知识点20 二次函数几何方面的应用2018-2019领军中考数学(原卷版)

1
专题二十 二次函数几何方面的应用
瞄准中考
一、选择题
1. （2018广西省桂林市，12，3分）如图，在平面直角坐标系中， M 、N 、C 三点的坐标分别为（
12
，1），
（3，1），（3，0），点A 为线段MN 上的一个一动点，连接AC ，过点A 作AB ⊥AC 交y 轴于点B ，当点A 从M 运动到N 时，点B 随之运动，设点B 的坐标为（0，b ），则b 的取值范围是( )
A ．14-≤b ≤1
B ．54-≤b ≤1
C ．94-≤b ≤12
D ．9
4-≤b ≤1
二、填空题
2. （2018吉林长春，14，3分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y =x 2 + mx 交x 轴的负半轴于点A . 点B 是y 轴正半轴上一点，点A 关于点B 的对称点A ' 恰好落在抛物线上. 过点A ' 作x 轴的平行线交抛物线于另一点C .若点A' 的横坐标为1，则A'C 的长为 .
(第14题)
3. （2018广西贵港，12，3分）如图，抛物线y ＝1
4（x ＋2）（x －8）与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴交于点
C ，顶点为M ，以AB 为直径作⊙
D ，下列结论：①抛物线的对称轴是直线x ＝3；②⊙D 的面积是16π；③抛物线上存在点
E ，使四边形ACED 为平行四边形；④直线CM 与⊙D 相切．其中正确结论的个数是
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
2
4. （2018江苏苏州，18，3分）如图，已知AB ＝8，P 为线段AB 上的一个动点，分别以AP ，PB 为边在
AB 的同侧作菱形APCD 和菱形PBFE ，点P ，C ，E 在一条直线上，∠DAP ＝60°．M ，N 分别是对角线AC ，BE 的中点．当点P 在线段AB 上移动时，点M ，N
之问的距离最短为 （结果保留根号）．
三、解答题
5. （2018广西柳州市，26，10分）如图，抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 与x 轴交于3，0)，B 两点(点B 在点A 的左侧)，与y 轴交于点C ，且OB ＝3OA 3，∠OAC 的平分线AD 交y 轴于点D ，过点A 且垂直于AD 的直线l 交y 轴于点E ，点P 是x 轴下方抛物线的一个动点，过点P 作PF ⊥x 轴垂足为F ，交直线AD 于点H.
(1)求抛物线的解析式；
(2)设点P 的横坐标为m ，当FH ＝HP 时，求m 的值；
(3)当直线PF 为抛物线的对称轴时，以点H 为圆心，12HC 为半径作⊙H ，点Q 为⊙H 上的一个动点，求14
AQ
＋EQ 的最小值.
x
y
O A
C
M
B D
E
3
x
y
l
E
P
A
B
C
D
F
H
O
第26题图
考点（知识点）讲解
考点一、二次函数的概念和图像 （3~8分） 1、二次函数的概念
一般地，如果)0,,(2
≠++=a c b a c bx ax y 是常数，，那么y 叫做x 的二次函数。

)0,,(2≠++=a c b a c bx ax y 是常数，叫做二次函数的一般式。

2、二次函数的图像
二次函数的图像是一条关于a
b
x 2-=对称的曲线，这条曲线叫抛物线。

抛物线的主要特征：学科！网
①有开口方向；②有对称轴；③有顶点。

3、二次函数图像的画法 五点法：
（1）先根据函数解析式，求出顶点坐标，在平面直角坐标系中描出顶点M ，并用虚线画出对称轴 （2）求抛物线c bx ax y ++=2
与坐标轴的交点：
当抛物线与x 轴有两个交点时，描出这两个交点A,B 及抛物线与y 轴的交点C ，再找到点C 的对称点D 。

将这五个点按从左到右的顺序连接起来，并向上或向下延伸，就得到二次函数的图像。

4
当抛物线与x 轴只有一个交点或无交点时，描出抛物线与y 轴的交点C 及对称点D 。

由C 、M 、D 三点可粗略地画出二次函数的草图。

如果需要画出比较精确的图像，可再描出一对对称点A 、B ，然后顺次连接五点，画出二次函数的图像。

考点二、二次函数的解析式 （10~16分） 二次函数的解析式有三种形式：
（1）一般式：)0,,(2
≠++=a c b a c bx ax y 是常数， （2）顶点式：)0,,()(2
≠+-=a k h a k h x a y 是常数，
（3）当抛物线c bx ax y ++=2
与x 轴有交点时，即对应二次好方程02
=++c bx ax 有实根1x 和2x 存在
时，根据二次三项式的分解因式))((212x x x x a c bx ax --=++，二次函数c bx ax y ++=2
可转化为两根式))((21x x x x a y --=。

