上海长宁中学必修一第三单元《指数函数和对数函数》测试题(含答案解析)

一、选择题
1．下列各组函数中，表示同一个函数的是（）
A．
21
1
x
y
x
-
=
-
与1
y x
=+B．y x
=与log x
a
y a
=（0
a>且1
a≠）C．21
y x
=-与1
y x
=-D．lg
y x
=与2
1
lg
2
y x
=
2．高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，他和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：设x∈R，用[]x表示不超过x的最大整数，则[]
y x
=称为高斯函数，例如：35]4
[--
．＝，[]
2.12
＝，已知函数
21
()
12
x
x
e
f x
e
=+
+
，()[()]
g x f x
=，则下列叙述正确的是（）
A．()
g x是偶函数B．()
f x在R上是增函数
C．()
f x的值域是
1
,
2
⎛⎫
-+∞
⎪
⎝⎭
D．()
g x的值域是{1,0,1}
-
3．已知函数()()
2
log23
a
f x x x
=--+，若()00
f<，则此函数的单调递增区间是
（）
A．(]
,1
-∞-B．[)
1,
-+∞C．[)1,1
-D．(]
3,1
--
4．函数()
()2
21lg
21
x
x
x
f x
-
=
+
的部分图象大致为（）
A．
B．
C．
D ．
5．已知定义在R 上的函数()f x 满足()()2f x f x +=，且当[)1,1x ∈-时，
()2f x x =，若函数()log 1a g x x =+图象与()f x 的图象恰有10个不同的公共点，则实
数a 的取值范围为（ ） A ．()4,+∞ B ．()6,+∞ C ．()1,4
D ．()4,6
6．函数
()2
13
log 23y x x =-++的单调递增区间是（ ） A ．(]1,1- B ．(1)∞－，
C ．[) 1,3
D ．(1
)∞，＋ 7．一种放射性元素最初的质量为500g ，按每年10%衰减．则这种放射性元素的半衰期为（ ）年.（注：剩余质量为最初质量的一半，所需的时间叫做半衰期），（结果精确到
0.1，已知lg 20.3010=，lg30.4771=）
A ．5.2
B ．6.6
C ．7.1
D ．8.3
8．已知函数()()()2
331log 6log 1y x a a x x =--++在[]0,1x ∈内恒为正值，则实数a 的取值范围是（ ） A ．
1
33
a << B ．3a > C ．
31
33
a << D ．3
3a >
9．函数2y 34
x x =
--+的定义域为（ ）
A ．(41)--，
B ．(41)-，
C ．(11)-，
D ．(11]
-， 10．函数()log (3)a f x ax =-在
[]13，
上单调递增，则a 的取值范围是（ ） A ．()1+∞， B ．()01，
C ．103⎛
⎫ ⎪⎝⎭
，
D ．()3
+∞， 11．函数2
ln 8
x y x =-的图象大致为（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
12．如果函数(0,1)x y a a a =>≠的反函数是增函数，那么函数log (1)a y x =-+的图象大致是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
二、填空题
13．已知函数()2log f x x =，正实数m ，n 满足m n <，且()()f m f n =，若()f x 在区间2
,m n ⎡⎤⎣⎦上的最大值为2，则m n +=________.
14．已知函数
()()2
12
log 23f x x ax =-+，若函数的增区间是(),1-∞，则实数a =______. 15．设函数2()ln(1)f x x x =++，若()2
3(21)0f a f a +-<，则实数a 的取值范围为
_____.
16．已知()f x 是定义在R 上的奇函数，且当0x 时，2log (1),01,
()31,1,x x f x x x +<⎧=⎨--⎩
则方
程1
()2
f x =
的所有实根之和为________. 17．如图，在面积为2的平行四边形OABC 中，AC CO ⊥，AC 与BO 交于点E .若指数函数()01x
y a
a a =>≠,经过点E ，B ，则函数()a
f x x x
=-
在区间[]1,2上的最小值为________.
