初升高数学衔接教材(完整)之欧阳索引创编

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第一讲 数与式
欧阳家百（2021.03.07）
1、 绝对值
（1）绝对值的代数意义：正数的绝对值是它的本身，负数的绝对值是它的相反数，零的绝对值仍是零．即
（2）绝对值的几何意义：一个数的绝对值，是数轴上表示它的点到原点的距离．
（3）两个数的差的绝对值的几何意义：b a -表示在数轴上，数a 和数b 之间的距离．
2、绝对值不等式的解法
（1）含有绝对值的不等式 ①()(0)f x a a <>,去掉绝对值后，保留其等价性的不等式是()a f x a -<<。

②()(0)f x a a >>,去掉绝对值后，保留其等价性的不等式是()()f x a f x a ><-或。

③22()()()()f x g x f x g x >⇔>。

（2）利用零点分段法解含多绝对值不等式：
①找到使多个绝对值等于零的点．
②分区间讨论，去掉绝对值而解不等式．一般地n个零点把数轴分为n＋1 段进行讨论．
③将分段求得解集，再求它们的并集．
例1. 求不等式354
x-<的解集
例2.求不等式215
x+>的解集
例3.求不等式32
->+的解集
x x
例4.求不等式|x＋2|＋|x－1|＞3的解集．
例5.解不等式|x－1|＋|2－x|＞3－x．
例6.已知关于x的不等式|x－5|＋|x－3|＜a有解，求a的取值范围．练习
解下列含有绝对值的不等式：
（1）13
-+-＞4+x
x x
（2）|x+1|<|x－2|
（3）|x－1|+|2x+1|<4
（4）327
x-<
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(5)578
x+>
3、因式分解
乘法公式
（1）平方差公式22
()()
+-=-
a b a b a b
（2）完全平方公式222
±=±+
a b a ab b
()2
（3）立方和公式2233
+-+=+
()()
a b a ab b a b
（4）立方差公式2233
()()
-++=-
a b a ab b a b
（5）三数和平方公式2222
a b c a b c ab bc ac
++=+++++
()2()（6）两数和立方公式33223
+=+++
()33
a b a a b ab b
（7）两数差立方公式33223
()33
-=-+-
a b a a b ab b
因式分解的主要方法有：十字相乘法、提取公因式法、公式法、分组分解法，另外还应了解求根法及待定系数法．1．十字相乘法
例1 分解因式：
（1）x2－3x＋2；（2）2
++
x x
672
（3）22
-++；（4）1
()
x a b xy aby
-+-．
xy x y
2．提取公因式法
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例2.分解因式：
（1）()()b a b a -+-552（2）32933x x x +++
3．公式法
例3.分解因式：（1）164+-a （2）()()2223y x y x --+
4．分组分解法
例4.（1）x y xy x 332-+- （2）222456x xy y x y +--+-
5．关于x 的二次三项式ax2+bx+c(a≠0)的因式分解．
若关于x 的方程20(0)ax bx c a ++=≠的两个实数根是1x 、2x ，则二次
三项式2(0)ax bx c a ++≠就可分解为12()()a x x x x --.
例5.把下列关于x 的二次多项式分解因式：
（1）221x x +-； （2）2244x xy y +-．
练习
（1）256x x -- （2）()21x a x a -++ （3）21118x x -+
（4）24129m m -+ （5）2576x x +- （6）
22126x xy y +- （7）()()3211262+---p q q p （8）22365ab b a a +- （9）()
2
2244+--x x （10）1224+-x x （11）by ax b a y x 222222++-+-
（12）91264422++-+-b a b ab a (13)x2－2x －1
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（14） 31a +； （15）424139x x -+；
（16）22222b c ab ac bc ++++； （17）2235294x xy y x y +-++-
第二讲 一元二次方程与二次函数的关系
1、一元二次方程
(1)根的判别式
对于一元二次方程ax2＋bx ＋c ＝0（a≠0），有:
（1） 当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根x1，2
＝
（2）当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根x1＝x2＝－
2b a ； （3）当Δ＜0时，方程没有实数根．
(2)根与系数的关系（韦达定理）
如果ax2＋bx ＋c ＝0（a≠0）的两根分别是x1，x2，那么x1＋x2＝b a -，x1·x2＝c a ．这一关系也被称为韦达定理．
2、二次函数2y ax bx c =++的性质
1. 当0a >时，抛物线开口向上，对称轴为2b x a
=-，顶点坐标为2424b ac b a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，。

