设计实验过程 助推数学建模——《圆的周长》教学实践及思考
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继续观察这三个圆，周长与直径可能有什么关 系？说说你猜想的依据。（2 倍多；3 倍；4 倍等）
【思考：人类认识事物的过程都是从模糊到清晰、 从粗略到精确的，小学生的认识过程也不应该违背这 样的规律。C=仔伊d，其中 d 是变量，仔 是常数。要探索
周长的计算方法，需要找到相关变量的存在。从学生 已有的认知考虑，不难知道圆的周长与圆的大小有 关，与圆的半径或直径有关。而圆的大小是由圆的半 径决定的，因此圆的周长的大小必定与圆的半径有 关，也必然与直径有关，聚焦圆的直径成为探究对象 的必然选择。这一过程旨在让学生了解知识从哪里 来，避免了只是“鱼烧中段”的现象，而寻找相关变量 在建模过程中往往被忽视。圆的周长与直径究竟有什 么关系，本环节旨在让学生通过观察凭借直觉作出估 计，体现猜想有理有据的思维过程，实践表明学生是 可以作出合乎逻辑的猜想的。】
材料：每组三个圆片（直径分别是 6cm、5cm、4cm），1 卷胶带纸，一把剪刀，一张彩纸。 要求：淤4 人合作完成。组长分工。用胶带纸紧紧地绕 圆片正好一圈，做个记号，用剪刀剪下来。把绕圆片 一圈的胶带纸拉直贴在彩纸上。
于像这样完成三个圆片的操作。组员轮流进行。 盂完成后思考：现在能测量出圆的周长了吗？为 什么？
5援质疑：对于这个发现，你有什么想法或疑问吗？ 大胆地去想。（其他的圆是不是也这样；会不会有一 个圆，它的周长不是 3 倍多一些，而是 2 倍多一些或 者 4 倍多一些呢？真的这么神奇吗？3 倍多一些会不 会是一种巧合？）
6援进一步验证：其他圆的周长也是直径的 3 倍多 一些吗？
（学生拿出课前准备的有圆形的实物进行验证） 交流：你们的验证结果如何？（都是直径的 3 倍多 一些） 7援数学方法验证说明：对于这个问题，我们没办 法一个一个去验证，我们可以通过数学的方法来说 明。课件演示：
三、合理猜想，实验验证 1援初步猜想：观察下面这三个圆，结合刚才拉直 的一圈纸条的长度，想一想圆的周长可能与什么有 关？（圆的大小；圆的直径；圆的半径）
圆的周长的长短与什么有关，观察这三个圆，你有答案吗？
师：其实圆的大小归根结底是由半径或直径决定 的。下面我们就先来研究圆的周长与直径之间的关系。
2援进一步猜想：圆的周长与直径可能存在什么关 系？
（2）学生操作测量。 （3）展示学生作品。
6cm
5cm
4cm
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小学教学 计·数学 2021/05
交流：现在可以测量出圆的周长了吗？为什么？ （板书：化曲为直） 3援情境冲突。
小狗在地上绕一圈画了一个圆，电风扇旋转也形 成了一个圆，它们的周长也能像刚才那样化曲为直测 量出来吗？
（小狗画的圆比较大，电风扇形成的圆没有痕迹） 小结：看来我们需要像长方形或正方形那样研
究出圆的周长的ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ算方法。 【思考：用线绕圆一圈再把线拉直、圆滚动一周等
测量方法，其本质就是化曲为直，而要领会这种数学 思想方法不能通过口头交流，需要学生在实际操作的 过程中去体会，即如何把弯曲的线转化成直的线。学 生通过三个圆的操作，亲身体会把“曲”线转化成“直” 线的过程，化曲为直的思想在学生的“慢”操作中深入 人心。用胶带纸拉直的方法来测量更易操作且比较准 确，此过程又为下面探究周长与直径之间的关系提供 了实验操作的素材。】
3援操作验证。交流：可以用什么办法来验证我们 的猜想？（量出数据再比较。更简单的方法：直接用直 径去量，看有几个直径这么多等）
进一步交流：怎样用直径去量？（在学生交流的基 础上教师演示量法）
用直径去量一量，并在纸带上标出有几个直径长。
6cm
6cm
5cm
5cm
4cm
4援交流。你有发现吗？（圆的周长都是直径的 3 倍 多一些）
