2019届北京市清华大学附属中学高三下学期第三次模拟考试数学(文)试题(解析版)

2019届北京市清华大学附属中学高三下学期第三次模拟考试
数学（文）试题
一、单选题
1．若集合
()
1
2
{|2{|0}
x
x x log x a
=-
＞＜，则实数a的值为（）
A．1
2
B．2 C．
2
3
D．1
【答案】A
【解析】根据指数函数与对数函数的性质，利用集合相等的性质列方程求解即可．【详解】
由
3
2
22
x>=，解得
3
2
x>；
由
()
11
22
log0log1
x a
-<=解得1
+
>a
x，
因为
()
1
2
{|2{|0} x
x x log x a
=-
＞＜，
所以
3
1
2
a+=，解得
2
1
=
a．故选A．
【点睛】
本题考查了指数函数与对数函数的性质与应用以及集合相等的性质，意在考查灵活运用所学知识解答问题的能力，是基础题．
2．已知数据是宜昌市个普通职工的年收入，设这个数据的中位数为，平均数为，方差为，如果再加上世界首富的年收入，则这
个数据中，下列说法正确的是（）
A．年收入平均数可能不变，中位数可能不变，方差可能不变
B．年收入平均数大大增大，中位数可能不变，方差变大
C．年收入平均数大大增大，中位数可能不变，方差也不变
D．年收入平均数大大增大，中位数一定变大，方差可能不变
【答案】B
【解析】解：∵数据x1，x2，x3，…，x n是上海普通职工n（n≥3，n∈N）个人的年收入，
而x n+1为世界首富的年收入
则x n+1会远大于x1，x2，x3，…，x n，
故这n+1个数据中，年收入平均数大大增大，
但中位数可能不变，也可能稍微变大，
但由于数据的集中程序也受到x n+1比较大的影响，而更加离散，则方差变大 故选B
3．若椭圆的两个焦点与短轴的一个端点构成一个正三角形，则该椭圆的离心率为（ ） A ．
1
2
B
C
D
【答案】A
【解析】根据椭圆的两个焦点与短轴的一个端点构成一个正三角形，得出2c a =，然后求得离心率2
1
==a c e 即可. 【详解】
由题意，椭圆的两个焦点与短轴的一个端点构成一个正三角形， 即2c a = 所以离心率2
1==a c e 故选A 【点睛】
本题主要考查了椭圆的简单性质，熟悉性质是解题的关键，属于基础题.
4．已知函数f （x ）=21111log x x x x
≥⎧⎪
⎨⎪-⎩，，＜，则不等式f （x ）≤1的解集为（ ）
A ．(],2-∞
B ．(],0(1-∞⋃，2]
C ．[]
0,2
D ．][(
,01,2⎤-∞⋃⎦
【答案】D
【解析】对x 讨论，当x 1≥时，当1x <时，运用分式函数和对数函数的单调性，解不等式，即可得到所求解集． 【详解】
解：当x 1≥时，()1f x ≤，即为：
2log 1x ≤，解得1≤x ≤2；
当1x <时，()1f x ≤，即为：
1
11x
≤-，解得x ≤0．
综上可得，原不等式的解集为][(
,01,2⎤-∞⋃⎦． 故选：D ． 【点睛】
本题考查分段函数的运用：解不等式，注意运用分类讨论的思想方法，以及分式函数和对数函数的单调性，考查运算能力，属于基础题．
5．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（ ）
A ．
2
3
3
π
-
B ．
133
π
- C ．
81633
π- D ．
88
33
π- 【答案】D
【解析】根据三视图可知该几何体是1
4
球挖去一个三棱锥，利用三视图中数据，分别求出
1
4
球与三棱锥的体积，从而可得结果． 【详解】
根据三视图可知，该几何体是半径为2的
1
4
球体挖去一个三棱锥，三棱锥的底面是斜边长为4的等腰直角三角形，高为2，如图所示： 则该几何体的体积为3141188
2422433233
V ππ=⨯⨯-⨯⨯⨯⨯=-,故选D ． 【点睛】
本题考查了利用三视图求棱锥和球体积计算问题，根据三视图的特征找出几何体结构特征是关键．解三视图相关问题的关键在于根据三视图还原几何体，要掌握常见几何体的三视图，比如三棱柱、三棱锥、圆锥、四棱柱、四棱锥、圆锥、球、圆台以及其组合体，并且要弄明白几何体的尺寸跟三视图尺寸的关系；有时候还可以利用外部补形法，将几
何体补成长方体或者正方体等常见几何体.