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当2b x a <-时，y 随x 的增大而减小；当2b x a
>-时，y 随x 的增大而增大；当2b x a =-时，y 有最小值244ac b a -。

2. 当0a <时，抛物线开口向下，对称轴为2b
x a =-，顶点坐标为2424b ac b a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，。

当2b x a <-时，y 随x 的增大而增大；当2b x a >-
时，y 随x 的增大而减小；当2b x a
=-时，y 有最大值244ac b a -. 3、二次函数与一元二次方程：
二次函数与一元二次方程的关系（二次函数与x 轴交点情况）： 一元二次方程20ax bx c ++=是二次函数2y ax bx c =++当函数值0y =时的特殊情况.
图象与x 轴的交点个数：
① 当240b ac ∆=->时，图象与x 轴交于两点()()1200A x B x ，，，12()x x ≠，其中的12x x ，是一元二次方程()200ax bx c a ++=≠的两根。

这两点间的
距离21AB x x =-.
② 当0∆=时，图象与x 轴只有一个交点；
③ 当0∆<时，图象与x 轴没有交点.
1' 当0a >时，图象落在x 轴的上方，无论x 为任何实数，都有0y >；
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2'当0a <时，图象落在x 轴的下方，无论x 为任何实数，都有0y <。

例1.若x1和x2分别是一元二次方程2x2＋5x －3＝0的两根．
（1）求| x1－x2|的值； （2）求221211x x +的值；（3）x13＋x23．
例2.函数22y mx x m =+-（m 是常数）的图像与x 轴的交点个数为（） Ａ．0个Ｂ．1个Ｃ．2个Ｄ．1个或2个
例3.关于x 的方程25mx mx m ++=有两个相等的实数根，则相应二次函数25y mx mx m =++-与x 轴必然相交于点，此时m =．
例 4 .抛物线2(21)6y x m x m =---与x 轴交于两点1(0)x ，
和2(0)x ，，若121249x x x x =++，要使抛物线经过原点，应将它向右平移个单位． 例5.关于x 的二次函数22(81)8y mx m x m =+++的图像与x 轴有交点，则m 的范围是（） Ａ．116m <-Ｂ．116m -≥且0m ≠Ｃ．116m =-Ｄ．116m >-且0m ≠ 练习
1.一元二次方程ax2＋bx ＋c ＝0（a≠0）的两根为x1和x2．求：
（1）| x1－x2|和12
2x x +；（2）x13＋x23．
2.
如图所示，函数2(2)(5)y k x k =-+-的图像与x 轴只有一个交
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点，则交点的横坐标0x =．
3. 已知抛物线2y ax bx c =++与y 轴交于C 点，与x 轴交于1(0)A x ，
，212(0)()B x x x <，两点，顶点M 的纵坐标为4-，若1x ，2x 是方程
222(1)70x m x m --+-=的两根，且2212
10x x +=． （1）求A ，B 两点坐标；
（2）求抛物线表达式及点C 坐标；
4. 若二次函数2y ax c =+，当x 取1x 、2x （12x x ≠）时，函数值相等，
则当x 取12x x +时，函数值为（ ）
Ａ．a c + Ｂ．a c - Ｃ．c - Ｄ．c
5、已知二次函数212
y x bx c =-++，关于x 的一元二次方程2102x bx c -++=的两个实根是1-和5-，则这个二次函数的解析式为 第三讲一元二次不等式的解法
1、定义：形如ax2+bx+c ＞0（a ＞0）（或ax2+bx+c ＜0（a ＞0））
的不等式
做关于x 的一元二次不等式。

