三元函数的极值

本科生毕业论文题目：三元函数的极值及实例应用
*名：***
学号： ************
专业：应用数学
年级： 2010级
学院：数学与统计学院
完成日期：14年5月25日
指导教师：彭德军老师
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目录
引言 (1)
1 一、二元函数的极值及最值问题 (1)
1．1一元函数的极值及最值 (1)
1．2二元函数的极值及最值 (2)
1．2．1 二元函数极值的定义 (2)
1．2．2 二元函数取得极值的条件 (3)
1．2．3 求二元函数极值的一般步骤 (3)
2三元元函数的极值及应用 (4)
2．2．1 三元函数极值的定义 (2)
2．1．2 三元函数取得极值的条件 (5)
3 三元函数求解极值的步骤 ............. 错误!未定义书签。

4 求三元函数极值的例子............... 错误!未定义书签。

5 结束语 (9)
参考文献 (10)
谢辞................................. 错误!未定义书签。

三元函数的极值及实例应用
作者：吕思毕指导老师：彭德军老师
（海南师范大学数学与应用数学，海口市，571158）
摘要：本篇文章先从一元函数的极值与二元函数的极值的基础知识入手并讨论
它们的定义、取极值的条件以及一元、二元函数的实例，而后把一、二元函数的
极值问题推理到三元函数。

本文在探究三元函数极值的时候，首先借鉴文献给出
三元函数的定义以及极值的判定条件，然后以二元函数的归纳为模版，自己归纳
得出三元函数极值的步骤，最后用一些实例说明自己的求极值步骤。

.
关键词:三元函数；极值；
The ternary function extreme value and its application instance Author: Lv Sibi guidance teacher: Peng Dejun teacher
Mathematics and applied mathematics (hainan normal university, haikou city, 571158).
Pick to:This article first from value of monadic function this basic definition, take extreme conditions as well as a yuan, dual function instance, the extreme value of binary function reasoning function to three
yuan. This article explore the ternary function extreme value, the first reference to the literature presents the definition of ternary function
and judge condition of extreme value, and then to dual function as templates.summarized the ternary function extremum steps. with some examples finally own extreme steps. .
Keywords: three yuan functions;The extreme;
引言：函数极值是否存在问题和它的判别方法一直都是微积分学的应用的一大热门问题，无论是在桥梁设计，还是在航天工程，亦或规划运筹方面，把它们中的实际问题变为求解极值都是很通用的.文献[1]、[2]讨论了一元、二元函数的定义，判定方法等，参考文献[3]-[10]得到三元函数的定义、判定条件。

而文献
[1]给出二元函数极值求解步骤，[3]、[5]给出一些三元函数的求解方法，最后通过归纳得出三元函数的求解步骤。

1 一、二元函数的极值及最值问题
1．1 一元函数的极值及最值
对于一元函数，都能很直观的判别出它的极值，基本有一下3种方法：
设函数f 在I 内有意义，如果0
00()x x I ∈是f 的极值点，且f 在0x 能导，那么
0()0f x '=. ①：设函数f 在0x 的区间0(,)U x δ连续，在空心区间0
0(,)U x δ能导. (1)当00(,)x x x δ∈-时，()0f x '≤;00(,)x x x δ∈+时，()0f x '≥，则0x 是f 的 极小值点；
(2)当00(,)x x x δ∈-时，()0f x '≥;00(,)x x x δ∈+时，()0f x '≤，则0x 是f 的极大值点；
(3)当0
0(,)x U x δ∈时，如果f '不改变符号，那么0x 不是f 的极值点.
②：设函数f 在0x 的邻域0()U x 可导，0x 是f 的临界点，即0()0f x '=，且0()f x ''存在.
(1)若0()0f x ''<，则0x 是f 的极大值点.
(2)若0()0f x ''>，则0x 是f 的极小值点.
2．2 二元函数的极值及最值
2．2．1 二元函数极值的定义
设函数(,)z f x y =，如果00(,)(,)f x y f x y <函数在0P 00(,)x y 有最大值，反之有最小值。

例1函数2275y x z +=在(0,0)处有极小值.
解 当(,)(0,0)x y =时，0z =，而当(,)(0,0)x y ≠时，0z >.因此0z =是函数的极小值.
例2函数z =1322++-y x 在(0,0)处有极大值.
解 当(,)(0,0)x y =时，1-=z ，而当(,)(0,0)x y ≠时，1-<z .因此1-=z 是函数的极大值.
此题在（0，0）处不可偏导，但是存在极大值。

