专题01三角(考点串讲)高一数学下学期期中考点大串讲(2020必修二)

cosα＋β＝cosαcosβ－sinαsinβ
三 角 恒 等 变
和角公式stainnαα＋＋ββ＝＝s1ti－annααtca＋onsαβtta＋annβcβosαsinβ
形
cosα－β＝cosαcosβ＋sinαsinβ
差角公式stainnαα－－ββ＝＝s1ti＋annααtca－onsαβtta－annβcβosαsinβ
任
三 角 函 数
意 角弧度制1单1公弧ra位式d度＝长：的度|1α角π8|＝的0：r°l弧，，在所S1以＝°对＝单12的1l位rπ8圆0长r心a为d角半为径1的 弧圆 度中 的， 角
终边相同的角的集合：{β|β＝2kπ＋α，k∈Z}
同角三角函数的基本关系：sin2α＋cos2α＝1，tanα＝csoinsαα
②
所以①＋②得 2M＝12，M＝14，
即 sin 220°＋cos 280°＋ 3sin 20°cos 80°的值为14.
【变式】求值：2sin
50°＋sin 80°1＋ 1＋cos 10°
3tan
10° .
[解]
2sin 原式＝
50°＋2csoisn1800°°12cos
10°＋
3 2 sin
10°
2cos 5°
2sin ＝
50°＋2csoisn1800°°cos60°－10°
2cos 5°
＝2
2 2 sin
50°＋
2 2 cos
cos 5°
50°＝2cosc5o0s°5－°45°＝2.
题型三：三角函数的求值
【例 3】已知 sin (α－β)＝153，sin (α＋β)＝－153，且α－β∈ π2，π ，α＋β∈ 32π，2π ，
易错点3 任意角相加时忽略k的一致性致误 【错因分析】任意角相加时，注意不可直接相加，需注意k的取值.
易错点4 求三角函数值时对角的终边位置考虑不全而致错
易错点5 未注意开方结果的符号而致错
易错点6 应用诱导公式时忽视函数名和符号改变致错
易错点7 忽略角的范围致误
易错点8 求角时选择的三角函数类型不当致误
法二：左边＝ssiinn22θθ＋ ＋ccooss22θθ＋ ＋ssiinn
2θ＋sin2θ－cos2θ 2θ＋cos2θ－sin2θ
＝sin sin
2θ＋2sin2θ 2θ＋2cos2θ
＝22csions
θsin θsin
θ＋cos θ＋cos
θ θ
＝tan θ＝右边．
法三：左边＝11＋ ＋ssiinn
D
八．半角的三角函数
九．三角函数的恒等变换及化简求值
A
十．正弦定理
12.在△ABC中，BC=6，AC=8，∠A=40°，则∠B的解的个数是 __2__ 个．
十一．余弦定理
B
【解析】解：因为a2+b2=2023c2， 由余弦定理得c2=a2+b2-2abcosC=2023c2-2abcosC， 所以2abcosC=2022c2，
高一沪教版数学下册期中考点大串讲
串讲01 三角
目 01 录 02 03
04
05
考点透视 典例剖析 易错易混 技巧总结 考场练兵
考点透视
角：一条射线绕其端点旋转所形成的图形叫作角
概念正 零角 角： ：按 没逆 有时 作针 任方 何向 旋旋 转转 的所 角成的角
负角：按顺时针方向旋转所成的角
例5 为了测量两山顶M，N间的距离，飞机沿水平方向在A，B两点 进行测量.A，B，M，N在同一个铅垂平面内(如图).飞机能够测量的 数据有俯角和A，B间的距离.请设计一个方案，包括：①指出需要测 量的数据(用字母表示，并在图中标出)；②用文字和公式写出计算M， N间的距离的步骤.