18．下列五个命题中：
①函数log (21)2015(0a y x a =-+>且1)a ≠的图象过定点()1,2015； ②若定义域为R 函数()f x 满足：对任意互不相等的1x 、2x 都有
()()()12120x x f x f x -->⎡⎤⎣⎦，则()f x 是减函数；
③2(1)1f x x +=-，则2()2f x x x =-；
④若函数22()21
x x
a a f x ⋅+-=+是奇函数，则实数1a =-； ⑤若log 8
(0,1)log 2
c c a c c =
>≠，则实数3a =. 其中正确的命题是________.（填上相应的序号）. 19．已知2312a b ==，则
21
a b
+=_______． 20．已知奇函数()()y f x x R =∈满足：对一切x ∈R ，()()11f x f x +=-且[]0,1x ∈时，()1x
f x e =-，则()2019f f =⎡⎤⎣⎦__________.
三、解答题
21．已知函数()log (31)a f x x =+，()log (13)a g x x =-(0a >且1)a ≠． （1）求()()()F x f x g x =-的定义域； （2）判断函数()F x 的奇偶性；
（3）若()()0f x g x ->，求x 的取值范围． 22．已知2()log (1)f x x =-.
（1）若00(1)(1)0f x f x ++-=，求0x 的值； （2）记()()(6)g x f x f x =+-，
①求()g x 的定义域D ，并求()g x 的最大值m ； ②已知3
2222
4log 2log 2b
a
b
a a
b b
++=++
-，试比较b 与ma 的大小并说明理由. 23．已知函数()22x x f x k -=+. （1）若()f x 为偶函数，求实数k 的值；
（2）若()4f x 在2[log x m ∈，2log (2)](m m +为大于0的常数)上恒成立，求实数k 的最小值.
24．若函数()()()331x
f x k a b a =++->是指数函数
（1）求k ，b 的值；
（2）求解不等式()()2743f x f x ->-
25．已知集合{|123}A x m x m =-≤≤+，函数(
)
2
()lg 28f x x x =-++的定义域为B ．
（1）当2m =时，求A B 、()R A B ⋂；
（2）若A
B A =，求实数m 的取值范围．
26．函数()2
lg 34y x x
=-+的定义域为M ，x M ∈，求()2
2
34x x f x +=-⨯的最值.
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一、选择题 1．B 解析：B 【分析】
分析各个选项中每组函数的定义域和对应关系，若定义域和对应关系均相同则为同一个函数，由此判断出正确选项. 【详解】
A ．21
1
x y x -=-的定义域为{}
1x x ≠，1y x =+的定义域为R ，所以不是同一个函数；
B ．y x =与log x
a y a =的定义域均为R ，且log x
a y a =即为y x =，所以是同一个函
数；
C ．y =(]
[),11,-∞-+∞，1y x =-的定义域为R ，所以不是同一个
函数；
D ．lg y x =的定义域为()0,∞+，21
lg 2
y x =的定义域为{}0x x ≠，所以不是同一个函数， 故选：B. 【点睛】
思路点睛：同一函数的判断步骤：
（1）先判断函数定义域，若定义域不相同，则不是同一函数；若定义域相同，再判断对应关系；
（2）若对应关系不相同，则不是同一函数；若对应关系相同，则是同一函数.
2．B
解析：B 【分析】
计算(2),(2)g g -得出()()22g g ≠-判断选项A 不正确；通过分离常数结合复合函数的单
调性，可得出()f x 在R 上是增函数，判断选项B 正确；由x
y e =的范围，利用不等式的关
系，可求出
15
()22
f x <<，进而判断选项CD 不正确，即可求得结果.
对于A ，根据题意知，2152
()1221x x x
e f x e e =+=-
++. ∵2
5
2(2)[(2)]221g f e ⎡⎤==-
=⎢⎥+⎣⎦
， 22
22121(2)[(2)]01212e g f e e --⎡⎤⎡⎤
-=-=+=+=⎢⎥⎢⎥++⎣
⎦⎣⎦， (2)(2)g g ∴≠-，∴函数()g x 不是偶函数，故A 错误；
对于B ，
1x y e =+在R 上是增函数，则2
1x
y e =
+在R 上是减函数，则52()21x f x e
=
-+在R 上是增函数，故B 正确； 对于C ，
0x
e >，11x e ∴+>，2202,20,11x x
e e <
<-<-<++ 15
()22
f x ∴<<，即()f x 的值域是15,22⎛⎫
⎪⎝⎭
，故C 错误； 对于D ，()f x 的值域是15,22⎛⎫
⎪⎝⎭
，则()g x 的值域是{0,1,2}，故D 错误. 故选：B. 【点睛】
本题要注意对函数的新定义的理解，研究函数的单调性和值域常用分离常数，属于较难题.