3.函数z xy =在(0,0)处无极值.，（0，0）是驻点
以上关于二元函数的极值概念的一些加强练习，但题目给的较为简单，可以根据二元函数极值的定义很直观的就可以看出来。

然而当遇到333z x y xy =+-、1
22+++=y x y x z ,就需要我们采用极值判定的专业方法。

2．2．2 二元函数取得极值的条件 二元函数(,)z f x y =在00(,)x y 处有极值、有偏导。

那么在这个点的偏导一定为零，00(,)0x f x y =，00(,)0y f x y =.
凡能使一阶偏导数00(,)0x f x y =、00(,)0y f x y =同时为零的点00(,)x y ，均称为函数的驻点.
设函数(,)z f x y =在点00(,)x y 的某区间内，有偏导。

且00(,)0x f x y =， 00(,)0y f x y =.
记00(,)xx f x y A =，00(,)xy f x y B =，00(,)yy f x y C =，则(,)f x y 在点00(,)x y 处能取得极值则要满足一下条件：：
(1)当20B AC -<时，点00(,)x y 是极值点，时有极大值《当0A ，反之去极小值点；
(2)当20B AC ->时不是极值点；
(3)当20B AC -=时可能是极值点，也可能不是极值点.
2．2．3 求二元函数极值的一般步骤
求(,)z f x y =的极值的步骤：
(1)首先求偏导数0),(=y x f x ， 0),(=y x f y 、A y x f xx =),(、C y x f yy =),(、B y x f xy =),(；
(2)再求出函数(,)z f x y =的各个驻点，即⎩⎨⎧==0),(0),(y x f y x f y x
(3)把所得驻点代入A 、B 、C,然后确定AC B -2的大小，判断出二元函数的最大、最小值。

例1求函数333z x y xy =+-的极值
解 33(,)3f x y x y xy =+-，
（1）首先求偏导数：2(,)33x f x y x y =-，2(,)33y f x y y x =-，
(,)6xx f x y x =，(,)3xy f x y =- ，(,)6yy f x y y =，
（2）求驻点：由22(,)330(,)330x y f x y x y f x y y x ⎧=-=⎪⎨=-=⎪⎩，解得驻点)0,0( , )1,1(.
（3）判断极值：
①有对于驻点)1,1(6)1,1(,3)1,1(,6)1,1(==-====yy xy xx f C f B f A ， ,03692<-=-AC B 于是因为06>=A ，
1)1,1( )1,1( -=f 点取得极小值所以函数在， ②0,3,0),0,0(=-==C B A 对于驻点，
,09 2>=-AC B 所以于是点(0,0)不是极值点.
例2. 求二元函数18),(2
3+-+-=y xy x x y x f 的极值
解：（1）首先求偏导数：y x x y x f x +-=83),(2，1),(-=x y x f y ，86),(-=x y x f xx ，0),(=y x f yy ，1),(=y x f xy
（2）求驻点，由⎪⎩⎪⎨⎧=-==+-=010832x f y x x f y x ，解得驻点为（1，5）
（3）A=2)5,1(-=xx f ，B=1=xy f ，C=0)5,1(=yy f ，所以012>=-AC B
所以，（1，5）不是极值点
例3 求1
22+++=y x y x z 的最大值和最小值. 解 由 22222(1)2()0(1)x x y x x y z x y ++-+==++，22222
(1)2()0(1)y x y y x y z x y ++-+==++， 得驻点 )21
,21
(和)21
,21
(--. 因为01lim 22=+++∞
→∞→y x y x y x ，边界上的值为零，
z =，(z =， 所以最大值为21，最小值为21
-.
2．3 三元函数的极值问题及应用
2．3．1 三元函数的定义
函数),,(z y x f z =，若满足不等式),,(),,(000z y x f z y x f <，则有最大值，反之有最小值。

2．3．1 三元函数取极值的条件
三元函数(),,u f x y z =在()0000,,P x y z 处有偏导和极值。

那么在这个点的偏导为零，()000,,0x f x y z =，()000,,0y f x y z =，()000,,0z f x y z =
如果能使偏导()000,,0y f x y z =、00(,)0y f x y =，()000,,0z f x y z =一起等于零的点()0000,,P x y z ，统一叫做为三元函数的驻点.
设函数(),,u f x y z =在点()0000,,P x y z 偏导存在。