6．在数列中，已知，且对于任意的，都有，则数列的通项公式为（）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】令m=1得，再利用累加法求数列的通项公式.
【详解】
令m=1,得
，所以.
故选：D
【点睛】
本题主要考查累加法求数列的通项，考查等差数列求和，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.
7．若椭圆和双曲线的共同焦点为，，是两曲线的一个交点，则的值为( )
A．B．84 C．3 D．21
【答案】D
【解析】根据题意作出图像，分别利用椭圆及双曲线定义列方程，解方程组即可求解。

【详解】
依据题意作出椭圆与双曲线的图像如下：
由椭圆方程可得：，
由椭圆定义可得：…（1），
由双曲线方程可得：，，
由双曲线定义可得： (2)
联立方程（1）（2），解得：，
所以
故选：D.
【点睛】
本题主要考查了椭圆及双曲线的定义，还考查了椭圆及双曲线的简单性质，考查计算能力，属于中档题。

8．如图，一块黄铜板上插着三根宝石针，在其中一根针上从下到上穿好由大到小的若干金片．若按照下面的法则移动这些金片：每次只能移动一片金片；每次移动的金片必须套在某根针上；大片不能叠在小片上面．设移完n片金片总共需要的次数为a n，可推得a1=1，a n+1=2a n+1．如图是求移动次数在1000次以上的最小片数的程序框图模型，则输出的结果是（）
A ．8
B ．9
C ．10
D ．11
【答案】C
【解析】执行如图所示的程序框图，直到满足条件结束循环，即可得到输出的结果. 【详解】
由程序框图知，i ＝1时，S=1； i ＝2时,S ＝1×2+1＝3； i ＝3时，S ＝3×2+1＝7； i ＝4时，S ＝7×2+1＝15； i ＝5时，S ＝15×2+1＝31； i ＝6时，S ＝31×2+1＝63； i ＝7时，S ＝63×2+1＝127； i ＝8时，S ＝127×2+1＝255； i ＝9时，S ＝255×2+1＝511； i ＝10时,S ＝511×2+1＝1023； 程序运行结束，输出的结果是i ＝10． 故选：C ． 【点睛】
本题考查循环结构的程序框图的输出结果的计算问题，其中解答中执行循环体，得出每次循环的计算规律是解答的关键，着重考查推理与运算能力，属于基础题.
二、填空题
9．已知向量()()()12113a b x c ===，，，，，，若()
a b c +⊥，则=x ______．
【答案】-10
【解析】先求出(1,3)a b x +=+，然后利用向量垂直数量积为零列方程求解即可. 【详解】
因为()()()12113a b x c ===，，，，，
所以(1,3)a b x +=+； 又
()a b c +⊥；
()190a b c x ∴+⋅=++=；
10x ∴=-，故答案为10-．
【点睛】
本题主要考查向量的运算以及向量垂直的性质，属于基础题. 利用向量的位置关系求参数是出题的热点，主要命题方式有两个：（1）两向量平行，利用12210x y x y -=解答；（2）两向量垂直，利用12120x x y y +=解答.
