新教材适用2025版高考数学二轮总复习第3篇方法技巧引领必考小题练透第2讲填空题的解法与技巧教师用书
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【分析】 先依据题设条件可得k>1，再联立直线方程和椭圆方程，求出点A的横坐标后求出弦长|AB|，再依据点点距可得|AC|，从而得到关于k的方程，求出其解后可得k的值．
【解析】设A(x1，y1)，椭圆的上顶点为S，左焦点为F1，则S(0,1)，F1(－1,0)．因为A在其次象限且k>0，故k>kF1S＝1.由 可得(1＋2k2)x2＋4k2x＋2k2－2＝0，因为A在其次象限且k>0，故x1＝ <0，又|AB|＝ |x1－xB|＝ × ＝ × .又|AC|＝ ＝ ＝ － x1＝ － × ＝ .而|AB|＝|AC|，故 × ＝ ，所以(4k2＋2) ＝4 (1＋2k2)，解得k＝ (负解舍去)．
方法2：特例法
核心提示·精归纳
当填空题已知条件中含有某些不确定的量，但填空题的结论唯一或题设条件中供应的信息示意答案是一个定值时，可以从题中改变的不定量中选取符合条件的恰当特别值(特别函数、特别角、特别数列、特别位置、特别点、特别方程、特别模型等)进行处理，从而得出探求的结论．为保证答案的正确性，在利用此方法时，一般应多取几个特例．特别化法是“小题小做”的重要策略．
典例10 已知函数f(x)＝ ，则函数g(x)＝3－f[f(x)]的全部零点之积等于_－3__.
【解析】求函数g(x)＝3－f[f(x)]的全部零点，则等价于求方程f[f(x)]＝3的根，当x≤0时，f(x)＝2x>0，则f[f(x)]＝|log22x|＝－x＝3，解得x＝－3；当x>0且x≠1时，f(x)＝|log2x|>0，则f[f(x)]＝|log2|log2x||＝3，log2|log2x|＝±3，可得|log2x|＝8或|log2x|＝ ，即log2x＝±8或log2x＝± ，解得x＝ 或256或 或 ；当x＝1时，f(1)＝|log21|＝0，f[f(1)]＝20＝1，不符合题意．综上，－3× ×256× × ＝－3.
①若对随意x∈R，均有|f(x)|＝1，则f(x)肯定不是奇函数；
②若对随意x∈R，均有|f(－x)|＝|f(x)|，则f(x)为奇函数或偶函数；
③若对随意x∈R，均有f(－x)＝|f(x)|，则f(x)必为偶函数；
④若对随意x∈R，均有|f(－x)|＝|f(x)|，且f(x)为R上的增函数，则f(x)必为奇函数．
【解析】如图所示：不妨假设c＝2，设切点为B，sin∠PF1F2＝sin∠BF1A＝ ＝ ，tan∠PF1F2＝ ＝ ，所以k＝ ，由k＝ ，|F1F2|＝2c＝4，所以|PF2|＝ ，|PF1|＝|PF2|× ＝ ，于是2a＝|PF1|＋|PF2|＝4 ，即a＝2 ，所以e＝ ＝ ＝ .
方法3：正反互推法
【分析】 设O到CD的距离为d0，点M到直线CD的距离为d，则d≤d0＋OM，所以S△MCD≤ ×CD×(d0＋4)，利用函数导数求出面积最大值，从而依据锥体的体积公式即可求解．
【解析】如图，取AB的中点为M，则OM＝ ＝4，设O到CD的距离为d0，点M到直线CD的距离为d，A，B两点到平面MCD的距离分别为h1，h2，则CD＝2 ，d≤d0＋4，所以S△MCD≤ ×2 ×(d0＋4)＝ ，令f(x)＝(30－x2)×(x＋4)2，则f′(x)＝－4(x＋5)(x＋4)(x－3)，所以当x＝3时，f(x)max＝f(3)＝21×49，所以S△MCD≤7 ，所以VA－BCD＝ S△MCD·(h1＋h2)≤ S△MCD·|AB|≤ ×7 ×2 ＝ ，当且仅当MC＝MD＝ ，且AB⊥平面MCD时取等号．
典例2 (2024·云南昆明昆明一中校考模拟预料)经过原点且斜率为 的直线l与双曲线C： － ＝1(a>0，b>0)恒有两个公共点，则C的离心率e的取值范围是 .