3．C
解析：C 【分析】
由()00f <求得01a <<，求出函数()f x 的定义域，利用复合函数法可求得函数()f x 的单调递增区间. 【详解】
由题意可得()0log 30log 1a a f =<=，01a ∴<<.
对于函数()()
2
log 23a f x x x =--+，2230x x --+>，可得2230x x +-<，解得
31x -<<.
所以，函数()f x 的定义域为()3,1-.
由于内层函数223u x x =--+在区间(]3,1--单调递增，在区间[
)1,1-单调递减. 外层函数log a y u =单调递减，
由复合函数法可知，函数()f x 的单调递增区间为[
)1,1-. 故选：C.
方法点睛：函数单调性的判定方法与策略：
（1）定义法：一般步骤：设元→作差→变形→判断符号→得出结论；
（2）图象法：如果函数()f x 是以图象的形式给出或者函数()f x 的图象易作出，结合图象可得出函数的单调区间；
（3）导数法：先求出函数的导数，利用导数值的正负确定函数的单调区间； （4）复合函数法：先将函数()y f g x ⎡⎤=⎣⎦分解为内层函数()u g x =和外层函数
()y f u =，再讨论这两个函数的单调性，然后根据复合函数法“同增异减”的规则进行判定. 4．B
解析：B 【分析】
求出函数()f x 的定义域，分析函数()f x 的奇偶性及其在区间()0,1上的函数值符号，进而可得出合适的选项. 【详解】 函数()
()22
1lg 21
x
x
x f x -=
+的定义域为{}
0x x ≠，
()()()
()()
()()2
2
2
21lg 221lg 12lg 21
12221x x x x
x x
x
x
x x x f x f x ---------=
=
=
=-+++，函数()f x 为
奇函数，
当01x <<时，201x <<，则2
lg 0x <，210x ->，210x +>，()0f x ∴<.
因此，函数()f x 的图象如B 选项中的图象. 故选：B. 【点睛】
函数图象的辨识可从以下方面入手： （1）从函数的定义域，判断图象的左右位置； （2）从函数的值域，判断图象的上下位置． （3）从函数的单调性，判断图象的变化趋势； （4）从函数的奇偶性，判断图象的对称性； （5）从函数的特征点，排除不合要求的图象.
5．D
解析：D 【分析】
转化条件为函数()f x 是周期为2的周期函数，且函数()g x 、()f x 的图象均关于1x =-对称，由函数的对称性可得两图象在1x =-右侧有5个交点，画出图象后，数形结合即可得解.
因为函数()f x 满足()()2f x f x +=，所以函数()f x 是周期为2的周期函数， 又函数()log 1a g x
x =+的图象可由函数log a y x =的图象向左平移一个单位可得， 所以函数()log 1a g x x =+的图象的对称轴为1x =-，
当[)1,1x ∈-时，()2
f x x =，所以函数()f x 的图象也关于1x =-对称，
在平面直角坐标系中作出函数()y f x =与()y g x =在1x =-右侧的图象，
数形结合可得，若函数()log 1a g x x =+图象与()f x 的图象恰有10个不同的公共点， 则由函数图象的对称性可得两图象在1x =-右侧有5个交点，
则()()13log 415log 61
a a a g g ⎧>⎪
=<⎨⎪=>⎩
，解得()4,6a ∈. 故选：D. 【点睛】
关键点点睛：解决本题的关键是函数的周期性、对称性及数形结合思想的应用.