系，新的内容教学前通过渲染让学生进一步体 会圆的特征的这种神奇，有利于学生更好地体 会将要学习的圆的周长以及后续学习的圆的 面积的计算模型的美妙。】
二、化曲为直，体会转化 1援你知道圆的周长是指什么吗？ 指出：圆一周曲线的长就是圆的周长。 2援怎么测量出圆的周长呢？ （1）学生讨论。 随机课件演示：线绕圆一圈、圆滚动一周 等测量方法，并追问：为什么不直接用直尺量？ 师：下面我们就用胶带纸绕一圈的方法， 把圆的周长“拉直”了来量。
一、提出问题，产生悬念 师：我们已经认识了圆，与其他平面图形 相比，圆有哪些特别之处？ （圆是一条封闭的曲线；同一个圆内半径 有无数条，并且半径都相等；直径也是如此；圆 有无数条对称轴） 师：圆是不是很神奇？ （太神奇了。圆无论怎么对折两边都能完 全重合，长方形能吗?正方形呢？……） 师：还想研究圆的什么问题呢？ （圆的周长、面积等） 师：是的，我们在研究其他图形时也是从 周长和面积两个方面进行的，善于联想是一种 很好的学习方法。那么在研究圆的周长的过程 中还会有什么神奇的事情发生呢？期待吗？ 【思考：圆的周长与直径之间的关系本身 就是非常独特的，这种独特与圆的特征不无关
（2）正方形的周长是直径的几倍？圆的周长有直 径的 4 倍吗？（圆的周长比直径的 4 倍少）
（3）正六边形的周长与圆的周长比较，谁大？那么 正六边形的周长是直径的几倍呢？
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教例反思
（1）图中正方形与圆有什么关系？（圆的直径等于正 方形的边长），正方形的周长与圆的周长有什么关系？ （圆的周长比正方形的周长小） 正六边形的周长与圆的 周长有什么关系？（正六边形的周长比圆的周长小）
教例反思
———《圆的周长》教学实践及思考
文 | 韦波富
《圆的周长》 是苏教版五年级下册的教学 内容，它属于图形测量范畴。C=仔伊d 反映的是 圆的周长与直径之间的关系，是一个数学模 型。该模型不同于长方形周长，是不易通过观 察、操作等活动能直接发现的，需要引导学生 通过大量的实验并结合人类已经走过的探索 历程和取得的成就逐步建构起来。其教学价值 在于发现圆本身的奇妙之处、数学思想方法的 独特性以及探索经验的可迁移性。
【思考：人类认识事物的过程都是从模糊到清晰、 从粗略到精确的，小学生的认识过程也不应该违背这 样的规律。C=仔伊d，其中 d 是变量，仔 是常数。要探索
周长的计算方法，需要找到相关变量的存在。从学生 已有的认知考虑，不难知道圆的周长与圆的大小有 关，与圆的半径或直径有关。而圆的大小是由圆的半 径决定的，因此圆的周长的大小必定与圆的半径有 关，也必然与直径有关，聚焦圆的直径成为探究对象 的必然选择。这一过程旨在让学生了解知识从哪里 来，避免了只是“鱼烧中段”的现象，而寻找相关变量 在建模过程中往往被忽视。圆的周长与直径究竟有什 么关系，本环节旨在让学生通过观察凭借直觉作出估 计，体现猜想有理有据的思维过程，实践表明学生是 可以作出合乎逻辑的猜想的。】
材料：每组三个圆片（直径分别是 6cm、5cm、4cm），1 卷胶带纸，一把剪刀，一张彩纸。 要求：淤4 人合作完成。组长分工。用胶带纸紧紧地绕 圆片正好一圈，做个记号，用剪刀剪下来。把绕圆片 一圈的胶带纸拉直贴在彩纸上。
于像这样完成三个圆片的操作。组员轮流进行。 盂完成后思考：现在能测量出圆的周长了吗？为 什么？
5援质疑：对于这个发现，你有什么想法或疑问吗？ 大胆地去想。（其他的圆是不是也这样；会不会有一 个圆，它的周长不是 3 倍多一些，而是 2 倍多一些或 者 4 倍多一些呢？真的这么神奇吗？3 倍多一些会不 会是一种巧合？）
6援进一步验证：其他圆的周长也是直径的 3 倍多 一些吗？
（学生拿出课前准备的有圆形的实物进行验证） 交流：你们的验证结果如何？（都是直径的 3 倍多 一些） 7援数学方法验证说明：对于这个问题，我们没办 法一个一个去验证，我们可以通过数学的方法来说 明。课件演示：
三、合理猜想，实验验证 1援初步猜想：观察下面这三个圆，结合刚才拉直 的一圈纸条的长度，想一想圆的周长可能与什么有 关？（圆的大小；圆的直径；圆的半径）