如果没有交点，则不能这样表示。

考点三、二次函数的最值 （10分）
如果自变量的取值范围是全体实数，那么函数在顶点处取得最大值（或最小值），即当a
b
x 2-
=时，a
b a
c y 442-=最值。

如果自变量的取值范围是21x x x ≤≤，那么，首先要看a
b
2-
是否在自变量取值范围21x x x ≤≤内，若在此范围内，则当x=a
b
2-时，a b ac y 442-=最值；若不在此范围内，则需要考虑函数在21x x x ≤≤范围内的
增减性，如果在此范围内，y 随x 的增大而增大，则当2x x =时，c bx ax y ++=22
2最大，当1x x =时，
c bx ax y ++=121最小；如果在此范围内，y 随x 的增大而减小，则当1x x =时，c bx ax y ++=121最大，当
2x x =时，c bx ax y ++=22
2
最小。

考点四、二次函数的性质 （6~14分）
5
性质
（1）抛物线开口向上，并向上无限延伸； （2）对称轴是x=a b 2-
，顶点坐标是（a b 2-，a
b a
c 442
-）； （3）在对称轴的左侧，即当x<a b 2-时，y 随x 的增大而减小；在对称轴的右侧，即当x>a b
2-
时，y 随x 的增大而增大，简记左减右增；
（4）抛物线有最低点，当x=a b 2-
时，y 有最小值，a b ac y 442
-=最小值
（1）抛物线开口向下，并向下无限延伸；
（2）对称轴是x=a b 2-，顶点坐标是（a
b 2-，a
b a
c 442
-）； （3）在对称轴的左侧，即当x<a
b 2-时，y 随x 的增大而增大；在对称轴的右侧，即当x>a
b
2-
时，y 随x 的增大而减小，简记左增右减；
（4）抛物线有最高点，当x=a
b 2-时，y 有最大值，a
b a
c y 442-=最大值
2、二次函数)0,,(2
≠++=a c b a c bx ax y 是常数，中，c b 、、a 的含义：
a 表示开口方向：a >0时，抛物线开口向上
a <0时，抛物线开口向下
6
)
0(),0(22≠+=≠=a k ax y a ax y b 与对称轴有关：对称轴为x=
a
b 2-
c 表示抛物线与y 轴的交点坐标：（0，c ）
3、二次函数与一元二次方程的关系
一元二次方程的解是其对应的二次函数的图像与x 轴的交点坐标。

因此一元二次方程中的ac 4b 2
-=∆，在二次函数中表示图像与x 轴是否有交点。

当∆>0时，图像与x 轴有两个交点； 当∆=0时，图像与x 轴有一个交点； 当∆<0时，图像与x 轴没有交点。

学科！网 补充：
1、两点间距离公式（当遇到没有思路的题时，可用此方法拓展思路，以寻求解题方法）
如图：点A 坐标为（x 1，y 1）点B 坐标为（x 2，y 2） 则AB 间的距离，即线段AB 的长度为()()221221y y x x -+-
2、函数平移规律（中考试题中，只占3分，但掌握这个知识点，对提高答题速度有很大帮助，可以大大节省做题的时间）
49.二次函数解析式： 特殊型： （1）
7
（2）图象：抛物线（“五点一线”要记住）
（3）性质：a>0时，在对称轴左侧…，右侧…；当x= ,y 有 值，是 ;
a<0时，在对称轴左侧…，右侧…；当x= ,y 有 值，是 。

(4)平移原则：把解析式化为顶点式，“左+右-；上+下-”。

（5）①a ～开口方向，大小；②b ～对称轴与a 左同右异；③c ～与y 轴的交点上正下负；
④b 2-4ab ～与x 轴的交点个数；⑤ma+nb ～对称轴与常数比；⑥a+b-c ～点看(1, a+b-c )。