2、一元二次不等式的一般形式：
ax2+bx+c ＞0（a ＞0）或ax2+bx+c ＜0（a ＞0）
3、一元二次不等式的解集：
4、解一元二次不等式的一般步骤：
（1）将原不等式化成一般形式ax2+bx+c＞0（a＞0）（或ax2+bx+c＜0（a＞0））；
（2）计算Δ=b2-4ac；
（3）如果Δ≥0，求方程ax2+bx+c=0（a＞0）的根；若Δ＜0，方程ax2+bx+c=0（a＞0）没有实数根；
（4）根据上表，确定已经化成一般形式的不等式的解集，即
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为原不等式的解集。

例1.解下列不等式：
（1）4x2-4x＞15；（2）-x2-2x+3＞0；（3）4x2-4x+1＜0例2.自变量x在什么范围取值时，函数y=-3x2+12x-12的值等于0？大于0？小于0？
例3.若关于x的方程x2-（m+1）x-m=0有两个不相等的实数根，求m的取值范围。

练习
1.解下列不等式：
（1）4x2-4x＜15；（2）-x2-2x+3＜0；（3）4x2-4x+1＞0（3）4x2-20x＜25；（4）-3x2+5x-4＞0；（5）x（1-x）＞x （2x-3）+10
2.m是什么实数时，关于x的方程mx2-（1-m）x+m=0没有实数根？
3.已知函数y=1
2x2－3x－3
4
，求使函数值大于0的x的取值范围。

含参数的一元二次不等式的解法
含参数的一元二次不等式的解法与具体的一元二次不等式的
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解法在本质上是一致的，这类不等式可从分析两个根的大小及二次系数的正负入手去解答.
1.二次项系数含参数a （按a 的符号分类）
例1.解关于x 的不等式：2(2)10.ax a x +++>
例2.解关于x 的不等式：2560(0)ax ax a a -+>≠
2.按判别式∆的符号分类
例3.解关于x 的不等式：240.x ax ++>
例4.解关于x 的不等式：22(1)410.()m x x m +-+≥为任意实数
3.按方程20ax bx c ++=的根12,x x 的大小分类。

例5.解关于x 的不等式：21()10(0)x a x a a
-++<≠
例6.解关于x 的不等式：22560(0)x ax a a -+>≠
练习
1.解关于x 的不等式：.0)2(2>+-+a x a x
2.解关于x 的不等式：.01)1(2<++-x a ax
3.解关于x 的不等式：.012<-+ax ax
4.解关于x 的不等式：033)1(22>++-ax x a
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第四讲 一元高次不等式及分式不等式的解法
1.一元高次不等式的解法
1.可解的一元高次不等式的标准形式
（1）左边是关于x 的一次因式的积；
（2）右边是0；
（3）各因式最高次项系数为正。

2.一元高次不等式的解法
穿根法：
（1）将高次不等式变形为标准形式；
（2）求根12,,,n x x x ，画数轴，标出根；
（3）从数轴右上角开始穿根，穿根时的原则是“由右往左穿，由上往下穿，奇穿偶不穿”。

(4)写出所求的解集。

例1.0)3)(2)(1(<---x x x
例2.2(1)(2)(1)0x x x x --+≥
例3.(1)(2)(3)0x x x -+->
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例4.2(2)(3)(21)0x x x x -+--≥
例5.2(1)(2)(45)0x x x x ---+≥
例6.322210x x x --+≤
练习
1.2(1)(3)(68)0x x x x +--+≥
2.22(328)(12)0x x x x +-+-≤
3.22(23)(67)0x x x x ----≥
4.22(45)(1)0x x x x --++≤
5.23(2)(3)(6)(8)0x x x x -+-+≥
6.43220x x x +-->
7.32330x x x +-->
2.分式不等式的解法
例1.（1）
()()303202x x x x ->-->-与解集是否相同，为什么？ （2）()()303202
x x x x -≥--≥-与解集是否相同，为什么？ 通过例1，得出解分式不等式的基本思路：等价转化为整式不等式（组）：
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（1）()()
()()00f x f x g x g x >⇔⋅> （2）
()()()()()000f x g x f x g x g x ⋅≥⎧⎪≥⇔⎨≠⎪⎩ 解题方法：穿根法。