6．C
解析：C 【分析】
由不等式2230x x -++>，求得函数的定义域()1,3-，令()2
23g x x x =-++，得到
()g x 在区间(]1,1-上单调递增，在区间[1,3)上单调递减，结合复数函数的单调性的判定
方法，即可求解. 【详解】
由题意，函数
213
()log 23y x x =-++有意义，则满足2230x x -++>， 即2
23(3)(1)0x x x x --=-+<，解得13x
，即函数的定义域为()1,3-，
令()2
23g x x x =-++，则函数()g x 表示开口向下，对称轴方程为1x =的抛物线， 所以函数()g x 在区间(]1,1-上单调递增，在区间[1,3)上单调递减，
又由函数
13
log y x =在定义上是递减函数，
结合复数函数的单调性的判定方法，可得函数
2
13
()log 23y x x =-++的递增区间为[1,3). 故选：C. 【点睛】
函数单调性的判定方法与策略：
定义法：一般步骤：设元→作差→变形→判断符号→得出结论；
图象法：如果函数()f x 是以图象形式给出或函数()f x 的图象易作出，结合图象可求得函数的单调区间；
导数法：先求出函数的导数，利用导数值的正负确定函数的单调区间；
复合函数法：先将函数(())y f g x =分解为()y f t =和()t g x =，再讨论这两个函数的单调性，最后根据复合函数“同增异减”的规则进行判定.
7．B
解析：B 【分析】
先根据题意列出关于时间的方程，然后利用指对互化以及对数换底公式并结合所给数据可计算出半衰期. 【详解】
设放射性元素的半衰期为x 年，所以()500110%250x
-=， 所以()1110%2x
-=，所以0.91log 2
x =，所以
109log 2x =， 所以lg 2lg10lg9x =
-，所以lg 212lg 3x =-，所以0.3010
120.4771
x =-⨯，所以 6.6x ≈，
故选：B. 【点睛】
思路点睛：求解和对数有关的实际问题的思路： （1）根据题设条件列出符合的关于待求量的等式；
（2）利用指对互化、对数运算法则以及对数运算性质、对数换底公式求解出待求量的值.
8．C
解析：C 【分析】
令()()()22333log 6log 11log g x a a x a ⎡⎤=-++-⎣⎦，由题意得出()()0010g g ⎧>⎪⎨>⎪⎩
，可得出关于实数a 的不等式组，由此可解得实数a 的取值范围.
【详解】
令()()()22
333log 6log 11log g x a a x a ⎡⎤=-++-⎣⎦
，
由题意可得()()()
()2
3301log 0
126log 0g a g a ⎧=->⎪⎨=->⎪⎩，
可得311log 3
a -<<
，解得1
3a <<
故选：C. 【点睛】
思路点睛：求解一次函数不等式在区间上恒成立，一般限制一次函数在区间上的端点函数值符号即可，即可得出关于参数的不等式，求解即可.
9．C
解析：C 【解析】
要使函数有意义，需使210{340x x x +>--+>，即1
{41
x x >--<<，所以1 1.x -<<
故选C
10．D
解析：D 【分析】
由题意可得可得1a >，且30a ->，由此求得a 的范围． 【详解】 解：
函数()log (3)a f x ax =-在
[]13，
上单调递增，而函数()3t x ax =-在[]13，上单调递增，根据复合函数的单调性可得1a >，且30a ->，解得3a >，即()3a ∈+∞，
故选：D ． 【点睛】
本题主要考查对数函数的定义域、单调性，复合函数的单调性，属于基础题．
11．D
解析：D 【分析】
先根据偶函数性质排除B ，再考虑当0x >且0x →时，y →+∞，排除A.再用特殊值法排除C ，即可得答案. 【详解】
解：令()2
ln 8
x f x y x ==-，则函数定义域为{}0x x ≠ ，且满足()()f x f x -=，故
函数()f x f (x )为偶函数，排除选项B ； 当0x >且0x →时，y →+∞，排除选项A ；
取特殊值x =
1ln 1ln 0y e =-<-=，排除选项C. 故选：D.
【点睛】
本题考查利用函数解析式选函数图象问题，考查函数的基本性质，是中档题.
12．C
解析：C 【分析】
由题意求得1a >，再结合对数函数的图象与性质，合理排除，即可求解. 【详解】
因为函数(0,1)x y a a a =>≠的反函数是增函数，可得函数x y a =为增函数，所以1a >， 所以函数log (1)a y x =-+为减函数，可排除B 、D ； 又由当0x =时，log (01)0a y =-+=，排除A. 故选：C. 【点睛】
本题主要考查了指数函数和对数函数的图象与性质的应用，其中解答中熟记指数函数和对数函数的图象与性质，以及指数函数与对数的关系是解答的关键，着重考查推理与运算能力.
