大学物理：坐标散度旋度梯度

divA A
哈密顿
xˆ yˆ zˆ x y z
拉普拉斯2
2 x2
2 y 2
2 z 2
divA 0 正源
divA 0 负源
divA 0 无源
散度的基本运算公式
•C 0
k A k A
C为常矢量 k为常数
A B A B u A u A A u
u为标量
散度定理 The divergence theorem
六面体的体积
矢量三重积: Vector triple production
A (B C) B( AC) C( A B)
公式右边为“BAC-CAB”, 故称为“Back -Cab”法则, 以便记忆。
三种正交坐标系 直角坐标系
矢量A三个坐标分量 Ax , Ay , Az 三个单位矢量： xˆ, yˆ, zˆ
x y z
l x l y l z l
cos cos cos
x
y
z
梯度 gradient
1. 是一个矢量
2. 的模就是在给定点的最大方向导数 3. 方向就是该具有最大方向导数的方向, 亦即的变
化率最大的方向。
grad xˆ yˆ zˆ
x y z
xˆ
x
yˆ
( )
( )
1
2
(
)
f ( ) f '( )
0
2 2 2 2
x2 y2 z2
2、梯度的物理意义
1)、标量场的梯度为一矢量，且是坐标位置的函数；
2)、标量场的梯度表征标量场变化规律：其方向为标量场 增加最快的方向，其幅度表示标量场的最大增加率。
梯度的重要性质
场，反之亦然。
环量与旋度, 斯托克斯定理
Curl, circulation, The Stokes’s theorem
环量 Curl of a vector field
矢量A沿某封闭曲线的线 积分, 定义为A沿该曲线的环 量(或旋涡量), 记为
l A dl
旋度的定义和运算
1、定义：
为反映给定点附近的环量情况, 我们把封闭曲线收小, 使它包围的 面积ΔS趋近于零, 取极限
lim l A dl
S0 S
这个极限的意义就是环量的面密度, 或称环量强度。
由于面元是有方向的, 它与封闭曲线l的绕行方向成右手螺旋关系, 因此在给定点处, 上述极限值对于不同的面元是不同的。 为此, 引入旋度( curl或rotation ):
Curl
z z O
zˆ
ˆ ˆP(,,z)
y
球坐标系 Spherical coordinate system
矢量P三个坐标分量 r, ,
三个单位矢量： ˆ,ˆ, zˆ
遵循右旋法则: rˆ ˆ ˆ
x
各物理量的变化范围：
z
rˆ
θ
Or
ˆ
ˆ
P(r,θ,)
y
0 r
0 0 2
图 1 -9 球面坐标系
xˆ A×B各分量的下标次序具有规律性。例如, 分量第一项是y→z,
其第二项下标则次序对调: z→y, 依次类推。并有
xˆ yˆ zˆ A B Ax Ay Az
Bx By Bz
三重积
A
B
C
矢量的三连乘也有两种。
标量三重积: Scalar triple production
A (B C) B (C A) C ( A B)
体积元： dv dlxdlydlz dx dy dz
柱坐标： 面积元：
ds dldlz ddz ds dldlz ddz
dsz dldl dd
体积元： dv dldldlz d d dz
球坐标：
面积元：
dsr dl dl r2 sindd ds dlrdl r sindrd
ˆ xˆ sin yˆ cos ˆ xˆ cos cos yˆ cos sin zˆ sin
xˆ rˆ sin cos yˆ rˆ sin sin zˆ rˆ cos
矢量表示及相关物理量的表示
矢量表示： 直角坐标系： 柱坐标系： 球坐标系：
A xˆAx yˆAy zˆAz
A B A B cosaAB
特点： 1、
A B B A 它符合交换律:
2、
❖|B|cosAB是矢量B在矢量A上的投影， |A|cosAB是矢量A 在矢量B上的投影。
