浅谈条件概率教学过程的设计

浅谈条件概率教学过程的设计
从狄青的100枚铜币谈起­ ——浅谈条件概率教学过程的设计
汕头市金山中学林琪
条件概率是人教A版选修2-3第二章2.2.1的内容，是学生在已学习古典概型与几何概型的基础上又一类型的概率问题。

条件概率是概率论中的一个重要概念，它是推导独立事件概率公式的前提，也是继续学习事件的独立性等概率知识的基础，正确理解概念是解题的关键，所以学好这一节，对后续概率的学习有着铺垫作用。

而条件概率又是比较难理解的概念，在新课的讲授过程学生总会有这样或那样的疑惑。

下面我就如何把条件概率这节课讲“懂”，使学生真正把知识学好学透彻，浅谈我的一点见解。

1. 寻找条件概率——狄青的100枚铜币
在我们生活的世界上，充满着不确定性，从流星坠落，到大自然的千变万化，从婴儿诞生，到世间万物的繁衍生息，都充满奇异的随机现象。

我们能根据现在预测未来吗？或者一切都能心想事成吗？这可以从狄青的100枚铜币谈起。

话说北宋庆历、皇祐年间，大将狄青奉旨征讨侬智高时，来到桂林以南。

当时南方有崇拜鬼神的风俗，于是，他拿了100枚铜币向神许愿，说：“如果这次出征能够打败敌人，那么把这些铜币扔到地上，钱面定然会全部朝上。

”左右官员都诚惶诚恐，力劝主帅放弃这个念头——因为经验告诉他们，这种尝试是注定要失败的。

他们担心最终弄不好，反而会动摇部队的士气。

可是，狄青对此概然不理，固执如牛。

在千万人的注视下，他突然举手一挥，把铜币全部扔到地上。

结果这100枚铜币的面，竟然鬼使神差般全部朝上。

这时，全军欢呼，声音响彻山村原野。

由于士兵个个认定有神灵护佑，在战斗中奋勇争先，迅速赢得了胜利。

最后回师时，狄青的僚属们一看才发现那些铜币的两面都是一样的。

实际上，聪明的狄青便是注意到人们在观察随机现象时，往往过于相信自身的经验，而忽视了前提条件。

对于狄青来说，100个钱面全部朝上，原本是个必然事件，但在别人看来，却是几乎不可能出现的。

因此，观察一种现象，不能忽视它的前提。

在一种前提下的随机事件，在另一种前提下可能成为必然事件。

同样地，在一种前提下的必然事件，在另一种前提下也可能不出现。

可见，前提不同的话，随机事件的概率可能发生变化。

这也便是我们所要研究的条件概率。

2. 初识条件概率——抽签先后概率一样？
抽签是生活常见的概率问题，也是条件概率中最常见的例子。

抽签先后是否公平，也即各人抽到奖票的概率是否相等，大体有如下一些看法：
(1) 先抽比后抽可能性大。

第一人抽的时候，奖票还在；假如奖票被第一个人抽去了，那后面的人就根本不用抽了。

(2) 后抽比先抽可能性大。

先抽的人概率小，所以先难抽到奖票，而对第二个人来说，这时签纸总数减少了一张，所以抽中的概率变大。

(3) 先后抽的可能性一样。

当每个人抽完签之后都不看或者看了不声张，每个人拿到奖票的可能性是一样的。

这些疑惑估计不止学生存在，或许连一些大人也会觉得很奇怪。

“数学来源于生活，高于生活”，那如何让学生从数学的角度全面来理解此问题呢？实际上，这是与条件概率相关的内容，在此，我们可以借助概率的知识，提出以下问题。

例：假设三张奖券中只有一张能中奖，现分别由三位同学无放回地抽取。

(1) 可用什么模型来表述这个随机试验？
(2) 最后一名同学抽到中奖奖券的概率是否比前两名同学小？如何解释？
(3) 如果已经知道第一名同学没有抽到中奖奖券，那么最后一名同学抽到中奖奖券的概率又是多少？如何解释？
根据学生的生活体验和之前的概率知识，学生可以快速地得出答案，但至于为何是这样的结果，学生也只有一个感性认识。

如果在此没有认真引导学生利用已有的知识进行分析，而直奔下一个主题——条件概率的概念，那会有欲速则不达的效果。

因此，我把问题分成三个小问题，循序渐进，让知识在学生的最近发展区发生，使学生“跳一跳”可以“摘到桃子”。

大部学生都知道每位同学都有的概率抽到中奖奖券，可以想到利用古典概型来描述此问题，因此在求解事件的概率时的方法便是列出基本事件。

分析如下：
若抽到中奖奖券用表示，没有抽到用表示，那么三名同学的抽奖结果可记为，用B表示事件“最后一名同学抽到中奖奖券”，则，由古典概型计算公式可知，最后一名同学抽到中奖奖券的概率为。

而当第一名同学没有抽到中奖奖券的时候，则中奖只可能出现在另外两名同学身上，即能出现的基本事件只有，所以最后一名同学的中奖概率也变大为。

用A表示事件“第一名同学抽到中奖奖券”，则。

这里，我们可以称此时的概率为在第一名同学没有抽到奖券的条件A下，最后一名同学的中奖B事件下的概率，记为。

这样，我们通过对抽奖例子的细致引导，可以使学生对抽签的概率有更全面的了解，也形成对条件概率的初步认识：每一个随机实验都是在一定条件下进行的，而条件概率是指当试验结果的部分信息已经知道的条件下进行的，即在原随机实验的条件下再加上一些附加信息。

另外借助抽奖的模型，学生可以明白在已知第一名同学没有抽到中奖奖券的时候，原来考虑的样本空间里的一些基本事件不可能发生，从而原来的样本空间缩小为可能发生的已知的条件事件A，而此时若要考虑B事件的发生概率，但只能在可能发生的事件A的基础来考虑。

这可以帮助学生形成计算条件概率的基本方法，通过缩小样本空间来考虑。

在此处由于抽签问题是古典概型，可以计算可能发生的基本事件数来求解，即。