1． 二次函数
（1）.定义：一般地，如果c b a c bx ax y ,,(2++=是常数，)0≠a ，那么y 叫做x 的二次函数。

（2）.抛物线的三要素：开口方向、对称轴、顶点。

①a 的符号决定抛物线的开口方向：当0>a 时，开口向上；当0<a 时，开口向下；
a 相等，抛物线的开口大小、形状相同。

②平行于y 轴（或重合）的直线记作h x =.特别地，y 轴记作直线0=x 。

（3）.几种特殊的二次函数的图像特征如下：
函数解析式
开口方向 对称轴 顶点坐标 2ax y = 当0>a 时 开口向上 当0<a 时 开口向下
0=x （y 轴）
（0,0） k ax y +=2 0=x （y 轴）
(0, k ) ()2
h x a y -=
h x = (h ,0) ()k h x a y +-=2
h x =
(h ,k )
c bx ax y ++=2
a
b
x 2-=
(a
b a
c a b 4422
--，) （4）.求抛物线的顶点、对称轴的方法
①公式法：a b ac a b x a c bx ax y 44222
2
-+⎪⎭
⎫ ⎝⎛+=++=，∴顶点是），（a b ac a b 4422--，对称轴是
8
直线a
b x 2-
=。

②配方法：运用配方的方法，将抛物线的解析式化为()k h x a y +-=2
的形式，得到顶点为
(h ,k )，对称轴是直线h x =。

③运用抛物线的对称性：由于抛物线是以对称轴为轴的轴对称图形，对称轴与抛物线的交
点是顶点。

若已知抛物线上两点12(,)(,)、x y x y （及y 值相同），则对称轴方程可以表示为：12
2
x x x +=
（5）.抛物线
c bx ax y ++=2
中，c b a ,,的作用 ①a 决定开口方向及开口大小，这与2ax y =中的a 完全一样。

②b 和a 共同决定抛物线对称轴的位置.由于抛物线c bx ax y ++=2的对称轴是直线。

a
b
x 2-
=，故：①0=b 时，对称轴为y 轴；②0>a b （即a 、b 同号）时，对称轴在y 轴
左侧；③0<a
b
（即a 、b 异号）时，对称轴在y 轴右侧。

③c 的大小决定抛物线c bx ax y ++=2与y 轴交点的位置。

当0=x 时，c y =，∴抛物线c bx ax y ++=2与y 轴有且只有一个交点（0，c ）： ①0=c ，抛物线经过原点; ②0>c ,与y 轴交于正半轴；③0<c ,与y 轴交于负半轴. 以上三点中，当结论和条件互换时，仍成立.如抛物线的对称轴在y 轴右侧，则
0<a
b。

（6）.用待定系数法求二次函数的解析式
①一般式：c bx ax y ++=2.已知图像上三点或三对x 、y 的值，通常选择一般式. ②顶点式：()k h x a y +-=2
.已知图像的顶点或对称轴，通常选择顶点式。

③交点式：已知图像与x 轴的交点坐标1x 、2x ，通常选用交点式：()()21x x x x a y --=。

（7）.直线与抛物线的交点
①y 轴与抛物线c bx ax y ++=2得交点为(0, c )。

②抛物线与x 轴的交点。

二次函数c bx ax y ++=2的图像与x 轴的两个交点的横坐标1x 、2x ，是对应一元二次方程
9
02=++c bx ax 的两个实数根.抛物线与x 轴的交点情况可以由对应的一元二次方程的根的判
别式判定：
a 有两个交点⇔(0>∆)⇔抛物线与x 轴相交；
b 有一个交点（顶点在x 轴上）⇔(0=∆)⇔抛物线与x 轴相切；
c 没有交点⇔(0<∆)⇔抛物线与x 轴相离。

③平行于x 轴的直线与抛物线的交点
同②一样可能有0个交点、1个交点、2个交点.当有2个交点时，两交点的纵坐标相等，
设纵坐标为k ，则横坐标是k c bx ax =++2的两个实数根。

④一次函数()0≠+=k n kx y 的图像l 与二次函数()02≠++=a c bx ax y 的图像G 的交点，由
方程组
c
bx ax y n kx y ++=+=2
的解的数目来确定：
a 方程组有两组不同的解时⇔l 与G 有两个交点；
b 方程组只有一组解时⇔l 与G 只有一个交点；
c 方程组无解时⇔l 与G 没有交点。

