《赖因德纸草书》中的古埃及数学问题

数学史话
现在，
纸草书》（Rhind 德纸草书》元前1650年.草书》由英国的赖因德（《赖因德纸草书》.长544厘米，宽33计算手册，全书共列有841.单分数(unit 例外）.在列举84写出将2
n
101+1174+1232
等.2.第1-403.第41-604.第61-84名的是艾森洛尔（1877年).刊行的版的有皮特（年)，高崎升著《古代一、算术运算
简单，应的符号即可.分”（即乘以1
2
）和25（表示1×25=25），作为第12×25=50），以下依次加倍，加到则所得的结果就会（1，2，4，8，…）中选出若干2与16，在其前面都
*号对应的数相加，即得25×其计算过程如下：
只需将运算的步骤倒计算：25×
=450，就要将乘法
450÷25=
.原来的积变
.现在要在右列中选出本例中用的是50、400，在其*号对应的数2、16相加，（包括分数）乘上8等于19，，再写2和16（2×8=16），不必再19.这时，需反过来将
-8,….埃及分数的分子都是1.为-2,-4，加号也省去不写.从右
19，在这些数的旁边标
2，-4,-8.于是有8×2-4-8=
19÷8=2-4-8.这就是商的最后
梁宗巨
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前面所说的计算方法通常适用于除数为偶数的情形.若除数是奇数，需继续平分下去，直到出现很复
杂的数.这时就不要用平分法，需用其他数（如-3,-5,…）去乘除数.
二、代数问题
第24-29题属于现在代数中的一元一次方程问题.图1是第24题，上面是僧侣文，下面是象形文字的
译文.象形文的每个字上面都标有相应的拉丁字母或阿拉伯数码.
图1
此题意译为：“一个量加上它的
1
7
等于19，求这个量.”现在的解法很简单，列成方程x +x
7
=19，解得
x =1658
.原书的解法很麻烦，是用试位法（meth⁃
od of false position ）来解的.先假设一个答案x 1=7，于
是x 1+x 17
=8.如果全式再乘上19
8，等式的右端才是
19.因此正确的答案是198x 1=198⋅7=165
8
=16-2-8.
解题的过程中涉及了乘、除法.设x 1=7之后，计算x 1+x
17=7æè
öø1+17=8.
接着计算19÷8=2-4-8，再将这结果乘以7.
所得的积就是答案.最后还要验根，看看答案加上
它的1
7
是否等于19.
用加法计算比较容易，16-2-82-4-8=18-2-4-4=18-2-2=19.可以看出，
其结果是正确的.在别的纸草书上出现的二次方程问题，也是用试位法来解的.
三、等差、等比数列
试位法还用于求解别的问题.如第40题：“将100个面包分配给5个人（使其成等差数列），且前两个人所
得的是后3人的1
7
.”答案是123,10-2-6,20,29-6,38-3.
2
3
在纸草书中是唯一的非单分数，并且用特别的符号来表示.原题中没有给出“分配给5个人的面包数成等差数列”这个条件，但从结果来看，著者有这样的意图.
解法是假设数列的首项为1，公差5-2，于是5人
各得1,6,-2,12,17-2,23个面包，其总和等于60.将所
有数字都乘以100/60，即得所求的答案.为什么要设首
项为1（也许是为了简单），公差为5-2原书没有说明，后人作了一些合理的猜想.
德国数学家康托尔（Cantor ）认为：若首项为1，公差是d ，则按条件可列成方程7（1+1+d ）=（1+2d ）+
（1+3d ）+（1+4d ），自然就推得d =5-2.
问题在于当时的埃及人还不懂得列方程，否则就会直接列方程求解而不必绕个大弯子，用试位法求解.蔡斯（A.B.Chacc ）作出如下的解释：设首项为1，公差也为1，则5个数是1、2、3、4、5.前两数和的7倍（7×3=21）比后3数之和多9，若将公差改为2，则前两数和的
7倍（7×4=28）比后3数的和（5+7+9=21）多7.即公差增加1，差数（前两数和的7与后3数和之差）减少2.现问公差增加多少，才能使差数为0（即符合题设）？答案
应该是9÷2=4-2，加上原设的公差1，即得5-2.该方法虽然冗长一些，但更符合当时人们的数学水平和计算习惯.
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