【解析】双曲线C： － ＝1(a>0，b>0)的焦点在y轴上，渐近线方程是y＝± x，结合该双曲线的图象，由直线l与双曲线C恒有两个公共点，可得出： > ，即 > ，所以离心率e＝ ＝ ＝ ∈ ，即离心率e的取值范围是 .
核心提示·精归纳
多选型问题给出多个命题或结论，要求从中选出全部满意条件的命题或结论．这类问题要求较高，涉及图形、符号和文字语言，要精确阅读题目，读懂题意，通过推理证明，命题或结论之间互反互推，相互印证，也可举反例推断错误的命题或结论．
典例研析·悟方法
典例5 设函数y＝f(x)的定义域为R，给出下列命题：
典例6 (2024·泰安期末)若“∃x∈R，使得2x2－mx＋1＜0”是假命题，则实数m的取值范围是[－2 ，2 ].
【解析】因为“∃x∈R，使得2x2－mx＋1＜0”是假命题，所以“∀x∈R，使得2x2－mx＋1≥0”是真命题，所以Δ＝m2－8≤0，解得m∈[－2 ，2 ]．
方法4：数形结合法
核心提示·精归纳
【解析】因为a1＝－ ，an＝2an＋1＋1，则an＋1＝2(an＋1＋1)，故{an＋1}为首项a1＋1＝ ，公比为 的等比数列，则an＋1＝ n，则an＝ n－1；又Sn＝ ＋ 2＋ 3＋…＋ n－n＝ －n＝1－ n－n，则Sn＋n<k(k∈N*)，即1－ n<k， n>1－k，又 n∈ ，故只需1－k≤0，即k≥1，又k∈N*，故k的最小值为1.
利用导数解抽象函数不等式，实质是利用导数探讨对应函数单调性，而对应函数须要构造．构造协助函数常依据导数法则进行：如f′(x)<f(x)构造g(x)＝ ，f′(x)＋f(x)<0构造g(x)＝exf(x)，xf′(x)<f(x)构造g(x)＝ ，xf′(x)＋f(x)<0构造g(x)＝xf(x)等．
典例研析·悟方法
其中为真命题的序号为_①③④__(请写出全部真命题的序号)．
【解析】对随意x∈R，均有|f(x)|＝1，则|f(0)|＝1，但奇函数中f(0)＝0，冲突，所以f(x)肯定不是奇函数，①正确；|f(－x)|＝|f(x)|等价于[f(x)－f(－x)][f(x)＋f(－x)]＝0，若x∈[－1,1]时满意f(x)－f(－x)＝0，x∈(－∞，－1)∪(1，＋∞)时满意f(x)＋f(－x)＝0，则函数在x∈R上为非奇非偶函数，②错误；对随意x∈R，均有f(－x)＝|f(x)|，则f(x)＝|f(－x)|＝|f(x)|，所以f(－x)＝|f(x)|＝f(x)，所以函数必为偶函数，③正确；当x>0时，|f(－x)|＝|f(x)|等价于[f(x)－f(－x)][f(x)＋f(－x)]＝0，又因为f(x)为R上的增函数，所以f(x)>f(－x)，则f(x)－f(－x)≠0，所以f(x)＋f(－x)＝0，所以f(x)必为奇函数，④正确．
一些含有几何背景的填空题，若能“数中思形”“以形助数”，则往往可以借助图形的直观性，快速作出推断，简捷地解决问题，得出正确的结果，Venn图、三角函数线、函数的图象及方程的曲线等，都是常用的图形．
典例研析·悟方法
典例7 (2024·浙江高三校联考开学考试)三棱锥A－BCD内接于半径为 的球O，且AB＝2 ，则三棱锥A－BCD体积的最大值为 .