10．在ABC ∆中，内角,,A B C 所对的边分别为S c b a ,,,为ABC ∆的面积，
()sin A C +=
22
2S
b c
-，且,,A B C 成等差数列，则C 的大小为______． 【答案】
6
π 【解析】由等差中项的性质和三角形的内角和定理可求得B ，由余弦定理和三角形面积
公式，可得2,a c b ==，再由余弦定理求得cos C ，可求得角C 的大小．
【详解】
在ABC ∆中， ,,A B C 成等差数列，可得2B A C B π=+=-，即3
B π
=
，
222sin(A C)S b c +=
-，即为22
sin sin ac B
B b c =-，
即有22b c ac =+，由余弦定理可得ac c a B ac c a b -+=-+=22222cos 2，
即有2,a
c b ==，
222222cos
22a b c C ab +-===
， 由C 为三角形的内角，可得21≥+x
x ，故答案为6π
．
【点睛】
本题主要考查等差中项的性质和三角形的内角和定理、余弦定理和三角形面积公式，属
于中档题．对余弦定理一定要熟记两种形式：（1）A bc c b a cos 2222-+=；（2）
222
cos 2b c a A bc
+-=
，同时还要熟练掌握运用两种形式的条件.另外，在解与三角形、三角函数有关的问题时，还需要记住30,45,60o
o
o
等特殊角的三角函数值，以便在解题中直接应用.
11．设θ为第二象限角，若1tan 42
πθ⎛⎫
+
= ⎪⎝
⎭，则sin cos θθ+=______．
【答案】5
-
【解析】利用两角和的正切公式及特殊角的三角函数求出tan θ的值，再根据θ为第二象限角，利用同角三角函数间的基本关系求出sin θ与θcos 的值，即可求出
sin cos θθ+的值．
【详解】
因为θ为第二象限角，1tan 42
πθ⎛⎫
+
= ⎪⎝
⎭， tan 11tan 41tan 2πθθθ+⎛
⎫∴+== ⎪-⎝⎭，
1
tan 3
θ∴=-，
而22
222
cos 1
cos sin cos 1tan θθθθθ
==++， θ为第二象限角，
cos sin θθ∴====，
则sin cos θθ+=
=，
故答案为. 【点睛】
本题考查了两角和的正切函数公式，以及同角三角函数间的基本关系，属于基础题．三角函数求值有三类，(1)“给角求值”；(2)“给值求值”：给出某些角的三角函数式的值，求另外一些角的三角函数值，解题关键在于“变角”，使其角相同或具有某种关系．(3)“给
值求角”：实质是转化为“给值求值”，先求角的某一函数值，再求角的范围，确定角．12．已知，为单位向量且夹角为，设，，则在方向上的投影为____
【答案】
【解析】本道题目关键掌握好，代入数据，即可得出答案。

【详解】
，
即，又
所以
【点睛】
本道题考查了向量的数量积运算公式和向量的四则运算，注意在上的投影为13．《中国诗词大会》（第三季）亮点颇多，在“人生自有诗意”的主题下，十场比赛每场都有一首特别设计的开场诗词在声光舞美的配合下，百人团齐声朗诵，别有韵味.若《沁园春·长沙》、《蜀道难》、《敕勒歌》、《游子吟》、《关山月》、《清平乐·六盘山》排在后六场，且《蜀道难》排在《游子吟》的前面，《沁园春·长沙》与《清平乐·六盘山》不相邻且均不排在最后，则后六场的排法有__________种．（用数字作答）
【答案】144
【解析】由特殊位置优先处理，先排最后一个节目，共4（种），相邻问题由捆绑法求解即剩余五个节目按A与F不相邻排序，共72（种）排法，
定序问题用倍缩法求解即可B排在D的前面，只需除以即可，
【详解】
《沁园春•长沙》、《蜀道难》、《敕勒歌》、《游子吟》、《关山月》、《清平乐•六盘山》，
分别记为A，B，C，D，E，F，
由已知有B排在D的前面，A与F不相邻且不排在最后．
