概率论与数理统计知识点例题讲解

3. 主要方法
A. 利用分布函数及概率密度函数的性质解题.
B. 利用概率密度函数计算概率, 随机变量X(或(X,Y))落在某区间I(或某区 域 G)的概率为
f ( x)dx 或( f ( x, y)dxdy)
I
G
C. 求随机变量的函数的分布,先求分布函数,再求导，求概率密度函数.
X 连续型, y=g(x)为连续函数，则Y= g(X)为连续型．
k 1
k 1
wk.baidu.com
n
b
2
k
b
k1 3
2
2 n1
3
3
1
2 3
1
再对上式取极限得：
lim b
2 3
2 3
n1
b
2 3
2b 1 b 1
n
1
2 3
1
2 3
2
P70T6(2)
(2)设随机变量的分布律为 PX k k , k 1,2,3,4,5
15
其分布函数为F(x) 求2P1 X 2.
解：P1 X 2 PX 2 PX 1
显然{X=3}是一小概率事件,根据小概率事件几乎不可能发生
原理,可以认为原假设不对,故此人有一定品尝区分能力.
P72,T16 设连续型r.vX的分布函数为
0
x0
F(x)
Ax
2
0 x1
1
x 1
求 : (1)常数 A (2)概率密度函数 (3) P0 X 2
解法一： （1） 由于连续型随机变量X的分布函数是连续的
：C
k n
pk (1
p)nk
k e
k!
(
np)
C.
均匀分布
f
( x)
b
1
a
,
0 ,
a xb 其它
D.
指数分布
e x
f (x)
,
0 ,
x0 x0
E. 正态分布
f (x)
1
e
(
x )2 2 2
,
x
2
X ~ N(, 2 )
Z X ~ N (0,1)
FX x
PX
x
P
一、内容小结
r.v及其概率分布
离散型r.v 的分布律
分布函数 的性质
连续型r.v的 概率密度
分布律 与分布函数
的关系
概率密度 与分布函数
的关系
二项分布 泊松分布
正态分布 指数分布 均匀分布
1. 重点概念: 随机变量, 分布函数,
分布律(离散型),概率密度函数(连续型)。
2. 重点公式:
A. 分布律、概率密度函数的性质：
f
( x)
1 5
ex/5
0
x0 其它
某顾客的习惯是,等待时间超过10分钟便离开.现知他一个月要到银
行5次,求他未受到服务的次数不少于1的概率.
分析: 顾客一个月内未受到服务的次数为Y， 要求的是P{Y1}；
“未受到服务”的事件A为{X>10}；
X
x
x
F. 二维正态分布
二、作业点评
课本P70,T5 (2)
(2)设r.vX的分布律为
PX k b 2k , k 1,2,
3
试确定常数b；
解：
k 1
Pk
1
k 1
PX
k
b k1
2 k
3
b
1
2 3
b1
2 3
2b 1
2
n
n
错解： Pk 1 P X k
离散型 :
连续型 :
fX (x)
f ( x, y)dy
fY ( y)
f ( x, y)dx
D. 边缘分布+独立性 联合分布
X,Y离散型且相互独立, 则：
P{ X xi ,Y y j } P{ X xi }P{Y y j } Pi• P• j
X,Y连续型且相互独立, 则：f ( x, y) f X ( x) fY ( y)
0 , 其它
求其分布函数F(x)
解:
x
F( x) P{X x} f (u)du
0,
x0
y
x
udu
0
x2 2
,
1
x
0 udu 1 (2 u)du
1 (2 x)2 / 2,
0 x1
1 x2
0 12
x
1 ,
x2
P72T20 设顾客在某银行的窗口等待服务的时间X服从指数分
布, 其概率密度为
lim F(x) lim Ax2 A, lim F(x) 1
x1
x1
x1
A1
（2）
2x, 0 x 1
f
(
x)
F
'
(
X
)
0
,
其它
(3) P0 X 2 P0 X 2 F2 F0 1 0 1
2
1
2
或 P0 X 2 f xdx 2xdx 0dx 1
0
0
1
解法二：
(2)某人通过品尝区分两种酒,他连续试验10次,结果成功3次,
解: (1)所问求此概人是率否为确:1有/ 品C尝84=区1/分70的能力.
(2)假设此人无品尝区分的能力,记X为10次试验中成功次数
X~b(10,1/70)
P{ X
3}
C130
( 1 )3 ( 69)7 70 70
3.16 104
{(x, y) : g(x, y) z}
4. 常见的重要分布
A . 二项分布, X服从b(n,p)
P{ X
k}
C
k n
pk (1
p)nk
(k
0,1,
, n) 其 中p
P( A)
B. Poisson分布, X服从()
k e
P{ X k}
,
k!
k 0,1,2, ( 0)
n较
大
，p较
小
pk 1, f ( x)dx 1 ,
f ( x, y)dxdy 1
k 1
B. 分布函数与概率密度函数之间的转化(连续型)
x
F( x) f (t)dt, F '( x) f ( x)
x
F(x, y)
y
f (u, v)dudv
f (x, y) 2F(x, y)
xy
C . 联合分布 边缘分布
FY ( y) P{g(X ) y} P{X I} f (x)dx, I {x : g(x) y}
I
(X,Y)连续型, z=g(x,y)为二元连续函数, 则Z=g(X,Y)为连续型
FZ (z) P{g( X ,Y ) z} P{(X ,Y ) } f ( x, y)dxdy,
2Ax, 0 x 1
f
(x)
F'(X
)
0
,
其它
由
1
1
f ( x)dx 2 Axdx A
知道分布函0数，求落在
某A区间1的概率，没有必 要对概率密度积分了，
以下因同为解这法一样麻烦，直接用
分布函数即可.
P72,T17 已知r.vX的概率密度为:
x , 0 x1 f ( x) 2 x , 1 x 2 ,
2 1 1 15 15 5
1 2 3 45
错解： P1 X 2 F2 F1
注：如果X是连续型随机变量，则
P1 X 2 P1 X 2 F2 F1
P71T8 有甲,乙两种味道的酒各4杯,颜色相同。从 中挑4杯便能
将
甲 种酒全部挑出，算是试验成功.
(1)某人随机地去挑,问他试验成功的概率.