()000,,0x f x y z =，
()000,,0y f x y z =，()000,,0z f x y z =
令A z y x f xx =),,(000，B z y x f yy =)(0,0,0，C z y x f zz =),,(000，D z y x f xy =),,(000，
E z y x f xz =),,(000,
F z y x f yz =),,(000则),,(z y x f 在点）（000,,z y x 处只有满足一下条
件就可以取得极值点：
处取得极小值在时，三元函数当),,(),,(010
101)1(0000222z y x p z y x f u F C E B D A =⎪⎩
⎪
⎨⎧>-->-->--则
(),,u f x y z =在()0000,,P x y z 处取得极小值。

处取得极大值在时，三元函数),,(010
101)2(000022
2z y x p f F C E B D A f ⎪⎩
⎪⎨⎧<++<++<++
3.三元函数极值的求解步骤
求(),,u f x y z =的极值的步骤：
(1)首先求偏导数()000,,0x f x y z =，()000,,0y f x y z =，()000,,0z f x y z =、
00(,)xy f x y B =、00(,)yy f x y C =；A z y x f xx =),,(000，B z y x f yy =)(0,0,0，
C z y x f zz =),,(000，
D z y x f xy =),,(000，
E z y x f xz =),,(000,
F z y x f yz =),,(000
(2)确定f 的各个驻点，即求解⎪⎩⎪⎨⎧===0),,(0
),,(0
),,(0
00000000z y x f z y x f z y x f z y x
（3）根据判断三元函数极值的条件确定f 在相应驻点的极值（确定
⎪⎩
⎪
⎨⎧++++++⎪⎩
⎪⎨⎧------11111122222
2F C E B D A F C E B D A 与的大小关系来判断三元函数的极值）.
4.三元函数极值的求解例题
例1. 求三元函数z y x z y x z y x f 64232),,(222-++++=的极值 解：（1）先求偏导数022=+=x f x ，44+=y f y =0，66-=z f z =0，
0,0,,6,4,2======yz xz xy zz yy xx f f o f f f f
（2）三元函数f 的驻点为，⎪⎩⎪⎨⎧=-==+==+=0660
44022z f y f x f z
y x 解得：驻点
)1,1,1(0--p
（3）根据三元函数极值判断条件的: ⎪⎩
⎪
⎨⎧>=-->=-->=--0510
31011222F C E B D A
所以，)1,1,1(0--p 为三元函数的极小值
例2 求三元函数z y x z y x f 22),,(--=满足条件的1222=++z y x 的极值
解： 令)1(22222-+++--=z y x z y x u λ
（1）先求偏导数：021=+=λx u ，022=+-=y u y λ，z u z λ22+=，
λ2=xx u ，λ2=yy u ，λ2=zz u ，0===yz xz xy u u u
（2）三元函数u 的驻点为，⎪⎪⎩⎪⎪⎨
⎧=++=+==+-==+=1
22022021222z y x z u y u u z y
x λλλ，
2
3),3
2,3
2,31(11=--λp
2
3),3
2,32,3
1(22-=-λp
（3） ①时当)32,32,31(p ，⎪⎩
⎪
⎨⎧>=-->=-->=--0
210
210
21222F C E B D A ,所以函数在
)3
2
,32,31(1--p 处可以得到最小值，且最小值为-3
②时当)32
,32,31( p ，⎪⎩
⎪⎨⎧<-=++<-=++<-=++0
210
21021222F C E B D A ,所以函数在
)3
2
,32,31(2-p 处取得极大值，且极大值为3
例3. 把12分成z y x ,,之和，求z y x u 23=为最大值.
解：令)12(),,(2
3-+++=z y x z y x z y x f λ
（1）首先求偏导数：λ+=z y x f x 223，λ+=yz x f y 3
2，λ+=3
3
y x f z ，
0,2,632===zz yy xx f z x f z xy f ，yz x f xy 26=，223y x f xz =，y x f yz 32=
（2）函数f 的驻点为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=++=+==+==+=12
00
2032
33
22z y x y x f yz x f z y x f z y x λλλ，解得驻点为（6，4，2）
（3）根据三元函数的判定条件得：函数f 在驻点处取得最大值，所以，
691223max ==z y x u
3 结束语
随着近年来对函数的极值研究日益广泛，它在理论和实践上都有很重要的运用。

..本文通过引入一元、二元函数并讨论它们的极值问题，而在二元函数的极值判别的时候大多数都是利用黑塞矩阵判断极值，即化为比较2B -AC 大小，除此之外还有另一种求极值的方法拉格朗日乘数法。

对于黑塞矩阵法需要的条件很强，要求函数二阶可微，有一定的局限性，而拉格朗日乘数法求极值时我们也要求函数有连续偏导数，本文主要是以黑塞矩阵为基础，以文献[4]为指引，然后归纳出求
三元函数的的一个小方法.
参考文献
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