第一步：在B，C，D，E中选一个排在最后，共4（种）选法
第二步：将剩余五个节目按A 与F 不相邻排序，共72（种）排法，
第三步：在前两步中B 排在D 的前面与后面机会相等，则B 排在D
的前面，只需除以
2即可，
即六场的排法有4×72÷2＝144（种） 故答案为：144． 【点睛】
本题考查了排列、组合及简单的计数原理，属中档题． 14．直线y =x +1是曲线f （x ）=x +1
alnx x
-（a ∈R ）的切线，则a 的值是______． 【答案】1-
【解析】设切点的横坐标为0x ，求出导函数，利用直线1y x =+与曲线()y f x =相切，转化求解切点横坐标以及a 的值即可． 【详解】
解：设切点的横坐标为0x ，
()2022
1111
'11a x ax f x x a x x x a x --=--==⇒=-⇒-=， 则有：()0000000
1
110f x x alnx x lnx x x =+
-=+⇒-+=， 令()()1
1'101h x lnx x h x x x
=-+⇒=
-=⇒=， 则()h x 在()0,1上单调递增，在()1,∞+上单调递减， 又因为()10h =，所以011x a =⇒=-； 故答案为：1-． 【点睛】
本题考查函数的导数的应用，函数的切线方程的求法.考查转化思想以及计算能力．
三、解答题
15．在△ABC 中，3sin A =2sin B
，tanC =
（1）求cos2C ；
（2）若AC -BC =1，求△ABC 的周长． 【答案】（1）18
17
-
；（2
）5+
【解析】（1）先求1
cosC 6
=
，由二倍角公式即可求cos2C ；（2）由题得3a 2b =，解得a,b 值，再由余弦定理求c 边即可求解. 【详解】 （1）
∵tanC =
∴1cosC 6
=
， ∴2
117cos2C 21618⎛⎫=⨯-=- ⎪⎝⎭
. （2）设ΔABC 的内角A,B,C 的对边分别为a,b,c . ∵3sinA 2sinB =，∴3a 2b =，
∵AC BC b a 1-=-=，∴a 2=，b 3=.
由余弦定理可得222c a b 2abcosC 13211=+-=-=，
则c =，ΔABC
的周长为5+. 【点睛】
本题考查正余弦定理解三角形，熟记三角的基本关系式，准确运用余弦定理计算c 边是关键，是基础题.
16．已知正项数列{a n }的前n 项和为2
14411n n n S S a n a ，
，=+-=． （1）求数列{a n }的通项公式； （2）设{a n }是递增数列，11n n n b a a +=⋅，T n 为数列{b n }的前n 项和，若6
n m
T ≤恒成立，
求实数m 的取值范围．
【答案】（1）1n a =或21n a n =-；（2）[3,)+∞
【解析】（1）n ≥2时，4a n ＝4S n ﹣4S n ﹣1，化为：22
1(2)n n a a --=，a n ＞0．化简进而得出．（2）
{a n }是递增数列，取a n ＝2n ﹣1．可得
()()111111212122121n n n b a a n n n n +⎛⎫
=
==- ⎪⋅-+-+⎝⎭
，利用裂项求和方法、数列的单
调性即可得出． 【详解】
（1）2n ≥时，()2
2
1144441411n n n n n a S S a n a n --⎡⎤=-=+--+--⎣⎦，化为：
()
2
2
12n n a a --=，0n
a >.
∴12n n a a --=，或12n n a a -+=，
12n n a a --=时，数列{}n a 是等差数列，()12121n a n n =+-=-. 12n n a a -+=，∵11a =，可得1n a =．
（2）{}n a 是递增数列，∴21n a n =-.()()111111212122121n n n b a a n n n n +⎛⎫