典例9 数列{an}的前n项和为Sn，且a1＝－ ，an＝2an＋1＋1(n∈N*)，则an＝ n－1；若Sn＋n<k(k∈N*)恒成立，则k的最小值为_1__.
【分析】 (1)依据题意，构造数列等比数列{an＋1}，由其通项公式，即可求得an；(2)由Байду номын сангаасan}的通项公式，结合等比数列的前n项和公式，求得Sn，利用指数函数的单调性求解函数最值，即可求得参数的最值．
但要留意以下两点：
第一，取特例尽可能简洁，有利于计算和推理；
其次，若在取定的特别状况下有两个或两个以上的结论相符，则应选另一特例状况再检验，或改用其他方法求解．
典例研析·悟方法
典例3 已知函数f(x)满意：f(m＋n)＝f(m)·f(n)，f(1)＝3，则 ＋ ＋ ＋ ＝_24__.
【解析】取特别函数，依据条件可设f(x)＝3x，则有 ＝ ＝6，所以 ＋ ＋ ＋ ＝6×4＝24.
第2讲 填空题的解法与技巧
方法1：干脆法
核心提示·精归纳
干脆从题设条件动身，运用有关概念、性质、定理、法则和公式等学问，通过严密地推理和精确地运算，从而得出正确的结论，然后比照题目所给出的选项“对号入座”，作出相应的选择．涉及概念、性质的辨析或运算较简洁的题目常用干脆法．
典例研析·悟方法
典例1 在平面直角坐标系中，已知直线y＝k(x＋1)(k>0)与椭圆 ＋y2＝1在其次象限交于点A，交y轴于点B.设点C(1,0)，若|AB|＝|AC|，则k的值为 .
典例4 已知椭圆 ＋ ＝1(a>b>0)，焦点F1(－c,0)，F2(c,0)(c>0)，若过F1的直线和圆 2＋y2＝c2相切，与椭圆在第一象限交于点P，且PF2⊥x轴，则该直线的斜率是 ，椭圆的离心率是 .
【分析】 不妨假设c＝2，依据图形可知，sin∠PF1F2＝ ，再依据同角三角函数基本关系即可求出k＝tan∠PF1F2＝ ；再依据椭圆的定义求出a，即可求得离心率．
典例8 (2024·全国模拟预料)已知函数f(x)＝xln(2x)－ax2－x有两个极值点，则实数a的取值范围是 .
【分析】 由函数f(x)有两个极值点，对f(x)求导，设出新函数g(t)＝ ，探讨新函数的单调性及值域，即可得到实数a的取值范围．
【解析】由题意，在f(x)＝xln(2x)－ax2－x中，f(x)有两个极值点，∴f′(x)＝ln 2x－2ax＝0有两个不相等的实数根，∴关于x的方程a＝ 有两个不相等的实数根，记t＝2x>0，设g(t)＝ ，则直线y＝a与函数g(t)的图象有两个不同的交点．在g(t)＝ 中，g′(t)＝ ，令g′(t)＝0，得t＝e，当0<t<e时，g′(t)>0；当t>e时，g′(t)<0.∴g(t)＝ 在(0，e)上单调递增，在(e，＋∞)上单调递减，∴g(t)max＝g(e)＝ ，易知g(1)＝0，当t→0＋时，g(t)→－∞，当t→＋∞时，g(t)→0，作出函数g(t)的大致图象如图所示，数形结合可得0<a< ，∴实数a的取值范围是 .
