新浙教版九年级上册知识点及典型例题(良心出品必属精品)

九年级上册
第一章二次函数 一、 二次函数概念：
1.
二次函数的概念：一般地，形如y=ax 2・bx ・c （ a , b , c 是常数，a=0 ）的函
数，叫做 二次函数。

这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数a=0，而b ,c 可以为零.
二次函数的定义域是全体实数.
2. 二次函数y =ax 2 bx c 的结构特征：
⑴ 等号左边是函数，右边是关于自变量 x 的二次式，x 的最高次数是2. ⑵a ,b ,c 是常数，a 是二次项系数，b 是一次项系数，c 是常数项. 二、 二次函数的基本形式
1. 二次函数基本形式：y =ax 2
的性质： a 的绝对值越大，抛物线的开口越小。

有最小值0 .
xAh 时，y 随x 的增大而减小；xch acO
向下 （h ,0）
X=h 时，y 随x 的增大而增大；x = h 时，y
有最大值0 .
y 二a x 「h $ k 的性质:
a 的符 号 开口
方向
顶点 坐标
对称
轴 性质
a >0
向上
(h, k )
X=h
x>h 时，y 随x 的增大而增大；x£h 时， y 随
x 的增大而减小；x = h 时，y 有最 小值k .
a 的符
号
开口 顶点 方向坐标
对称 轴
性质
OO
<> a
%
a ：：0
向下
开口
方向 T 轴一
对称轴
yy
坐标
x 0时，y 随x 的增大而增大；x ：：：0时， y
随 x 的增大而减小; x = 0 时，~y 有最 小质
0 .
az az
-? ；、4
、
P 、、
- JTKOO "躍 -L
二 =
閏
曰== X X Jryw 取
口
时W
<< yy X X
2. y = ax? c
的性质： 上加下减。