❖B矢量在A矢量上的投影（或者说矢量B 在A 上的分量） 等于A•B/|A|
3、
xˆ yˆ yˆ zˆ zˆ xˆ 0
物理量的表示
• 矢量：大写黑体斜体字母
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱAA
大写斜体字母加表示矢量的符号
• 标量：小写斜体字母 u
•
单位矢量：小写上加倒勾
ex
矢量表示
若一个矢量在三个相互垂 直的坐标轴上的分量已知, 这 个矢量就确定了。 例如在直角 坐标系中, 矢量A的三个分量模 值分别是Ax , Ay , Az, 则
A xˆAx yˆAy zˆAz
矢量方向和大小
A的单位矢量 Unit vector
Aˆ A xˆ Ax yˆ Ay zˆ Az AA AA
xˆ cosa yˆ cos zˆ cos
矢量的模 Magnitude of vector
A Ax2 Ay2 Az2
矢量加减
和或差: Vector addition or subtraction
B xˆBx yˆBy zˆBz
则
A B xˆ( Ax Bx ) yˆ( Ay By ) zˆ( Az Bz )
图 1 -2 矢量的相加和相减
标量积，矢量积，三重积
矢量的相乘有两种定义: 标量积(点乘)和矢量积(叉乘)。
一、标量积 Dot production 定义：标量积A·B是一标量, 其大小等于两个矢量模值相 乘, 再乘以它们夹角αAB(取小角, 即αAB≤π)的余弦:
矢量的散度代表其通量的体密度, 因此, 矢量场散度的体 积分等于该矢量穿过包围该体积的封闭面的总通量, 即
V Adv A ds
上式称为散度定理, 也称为高斯公式。
散度定理的物理意义：
❖从数学角度可以认为高斯定理建立了面积分和体积分的关系。
❖从物理角度可以理解为高斯定理建立了区域 V 中的场和包围区 域 V 的闭合面 S 上的场之间的关系。 ❖如果已知区域 V 中的场，根据高斯定理即可求出边界 S 上的
三种坐标的变换
三种坐标间的变换
直角坐标－柱坐标
ˆ xˆ cos yˆ sin ˆ xˆ sin yˆ cos zˆ zˆ
xˆ ˆ cos ˆ sin yˆ ˆ sin ˆ cos zˆ zˆ
直角坐标－球坐标
rˆ xˆ sin cos yˆ sin sin zˆ cos
关系, 为nAˆ , B所在平面的右手法向 :
A B nˆ A B sin aAB
特点： 1、它不符合交换律。 由定义知,
A B (B A)
2、 xˆ xˆ yˆ yˆ zˆ zˆ 0 xˆ yˆ zˆ, yˆ zˆ xˆ, zˆ xˆ yˆ
A B (xˆAx yˆAy zˆAz ) (xˆBx yˆBy zˆBz ) xˆ( Ay Bz Az By ) yˆ( Az Bx AxBx ) zˆ( Ax By Ay Bx )
y
zˆ
z
lˆ | | cos(,lˆ)
l
密勒算子
uˆ1
h1u1
uˆ2
h2u2
uˆ3
h3u3
直角坐标： xˆ yˆ zˆ x y z
柱坐标： ˆ ˆ 1 zˆ z
球坐标：
rˆ ˆ 1 ˆ 1 r r sin
梯度运算规则:
divA lim S AdS ΔV 0 ΔV
divA A
2、散度的物理意义 1) 矢量场的散度代表矢量场的通量源的分布特性； 2) 矢量场的散度是一个标量； 3) 矢量场的散度是空间坐标的函数；
3、直角坐标系中散度的表示
divA Ax Ay Az x y z
散度可用算符 哈密顿 表示为
直角坐标： dlx dx, dly dy, dlz dz
柱坐标： dl d, dl d , dlz dz
球坐标： dlr dr, dl rd , dl r sin d
度量系数(拉梅系数)： 每个坐标长度增量同各自坐标增量之比, 称为度量系数, 又称拉 梅(G .Lame)系数, 分别为
在直角坐标系中，通量可以写成