方法5：构造法
核心提示·精归纳
构造法解填空题的关键是由条件和结论的特别性构造出数学模型，从而简化推导与运算过程，构造法是建立在视察联想、分析综合的基础之上的，首先应视察题目，视察已知(例如代数式)形式上的特点，然后主动调动思维，联想、类比已学过的学问及各种数学结构、数学模型，深刻地了解问题及问题的背景(几何背景、代数背景)，从而构造几何、函数、不等式、数列、向量等详细的数学模型，从而转化为自己熟识的问题，达到快速解题的目的．
【解析】设A(x1，y1)，椭圆的上顶点为S，左焦点为F1，则S(0,1)，F1(－1,0)．因为A在其次象限且k>0，故k>kF1S＝1.由 可得(1＋2k2)x2＋4k2x＋2k2－2＝0，因为A在其次象限且k>0，故x1＝ <0，又|AB|＝ |x1－xB|＝ × ＝ × .又|AC|＝ ＝ ＝ － x1＝ － × ＝ .而|AB|＝|AC|，故 × ＝ ，所以(4k2＋2) ＝4 (1＋2k2)，解得k＝ (负解舍去)．
方法2：特例法
核心提示·精归纳
当填空题已知条件中含有某些不确定的量，但填空题的结论唯一或题设条件中供应的信息示意答案是一个定值时，可以从题中改变的不定量中选取符合条件的恰当特别值(特别函数、特别角、特别数列、特别位置、特别点、特别方程、特别模型等)进行处理，从而得出探求的结论．为保证答案的正确性，在利用此方法时，一般应多取几个特例．特别化法是“小题小做”的重要策略．
典例10 已知函数f(x)＝ ，则函数g(x)＝3－f[f(x)]的全部零点之积等于_－3__.
【解析】求函数g(x)＝3－f[f(x)]的全部零点，则等价于求方程f[f(x)]＝3的根，当x≤0时，f(x)＝2x>0，则f[f(x)]＝|log22x|＝－x＝3，解得x＝－3；当x>0且x≠1时，f(x)＝|log2x|>0，则f[f(x)]＝|log2|log2x||＝3，log2|log2x|＝±3，可得|log2x|＝8或|log2x|＝ ，即log2x＝±8或log2x＝± ，解得x＝ 或256或 或 ；当x＝1时，f(1)＝|log21|＝0，f[f(1)]＝20＝1，不符合题意．综上，－3× ×256× × ＝－3.
①若对随意x∈R，均有|f(x)|＝1，则f(x)肯定不是奇函数；
②若对随意x∈R，均有|f(－x)|＝|f(x)|，则f(x)为奇函数或偶函数；
③若对随意x∈R，均有f(－x)＝|f(x)|，则f(x)必为偶函数；
④若对随意x∈R，均有|f(－x)|＝|f(x)|，且f(x)为R上的增函数，则f(x)必为奇函数．
【解析】如图所示：不妨假设c＝2，设切点为B，sin∠PF1F2＝sin∠BF1A＝ ＝ ，tan∠PF1F2＝ ＝ ，所以k＝ ，由k＝ ，|F1F2|＝2c＝4，所以|PF2|＝ ，|PF1|＝|PF2|× ＝ ，于是2a＝|PF1|＋|PF2|＝4 ，即a＝2 ，所以e＝ ＝ ＝ .
方法3：正反互推法
【分析】 设O到CD的距离为d0，点M到直线CD的距离为d，则d≤d0＋OM，所以S△MCD≤ ×CD×(d0＋4)，利用函数导数求出面积最大值，从而依据锥体的体积公式即可求解．
【解析】如图，取AB的中点为M，则OM＝ ＝4，设O到CD的距离为d0，点M到直线CD的距离为d，A，B两点到平面MCD的距离分别为h1，h2，则CD＝2 ，d≤d0＋4，所以S△MCD≤ ×2 ×(d0＋4)＝ ，令f(x)＝(30－x2)×(x＋4)2，则f′(x)＝－4(x＋5)(x＋4)(x－3)，所以当x＝3时，f(x)max＝f(3)＝21×49，所以S△MCD≤7 ，所以VA－BCD＝ S△MCD·(h1＋h2)≤ S△MCD·|AB|≤ ×7 ×2 ＝ ，当且仅当MC＝MD＝ ，且AB⊥平面MCD时取等号．
典例2 (2024·云南昆明昆明一中校考模拟预料)经过原点且斜率为 的直线l与双曲线C： － ＝1(a>0，b>0)恒有两个公共点，则C的离心率e的取值范围是 .