3.
2
y = a x - h
的性质： 左加右 减。

对称轴寸
y 随x 白 大值c
，性质x 的增大而减小; 勺增大而增大； x>h 时，y | x ：：：
0 时, y
； x = 0 时 r y I J 随x 的增大而增大;
x ：: h
4.
A
A
y
虛
也
X X
五、二次函数y =ax
五点绘图法：利用配方法将二次函数 开口方向、对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图 我们选取的五点为：顶点、与
2h , c 、与x 轴的交点X ! , 0 , X 2 ,0 (若与x 轴没有交点，则取两组关于对称轴对 称的点).
画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与 x 轴的交点，与y 轴的
交占
丿〜八、、・ 六、二次函数y=ax 2 bx c 的性质
1.
当a 0
时，抛物线开口向上，对称轴为x 记，顶点坐标为嶋，咛 当时，y 随x 的增大而减小；当x._P 时，y 随x 的增大而增大；当x 二丄时, 2a 2a 2a y 有最小值色虫.
函数 的平
a 瓷0
向下
(h, k )
X=h
x>h 时，y 随x 的增大而减小；xch 时， y
随x 的增大而增大；x = h 时，y 有最 大值k .
1.平移步骤：
方法一⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式y=a(x_h)2+k ，确定其顶点坐标(h ,k ⑵ 保持抛物线y=ax 2的形状不变，将其顶点平移到h ,k 处，具体平移方法如下:
* y=ax 2+k
y=ax 2
y=a (x h)2
A y=a(x-h)2+k
2.平移规律
在原有函数的基础上“ h 值正右移，负左移；k 值正上移，负下移”. 概括成八个字“左加右减，上加下减”. 方法二：
⑴ 八ax 2 bx c 沿y 轴平移：向上(下)平移m 个单位，
y =ax 2 bx c m (或 y = ax 2 bx c -m ) ⑵y 二ax 2 bx c 沿轴平移：向左(右)平移m 个单位， y =a(x m)2 b(x m) c (或 y =a(x - m)2
b(x - m) • c ) 四、二次函数y=a x —h 2 k 与
从解析式上看， y = ax 2 bx c 变成 y = ax 2 bx c 变成
可以得到前者，即
y =ax 2 y =a x -h \ 亠k 与 f . b y 二a x I 2a
bx c 的比较 y
=ax 2
2
4ac -匕
4a ，
bx c 是两种不同的表达形式，后者通过配方
2
其中, kh 込匕.
2a
4a
2
bx c 图象的画法
y =ax 2 bx - c 化为顶点式y =a(x -h)2 k ,确定其 般 y 轴的
交点0, c 、以及0,c 关于对称轴对称的点
二次 图象 移
2
向上(k>0)【或向下(k<0)】平移|k|个单位
向上(k>0)【或下(k<0)】平移|k|个单位
向右(h>0)【或左(h<0)】 平移|k|个单位
向右(h>0)【或左(*0)】 平移|k|个单位 向右(h>0)【或左(h<0)】 平
移|k|个单位
向上(k>0)【或下(k<0)
平移|k|个单位
4a
2. 当a<：0时，抛物线开口向下，对称轴为x—卫，顶点坐标为匚P 当
2a I 2a 4a 丿
x—2时，y随x的增大而增大；当x.一卫时，y随x的增大而减小；当x = 时，y有2a 2a 2a
最大值色』.
4a
七、二次函数解析式的表示方法
1. —般式：y =ax2• bx • c （ a , b , c 为常数，a = 0 ）；
2. 顶点式：y=a（x—h）2 k （ a , h , k 为常数，a = 0）；
3. 两根式：y =a（x_xj（x_x2）（a", , x2是抛物线与x轴两交点的横坐标）.
注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，只有抛物线与x轴有交点，即b2—4acZ0时，抛物线的解析式才可以用交点式表示.二次函数解析式的这三种形式可以互化.
八、二次函数的图象与各项系数之间的关系
1. 二次项系数a
二次函数y=ax2 bx c中，a作为二次项系数，显然a=0 .
⑴ 当a 0时，抛物线开口向上，a的值越大，开口越小，反之a的值越小，开口越大；
⑵当a<0时，抛物线开口向下，a的值越小，开口越小，反之a的值越大，开口越大.
总结起来，a决定了抛物线开口的大小和方向，a的正负决定开口方向，a的大小决定开口的大小.
2. 一次项系数b
在二次项系数a确定的前提下，b决定了抛物线的对称轴.
⑴在a 0的前提下，
当b 0时，一卫：：：0，即抛物线的对称轴在y轴左侧；
2a
当b=0时，一卫=0，即抛物线的对称轴就是y轴；
2a
当b <0时，一卫0，即抛物线对称轴在y轴的右侧.
2a
⑵ 在a<0的前提下，结论刚好与上述相反，即
当b 0时，一—0，即抛物线的对称轴在y轴右侧；
2a
当b=0时，一卫=。