二、填空题
13．【分析】先画出函数图像并判断再根据范围和函数单调性判断时取最大值最后计算得到答案【详解】如图所示：根据函数的图象得所以结合函数图象易知当时在上取得最大值所以又所以再结合可得所以故答案为：【点睛】本题
解析：5
2
【分析】
先画出函数图像并判断01m n <<<，再根据范围和函数单调性判断2x=m 时取最大值，最后计算得到答案. 【详解】
如图所示：根据函数2()log x f x =的图象
得01m n <<<，所以201m m <<<．结合函数图象，
易知当2x=m 时()f x 在2,m n ⎡⎤⎣⎦
上取得最大值，所以()
2
22log 2f m m == 又01m <<，所以12
m =
， 再结合()()f m f n =，可得2n =，所以21522
m n +=
+=.
故答案为：52
【点睛】
本题考查对数型函数的图像和性质、函数的单调性的应用和最值的求法，是中档题.
14．1或2【分析】因为函数在上单调递减要使的单调增区间为分两种情况讨论对称轴和对称轴分别计算可得；【详解】解：因为函数在上单调递减要使的单调增区间为①当函数对称轴为时因为所以恒成立满足条件②当函数对称轴
解析：1或2 【分析】
因为函数12
log y x =在()0,∞+上单调递减，要使
()()
2
12
log 23f x x ax =-+的单调增区间为(),1-∞，分两种情况讨论，对称轴1x =和对称轴1x a =>，分别计算可得； 【详解】
解：因为函数12
log y x =在()0,∞+上单调递减，要使
()()
2
12
log 23f x x ax =-+的单调增区间为(),1-∞，
①当函数()2
23g x x x a =-+对称轴为1x a ==时，因为()2
2430∆=--⨯<，所以
2230x ax -+>恒成立，满足条件，
②当函数()2
23g x x x a =-+对称轴1x a =>时，需满足()10g =，即21230a -+=解
得2a =；综上可得1a =或2 故答案为：1或2 【点睛】
本题考查复合函数的单调性判断，已知函数的单调性求参数的取值范围，属于中档题.
15．【分析】根据已知可得为奇函数且在上单调递增不等式化为转化为关于自变量的不等式即可求解【详解】的定义域为是奇函数设为增函数在为增函数在为增函数在处连续的所以在上单调递增化为等价于即所以实数的取值范围为
解析：1
(1,)3
-
【分析】
根据已知可得()f x 为奇函数且在R 上单调递增，不等式化为()
2
3(12)f a f a <-，转化为
关于自变量的不等式，即可求解. 【详解】
()f x 的定义域为R ，
()()))ln10f x f x x x +-=+==，
()f x ∴是奇函数，设,[0,)()x u x x =∈+∞为增函数，
()f x 在[0,)+∞为增函数，()f x 在(,0)-∞为增函数， ()f x 在0x =处连续的，所以()f x 在R 上单调递增，
()23(21)0f a f a +-<，化为()23(12)f a f a <-，
等价于2312a a <-，即2
13210,13
a a a +-<-<<， 所以实数a 的取值范围为1(1,)3
-. 故答案为: 1(1,)3
- 【点睛】
本题考查利用函数的单调性和奇偶性解不等式，熟练掌握函数的性质是解题的关键，属于中档题.
16．【分析】画出分段函数的图像根据图像结合解析式进行求解【详解】根据分段函数的解析式以及函数为奇函数作图如下：由图容易知因为在区间上关于对称且在区间上关于对称故其与直线的所有交点的横坐标之和为0故所有根 解析：21-
【分析】
画出分段函数的图像，根据图像，结合解析式，进行求解. 【详解】
根据分段函数的解析式，以及函数为奇函数，作图如下：
由图容易知，因为31y x =--在区间[
)1,+∞上，关于3x =对称， 且31y x =---+在区间(]
,1-∞上，关于3x =-对称， 故其与直线1
2
y =的所有交点的横坐标之和为0. 故1
()2
f x =
所有根之和，即为当()0,1x ∈时的根， 此时()21
log 12
x +=
，解得21x =. 21. 【点睛】
本题考查函数图像的交点，涉及函数图像的绘制，函数奇偶性的应用，属函数综合题.