解 ①需要测量的数据有：A观测M，N的俯角 α1，β1，B观测M，N的俯角α2，β2；A，B间的 距离d(如图所示). ②方法一 第一步：计算AM. 在△ABM 中，由正弦定理得，AM＝sindsαi1n＋α2α2； 第二步：计算AN. 在△ABN中，由正弦定理得，
解得 m＝12.故选 C．
题型二：三角函数式的化简
【例 2】求 sin 220°＋cos 280°＋ 3sin 20°cos 80°的值．
解析 解法 1：原式
＝12(1－cos
40°)＋21(1＋cos
160°)＋
3 2 (sin
100°－sin
60°)
＝1＋12(cos
160°－cos
40°)＋
＝2＋ 3sin 100°，
①
M－N
＝(sin 220°－cos 220°)＋(cos 280°－sin 280°)＋ 3(sin 20°cos 80°－cos 20°sin 80°)
＝－cos 40°＋cos 160°－ 3sin 60°
＝－2sin 100°sin 60°－32
＝－ 3sin 100°－32，
3 2 sin
20°)
＝14sin 220°＋14cos 220°
＝14.
解法 3：令 M＝sin 220°＋cos 280°＋ 3sin 20°cos 80°，
则其对偶式 N＝cos 220°＋sin 280°＋ 3cos 20°sin 80°.
因为 M＋N
＝(sin 220°＋cos 220°)＋(cos 280°＋sin 280°)＋ 3(sin 20°cos 80°＋cos 20°sin 80°)
(2)因为 0＜β＜π2＜α＜π，所以－π4＜α2－β＜π2，π4＜α－β2＜π，
所以 cosα2－β＝ 1－sin2α2－β＝ 35，
sinα－β2＝
1－cos2α－β2＝4 9 5，
所以 cosα＋2 β＝cosα－β2－α2－β
＝ 2sinα＋π6cosα＋π6－ 222cos2α＋π6－1
＝cosα－β2cosα2－β＋sinα－β2sinα2－β
求 cos 2β的值．
解析 ∵sin (α－β)＝153，α－β∈π2，π， ∴cos (α－β)＝－1123.
∴cos (α＋β)＝1123， ∴cos 2β＝cos [(α＋β)－(α－β)] ＝cos (α＋β)cos (α－β)＋sin (α＋β)sin (α－β)
又 sin (α＋β)＝－153，α＋β∈32π，2π，
所以角B的大小为450。故选B.
技巧总结
题型一 利用三角函数的定义、诱导公式及同角关系式化简求值
【例 1】已知角 α 的终边过点 P(－8m，－6sin 30°)，且 cos α＝－45，则 m 的值为
(C )
A．－12
B．－
3 2
C．12
D．
3 2
解析： 由题意知 P(－8m，－3)，则 cos α＝ －8m－82＋m －32＝－45且 m>0，
解得 sin B 2 。又B为三角形的内角， 2
所以角B的大小为450或1350故选D.
【错因分析】忽略了三角形中大边对大角这一隐含条件.
【正解】根据正弦定理 BC AC ，得 4 3 4 2 sin A sin B sin 60 sin B
解得sin B 2 。又BC＞AC，所以A＞B 2
＝ 2×35×45－ 22×2×452－1
＝1225
2－7502＝1750
2 .
＝－19× 35＋495×23＝7275. 所以 cos(α＋β)＝2cos2α＋2 β－1＝2×497×295－1＝－273299.
题型四：三角恒等式的证明 【例 4】求证：tan2x＋tan12x＝213－＋ccooss44xx.
AN＝sindsβi2n－β2β1；
第三步：计算MN. 在△AMN中，由余弦定理得， MN＝ AM2＋AN2－2AM×ANcosα1－β1.
方法二 第一步：计算BM. 在△ABM中，由正弦定理得， BM＝sindsαi1n＋α1α2；
【变式】证明：11＋ ＋ssiinn
2θ－cos 2θ＋cos
22θθ＝tan
θ.
[证明]
法一：左边＝sin sin
2θ＋1－cos 2θ＋1＋cos
2θ 2θ
＝22ssiinn
θcos θcos
θ＋2sin2θ θ＋2cos2θ
＝csions
θcos θcos
θ＋sin θ＋sin
θ θ
＝tan θ＝右边．
一．任意角的三角函数的定义
二．三角函数值的符号
2.已知点P(tanα，sinα)在第四象限，则角α的终边在( C ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
三．运用诱导公式化简求值
B
四．同角三角函数间的基本关系
五．三角函数恒等式的证明
六．两角和与差的三角函数
C
七．二倍角的三角函数
315 k 360 120 k 360, k Z
【 错 因 分 析 】 忽 略 在 同 一 个 集 合 中 ， k取 同 一 个 整 数 ，
这 样 就 会 出 现 比 如 3 1 5 1 2 0的 错 误 .