【解析】双曲线C： － ＝1(a>0，b>0)的焦点在y轴上，渐近线方程是y＝± x，结合该双曲线的图象，由直线l与双曲线C恒有两个公共点，可得出： > ，即 > ，所以离心率e＝ ＝ ＝ ∈ ，即离心率e的取值范围是 .
核心提示·精归纳
多选型问题给出多个命题或结论，要求从中选出全部满意条件的命题或结论．这类问题要求较高，涉及图形、符号和文字语言，要精确阅读题目，读懂题意，通过推理证明，命题或结论之间互反互推，相互印证，也可举反例推断错误的命题或结论．
典例研析·悟方法
典例5 设函数y＝f(x)的定义域为R，给出下列命题：
典例6 (2024·泰安期末)若“∃x∈R，使得2x2－mx＋1＜0”是假命题，则实数m的取值范围是[－2 ，2 ].
【解析】因为“∃x∈R，使得2x2－mx＋1＜0”是假命题，所以“∀x∈R，使得2x2－mx＋1≥0”是真命题，所以Δ＝m2－8≤0，解得m∈[－2 ，2 ]．
方法4：数形结合法
核心提示·精归纳
【解析】因为a1＝－ ，an＝2an＋1＋1，则an＋1＝2(an＋1＋1)，故{an＋1}为首项a1＋1＝ ，公比为 的等比数列，则an＋1＝ n，则an＝ n－1；又Sn＝ ＋ 2＋ 3＋…＋ n－n＝ －n＝1－ n－n，则Sn＋n<k(k∈N*)，即1－ n<k， n>1－k，又 n∈ ，故只需1－k≤0，即k≥1，又k∈N*，故k的最小值为1.
利用导数解抽象函数不等式，实质是利用导数探讨对应函数单调性，而对应函数须要构造．构造协助函数常依据导数法则进行：如f′(x)<f(x)构造g(x)＝ ，f′(x)＋f(x)<0构造g(x)＝exf(x)，xf′(x)<f(x)构造g(x)＝ ，xf′(x)＋f(x)<0构造g(x)＝xf(x)等．
典例研析·悟方法
其中为真命题的序号为_①③④__(请写出全部真命题的序号)．
【解析】对随意x∈R，均有|f(x)|＝1，则|f(0)|＝1，但奇函数中f(0)＝0，冲突，所以f(x)肯定不是奇函数，①正确；|f(－x)|＝|f(x)|等价于[f(x)－f(－x)][f(x)＋f(－x)]＝0，若x∈[－1,1]时满意f(x)－f(－x)＝0，x∈(－∞，－1)∪(1，＋∞)时满意f(x)＋f(－x)＝0，则函数在x∈R上为非奇非偶函数，②错误；对随意x∈R，均有f(－x)＝|f(x)|，则f(x)＝|f(－x)|＝|f(x)|，所以f(－x)＝|f(x)|＝f(x)，所以函数必为偶函数，③正确；当x>0时，|f(－x)|＝|f(x)|等价于[f(x)－f(－x)][f(x)＋f(－x)]＝0，又因为f(x)为R上的增函数，所以f(x)>f(－x)，则f(x)－f(－x)≠0，所以f(x)＋f(－x)＝0，所以f(x)必为奇函数，④正确．
一些含有几何背景的填空题，若能“数中思形”“以形助数”，则往往可以借助图形的直观性，快速作出推断，简捷地解决问题，得出正确的结果，Venn图、三角函数线、函数的图象及方程的曲线等，都是常用的图形．
典例研析·悟方法
典例7 (2024·浙江高三校联考开学考试)三棱锥A－BCD内接于半径为 的球O，且AB＝2 ，则三棱锥A－BCD体积的最大值为 .