17．【分析】设点则点B 的坐标为由题意得则再根据平行四边形的面积求得由此得得函数的解析式从而得函数的的单调性与最值【详解】解：设点则点B 的坐标为∵∴∵平行四边形OABC 的面积又平行四边形OABC 的面积为2 解析：3-
【分析】
设点()
,t
E t a ，则点B 的坐标为(
)2,2t
t a ，由题意得22t
t a
a =，则2t a =，再根据平行四
边形的面积求得1
2
t =，由此得4a =，得函数()f x 的解析式，从而得函数()f x 的的单调性与最值． 【详解】
解：设点()
,t
E t a ，则点B 的坐标为(
)2,2t
t a ，
∵22t t a a =，∴2t a =，
∵平行四边形OABC 的面积24t S OC AC a t t =⨯⨯==， 又平行四边形OABC 的面积为2，
∴42t =，1
2t =
，所以122a =，4a =， ∴()4
f x x x
=-在[]1,2为增函数，
∴函数()f x 的最小值为()4
111
f =-=3-， 故答案为：3-． 【点睛】
本题主要考查指数函数的图象和性质，考查利用函数的单调性求最值，属于中档题．
18．①③⑤【分析】对①由对数函数恒过即可判断；对②由函数单调性的定义即可判断函数的单调性；对③利用换元法即可求得函数的解析式；对④由奇函数的定义即可判断；对⑤由换底公式即可求得的值【详解】解：对①令解得
解析：①③⑤ 【分析】
对①，由对数函数恒过(1,0)，即可判断； 对②，由函数单调性的定义即可判断函数的单调性； 对③，利用换元法即可求得函数()f x 的解析式； 对④，由奇函数的定义即可判断； 对⑤，由换底公式即可求得a 的值. 【详解】
解：对①，令211x -=，
解得：1x =，则(1)2015f =，
()f x ∴的图象过定点()1,2015，故①正确；
对②，
()()()12120x x f x f x -->⎡⎤⎣⎦，
当12x x <时，()()12f x f x <； 当12x x >时，()()12f x f x >；
()f x ∴是R 上的增函数，故②错误；
对③，令1t x =+，则1x t =-；
2()2f t t t ∴=-，
即2
()2f x x x =-，故③正确； 对④，由题意知()f x 的定义域为R ， 又
()f x 为奇函数，
(0)0f ∴=，
解得：1a =，故④不正确； 对⑤，log 8lg83lg 2
=3log 2lg 2lg 2
c c a =
==，故⑤正确. 故答案为：①③⑤. 【点睛】
方法点睛：求函数解析式常用方法：
(1)待定系数法：若已知函数的类型(如一次函数、二次函数)，可用待定系数法； (2)换元法：已知复合函数(())f g x 的解析式，可用换元法，此时要注意新元的取值范围； (3)方程法：已知关于()f x 与1f x ⎛⎫
⎪⎝⎭
或()f x -的表达式，可根据已知条件再构造出另外一个等式组成方程组，通过解方程组求出f (x )．
19．【分析】根据指对互化先计算出的结果然后计算的结果由此即可计算出的结果【详解】因为所以所以所以故答案为：【点睛】关键点点睛：解答本题的关键是利用指对互化将化为对数形式然后根据对数运算法则完成计算 解析：1
【分析】
根据指对互化先计算出,a b 的结果，然后计算11,a b 的结果，由此即可计算出21
a b
+的结果. 【详解】
因为2312a b ==，所以23log 12,log 12a b ==，所以121211
log 2,log 3a b
==， 所以
121212121221
2log 2log 3log 4log 3log 121a b
+=+=+==，
故答案为：1. 【点睛】
关键点点睛：解答本题的关键是利用指对互化将2312a b ==化为对数形式，然后根据对数运算法则完成计算.