，即抛物线的对称轴就是y轴；
2a
当b <0时，一—<0，即抛物线对称轴在y轴的左侧.
2a
总结起来，在a确定的前提下，b决定了抛物线对称轴的位置.
ab的符号的判定：对称轴x = -—在y轴左边则ab . 0,在y轴的右侧则ab ：：：0 ,
2a
概括的说就是“左同右异”
3. 常数项c
⑴当C 0时，抛物线与y轴的交点在x轴上方，即抛物线与y轴交点的纵坐标为正；
⑵当c=0时，抛物线与y轴的交点为坐标原点，即抛物线与y轴交点的纵坐标为0 ;
⑶当c：：:o时，抛物线与y轴的交点在x轴下方，即抛物线与y轴交点的纵坐标为负.
总结起来，c决定了抛物线与y轴交点的位置.
总之，只要a,b, c都确定，那么这条抛物线就是唯一确定的. 二次函数解析式的确定：根据已知条件确定二次函数解析式，通常利用待定系数法.用待定系数法求二次函数的解析式必须根据题目的特点，选择适当的形式，才能使解题简便.一般来说，有如下几种情况：
1. 已知抛物线上三点的坐标，一般选用一般式；
2. 已知抛物线顶点或对称轴或最大（小）值，一般选用顶点式；
3. 已知抛物线与x轴的两个交点的横坐标，一般选用两根式；
4. 已知抛物线上纵坐标相同的两点，常选用顶点式.
九、二次函数与一元二次方程：
1. 二次函数与一元二次方程的关系（二次函数与x轴交点情况）：
一兀—次方程ax2 bx c 0是二次函数y =ax2 bx c当函数值y =0时的特殊情况. 图象与x轴的交点个数：① 当厶=b2 -4ac 0时，图象与x轴交于两点A x i , 0 , B x2 ,0 （x i %），其中的X i , x是-
兀二次方程ax2 +bx+c =0（a H0 ）的两根.这两点间的距离AB =庆_x i = b「ac .
i a
②当厶=0时，图象与x轴只有一个交点；
③当.「0时，图象与x轴没有交点.
1'当a 0时，图象落在x轴的上方，无论x为任何实数，都有y .0 ；
2'当a <0时，图象落在x轴的下方，无论x为任何实数，都有八：0 .
2. 抛物线y=ax2 bx c的图象与y轴一定相交，交点坐标为（0，c）；
3. 二次函数常用解题方法总结：
⑴ 求二次函数的图象与x轴的交点坐标，需转化为一元二次方程；
⑵ 求二次函数的最大（小）值需要利用配方法将二次函数由一般式转化为顶点式；
⑶ 根据图象的位置判断二次函数y =ax2 bx c中a，b，c的符号，或由二次函数中a b，c的符号判断图
象的位置，要数形结合；
⑷ 二次函数的图象关于对称轴对称，可利用这一性质，求和已知一点对称的点坐标，或已知与x
轴的一个交点坐标，可由对称性求出另一个交点坐标
⑸ 与二次函数有关的还有二次三项式，二次三项式
ax 2 bx • c(a =0)本身就是所含字
母x 的二次函数；下面以a 0时为例，揭示二次函数、二次三项式和一元二次方程
y = ax 2
-a 与y=a 在同一直角坐标系中的图象可能是(
)
x
A B C D
k -1
一 2、反比例函数y 二 ------ 与一次函数y 二k (x+1)在同一坐标系中的象只可能是(
)
x
3、某网店以每件60元的价格购进一批商品，若以单价 80元销售，每月可售出300 件，调查表明：单价每上涨1元，该商品每月的销量就减少10件.
(1) 请写出每月销售该商品的利润 y 元与单价上涨x 元的函数关系式；
(2) 单价定为多少元时，每月销售该商品的利润最大？最大利润为多少？
A>0
抛物线与x 轴 有两个交点
二次三项式的值 可
正、可零、可负 一兀二次方程有两个不相 等实根
A=0
抛物线与x 轴 只有一个交 点 八、、
二次三项式的值 为非负 一兀二次方程有两个相等 的实
数根 i<0
抛物线与x 轴 无交点
二次三项式的值 恒为
正 兀次方程无实数根.
间的
在联
之 内 系：
练习
1、函
数
第二章简单事件的概率
一、可能性
1、必然事件：有些事件我们能确定它一定会发生，这些事件称为必然事件.
2、不可能事件：有些事件我们能肯定它一定不会发生，这些事件称为不可能事件.
3、确定事件：必然事件和不可能事件都是确定的。

4、不确定事件：有很多事件我们无法肯定它会不会发生，这些事件称为不确定事件。

5、一般来说，不确定事件发生的可能性是有大小的。

例：下列说法错误的是( ).
A. 同时抛两枚普通正方体骰子，点数都是4的概率为
B. 不可能事件发生机会为0
C. 买一张彩票会中奖是可能事件
D. —件事发生机会为0.1%，这件事就有可能发生
二、简单事件的概率
1、概率的意义：表示一个事件发生的可能性大小的这个数叫做该事件的概率。

2、必然事件发生的概率为1,记作P (必然事件)=1,不可能事件发生的概率为0,记作P(不可能事件)=0,如果A为不确定事件，那么0<P(A)v1。

3、一步试验事件发生的概率的计算公式：(n为该事件所有等可能出现的结果数，k为事件包含的结果数)。

两步试验事件发生的概率的计算有两种方法(列表法和画树状图) 例：如图，电路图上有编号为①②③④⑤⑥共6个开关和一个小灯泡，闭合开关
①或同时闭合开关②，③或同时闭合开关④⑤⑥都可使一个小灯泡发光，问任意闭合电路上其中的两个开关，小灯泡发光的概率为
三、用频率估计概率：
1. 对于任何一个随机事件都有一个固定的概率客观存在。

