广东省河源市(新版)2024高考数学统编版摸底(综合卷)完整试卷

广东省河源市（新版）2024高考数学统编版摸底(综合卷)完整试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分 (共8题)
第(1)题
对于函数，若存在，使，则称点是曲线的“优美点”.已知，则曲
线的“优美点”个数为
A．1B．2
C．4D．6
第(2)题
已知函数，若存在唯一的正整数，使得，则实数的取值范围是
A
．B．C．D．
第(3)题
《九章算术》是中国古代的数学专著，在卷五《商功》重有一问题：今有沟，上广一丈五尺，下广一丈，深五尺，袤七丈.问积几何？答曰：四千三百七十尺.意思是说现在有一条水沟，截面是梯形，梯形上底长一丈五尺，下底长一丈，水沟的深为五尺，长七丈.问水沟的容积是多大？答案是4375立方尺.若此沟两坡面坡度相同，某人想给此沟表面铺上水泥进行固定，不计水泥厚度，则需要水泥多少平方尺？(一丈等于十尺)（）
A
．4375B．C．D．
第(4)题
极坐标方程的图形是（）
A．B．C．D．
第(5)题
如图，在棱长为2的正方体中，P为线段的中点，Q为线段上的动点，则下列结论正确的是（）
A．存在点Q，使得B．存在点Q，使得平面
C
．三棱锥的体积是定值D．存在点Q，使得PQ与AD所成的角为
第(6)题
如图所示，单位圆中弧AB的长为x，f(x)表示弧AB与弦AB所围成的弓形面积的2倍，则函数y＝f(x)的图像是（）
A．B．
C．D．
第(7)题
已知S n是等差数列的前n项和，若，，则（）
A．24B．26C．28D．30
第(8)题
已知，函数，.若，则的取值范围是（）
A．B
．
C
．D．
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分 (共3题)
第(1)题
已知函数，，若存在，使得对任意，，则（）
A．在单调递增
B．，，
C．，使得在上有且仅有1个零点
D．若在单调，则
第(2)题
已知a，b，c为实数，且，则下列不等式一定成立的是（）
A．B．
C
．D．
第(3)题
已知为随机事件，则下列表述中不正确的是（）
A．B．
C．D．
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 (共3题)
第(1)题
设函数，若存在唯一整数，使得，则的取值范围是________.
第(2)题
已知双曲线的左、右焦点分别为，，M是双曲线C右支上一点，记的重心为G，内心
为I．若，则双曲线C的离心率为______．
第(3)题
某公司需要把直径为的实心铁球融化后浇注为一个棱长为30cm的正方体实心模具（不计损耗），则至少需要________个这样的实心铁球．
四、解答题：本题共5小题，每小题15分，最后一题17分，共77分 (共5题)
第(1)题
《中国诗词大会》是中央电视台于2016年推出的大型益智类节目，中央电视台为了解该节目的收视情况，抽查北方与南方各5个城市，得到观看该节目的人数（单位：千人）如茎叶图所示，但其中一个数字被污损．
(1)若将被污损的数字视为0~9中10个数字中的一个，求北方观众平均人数超过南方观众平均人数的概率；
(2)该节目的播出极大激发了观众学习诗词的热情，现在随机统计了4位观众每周学习诗词的平均时间（单位：小时）与年龄（单位：岁），并制作了对照表（如下表所示）；
年龄20304050
每周学习诗词的平均时间3 3.53.54
由表中数据分析，与呈线性相关关系，试求线性回归方程，并预测年龄为60岁的观众每周学习诗词的平均时间．
附：回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为．
第(2)题
已知椭圆的短轴长为，一个焦点为．
(1)求椭圆的方程和离心率；
(2)设直线与椭圆交于两点，点在线段上，点关于点的对称点为．当四边形的面积最大时，求的值．
第(3)题
已知函数.
(1)求曲线在点处的切线方程；
(2)证明：.
第(4)题
设等差数列的前项和为.
(1)求数列的通项公式；
(2)设数列的前项和为，若，求证：.
第(5)题
已知数列满足．
(1)求数列的通项公式；
(2)设数列的前n项和为，若不等式对任意的恒成立，求实数t的取值范围；
(3)记，求证：．。