20．【分析】根据题意求得的周期性则可求再结合函数解析式求得函数值即可【详解】由题可知：因为对一切故关于对称；又因为是奇函数则可得故可得故函数是周期为的函数则又当故则故答案为：【点睛】本题考查利用函数周期 解析：31e e --
【分析】
根据题意，求得()f x 的周期性，则()2019f 可求，再结合函数解析式，求得函数值即可. 【详解】
由题可知：因为对一切x R ∈，()()11f x f x +=-， 故()f x 关于1x =对称； 又因为()f x 是奇函数，
则可得()()()()()21111f x f x f x f x f x +=++=--=-=-， 故可得()()()()4222f x f x f x f x +=++=-+=， 故函数()f x 是周期为4的函数. 则()()()201911f f f =-=-，
又当[]
0,1x ∈，()1x
f x e =-，故()()201911f f e =-=-，
则()()()()()320191131e
f
f f e f e f e e
-=-=--=--=-.
故答案为：31e e --. 【点睛】
本题考查利用函数周期性求函数值，属综合中档题；难点在于求得函数的周期.
三、解答题
21．（1）11,33⎛⎫
- ⎪⎝⎭
；（2）奇函数；（3）分类讨论，答案见解析．
【分析】
（1）根据对数的真数大于零列不等式组，解不等式组求得()F x 的定义域. （2）通过()()F x F x -=-证得()F x 是奇函数.
（3）对a 进行分类讨论，结合对数型函数的单调性求得x 的取值范围. 【详解】
（1）()log (31)log (13)a a
F x x x =+--，310130
x x +>⎧⎨->⎩，解得：11
33x -<<， 所以()F x 的定义域为11,33⎛⎫
- ⎪⎝⎭
.
（2）由（1）可知()F x 的定义域关于原点对称，
又()log (13)log (31)()a a F x x x F x -=--+=-，所以()F x 是奇函数，. （3）()()0f x g x ->，即log (31)log (13)a a x x +>-，
当1a >时，3101303113x x x x
+>⎧⎪->⎨⎪+>-⎩，解得：1
03x <<，
当01a <<时，310
1303113x x x x
+>⎧⎪
->⎨⎪+<-⎩
，解得：103x -<<.
【点睛】
判断函数的奇偶性，首先要判断函数的定义域是否关于原点对称性. 22．（1
）12）①(1,5)，2m =；②b ma >，理由见解析. 【分析】
（1
）根据对数的运算性质解得01x = （2）将3
2222
4log 2log 2b a
b
a a
b b
++=++
-化为2222log (2)2a a a +-
222232
2log log 32log 2b b b b b b
=+-+-<+-，利用22
()2log x h x x x
=+-为增函数可得(2)()h a h b <，2a b <，即ma b <.
【详解】
（1）由已知得，2020log log (2)0x x +-=，[]200log (2)0x x -=，
∴00(2)1x x -=，2
00210x x --=，
∴01x =02x >，
∴01x = （2）①22()log (1)log (5)g x x x =-+-，由10
50
x x ->⎧⎨
->⎩，得15x <<，∴()g x 的定义域
(1,5)D =.
由于[]2
22()log (1)(5)log [(3)4]g x x x x =--=--+， ∴当3x =时，max 2()log 42m g x ===， ②由22
322
4log 2log 2a
b
b a a a b
++=++
-，得
2222214log 2log log 322
a b a b a b +-
=+--+， 即22222212
log (2)2log log 3122a
b a b a b +-
=+--++2223
2log log 32
b b b =+-+-，
因为3
2222223
log 3log 2log 3log log 02
-=-=<，
所以2222222322
log (2)2log log 32log 22a
b b a b b a b b
+-
=+-+-<+-， 考虑函数22
()2log x
h x x x
=+-，所以(2)()h a h b <， 因2x ，2log x ，2
x
-
都是增函数，所以()h x 为增函数，∴2a b <，∵2m =， 故始终有b ma >成立. 【点睛】
关键点点睛：令22()2log x
h x x x
=+-，转化为(2)()h a h b <，利用单调性求解是解题关
键.
23．（1）1k =；（2）当02m <<时，k 的最小值为4，当2m 时，k 的最小值为
24m m -+. 【分析】
（1）根据函数是偶函数，利用偶函数的定义求解. （2）将()4f x ，转化为2(2)42x x k
-+⨯，令2[x t m =∈，2]m +，构造函数
2()4g t t t =-+，利用二次函数的性质求得其最大值即可..