解题步骤：（1）首项系数化为“正”（2）移项通分，不等号右侧化为“0”（3）因式分解，化为几个一次因式积的形式（4）数轴标根。

例2.解不等式：22320712
x x x x -+≤-+- 例3.解不等式：22911721
x x x x -+≥-+ 例4.解不等式：22560(0)32
x x x x +-≥≤-+ 例5.解不等式：
2121332x x x x ++>-- 例6.解不等式：
22331
x x x ->++ 练习
解不等式： 1.
302x x -≥- 2.2113x x ->+
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3.2232023
x x x x -+≤-- 4.22102
x x x --<- 5.()()()3
221603x x x x -++≤+ 6.()2309x x x
-≤- 7.1
01x x <-<
3.无理不等式的解法
1、无理不等式的类型：
()0()0()()f x g x f x g x ⎧≥⎫⎪⎬>⇔≥⎨⎭⎪>⎩ ②⎩⎨⎧≥<⎪⎩
⎪⎨⎧>≥≥⇔>0)(0)()]([)(0)(0)()()(2x f x g x g x f x f x g x g x f 或型 ③
⎪⎩⎪⎨⎧<>≥⇔<2)]([)(0)(0)()()(x g x f x g x f x g x f 型 例1.解不等式0343>---x x
例2.解不等式x x x 34232->-+-
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例3.解不等式24622+<+-x x x
第五讲 集合的含义与表示
1. 集合的含义
2. 集合元素的三个特性
3. 元素与集合的关系
4. 常用的数集及其记法
5. 集合的表示方法
6. 集合的分类、空集
例1.判断下列对象能否构成一个集合
（1）身材高大的人
（2）所有的一元二次方程
（3）直角坐标平面上纵坐标相等的点
（4）细长的矩形的全体
（5
的近似值的全体
（6）所有的数学难题
例2.已知集合{}{}2,,2,,,,,A a a b a b B a ac ac A B =++==若求实数c 的值。

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例3.已知集合S 中三个元素,,a b c ABC ABC ∆∆是的三边长，那么一定不是 三角形。

例4.用适当的方法表示下列集合。

（1）2
90x -=的解集； （2）不等式213x ->的解集：
（3）方程组{24
x y x y +=-=的解集； （4）正偶数集；
例 5.已知集合{}220,,A x x x a a R x R A a =++=∈∈若中至多有一个元素，求的取值范围。

例6.下列关系中，正确的有
练习
1. 已知集合{}{}1,2,3,4,5,(,),,A B x y x A y A x y A ==∈∈-∈,则B 中所含元素的个数为（ ） A.3 B.6 C.8 D.10
2. 已知集合{}{}0,1,2,-,A B x y x A y A ==∈∈则集合中元素的个数是（ ）
A.1
B.3
C.5
D.9
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3. 已知{}{}1,2,3,2,4,A B A B ==定义、间的运算{}A B x x A x B *=∈∉且,则集合
A B *等于（ ）
A. {}1,2,3
B.{}2,4
C.{}1,3
D.{}2
4. 若集合{}210A x R ax ax =∈++=中只有一个元素，则a=( ) A.4 B.2 C.0 D.0或4
5. 设集合{}{}1,2,3,1,3,9,,A B x A x B x ==∈∉=且则（ ）
A.1
B.2
C.3
D.9
6. 定义集合运算：{}(,,).A B z z xy x y x A y B ==⋅+∈∈设{}{}0,1,2,3,A B ==
则集合A B 的所有元素之和为（ ）
A.0
B.6
C.12
D.18
7. 下列各组对象中不能构成集合的是（ ）
A.
某中学高一（2）班的全体男生 B.某中学全校学生家长的全体
B. 李明的所有家人 D.王明的所有好朋友
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8. 已知a,b 是非零实数，代数式a b ab a b ab
++的值组成的集合是M ，则下列判断正确的是（ ）
9. 已知{}{}1,2,0,1,,A B x x y y A =--==∈，则B=
10. 集合{}22,25,12,3,A a a a A a =-+-∈且则=
11. 设集合{}21,,5A x x k k Z a ==+∈=，则有（ ）
12. 下列集合中，不同于另外三个集合的是（ ）
13. 已知集合{}2320A x ax x =-+=，若A 中至多有一个元素，则a 的取值范围是
14. 集合{}1,,0,,,b
a b a b a b a ⎧
⎫+=-⎨⎬⎩⎭则=
15. 已知集合{}210,.A x x ax a R =++=∈
（1）若A 中只有一个元素，求a 的值；
（2）若A 中有两个元素，求a 的取值范围.
第六讲 集合间的基本关系
1.子集的概念
2.集合相等的定义
3.真子集的定义
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4.子集的性质
5.确定集合子集与真子集个数
例1.判断集合A 是否为集合B 的子集。