典例9 数列{an}的前n项和为Sn，且a1＝－ ，an＝2an＋1＋1(n∈N*)，则an＝ n－1；若Sn＋n<k(k∈N*)恒成立，则k的最小值为_1__.
【分析】 (1)依据题意，构造数列等比数列{an＋1}，由其通项公式，即可求得an；(2)由Байду номын сангаасan}的通项公式，结合等比数列的前n项和公式，求得Sn，利用指数函数的单调性求解函数最值，即可求得参数的最值．
但要留意以下两点：
第一，取特例尽可能简洁，有利于计算和推理；
其次，若在取定的特别状况下有两个或两个以上的结论相符，则应选另一特例状况再检验，或改用其他方法求解．
典例研析·悟方法
典例3 已知函数f(x)满意：f(m＋n)＝f(m)·f(n)，f(1)＝3，则 ＋ ＋ ＋ ＝_24__.
【解析】取特别函数，依据条件可设f(x)＝3x，则有 ＝ ＝6，所以 ＋ ＋ ＋ ＝6×4＝24.
第2讲 填空题的解法与技巧
方法1：干脆法
核心提示·精归纳
干脆从题设条件动身，运用有关概念、性质、定理、法则和公式等学问，通过严密地推理和精确地运算，从而得出正确的结论，然后比照题目所给出的选项“对号入座”，作出相应的选择．涉及概念、性质的辨析或运算较简洁的题目常用干脆法．
典例研析·悟方法
典例1 在平面直角坐标系中，已知直线y＝k(x＋1)(k>0)与椭圆 ＋y2＝1在其次象限交于点A，交y轴于点B.设点C(1,0)，若|AB|＝|AC|，则k的值为 .
典例4 已知椭圆 ＋ ＝1(a>b>0)，焦点F1(－c,0)，F2(c,0)(c>0)，若过F1的直线和圆 2＋y2＝c2相切，与椭圆在第一象限交于点P，且PF2⊥x轴，则该直线的斜率是 ，椭圆的离心率是 .
【分析】 不妨假设c＝2，依据图形可知，sin∠PF1F2＝ ，再依据同角三角函数基本关系即可求出k＝tan∠PF1F2＝ ；再依据椭圆的定义求出a，即可求得离心率．
典例8 (2024·全国模拟预料)已知函数f(x)＝xln(2x)－ax2－x有两个极值点，则实数a的取值范围是 .
【分析】 由函数f(x)有两个极值点，对f(x)求导，设出新函数g(t)＝ ，探讨新函数的单调性及值域，即可得到实数a的取值范围．
【解析】由题意，在f(x)＝xln(2x)－ax2－x中，f(x)有两个极值点，∴f′(x)＝ln 2x－2ax＝0有两个不相等的实数根，∴关于x的方程a＝ 有两个不相等的实数根，记t＝2x>0，设g(t)＝ ，则直线y＝a与函数g(t)的图象有两个不同的交点．在g(t)＝ 中，g′(t)＝ ，令g′(t)＝0，得t＝e，当0<t<e时，g′(t)>0；当t>e时，g′(t)<0.∴g(t)＝ 在(0，e)上单调递增，在(e，＋∞)上单调递减，∴g(t)max＝g(e)＝ ，易知g(1)＝0，当t→0＋时，g(t)→－∞，当t→＋∞时，g(t)→0，作出函数g(t)的大致图象如图所示，数形结合可得0<a< ，∴实数a的取值范围是 .
方法5：构造法
核心提示·精归纳
构造法解填空题的关键是由条件和结论的特别性构造出数学模型，从而简化推导与运算过程，构造法是建立在视察联想、分析综合的基础之上的，首先应视察题目，视察已知(例如代数式)形式上的特点，然后主动调动思维，联想、类比已学过的学问及各种数学结构、数学模型，深刻地了解问题及问题的背景(几何背景、代数背景)，从而构造几何、函数、不等式、数列、向量等详细的数学模型，从而转化为自己熟识的问题，达到快速解题的目的．