2. 有些随机事件不可能用树状图和列表法求其发生的概率，只能通过试验、统计的方法估计其发生的概率。

3. 对随机事件做大量试验时，根据重复试验的特征，我们确定概率时应当注意几点：
八、、・
(1)做实验时应当在相同条件下进行；
(2)实验的次数要足够多，不能太少；
(3)把每一次实验的结果准确，实时的做好记录；
(4)分阶段分别从第一次起计算事件发生的频率，并把这些频率用折线统计图直观的表示出来；观察分析统计图，找出频率变化的逐渐稳定值，并用这个稳定值估计事件发生的概率，这种估计概率的方法的优点是直观，缺点是估计值必须在实验
后才能得到，无法事件预测。

注意：事件发生的概率是一个确定的值，而频率是不确定的。

当实验次数增大时, 频率的大小波动变小，逐渐稳定在概率附近，此时它会非常接近概率，但不一定相
例：王老汉为了与客户签订购销合同，对自己鱼塘中鱼的总重量进行估计，第一
次捞出100条，将每条鱼做上记号放入水中，当它们完全混合于鱼群后，又捞出200条，称得重量为416 kg，且带有记号的鱼为20条，王老汉的鱼塘中估计有多少条鱼？共重多少千克？
练习某射击运动员在同一条件下练习射击，结果如下表所示:
(1) 计算表中击中靶心的各个频率并填入表中。

(2) 这个运动员射击一次，击中靶心的概率约是 ___________________________
四、概率综合运用：
概率可以和很多知识综合命题，主要涉及平面图形、统计图、平均数、中位数、众数、函数等。

常见考法
(1)判断游戏公平：游戏对双方公平是指双方获胜的可能性相同。

这类问题有两类一类是计算游戏双方的获胜理论概率，另一类是计算游戏双方的理论得分；
(2)命题者经常以摸球、抛硬币、转转盘、抽扑克这些既熟悉又感兴趣的事为载体，设计问题。

进行摸球、抽卡片等实验时，没有注意“有序”还是“无序”、“有放回”还是“无放回”故造成求解错误。

例：分别把带有指针的圆形转盘A、B分成4等份、3等份的扇形区域，并在每一小区域内标上数字(如图所示).欢欢、乐乐两人玩转盘游戏，游戏规则是：同时转动两个转盘，当转盘停止时，若指针所指两区域的数字之积为奇数，则欢欢胜；若指针所指两区域的数字之积为偶数，则乐乐胜；若有指针落在分割线上，则无效，需重新转动转盘.
(1)试用列表或画树状图的方法，求欢欢获胜的概率；
(2)请问这个游戏规则对欢欢、乐乐双方公平吗？试说明理由.
第三章圆的基本性质 【本章知识框架】
圆（基本元素：圆的定义，圆心，半径，弧，弦，弦心距 的 / 认 对称性：旋转不变性，轴对称，中心对称（强） 识I
与圆有关的角：圆心角，圆周角 弧长，扇形的面积，弓形的面积，及组合的几何图形 圆锥的侧面积、全面积
一、圆的概念
1、 圆的定义：线段0A 绕着它的一个端点0旋转一周，另一个端点A 所形成的封闭 曲线，叫做圆.
点0叫做圆心，线段0P 叫做半径。

2、 弧：圆上任意两点间部分叫做圆弧，简称弧。

优弧、劣弧以及表示方法。

3、 弦，弦心距，圆心角，圆周角，
例：下列命题正确的是（）
A .相等的圆周角对的弧相等
B .等弧所对的弦相等
C.三点确定一个圆 D .平分弦的直径垂直于弦. 4、 判定一个点P 是否在。

0 上.
设。

0的半径为R, 0P= d ,则有： d>r 点P 在。

0外； 1 d = r 点 P 在O 0 上;
d<r 点P 在。

0内。

【例】OO 的半径为4 cm 若线段0A 的长为10 cm 则0A 的中点B 在。

0的 _______________
垂径定理
圆心角、弧、弦、弦心距
的关系
圆中的有关计算:
共盘zl
【例】如图，已知△ ABC内接于O Q /
若线段0A的长为6 cm,则OA的中点B在OO的___________ 。