圆的周长的长短与什么有关，观察这三个圆，你有答案吗？
师：其实圆的大小归根结底是由半径或直径决定 的。下面我们就先来研究圆的周长与直径之间的关系。
2援进一步猜想：圆的周长与直径可能存在什么关 系？
（2）学生操作测量。 （3）展示学生作品。
6cm
5cm
4cm
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小学教学 计·数学 2021/05
交流：现在可以测量出圆的周长了吗？为什么？ （板书：化曲为直） 3援情境冲突。
小狗在地上绕一圈画了一个圆，电风扇旋转也形 成了一个圆，它们的周长也能像刚才那样化曲为直测 量出来吗？
（小狗画的圆比较大，电风扇形成的圆没有痕迹） 小结：看来我们需要像长方形或正方形那样研
究出圆的周长的ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ算方法。 【思考：用线绕圆一圈再把线拉直、圆滚动一周等
测量方法，其本质就是化曲为直，而要领会这种数学 思想方法不能通过口头交流，需要学生在实际操作的 过程中去体会，即如何把弯曲的线转化成直的线。学 生通过三个圆的操作，亲身体会把“曲”线转化成“直” 线的过程，化曲为直的思想在学生的“慢”操作中深入 人心。用胶带纸拉直的方法来测量更易操作且比较准 确，此过程又为下面探究周长与直径之间的关系提供 了实验操作的素材。】
3援操作验证。交流：可以用什么办法来验证我们 的猜想？（量出数据再比较。更简单的方法：直接用直 径去量，看有几个直径这么多等）
进一步交流：怎样用直径去量？（在学生交流的基 础上教师演示量法）
用直径去量一量，并在纸带上标出有几个直径长。
6cm
6cm
5cm
5cm
4cm
4援交流。你有发现吗？（圆的周长都是直径的 3 倍 多一些）
系，新的内容教学前通过渲染让学生进一步体 会圆的特征的这种神奇，有利于学生更好地体 会将要学习的圆的周长以及后续学习的圆的 面积的计算模型的美妙。】
二、化曲为直，体会转化 1援你知道圆的周长是指什么吗？ 指出：圆一周曲线的长就是圆的周长。 2援怎么测量出圆的周长呢？ （1）学生讨论。 随机课件演示：线绕圆一圈、圆滚动一周 等测量方法，并追问：为什么不直接用直尺量？ 师：下面我们就用胶带纸绕一圈的方法， 把圆的周长“拉直”了来量。
一、提出问题，产生悬念 师：我们已经认识了圆，与其他平面图形 相比，圆有哪些特别之处？ （圆是一条封闭的曲线；同一个圆内半径 有无数条，并且半径都相等；直径也是如此；圆 有无数条对称轴） 师：圆是不是很神奇？ （太神奇了。圆无论怎么对折两边都能完 全重合，长方形能吗?正方形呢？……） 师：还想研究圆的什么问题呢？ （圆的周长、面积等） 师：是的，我们在研究其他图形时也是从 周长和面积两个方面进行的，善于联想是一种 很好的学习方法。那么在研究圆的周长的过程 中还会有什么神奇的事情发生呢？期待吗？ 【思考：圆的周长与直径之间的关系本身 就是非常独特的，这种独特与圆的特征不无关
（2）正方形的周长是直径的几倍？圆的周长有直 径的 4 倍吗？（圆的周长比直径的 4 倍少）
（3）正六边形的周长与圆的周长比较，谁大？那么 正六边形的周长是直径的几倍呢？
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教例反思
（1）图中正方形与圆有什么关系？（圆的直径等于正 方形的边长），正方形的周长与圆的周长有什么关系？ （圆的周长比正方形的周长小） 正六边形的周长与圆的 周长有什么关系？（正六边形的周长比圆的周长小）
教例反思
———《圆的周长》教学实践及思考
文 | 韦波富
《圆的周长》 是苏教版五年级下册的教学 内容，它属于图形测量范畴。C=仔伊d 反映的是 圆的周长与直径之间的关系，是一个数学模 型。该模型不同于长方形周长，是不易通过观 察、操作等活动能直接发现的，需要引导学生 通过大量的实验并结合人类已经走过的探索 历程和取得的成就逐步建构起来。其教学价值 在于发现圆本身的奇妙之处、数学思想方法的 独特性以及探索经验的可迁移性。