【详解】 （1）
()f x 为偶函数，
()()f x f x ∴=-， 2?22?2x x x x k k --∴+=+，
即(1)(22)0x
x
k ---=，对任意的x 恒成立，
1k ∴=.
（2）由()4f x ，可得2?24x x k -+，即2(2)42x x k -+⨯，
令2[x
t m =∈，2]m +，
2()4g t t t ∴=-+，
当02m <<时，对称轴2[t m =∈，2]m +， 则()max g t g =（2）4244=-+⨯=， 当2m 时，对称轴2t m =，
则2
()()4max g t g m m m ==-+，
故当02m <<时，k 的最小值为4，当2m 时，k 的最小值为24m m -+. 【点睛】
本题主要考查函数的奇偶性的和不等式恒成立的问题，还考查了分类讨论的思想和运算求解的能力，属于中档题.
24．（1）2,3k b =-=；（2）{}
2x x <-. 【分析】
（1）根据指数函数的定义列出方程，求解即可； （2）根据指数函数的单调性解不等式即可； 【详解】
解：（1）∵函数()()()331x
f x k a b a =++->是指数函数
∴31,30k b +=-= ∴2,3k b =-= （2）由（1）得()()1x
f x a
a =>，则函数()f x 在R 上单调递增
()()2743f x f x ->-
2743x x ∴->-，解得2x <- 即不等式解集为{}
2x x <-； 【点睛】
本题主要考查了根据函数为指数函数求参数的值以及根据指数函数的单调性解不等式，属于中档题.
25．(1) {|27}B x x A -<≤⋃=，
(
){|21}R
A B x x =-<<；(2)
()1,41,
2⎛⎫
-∞-⋃- ⎪⎝
⎭
． 【分析】
（1）根据题意，由2m =可得{|17}x A x =≤≤，由并集定义可得A B 的值，由补集定
义可得
{|1R
A x x =<或7}x >，进而由交集的定义计算可得()R A
B ⋂，即可得答案；
（2）根据题意，分析可得A B ⊆，进而分2种情况讨论：①、当A =∅时，有
123m m ->+，②当A ≠∅时，有12312
234m m m m -≤+⎧⎪
->-⎨⎪+<⎩
，分别求出m 的取值范围，进而对其求并集可得答案． 【详解】
根据题意，当2m =时，{|17}x A x =≤≤，
()2()lg 28f x x x =-++有意义，则2280x x -++>，得{|24}B x x =-<<，
则{|27}B x x A -<≤⋃=，
又
{|1R
A x x =<或7}x >，则(){|21}R A
B x x =-<<；
（2）根据题意，若A B A =，则A B ⊆，
分2种情况讨论：
①当A =∅时，有123m m ->+，解可得4m <-， ②当A ≠∅时，
若有A B ⊆，必有12312234
m m m m -≤+⎧⎪->-⎨⎪+<⎩
，解可得1
12m -<<，
综上可得：m 的取值范围是：()1,41,2⎛⎫-∞-⋃- ⎪⎝⎭
． 【点睛】
本题考查集合间关系的判定，涉及集合间的混合运算，考查了学生的计算能力，培养了学生分析问题与解决问题的能力. 26．最大值为4
3
，无最小值. 【分析】
首先根据对数真数大于0，解不等式2340x x -+>求出定义域M ，然后利用换元法，即可求出函数()f x 的最值． 【详解】
由2340x x -+>，解得1x <或3x >，所以(,1)
(3,)M =-∞+∞，
22()234423(2)x x x x f x +=-⨯=⨯-⨯，
令2x t =，由x M ∈得02t <<或8t >，则原函数可化为
2224()433()33
g t t t t =-=--+，其对称轴为2
3t =，
所以当02t <<时，4
()(4,]3
g t ∈-；当8t >时，()(,160)g t ∈-∞-．
所以当23t =，即22
3
log x =时，()g t 取得最大值43，即函数()f x 取得最大值43，
函数()g t 无最小值，故函数()f x 无最小值．
【点睛】
本题主要考查函数定义域的求法及换元法求函数最值．。