【例】一个点到圆的最大距离为1l cm，最小距离为5 cm,则圆的半径为 ________________ 。

O
、圆的性质
【例】P（x，y）是以坐标原点为圆心，5为半径的圆周上的点，若x、y都是整数，则这样的点共有（）
A 4个
B 8 个
C 12 个
D 16 个
5、三角形的外接圆，外心
三角形的外心：是三角形三边垂直平分线的交点，它是三角形外接圆的圆心。

知识点：锐角三角形外心在三角形内部，直角三角形的外心是斜边中点，钝角三角形外心在三角形外部。

三角形外心到三角形三个顶点的距离相等。

相关知识：三角形重心，是三角形三边中线的交点，在三角形内部。

1、旋转不变性：圆是旋转对称图形，绕圆心旋转任一角度都和原来图形重合；
2、圆是中心对称图形，对称中心是圆心.
性质：在同圆或等圆中，如果两个圆心角，两条弧，两条弦，两个弦心距中有一对量相等，那么它们所对应的其余各对量也分别相等。

3、轴对称：圆是轴对称图形，经过圆心的任一直线都是它的对称轴. 垂径定理一一垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧垂径定理的推论
①平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧
②弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧
③平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧即：① AB是直径
④在同圆或等圆中，两条平行弦所夹的弧相等
②AB_CD ③CE=DE ⑤ 弧AC二弧AD中，任意2个条件推出其他推论2:圆的两条平行弦所夹的弧相等。

即：在O Q 中，T AB // CD
• ••弧AC 二弧BD
【例】世界上因为有了圆的图案，万物才显得富有生机，以下来自生活中的图
图中的（1）, （2）, （3）三个图看上去多么美丽与和谐，这正是因为圆具有轴对称性和中心对称性.
⑴ 请问（1）, （2）, （3）三个图形中是轴对称图形的有___________ ，是中心对称
图形的有__________ ;（用（1）, （2）, （3）这三个图形的代号填空）
⑵ 请在图（4）, （5）的两个圆内，按要求分别画出与上面图案不重复的图案（草图），（用尺规画，或徒手画均可，但要尽可能准确些、美观些）要求图4是轴对称图形，但不是中心对称图形；图5既是轴对称图形，又是中心对称图形。

【例】如图，OE OF分别是。

0的弦AB CD的弦心距，如果0日OF,那么—（只需写出一个正确的结论）. "
D
【例】如图，AB是。

0的直径，弦CDLAB垂足为E,如果AB= 10, CD= 8,那么AE的长为（）
【例】。

0 的半径为10cm 弦AB// CD AB= 12cm CD= 16cm 贝y AB和CD的距离为（）
A. 2cm B . 14cm
C. 2cm或14cm
D. 10cm或20cm
【例】如图，OO的直径为10 ,弦AB= 8 , P是弦AB上一个动点，那么OP的长的取值范围是__________________ .厂
4、与圆有关的角
⑴ 圆心角：顶点在圆心的角叫圆心角
圆心角的性质：圆心角的度数等于它所对的弧的度数。

⑵圆周角：顶点在圆上，两边都和圆相交的角叫做圆周角。

圆周角的性质：
①圆周角等于它所对的弧所对的圆心角的一半.
②同弧或等弧所对的圆周角相等；在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等.
③90 °的圆周角所对的弦为直径；半圆或直径所对的圆周角为直角.
那么圆中共有____________ ^寸全等三角形,
【例】如图，四边形ABCD是OO的内接四边形，且AD// BC对角线AG BD交于点E, 【例】如图所示，在OO中，AB是直径，CD是弦，AB丄CD P是圆上一动点（不与G D重合），试说明/ CPD与/ COB与有什么数量关系，并加以说明.
三、弧、扇形、圆锥侧面的计算
⑴圆的面积:S R2，周长：C = 2 R
⑵圆心角为n°,半径为R的弧长丨二讣.
180
⑶圆心角为n°,半径为R弧长为I的扇形的面积s二垃或S=3R.
360 2 知识点：弓形的面积要转化为扇形和三角形的面积和、差来计算。