ψ AdS Axdydz Aydzdx Azdxdy
S
S
散度 Divergence of a vector field
1、定义：当闭合面 S 向某点无限收缩时，矢量 A 通过该闭合面S 的 通量与该闭合面包围的体积之比的极限称为矢量场 A 在该 点的散度，以 div A 表示，即
矢量分析
➢ 矢量表示法 ➢ 通量与散度，散度定理 ➢ 环量与旋度，斯托克斯定理 ➢ 方向倒数与梯度，格林定理
基本要求
直角坐标，柱坐标，球坐标，三种坐标系的转换 曲面坐标系中矢量的表示方法 矢量的代数运算及其物理意义，矢量积、标量积 曲面坐标系中，散度、旋度的表示 曲面坐标系中，线元、面积元、体积元的表示 散度（散度定理），旋度（斯托克斯公式），梯度（格林定理）
ds dlrdl rdrd
体积元： dv dlrdldl r2 sin dr d d
方向导数与梯度, 格林定理
一、方向导数与梯度 方向导数 标量场φ(x, y, z)在某点沿l方向的变化率称为φ
沿该方向的方向导数 / l。它的值与所选取的方向 lˆ 有关, 设
lˆ xˆ cos yˆ cos zˆ cos
互相垂直的两个矢量的点积为0
xˆ xˆ yˆ yˆ zˆ zˆ 1
4、 A B Ax Bx Ay By Az Bz A A Ax2 Ay2 Az2 A 2
二、矢量积 Cross production 定义：矢量积A×B是一个矢量, 其大小等于两个矢量的模值
相乘, 再乘以它们夹角αAB(≤π)的正弦, 其方向与A , B成右手螺旋
直角坐标：
h1
dlx dx
1, h2
dly dy
1, h3
dlz dz
1
柱坐标：
h1
dl
d
1, h2
dl
d
, h3
dlz dz
1
球坐标：
h1
dlr dr
1, h2
dl
d
r, h3
dl
d
r sin
面积元和体积元：
与三个单位矢量相垂直的三个面积元和体积元分别是 直角坐标：
面积元：
dsx dlydlz dydz dsy dlxdlz dxdz dsz dlxdly dxdy
通过闭合面S的通量的物理意义：
a) 若 ψ 0 ，穿出闭合曲面的通量多于穿入的通
量，闭合面内有产生矢量线的正源；例如，静电场 中的正电荷就是发出电力线的正源；
b) 若 ψ 0 ，穿出闭合曲面的通量少于穿入的通
量，闭合面内有吸收矢量线的负源；静电场中的负 电荷就是接受电力线的负源；
c) 若 ψ 0 ，闭合面无源。
矢量场的通量
定义：若矢量场A分布于空间中，在空间中存在 任意曲面S，则
S A dS
为矢量 A 沿有向曲面S 的通量。
若S 为闭合曲面
SA dS
物理意义：表示穿入和穿出闭合面S的矢量通量的代数和。
矢量场的通量
在电场中，电位移矢量在某一曲面上的面积分就是矢量通过该曲面的电通量； 在磁场中，磁感应强度在某一曲面上的面积分就是矢量通过该曲面的磁通量。
u 0
❖任一标量场 的梯度的旋度一定等于零。
❖任一无旋场一定可以表示为一个标量场的梯度 ❖任何梯度场一定是无旋场。
A 0 A u
通量与散度, 散度定理
Flux, divergence of a vector field, divergence theorem
矢量场的空间变化规律通常用散度和旋度描述
A ˆ A ˆ A zˆAz A rˆAr ˆA ˆA
位置矢量
以坐标原点为起点, 指向P点的矢量r, 称为P点的位置矢量或矢径。
直角坐标系： 柱坐标系: 球坐标系：
r xˆx yˆy zˆz r ˆ zˆz
r rˆr
长度增量(长度元)
矢量在P点的任意的增量dl，沿三个坐标方向的长度增量
彼此正交，顺序遵循右手螺旋定则
各物理量的变化范围：
x y z
圆柱坐标系Cylindrical coordinate system
矢量P三个坐标分量 ,, z
三个单位矢量：ˆ,ˆ, zˆ
正交, 右手螺旋法则: ˆ ˆ zˆ
各物理量的变化范围：
0
x
0 2
z