2020年高考数学一轮复习课时分层训练20三角函数的图像与性质理北师大版_4166.doc

课时分层训练(二十) 三角函数的图像与性质
A 组 基础达标
一、选择题 1．函数y ＝
cos x －
3
2
的定义域为( ) 【导学号：79140113】
A.⎣⎢⎡⎦
⎥⎤－π6，π6 B.⎣
⎢⎡⎦⎥⎤k π－π6，k π＋π6(k ∈Z ) C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π－π6，2k π＋π6(k ∈Z ) D ．R
C [由cos x －
32≥0，得cos x ≥32，所以2k π－π6≤x ≤2k π＋π
6
，k ∈Z .] 2．(2017·广州五校联考)下列函数中，周期为π的奇函数为( )
A ．y ＝sin x cos x
B ．y ＝sin 2
x
C ．y ＝tan 2x
D ．y ＝sin 2x ＋cos 2x
A [y ＝sin 2
x 为偶函数；y ＝tan 2x 的周期为π2；y ＝sin 2x ＋cos 2x 为非奇非偶函
数，故B 、C 、D 都不正确，选A.]
3．已知函数f (x )＝sin x ＋a cos x 的图像关于直线x ＝5π
3
对称，则实数a 的值为( )
A ．－ 3
B ．－33
C. 2
D.
22 B [由x ＝5π
3是f (x )图像的对称轴，
可得f (0)＝f ⎝
⎛⎭
⎪⎫10π3，
即sin 0＋a cos 0＝sin 10π3＋a cos 10π
3，
解得a ＝－
3
3
.] 4．已知函数f (x )＝sin ⎝
⎛⎭⎪⎫ωx ＋π6－1(ω＞0)的最小正周期为2π3，则f (x )的图像的一条对
称轴方程是( ) A ．x ＝π9
B ．x ＝π6
C ．x ＝π3
D ．x ＝π2
A [依题意，得2π|ω|＝2π3，|ω|＝3，又ω＞0，所以ω＝3，令3x ＋π6＝k π＋π
2(k ∈Z )，
解得x ＝
k π
3
＋
π9(k ∈Z )，当k ＝0时，x ＝π
9
.因此，函数f (x )的图像的一条对称轴方程是x ＝π
9
.]
5．已知ω＞0，函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π4在⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π上单调递减，则ω的取值范围可以是( )
A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，54
B.⎣⎢⎡⎦
⎥⎤12，34 C.⎣⎢⎡⎦
⎥⎤0，12 D ．(0,2]
A [由
π2＜x ＜π，ω＞0得π2ω＋π4＜ωx ＋π4＜πω＋π
4
，由题意结合选项，令⎝ ⎛⎭⎪⎫π2ω＋π4，πω＋π4⊆⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，3π2，所以⎩⎪⎨⎪⎧
π2
ω＋π4≥π
2，πω＋π4≤3π
2，所以12≤ω≤5
4
.]
二、填空题
6．已知f (x )＝2sin ⎝
⎛⎭⎪⎫x ＋π4，x ∈[0，π]，则f (x )的单调递增区间为________.
【导学号：79140114】
⎣⎢⎡⎦
⎥⎤0，π4 [由－π2＋2k π≤x ＋π4≤π2＋2k π，k ∈Z ，得－3π4＋2k π≤x ≤π4＋2k π，
k ∈Z .又x ∈[0，π]，所以f (x )的单调递增区间为⎣
⎢⎡⎦
⎥⎤
0，π4
.]
7．(2018·兰州模拟)已知下列函数：
①f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3； ②f (x )＝2sin ⎝
⎛⎭⎪⎫2x －π6； ③f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12
x ＋π3；
④f (x )＝2sin ⎝
⎛⎭⎪⎫2x －π3. 其中，最小正周期为π且图像关于直线x ＝π
3对称的函数的序号是________．
② [③中函数f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋π3的最小正周期为4π，故③错误．将x ＝π3分别代
入①②④中，得其函数值分别为0,2，3，因为函数y ＝A sin x 在对称轴处取得最值，故①④错误，②正确．]
8．函数y ＝tan ⎝
⎛⎭⎪⎫2x ＋π4的图像与x 轴交点的坐标是________．
⎝ ⎛⎭
⎪⎫k π2－π8，0，k ∈Z [由2x ＋π4＝k π(k ∈Z )得，x ＝k π2－π8(k ∈Z )，
所以函数y ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4的图像与x 轴交点的坐标是⎝ ⎛⎭⎪⎫k π2－π8，0，k ∈Z .] 三、解答题
9．已知函数f (x )＝23sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋π4·cos ⎝ ⎛⎭
⎪⎫x 2＋π4－sin(x ＋π)．
(1)求f (x )的最小正周期；
(2)若将f (x )的图像向右平移π
6个单位长度，得到函数g (x )的图像，求函数g (x )在
区间[0，π]上的最大值和最小值．
[解] (1)f (x )＝23sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋π4·cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋π4－sin(x ＋π) ＝3cos x ＋sin x ＝2sin ⎝
⎛⎭⎪⎫x ＋π3， 于是T ＝2π
1
＝2π.
(2)由已知得g (x )＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6＝2sin ⎝
⎛⎭⎪⎫x ＋π6.
∵x ∈[0，π]，∴x ＋π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤
π6
，7π6，
∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，1，
∴g (x )＝2sin ⎝
⎛⎭⎪⎫x ＋π6∈[－1,2]．
故函数g (x )在区间[0，π]上的最大值为2，最小值为－1. 10．已知函数f (x )＝(sin x ＋cos x )2
＋cos 2x .