⑷圆锥的侧面展开图为扇形。

底面半径为R,母线长为I，高为h的圆锥的侧面积为S pa RI，全面积为S =”RI •「R2，母线长、圆锥高、底面圆的半径之间有I2 R2 h2。

【例】扇形的半径为3 0cm，圆心角为120 °,用它做成一个圆锥的侧面，
则圆锥底面半径为（）
A 10cm
B 20cm
C 10 n cm
D 20 n cm
【例】在Rt△ ABC中，已知AB= 6, AC= 8,Z A= 90°,如果把此直角三角形绕直线AC 旋转一周得到一个圆锥，其表面积为S;把此直角三角形绕直线AB旋转一周得到另一个圆锥，其表面积为S2,那么S : S2等于（）
A 2 ：3
B 3 : 4
C 4 ：9 D5： 12
【例】如图，直角三角形ABC中，/ C= 90°, AC= 2, AB= 4,分别以AC BC 为直径作半圆，则图中阴影的面积为_____________________ 。

A
四、作图
平分已知弧；作三角形的外接圆
五、辅助线
圆中常见的辅助线
1. 作半径，利用同圆或等圆的半径相等；
2. 作弦心距，利用垂径定理进行证明或计算；
3. 作半径和弦心距，构造由“半径、半弦和弦心距”组成的直角三角形进行计算;
4. 作弦构造同弧或等弧所对的圆周角；
5. 作弦、直径等构造直径所对的圆周角一一直角；
6. 遇到三角形的外心常连结外心和三角形的各顶点。