例 2.写出集合{}{},,,,a b a b c 的所有子集，并指出其中哪些是它的真子集。

例3.判断下列写法是否正确。

（1）A ∅⊆ (2)A ⊂∅≠ (3)A A ⊆ (4)A A ⊂
≠ 例4.已知{}{}2230,10,,A x x x B x ax B A =--==-=⊆若求a 的值。

例5.已知集合{}{}2320,0,1,2,M x x x N =-+==则M 与N 的关系正确的是（ ）
例6.已知集合{}{}25,121A x x B x m x m =-≤≤=+≤≤-。

（1）若B A ⊆,求实数
m 的取值范围； （2）若,x Z ∈求A 的非空真子集的个数。

练习
1. 已知集合{}{}
2320,,05,,A x x x R B x x x N =-+=∈=<<∈则满足条件 A C B ⊆⊆的集合C 的个数（ ）
欧阳索引创编 A.1 B.2 C.3 D.4
2.
集合{}1,0,1-共有个子集。

3.
已知集合{{},1,,,A B m B A ==⊆则m=。

4.
已知集合{}1,0,1,A =-则下列关系式中正确的是（ ）
5.
设{}{}13,,,A x x B x x a A B ⊂
=-<≤=>≠若则a 的取值范围是（ ） 6.
设{},,(,),(,)
1,y x y R A x y y x B x y x ⎧
⎫∈====⎨⎬⎩⎭
则A,B 的关系是
7.
已知集合{}{}22,3,44,=3.,A m B m B A =--⊆集合，若则实数m= 8.
集合{}26,,A x x y x N y N ==-+∈∈的真子集的个数为（ ）
A.9
B.8
C.7
D.6
9.
已知集合{}2,0,1A =,集合{},B x x a x Z =<∈且,则满足A B ⊆的实数
a 可以取的一个值是（ ） A.0 B.1 C.2 D.3
10. 已知集合{}{}
1,2,20,A B x ax B A ==-=⊆若,则
a 的值不可能是
（ ）
A.0
B.1
C.2
D.3
11. 若集合{}
{}
2
60,10,,A x x x B x mx B A ⊂
=+-==+=≠求
m 的值。

欧阳索引创编 12. 已知{}{}
12,13,,A x k x k B x x A B =+≤≤=≤≤⊆求实数
k 的取值范
围。

13. 已知集合{}{}
27,121,,A x x B x m x m B A =-≤≤=+<<-⊆若求实数
m
的取值范围。

第七讲 集合的基本运算
1.
并集的定义及性质 2.
交集的定义及性质
3.
全集、补集的定义及性质
例1. 设{}{}4,5,6,8,3,5,7,8,A B A
B ==求
例2. 设集合{}{}
21,0,1,,,A B a a A B A =-==则使成立的a 的值为 例3. 已知{}{}
4,,,A x x B x x a A B R =≤=>=若求实数a 的取值范围。

例4. 设{}{}
2,3,.A x x B x x A
B =≥-=≤求
例5. 已知集合{}{}
(,)2,(,)4,M x y x y N x y x y M
N
=+==-=那么集合为
（ ）
例6. （1）若{}{}2,3,4,4,3,S S A C A ===则
(2) 若{}
{}{}2
1,3,21,1,3,5U U a a A C A =++==,则
a=
例7. 已知{}{}{}0,2,4,1,1,1,0,2,U U A C A C B B ==-=-=求
欧阳索引创编 例8. (1)已知集合{}{}
222,3,42,0,7,42,2,M a a N a a a =++=+--
且{}3,7M N =,求实数a 的值。

