ（ｔ）的方程为： ｄＩ（ｔ）＝（（βｅ＋（β０＋βｅ）ｅ－θｔ）（Ｎ －Ｉ）Ｉ－μＩ－γＩ）ｄｔ＋σ（Ｎ －Ｉ）ＩｄＢ（ｔ）． 在 文 献 ［５］，作 者 对 随 机 微 分 方 程 （４）定 义 了 基 本 再 生 数
，
（１）
其中Ｓ（ｔ）代表在ｔ 时刻易感者的数量，Ｉ（ｔ）代表在ｔ 时刻患病 者 的 数 量，γ 为 恢 复 率，β 为 疾 病 的 传 播
系数，Ｂ（ｔ）为标准的布朗运动，σ２ 为 白 噪 声 强 度，死 亡 率 和 出 生 率 均 记 为μ，并 且 假 设 所 有 系 数 都 是 正
的 ．随 机 微 分 方 程 （１）相 对 应 的 确 定 模 型 为
赖祥鑫，韦煜明，彭华勤
（广西师范大学 数学与统计学院，广西 桂林 ５４１００４）
摘 要：研究一类 具 有 标 准 发 生 率 和 Ｏｒｎｓｔｅｉｎ－Ｕｈｌｅｎｂｅｃｋ 过 程 的 随 机 ＳＩＳ传 染 病 模 型，考 虑 到 环 境 的 影 响，该 文研究回复速率和波动强度对传染病灭绝性和持久性 的 影 响 并 且 通 过 分 析 得 到 阈 值 ＲＳ０ ，并 给 出 了 疾 病 灭 绝 和 持 久的充分条件．
（４）
ＲＳ０
＝ βｅＮ μ ＋γ
－４θξ（μ２ Ｎ＋２γ）
并且得到主要结果：如果 ＲＳ０ ＜１ 并 且ξ２≤２βＮｅθ或 者ξ２＞ｍａｘ｛２βＮｅθ，μβ＋ｅ２θγ｝，则 疾 病 将 会 依 概 率 １ 消 亡；
如果 ＲＳ０ ＞１，则疾病将会依概率１持久．
考 虑 到 当 种 群 数 量 很 大 时 ，由 于 受 随 机 因 素 的 影 响 ，单 位 时 间 内 染 病 者 的 数 量 不 可 能 按 线 性 方 式 增
｛ｄＳ（ｔ）＝（μＮ －μＳ －βＳＩ＋γＩ）ｄｔ
ｄＩ（ｔ）＝ （βＳＩ－μＩ－γＩ）ｄｔ
．
考虑到环境因素的影响，文献［５］假设参数β 满足均值回复过程：
β＝βｅ ＋ （β０ －βｅ）ｅ－θｔ ＋σ（ｔ）ｄＢｄｔ（－２θｔ ， 槡２θ
θ 是回复速率，ξ 是波动强度．将式（３）代入式（２）就可以得到式（１）．
（ｔ）
烅 ｄＩ（ｔ）＝
烆
（（βｅ
＋
（β０＋βｅ Ｎ
）ｅ－θｔ）ＳＩ－μＩ－γＩ）ｄｔ＋σＳＩｄＮＢ
（ｔ）
Ｍａｒ．２０１９ Ｖｏｌ．３６ Ｎｏ．１
ＤＯＩ：１０．１６６０１／ｊ．ｃｎｋｉｉ．ｓｓｎ１００１－８７４３．２０１９．０１．００６
文 章 编 号 ：１００１－８７４３（２０１９）０１－００２４－０７
一类具有标准发生率和 Ｏｒｎｓｔｅｉｎ－Ｕｈｌｅｎｂｅｃｋ 过 程 的 随 机 ＳＩＳ 传 染 病 模 型 ＊
２０１９ 年 ３ 月 广 西 师 范 学 院 学 报 （自 然 科 学 版 ） 第３６卷 第１期 Ｊｏｕｒｎａｌ ｏｆ Ｇｕａｎｇｘｉ Ｔｅａｃｈｅｒｓ Ｅｄｕｃａｔｉｏｎ Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ（Ｎａｔｕｒａｌ Ｓｃｉｅｎｃｅ Ｅｄｉｔｉｏｎ）
长，所以双线性发生率是不合实际的．因为 单 位 时 间 内 一 个 患 者 接 触 到 其 他 成 员 数 量 是 有 限 的，所 以 研
究了
具有
标
准发
生 率βＳ（ｔ）Ｉ（ｔ）更 符 Ｎ
合
实际
，因 此
有
学
者
研
究
了
具
有
标
准
发
生
率βＳ（ｔ）Ｉ（ｔ）的 Ｎ
ＳＩＳ
传
染
病模型 ，给 ［７～１０］ 出如下确定性模型 ：