(1)求f (x )的最小正周期；
(2)求f (x )在区间⎣
⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的最大值和最小值．
[解] (1)因为f (x )＝sin 2
x ＋cos 2
x ＋2sin x ·cos x ＋cos 2x ＝1＋sin 2x ＋cos 2x ＝2sin ⎝
⎛⎭⎪⎫2x ＋π4＋1，
所以函数f (x )的最小正周期为T ＝2π
2
＝π.
(2)由(1)的计算结果知，f (x )＝2sin ⎝
⎛⎭⎪⎫2x ＋π4＋1. 当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，2x ＋π4∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，5π4，由正弦函数y ＝sin x 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，5π4上的图像知，
当2x ＋π4＝π2，即x ＝π
8
时，f (x )取最大值2＋1；
当2x ＋π4＝5π4，即x ＝π2时，f (x )取最小值0.综上，f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的最大值为2＋
1，最小值为0.
B 组 能力提升
11．(2017·郑州二次质量预测)将函数f (x )＝－cos 2x 的图像向右平移π
4个单位后得到函
数g (x )，则g (x )具有性质( ) A ．最大值为1，图像关于直线x ＝π
2
对称
B ．在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π4上单调递减，为奇函数
C ．在⎝ ⎛⎭⎪⎫－3π8
，π8上单调递增，为偶函数
D ．周期为π，图像关于点⎝
⎛⎭
⎪
⎫3π8，0对称
B [由题意得函数g (x )＝－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －2×π4＝－sin 2x ，易知其为奇函数，由－π2＋
2k π＜2x ＜π2＋2k π，k ∈Z 得－π4＋k π＜x ＜π
4＋k π，k ∈Z ，所以函数g (x )＝－sin
2x 的单调递减区间为⎝ ⎛⎭
⎪⎫－π4＋k π，π4＋k π，k ∈Z ，所以函数g (x )＝－sin 2x 在
⎝ ⎛⎭
⎪⎫0，π4上单调递减，故选B.]
12．(2017·安徽江南十校联考)已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)⎝
⎛⎭⎪⎫ω＞0，||φ＜π2的最小正
周期为4π，且任意x ∈R ，有f (x )≤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3成立，则f (x )图像的一个对称中心坐标是( ) A.⎝ ⎛⎭
⎪⎫－2π3，0 B.⎝ ⎛⎭
⎪⎫－π3，0
C.⎝
⎛⎭⎪⎫2π3，0
D.⎝
⎛⎭
⎪
⎫5π3，0
A [由f (x )＝sin(ωx ＋φ)的最小正周期为4π，得ω＝12.因为f (x )≤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3恒成立，
所以f (x )max ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，即12×π3＋φ＝π2＋2k π(k ∈Z )，
由|φ|＜π2，得φ＝π3，故f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋π3.
令12x ＋π3＝k π(k ∈Z )，得x ＝2k π－2π
3(k ∈Z )， 故f (x )图像的对称中心为⎝ ⎛⎭
⎪⎫2k π－2π3，0(k ∈Z )，
当k ＝0时，f (x )图像的对称中心为⎝ ⎛⎭
⎪⎫－2π3，0.] 13．若函数f (x )＝sin ⎝
⎛⎭⎪⎫ωx ＋π6(ω＞0)的图像的相邻两条对称轴之间的距离为π2，且该函
数图像关于点(x 0,0)成中心对称，x 0∈⎣
⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，则x 0＝________.
【导学号：79140115】
5π12 [由题意得T 2＝π2，T ＝π，ω＝2.又2x 0＋π6＝k π(k ∈Z )，x 0＝k π2－π
12(k ∈Z )，而x 0∈⎣
⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，所以x 0＝5π12.]
14．(2016·天津高考)已知函数f (x )＝4tan x ·sin ⎝
⎛⎭⎪⎫π2－x cos ⎝ ⎛⎭
⎪⎫x －π3－ 3.
(1)求f (x )的定义域与最小正周期；
(2)讨论f (x )在区间⎣⎢⎡⎦
⎥⎤－π4，π4上的单调性．
[解] (1)f (x )的定义域为⎩
⎪⎨⎪⎧⎭
⎪⎬⎪
⎫x ⎪⎪⎪
x ≠π
2＋k π，k ∈Z
. f (x )＝4tan x cos x cos ⎝
⎛⎭
⎪⎫
x －π3
－ 3
＝4sin x cos ⎝
⎛⎭⎪⎫x －π3－ 3
＝4sin x ⎝ ⎛⎭⎪⎫
12cos x ＋32sin x － 3
＝2sin x cos x ＋23sin 2
x － 3 ＝sin 2x ＋3(1－cos 2x )－ 3 ＝sin 2x －3cos 2x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3.
所以f (x )的最小正周期T ＝
2π
2
＝π. (2)令z ＝2x －π3，则函数y ＝2sin z 的单调递增区间是⎣⎢⎡⎦
⎥⎤－π2＋2k π，π2＋2k π，k ∈Z .
由－π2＋2k π≤2x －π3≤π
2＋2k π，
得－π12＋k π≤x ≤5π
12
＋k π，k ∈Z .
设A ＝⎣⎢⎡⎦
⎥⎤－π4，π4， B ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭
⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪
－π12
＋k π≤x ≤5π
12＋k π，k ∈Z
，易知A ∩B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π12，π4.
所以，当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π4时，f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π12，π4上单调递增，在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π
4，－π12上
单调递减．。