=
==- ⎪⋅-+-+⎝⎭
，
数列{}n b 的前n 项和1111111...23352121n T n n ⎛⎫=
-+-++- ⎪-+⎝⎭
111
12212
n ⎛⎫=-< ⎪+⎝⎭， ∵6n m T ≤
恒成立，∴126
m
≤，解得3m ≥.∴实数m 的取值范围是[)3,+∞. 【点睛】
本题考查了数列递推关系、等差数列的通项公式、裂项求和方法、数列的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
17．如图，在平行四边形ABCD
中，45,2,A AB BC BE AD ∠==
=⊥于点E ，
将ABE ∆沿BE 折起，使90AED ∠=，连接,AC AD ，得到如图所示的几何体．
（1）求证：平面ACD ⊥平面ABC ；
（2）若点P 在线段AB 上，直线PD 与平面BCD 所成角的正切值为
1
5
，求三棱锥BCD P -的体积．
【答案】（1）见解析；（2）
1
12
. 【解析】（1）取AC 中点M ，以,,ED EB EA 所在直线为坐标轴建立空间直角坐标系，利用向量的数量积为零证明,DM AB DM BC ⊥⊥，即可得出⊥DM 平面ABC ，从而可得结论；（2）过P 作3，垂足为N ，连接DN ，则//PN AE ，可得⊥PN 平面
BCDE ，由此PDN ∠为直线PD 与平面BCD 所成的角，利用正切值为15
求出P 到平
面BCDE 的距离，代入体积公式即可得结果． 【详解】
（1）∵BE ⊥AE ，DE ⊥AE ，BE ∩DE =E ， ∴AE ⊥平面BCDE ，
以E 为坐标原点，以ED ，EB ，EA 所在直线为坐标轴建立空间直角坐标系如图： 则A （0，0，1），B （0，1，0），C （2，1，0），D （1，0，0）， 设AC 的中点为M ，则M （1，12，1
2
）， ∴DM =（0，
12，12
），=（0，1，-1），BC =（2，0，0）， ∴DM AB ⋅=0，DM BC ⋅=0， ∴DM ⊥AB ，DM ⊥BC ，
又AB ∩BC =B ，AB ⊂平面ABC ，BC ⊂平面ABC ， ∴DM ⊥平面ABC ， 又DM ⊂平面ACD ， ∴平面ACD ⊥平面ABC ．
（2）过P 作PN ⊥BE ，垂足为N ，连接DN ， 则PN ∥AE ，∴PN ⊥平面BCDE ，
∴∠PDN 为直线PD 与平面BCD 所成的角．
设PN =x ，则BN =x ，故EN =1-x ，∴DN
∴tan ∠PDN =PN
DN
=15，解得x =14，即PN =14．
∵BD ，CD =AB BC =2， ∴BD 2+CD 2=BC 2，∴BD ⊥CD ． ∴S △BCD =
1
2
BD CD ⋅⋅=1，
∴三棱锥P-BCD的体积V=1
3
⋅S△BCD•PN=
11
1
34
⨯⨯=
1
12
．
【点睛】
本题考查来了面面垂直的判定，棱锥的体积计算，属于中档题．解答空间几何体中垂直关系时，一般要根据已知条件把空间中的线线、线面、面面之间垂直关系进行转化，转化时要正确运用有关的定理，找出足够的条件进行推理.
18．手机厂商推出一款6寸大屏手机，现对500名该手机使用者（200名女性，300名男性）进行调查，对手机进行评分，评分的频数分布表如下：
（1）完成下列频率分布直方图，并比较女性用户和男性用户评分的波动大小（不计算具体值，给出结论即可）；
（2）把评分不低于70分的用户称为“评分良好用户”，能否有90%的把握认为“评分良好用户”与性别有关？
参考附表：
参考公式()
()()()()
2
2
n ad bc K a b a c b d c d -=
++++，其中n a b c d =+++
【答案】（1）直方图见解析；女性用户的波动小，男性用户的波动大．（2）有0090的把握.