（2）设全集{}{}{}21,3,23,21,2,5,U U a a A a C A =+-=-=求实数a 的值。

例9.已知集合{}{}24260,,0,,A x x mx m x R B x x x R =-++=∈=<∈若
,A B ≠∅求实数
m 的取值范围。

练习
1. 若集合{}{}1,2,3,1,3,4,A B A
B ==则的子集个数为
2. 已知全集{}{}
,0,1,()U U R A x x B x x A B ==≤=≥=则集合C
3.
已知集合{{},1,,,A B m A
B A m ====则（ ）
A.0
B.0或3
C.1
D.1或3
4.
已知集合{}{}21,.,P x x M a P M P =≤==若则a 的取值范围是
（ ）
A.
(],1-∞- B.[)1,+∞ C.[]1,1- D.(][),11,-∞-+∞
5.
设{}{}{}20,1,2,3,0,1,2,U U A x U x mx C A ==∈+==若则实数m= 6.
已知{}{}23,0,R M x x x N x x a N C M =<≥=-≤≠∅或若(R 为实数
集)，则a 的取值范围是
欧阳索引创编 7.
若{}2120,1,A x x x B x A B x
⎧⎫
=-<=≤=⎨⎬⎩⎭
则
8.
已知集合{}{}20,1,2,3,30,M N x x x M N ==-<=则 9.
集合{}{}13,242A x x B x x x =-≤<=-≥-，
（1）若集合{}
20,C x x a B
C C =+>=满足求实数a 的取值范围。

10. 已知非空集合{}{}
2135,322.A x a x a B x x =+≤≤-=≤≤
（1）当a=10时，求,A B A B ;
（2）求能使()A A
B ⊆成立的a 的取值范围。

11. 已知全集{}{}
{}321,3,32,1,21,0,U U x x x A x C A =++=-=若求
x 的值。

12. 设全集{}{}{}
0,24,3782,U x x A x x B x x x =>=≤<=-≥-求
（1）若集合{}
20,,C x x a B
C C =+>=满足求实数a 的取值范围。

13. 已知集合{}{}
22,14.A x a x a B x x x =-≤≤+=≤≥或
（1）当a=3时，求;A B
（2）若0,,a A B >=∅且求实数
a 的取值范围。

第八讲 函数的概念
1.
函数的定义 2.
函数三要素
欧阳索引创编
3.
函数定义域及函数值域的求法 4.
区间的概念
例1. 下列图像中不能作为函数()y f x =的图像的是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
例2. 判断下列对应f 是否为从集合A 到集合B 的函数。

例3. 已知()()21
(1),2(),1f x x R x g x x x R x
=
∈≠-=+∈+且求 例4. 求下列函数的定义域：
例5. 求下列函数的值域：
例6. 下列各组函数中，()()f x g x 与表示同一函数的是（ ） 例7. （1）已知函数()f x 的定义域为[]1,3，求函数()21f x +的定义域；
（1）已知函数()21f x +的定义域为[]1,3，求函数()f x 的定义域。

练习
1.下列图像中不能作为函数()y f x =的图像的是（ ）
欧阳索引创编
A ．
B ．
C ．
D ．
2.求下列函数的定义域。

（1）()142f x x x =--
（2）0
1x y x x
+=
-（3）()1
32
f x x x =++ 3.判断下列各组函数是否是相等函数。

（1）()()221,1;f x x x
g t t t =-+=-+ （2）()()211, 1.f x x x g x x =-+=-
4.已知函数()f x 的定义域为()1,0-，则函数()21f x +的定义域为。

5.已知函数()()1,3,f x x f a =-=若则实数a=。

6.已知()()()21
,2,21f x g x x f x
=
=+=+则，()2f g ⎡⎤⎣⎦=。

7.已知函数()21f x +的定义域为12,2⎛⎫
- ⎪⎝
⎭
，则()f x 的定义域为。

8.若函数234y x x =--的定义域为[]250,,44m ⎡⎤
-⎢⎥⎣⎦
值域为，-，则m 的取
值范围是（ ）
欧阳索引创编
A.(]0,4
B.2544⎡⎤-
⎢⎥⎣⎦，- C.3,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦ D.3,2⎡⎫
+∞⎪⎢⎣⎭
9.函数()f x 的定义域是[]4,1-，则函数()22
1
f x y x =
-的定义域为。

