课时规范练46 数列中的构造问题--2025高中数学一轮复习课件基础版(新高考新教材)

解析 由an+1=2an+2得an+1+2=2(an+2).
又a1+2=3,
所以
+1 + 2
+ 2
=2,即{an+2}是等比数列,
所以an+2=3×2n-1,即an=3×2n-1-2.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13
8.(2024·江西景德镇模拟)已知在数列{an}中,a1=1,当n≥2时,(n-1)an=2nan-1,

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13
.
(n≥2),得 bn=bn-1(n≥2).
1

bn= ,即
2
+1
×(99+1)=50.
50
=
1
,故
2
1
an= (n+1),
2
7.(2024·四川乐山模拟)已知数列{an}满足an+1=2an+2,a1=1,则
3×2n-1-2
an=
.
+1

=2· .
+1

1

又 =4,故{ }是首项为 4,公比为 2 的等比数列,故
1



n-1
n+1
=4·
2
=2
,显然{
}是递增数列,故
B
正确;


+1
(+1)·2 +2
1
n+1
an=n·
2 ,由
=
=2·
(1+ )>1,

+1

·2

得{an}为递增数列,故 C 正确,D 错误.故选 ABC.

n(n+1),可得 +1 =2× +1.
令
bn+1=2bn+1,∴bn+1+1=2(bn+1).
又 b1+1=a1+1=2≠0,∴{bn+1}是以 2 为首项,2 为公比的等比数列,

n-1
n
n
∴bn+1=2×2 =2 ,即 bn=2 -1,∴ =2n-1,即 an=n·
(2n-1).
1

3
1
1
+2
∴ =1+3(n-1)= 3 ,

3
1
∴an=+2,∴a16=6.
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a16 为

4.已知数列{an}满足a1=1,nan+1=2(n+1)an,设bn= ,则数列{bn}的前6项和为
( D )
A.127
B.255
2
2
则 bn+1-1= (bn-1).又 b1-1=- ,
3
3
2
2
2 n
∴数列{bn-1}是以-3为首项,3为公比的等比数列,bn-1=-(3) ,得
n
n+1
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an=3n-2n.
10.设数列{an}满足a1=4,an=3an-1+2n-1(n≥2),则数列{an}的通项公式
9.已知数列{an}满足a1=1,an+1=2an+3n,则数列{an}的通项公式为 an=3n-2n .
+1
2
1
解析 an+1=2an+3 两边同除以 3 得 +1 = · + ,
3
3 3
3

2
1
2
令 bn=3 ,则 bn+1=3bn+3.设 bn+1+λ=3(bn+λ),解得 λ=-1,
.

an+1=
,n∈N*,若
2 +1
1
a4= ,则{an}的通项公式为
9
2+1
解析 由题得 an≠0,则等式两边同取倒数得
1
则数列{ }为公差为

2
1
的等差数列,则

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=
1
+1
=
2 Hale Waihona Puke +111
=2+ ,则


+1
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13
12.(多选题)(2024·黑龙江伊春模拟)已知数列{an}的首项为 4,且满足
2(n+1)an-nan+1=0(n∈N*),则(ABC)


A.{ }为等比数列 B.{ }为递增数列


C.{an}为递增数列 D.{an}为递减数列
解析 由题意,2(n+1)an-nan+1=0⇔
2025
高考总复习
课时规范练46
数列中的构造问题
基础巩固练
1.已知在数列{an}中,a1=4,an+1=4an-6,则an=( C )
A.22n+1+2
B.22n+1-2
C.22n-1+2
D.22n-1-2
解析 因为an+1=4an-6,所以an+1-2=4(an-2).
又a1-2=2,所以数列{an-2}是一个以2为首项,4为公比的等比数列,
1
+2(n-4)=2n+1,所以
4
1
− =2,

1
an=2+1.
6.已知数列{an}满足
解析 根据题意,令
又
1
b1=
1+1
=
1
,
2
所以{bn}是首项为
所以
1
a99=2

a1=1,
+1
=
-1



bn= ,则由
+1
+1
(n≥2),则 a99=
=
1
b1= 的常数列,故
2
-1
所以an-2=2×4n-1,所以an=22n-1+2.
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+1

2.在数列{an}中,a1=14, +1 = -1 -3,则( B )
2
2


A.{ +3}是等比数列
B.{ -3}是等比数列
2
2

3

3
C.{ + }是等比数列
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13
D.{ − }是等比数列
2
2
2
2
+1

+1

解析 由题知 +1 = -1 -3,所以 +1 -3=2( -3),
2
2
2
2
1
又因为 -3=4≠0,
2

所以{2 -3}是等比数列,且首项为 4,公比为 2.
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所以 an+1+1=( + 1)2+2 + 1+1,即 an+1+1=( + 1+1)2,
等式两边开方可得 +1 + 1 = + 1+1,即 +1 + 1 − + 1=1,
所以数列{ + 1}是首项为 1 + 1=2,公差为 1 的等差数列,
所以 + 1=2+(n-1)×1=n+1,所以 an=n2+2n,所以 a10=102+20=120.
C.31
+1


解析 由
=2× 及 bn= ,得 bn+1=2bn.
+1


1
又 b1= =1,所以数列{bn}是等比数列,
1
1-26
于是{bn}的前 6 项和为 S6= 1-2 =63.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13
D.63
5.已知数列{an}满足
1
an=
故bn=6·
3n-1=2·
3n,得an=2·
3n-n-1.
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综合提升练
11.(2024·江西临川模拟)已知数列{an}满足a1=3,an+1=an+2 + 1 +1,则
a10=( C )
A.80
B.100
C.120
D.143
解析 因为 an+1=an+2 + 1+1,
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13
A 正确;
13.已知在数列{an}中,nan+1=2(n+1)an+n(n+1)且a1=1,则数列{an}的通项公
(2n-1) .
式为 an=n·
解析 ∵nan+1=2(n+1)an+n(n+1),等式两边同除以

bn= ,则
+1
则数列{an}的通项公式为 an=n·2n-1
.
解析 当 n≥2
-1

1
时,(n-1)an=2nan-1,即 =2· ,而 =1,

-1
1

因此数列{ }是以

1 为首项,2

为公比的等比数列,则 =1×2n-1=2n-1,

所以数列{an}的通项公式为 an=n·
2n-1.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13
3n-n-1 .
为 an=2·
解析 设an+pn+q=3[an-1+p(n-1)+q],化简后得an=3an-1+2pn+(2q-3p),
2 = 2,
= 1,
与原递推式比较,对应项的系数相等,得
解得
= 1,
2-3 = -1,
即an+n+1=3(an-1+n-1+1).
令bn=an+n+1,则bn=3bn-1.又b1=6,
3.(2024·山东菏泽模拟)已知在数列{an}中,a1=1 且
( A )
1
A.6
1
B.4
1
C.3
3
an+1=
(n∈N*),则
+3
1
D.2
3
1
+3
1
1
解析 易知 an≠0,由 an +1= +3,得
= 3 = + 3.

+1


1
1
1
又 =1,∴数列{ }是以 1 为首项, 为公差的等差数列,