易错点2 利用扇形的弧长、面积公式时，没有将角度化为弧度而致错
易错点9 忽略角的范围致误
易错点10 解三角形时忽略隐含条件致误
10.在 ABC中，若A 600, BC 4 3, AC 4 2，则角B的大小为
A.30° B.45° C.135° D.45°或135°
【错解】根据正弦定理 BC AC ，得 4 3 4 2
sin A sin B
sin 60 sin B
十二．解三角形
易错易混
易错点1 忽略k取值的一致性而致错
1.如图，终边落在阴影部分（含边界）的角的集合是 .
【错解】终边在射线OM上的角的集合S1 315 k1 360, k1 Z 终边在射线上的角的集合S2 120 k2 360, k2 Z
因此终边在图中阴影部分（含边界）的角的集合是
2θ－cos 2θ＋cos
2θ 2θ
＝ssiinn22θθ＋＋ccooss22θθ＋＋22ssiinn
θ·cos θ·cos
θ－cos2θ－sin2θ θ＋cos2θ－sin2θ
＝
sin θ＋cos θ2－cos θ＋sin θcos θ－sin θ sin θ＋cos θ2＋cos θ＋sin θcos θ－sin θ
cos2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α
三 二倍角公式stainn22αα＝＝21s－2intatαancnαo2αsα
角
恒 等 变
sinα2＝±
1－cosα 2
形 半角公式cosα2＝±
1＋cosα 2

tanα2＝csoinsα2α2＝±
11－＋ccoossαα＝1＋sicnoαsα＝1－sincoαsα
[证明] 左边＝csoins22xx＋csoins22xx＝sisnin4x2＋xcocso2sx4x ＝sin2x＋cos142sxin22－2x2sin2xcos2x＝1－14s12insi2n22x2x＝181－1－12scions242xx ＝81－－4csoins422xx＝41＋－4ccooss422xx＝4＋12－1＋ cosc4oxs4x ＝213－＋ccooss44xx＝右边． 原式得证．
＝
sin θ＋cos θsin θ＋cos θ＋sin θ－cos θ sin θ＋cos θsin θ＋cos θ＋cos θ－sin θ
＝sin sin
θ＋cos θ＋cos
θ·2sin θ·2cos
θ θ
＝tan θ＝右边．
题型五、余弦、正弦定理在实际问题中的应用
1.余弦定理和正弦定理在实际生活中，有着非常广泛的应用，常见 的问题涉及距离、高度、角度以及平面图形的面积等很多方面.解决 这类问题，关键是根据题意画出示意图，将问题抽象为三角形的模 型，然后利用定理求解.注意隐含条件和最后将结果还原为实际问题 进行检验. 2.将生活中的实际问题转化为三角形模型，提升逻辑推理和数学建 模素养.
3 2 sin
100°－34
＝14－sin
100°sin
60°＋
3 2 sin
100°
＝14.
解法2：原式＝sin 220°＋cos 2(60°＋20°)＋ 3sin 20°·cos (60°＋20°)
＝sin
220°＋(12cos
20°－
3 2 sin
20°)2＋
3sin
1 20°·(2cos
20°－
＝1123×－1123＋－153×153＝－1.
【变式】 (1)设 α 为锐角，若 cosα＋π6＝45，求 sin2α＋1π2的值．
(2)已知 0＜β＜π2＜α＜π，且 cosα－β2＝－19，sinα2－β＝23，求 cos(α＋β)的值．
[解] (1)因为 α 为锐角且 cosα＋π6＝45， 所以 sinα＋π6＝35. 所以 sin2α＋1π2＝sin2α＋π6－π4 ＝sin 2α＋π6cosπ4－cos 2α＋π6sinπ4