第四章相似三角形
知识点1 相似图形
形状相同的图形叫相似图形，在相似多边形中，最简单的是相似三角形 知识点2
比例线段的相关概念
如果选用同一单位量得两条线段a,b 的长度分别为m,n ，那么就说这两条线段的比 是 a = m -，或写成 a:b = m:n .
b n
注意：在求线段比时，线段单位要统一，单位不统一应先化成同一单位.
在四条线段a, b, c,d 中，如果a 和b 的比等于c 和d 的比，那么这四条线段a,b,c, d 叫做 成比例线段，简称比例线段.
(1) 当两个比例式的每一项都对应相同，两个比例式才是同一比例式.
(2) 比例线段是有顺序的，如果说a 是b,c,d 的第四比例项，那么应得比例式为:
b d
c a
知识点3 比例的性质
基本性质：
(1) a : b = c: d 二 ad = bc ; (2) a : c = c : b c 2 = a b .
注意：
由一个比例式只可化成一个等积式，而一个等积式共可化成八个比例式，如 ad = be ，除 了可化为a:b=c:d ，还可化为a:c = b:d
c:a=d:b , d:c = b:a , d:b = c:a .
更比性质(交换比例的内项或外项j_c=.
d 「
反比性质(把比的前项、后项交换)：-b .
b d a
c 合比性质：色=2=^=曰.
b d b d
注意：实际上，比例的合比性质可扩展为：比例式中等号左右两个比的前项, 后项之间
b _a _ d _
c 发生同样和差变化比例仍成
立.如：＜
a c
等等.
b d | a —b
c — d
a b c d
等比性质:
如果邑二£=三「=m (b d f …n"),那么“ce —a . bdf
n b+d + f +…+ nb
，竺,(交换内项 b :d =a:c ，b:a =d:c
，
c d
丄仝，(交换外项) b a
•(同时交换内外项) •C a
注意：(1)此性质的证明运用了“设k法”，这种方法是有关比例计算，变形中一种常用方法.
(2) 应用等比性质时，要考虑到分母是否为零.
(3) 可利用分式性质将连等式的每一个比的前项与后项同时乘以一个数，再利用
等比性质也成立.如：a冬二空=土」工；其中
b d f b -2d 3f b-2d+3f b
b -2d 3f =0 .
知识点4 比例线段的有关定理
平行线分线段成比例定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例. 推论：
(1) 平行于三角形一边的直线截其它两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比
例.
(2) 平行于三角形一边并且和其它两边相交的直线，所截得的三角形的三边与原三角形三边对
应成比例.
定理：如果一条直线截三角形的两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形第三边.
知识点5 黄金分割
把线段AB分成两条线段AC,BC(AC ■ BC),且使AC是AB和BC的比例中项，叫做把线段AB 黄金分割，点C叫做线段AB的黄金分割点，其中AC二专1 AB〜
0.618 AB .
知识点6 相似三角形的概念
对应角相等，对应边成比例的三角形，叫做相似三角形. 相似用符号“"”表示，读作“相似于”
.
相似三角形对应边的比叫做相似比(或相似系数). 相似三角形对应角相等，对应边成比例.
①对应性：即两个三角形相似时，通常把表示对应顶点的字母写在对应位置上，这样写比较
容易找到相似三角形的对应角和对应边.
②顺序性：相似三角形的相似比是有顺序的.
③两个三角形形状一样，但大小不一定一样.
④全等三角形是相似比为1的相似三角形.二者的区别在于全等要求对应边相等，而相似要求
对应边成比例.
知识点7 相似三角形的基本定理
定理：平行于三角形一边的直线和其它两边(或两边延长线)相交，所构成的三
角形与原
三角形相似. 定理的基本图形：
用数学语言表述是:
DE//BC ,
ADE s ABC .
知识点8 相似三角形的等价关系
(1) 反身性：对于任一ABC有ABC S ：ABC .
(2) 对称性：若ABC S .ABC，则. A'B'C'S :ABC .
(3) 传递性：若ABC S.AB'C■，且：A'B'C s AB C，贝U ABC s AB C .
知识点9 三角形相似的判定方法
1、定义法：对应角相等，对应边成比例的两个三角形相似.
2、平行法：平行于三角形一边的直线和其它两边(或两边的延长线)相交，所构成的三角
形与原三角形相似.
3、判定定理1:如果一个三角形的两个角与另一个三 A 角形的两个角对应相等，那么这两
个三角形相似.简述为：两角对应相等，两三角形相
似. i
4、判定定理2:如果一个三角形的两条边和另一个三角形的两条边对应成比例，并且夹
角相等，那么这两个三角形相似.简述为：两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似.
5、判定定理3：如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例，那么这
两个三角形相似.简述为：三边对应成比例，两三角形相似.
6、判定直角三角形相似的方法：
(1) 以上各种判定均适用.
(2) 如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成
比例，那么这两个直角三角形相似.
(3) 直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形与原三角形相似.
直角三角形中，斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项。

每一条直
角边是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项。

公式 如图，Rt △ ABC 中，/ BAC=90 , AD 是斜边BC 上的高，则有射影定 理如下：(1)( AD 2=BD - DC
(2) ( AB )2=BD- BC , (3)
( AC ) 2=CD- BC 。

证明：在 △ BAD 与△ ACD 中，/ B+Z C=90°，/ DAC # C=90°，二/ B=ZD
AC,又T Z BDA Z ADC=90，二△ BAB A ACD 相似，AD/BD = CD/AD,即
(AB ) 2+ (AC ) 2= ( BC )
这就是勾股定理的结论
知识点10
相似三角形性质
(1) 相似三角形对应角相等，对应边成比例.
(2) 相似三角形对应高的比，对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比. (3) 相似三角形周长的比等于相似比.
(4) 相似三角形面积的比等于相似比的平方.
(5) 相似三角形性质可用来证明线段成比例、角相等，也可用来计算周长、边长 等.
知识点11
相似三角形常见的图形
(1) 若 DE// BC( A 型和 X 型)则厶 ADE^A ABC
(2) 射影定理 若CD 为Rt △ ABC 斜边上的高(双直角图形)
则 Rt △ AB3Rt △ AC S Rt △ CBD 且 AC 二AD ・ AB, CD=AD ・ BD, B C=BD ・ AB;
(AD ) 2=BD- DC 其余类似可证。

A
E
理还可以证明
D
定理。

由公式
2) + (3)得: B
C
—
A D B
(AB ) 2+ B A C ) 2=B D- BC+C D BC C (BD+CD) BC=( BC ) 2,
注：由上述射f。