【解析】（1）利用频数分布表中所给数据求出各组的频率，利用频率除以组距得到纵坐标，从而可得频率分布直方图，由直方图观察女性用户和男性用户评分的集中与分散情
况，即可比较波动大小； （2）利用公式求()
()()()()
2
2n ad bc K a b a c b d c d -=
++++出2K ，
与临界值比较，即可得出结论． 【详解】
（1）女性用户和男性用户的频率分布直方图分别如下左、右图：
由图可得女性用户的波动小，男性用户的波动大． （2）2×2列联表如下图：
2
2
500(14012018060)200300320180
K ⨯-⨯⨯⨯⨯=
≈5.208＞2.706， 所以有
1
2
的把握认为性别和对手机的“认可”有关．
【点睛】
本题考查频率分布直方图的作法及应用，考查独立性检验的应用，是中档题．高考试题对独立性检验的思想进行考查时，一般给出2K 的计算公式，不要求记忆，近几年高考中较少单独考查独立性检验，多与统计知识、概率知识综合考查，频率分布表与独立性检验融合在一起是一种常见的考查形式，一般需要根据条件列出2×2列联表，计算2K 的观测值k ，从而解决问题．
19．已知椭圆()222210x y C a b a b +=：＞＞
，过椭圆的焦点且与长轴垂直
的弦长为1．
（1）求椭圆C 的方程；
（2）设点M 为椭圆上位于第一象限内一动点，A ，B 分别为椭圆的左顶点和下顶点，直线MB 与x 轴交于点C ，直线MA 与轴交于点D ，求证：四边形ABCD 的面积为定值．
【答案】（Ⅰ）2
214
x y +=；
（2）见解析. 【解析】(1)
根据题目所给的条件得到2
2
22221c a
b a a b
c ⎧=⎪
⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎪⎩
解出参数值即可；（2）1
2
ABCD S AC BD =⋅⋅分别设出直线AM 和BM 求出点B ，D 的坐标，并表示出AC ，
BD 的长度，代入面积公式化简即可. 【详解】
（Ⅰ
）由已知可得：2222
21c a
b a a b
c ⎧=⎪
⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎪⎩解得：2
1a b =⎧⎨=⎩；
所以椭圆C 的方程为：2
214
x y +=．
（Ⅱ）因为椭圆C 的方程为：2
214x y +=，所以()2,0A -，()0,1B -．
设()(),0,0M m n m n >>，则2
214
m n +=，即2244m n +=．
则直线BM 的方程为：11n y x m +=-，令0y =，得1
C m
x n =+； 同理：直线AM 的方程为：()22n y x m =++，令0x =，得22
D n
y m =
+． 所以()()()
2
221121212212221ABCD
m n m n S AC BD n m m n ++=⋅⋅=⋅+⋅+=⋅
++++ 2214444814488
2222222
m n mn m n mn m n mn m n mn m n ++++++++=⋅=⋅=++++++． 即四边形ABCD 的面积为定值2． 【点睛】
圆锥曲线中的定点、定值问题是考查的重点，一般难度较大，计算较复杂，考查较强的分析能力和计算能力.求定值问题常见的方法：（1）从特殊入手，求出定值，再证明这个定值与变量无关；（2）直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值.解题时，要将问题合理的进行转化，转化成易于计算的方向. 20．已知函数．
(1)讨论的单调性； (2)当
时，
，求的最大整数值．
【答案】(1)在上单调递减，在上单调递增.(2)2.
【解析】分析：（1）先确定函数的定义域，再求出函数的导数，
，分类讨论，确定和时函数的单调性.
（2）根据题意，转化为时，条件下求参数问题.由（1）可知：①当
时在上单调递增，且，即成立；②
时，即，分析情况同①；③时，即，，构造关于的新函数，判断函数的单调性，确定函数零点位置，而；综上得的最大整数值为.
详解：解：（1）函数的定义域为．
，
当时，，在上单调递增，
当时，令，得，令，得，
在上单调递减，在上单调递增.
（2）由（1）知，当时在上单调递增，
又，所以当时，，满足题意.
由（1）知，当时，在上单调递减，在上单调递增.
若，即，在上单调递增，
所以当时，，满足题意.
若，即，在上单调递减，在上单调递增.
即
令，
，
在上单调递减，
又，，
在上存在唯一零点，
综上所述，的取值范围为，故的最大整数值为.
点睛：本题考查利用导数分析含参函数单调性，应用函数的单调性求恒成立问题的参数，考查了分类讨论思想、转化思想和构造函数法，是一道综合题.
导函数为二次函数的含参函数的单调性分类讨论步骤：
（1）求定义域.
（2）讨论导数的最高项系数，若最高项系数含有参数则需分等于零和不等于零进行讨论；若最高项系数不含参数则此步略.
（3），再结合二次项系数的正负，确定函数单调性;
（4），即有两个零点和，讨论两个零点的大小及其与函数定义域的关系，再结合二次项系数分解出各单调区间，明确单调性.
（5）将分类讨论的情况进行总结.。