10.已知函数()21y f x =-的定义域为[]1,1-，求函数()2y f x =-的定义域。

11.求下列函数的值域。

（1
）1y =
（2）[)223,0,3y x x x =-+∈ （3）213
x y x +=
- （4
）2y x =12.已知函数(
)1
6
f x x =
-- （1）求()f x 的定义域。

（2）求()()1,12f f -的值。

13.已知函数()[]2210,1f x x ax a x =-++-∈在上有最大值2，求a 的值。

第九讲 函数的表示方法
1. 函数的三种表示方法
欧阳索引创编 2. 分段函数
3. 映射
例1.
已知函数()(),f x g x 分别由下表给出
则()1f g ⎡⎤⎣⎦的值为；()2g f ⎡⎤⎣⎦的值为。

例2.
已知()f x =
[)
(){
223,,021,0,x x x x +∈-∞+∈+∞，()()0,1f f f -⎡⎤⎣⎦求的值。

例3.
(1)作出函数1y x =-的图像。

（2）图中的图像所表示的函数的解析式为（ ） A.()3
1022y x x =-≤≤ B.()3310222
y x x =--≤ B.()31022
y x x =--≤≤ D.()1102y x x =--≤≤
例4.（1）{}10,1,2,0,1,,2A B f ⎧⎫==⎨⎬⎩
⎭
：取倒数，可以构成映射吗？
（2）有一个映射:,f A B →使集合A 中的元素(),x y ，映射成B 中的元素(),x y x y +-，则在映射的作用下：①()2,1的象是；②()
2,1
欧阳索引创编 的原象是。

例5.函数()f x =
{
22,22,2
x x x x +≤>，若()008,f x x ==则。

例6.直线1y =与曲线2y x x a =-+有四个交点，则a 的取值范围是。

练习
1.
设函数()f x =21,1
2,1,x x x x
+≤>⎧⎨⎩()3f f =⎡⎤⎣⎦则。

2.
已知a<0,函数()f x =
{
2,1
2,1x a x x a x +<--≥ ，若
()()11,f a f a -=+则a 的值
为 。

3.
设函数()f x =1,021
,0x
x x x
-≥<⎧
⎨
⎩
，若(),f a a =则实数a 的值是。

4.
设函数()f x =
{
2222,0,0
x x x x x ++≤->，若()()2,f f a a ==则。

5.
已知函数()f x =
{
232,1,1
x x x ax x +<+≥，若()04f f a =⎡⎤⎣⎦，则实数a=。

第十讲 抽象函数解析式的求法
1. 配凑法
欧阳索引创编
例1.
f （x-1）=x+1，求f （x ）的解析式.
2.
换元法
例2.
f （1+x ）=x+2x ，求f （x ）.
3.
待定系数法
例3.
已知f(x)=ax2+bx+c,若f(0)=0，且f(x+1)= f(x)+x+1,求f(x).
4.
构造方程组
例4.
()f x 满足：()2()32f x f x x --=+，求()f x .
练习
1． 已知
f(3x+1)=4x+3, 求f(x)的解析式. 2． 已知
f(x+1)=x2-3x+2, 求f(x)的解析式.
3． 已知2
2
1)1(x x x
x f +
=-, 求)(x f 的解析式.
4.已知
2111()x x f x x x
++=+，求()f x
5.
已知21)f x =+()f x
6.若一次函数()f x 满足：[()]41f f x x =-，求()f x
7.若一次函数()f x 满足：{[()]}87f f f x x =+，求()f x
8.已知二次函数()f x 满足：2(1)(1)24f x f x x x ++-=-求()f x
欧阳索引创编 2021.02.02
欧阳索引创编 2021.02.02 9. ()f x 满足：12()()1f x f x x
-=+求()f x
10. 设函数)(x f 是定义(－∞,0)∪(0,+ ∞)在上的函数,且满足关系式x x f x f 4)1
(2)(3=+,求)(x f 的解析式.。