⑤抛物线与x 轴两交点之间的距离：若抛物线c bx ax y ++=2与x 轴两交点为
()()0021，，，x B x A ，则12AB x x =-
左加右减、上加下减
典例1（2018海南省，24，15分） 如图12-1，抛物线32
++=bx ax y 交x 轴于点A （﹣1，0）和点B （3，
0）．
（1）求该抛物线所对应的函数解析式；
（2）如图12-2，该抛物线与y 轴交于点C ，顶点为F ，点D （2，3）在该抛物线上． ①求四边形ACFD 的面积；
②点P 是线段AB 上的动点(点P 不与点A ，B 重合)，过点P 作PQ ⊥x 轴交该抛物线于点Q ，连接AQ ，
DQ ，当△AQD 是直角三角形时，求出所有满足条件的点Q 的坐标．
10
典例2（2018黑龙江省龙东地区，23，6分） 如图，抛物线y ＝x 2＋bx ＋c 与y 轴交于点A （0，2），对称轴
为直线x ＝－2，平行于x 轴的直线与抛物线交于B 、C 两点，点B 在对称轴左侧，BC ＝6． （1）求此抛物线的解析式；
（2）点P 在x 轴上，直线CP 将△ABC 面积分成2:3的两部分，请直接写出P 点坐标．
x
y
2-2
B
A
C
O
课后练习
4. （2018山东省东营市，25，12分） 如图，抛物线13()()y a x x =--（0a >）与x 轴交于A 、B 两点，抛物线上另有一点C 在x 轴下方，且使△OCA ∽△OBC. (1) 求线段OC 的长度；
(2) 设直线BC 与y 轴交于点M ，点C 是BM 的中点时，求直线BM 和抛物线的解析式；
11
y
x
M
C
B
A O P
A 、
B 两点，交y 轴
于点C （0，3-
），OA =1，OB =4，直线l 过点A ，交y 轴于点D ，交抛物线于点E ，且满足tan ∠OAD =3
4
. （1）求抛物线的解析式；
（2）动点P 从点B 出发，沿x 轴正方向以每秒2个单位长度的速度向点A 运动，动点Q 从点A 出发，
沿射线AE 以每秒1个单位长度的速度向点E 运动，当点P 运动到点A 时，点Q 也停止运动，设运动为t 秒.
①在P 、Q 的运动过程中，是否存在某一时刻t ，使得△ADC 与△PQA 相似，若存在，求出t 的值；若
不存在，请说明理由；
②在P 、Q 的运动过程中，是否存在某一时刻t ，使得△APQ 与△CAQ 的面积之和最大？若存在，求出
t 的值；若不存在，请说明理由.
12
x
y
Q P
E
D
C
B
A
O
6.(2018甘肃省兰州市,28,12分)如图,抛物线42
-+=bx ax y 经过A (-3,0),B (5,-4)两点,与y 轴交于点
C ,连接AB ,AC ,BC .
(1)求抛物线的表达式; (2)求证:AB 平分CAO ∠;
(3)抛物线的对称轴上是否存在点M ,使得ABM ∆是以AB 为直角边的直角三角形.若存在,求出点M 的坐标;
若不存在,说明理由.
7. （2018黑龙江省齐齐哈尔市，题号24，分值14）如图1所示，直线y=x+c 与x 轴交于点A （-4,0），
与y 轴交于点C ，抛物线y=-x ²+bx+c 经过点A ，C. （1）求抛物线的解析式；
（2）点E 在抛物线的对称轴上，求CE+OE 的最小值；
（3）如图2所示，M 是线段OA 上的一个动点，过点M 垂直于x 轴的直线与直线AC 和抛物线分别交于点
A
C
B
x
y
O
第28题图
13
P 、N.
①若以C ，P ，N 为顶点的三角形与△APM 相似，则△CPN 的面积为_________;
②若点P 恰好是线段MN 的中点，点F 是直线AC 上一个动点，在坐标平面内是否存在点D ，使以点D ，F ，P ，M 为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出点D 的坐标；若不存在，请说明理由.
注：二次函数y=ax ²+bx+c （a ≠0）的顶点坐标为（2
4,
24b ac b a
a --）
8. （2018湖北省江汉油田潜江天门仙桃市，26，12分）抛物线y =13
7
322-+-
x x 与x 轴交于点A ，B （点A 在点B 的左侧），与y 轴交于点C ，其顶点为D ．将抛物线位于直线l ：y =t （25
24
t <）上方的部分沿直线l 向下翻折，抛物线剩余部分与翻折后所得图形组成一个“M ”形的新图象． （1）点A ，B ，D 的坐标分别为 ， ， ；
（2）如图①，抛物线翻折后，点D 落在点E 处．当点E 在△ABC 内（含边界）时，求t 的取值范围； （3）如图②，当t =0时，若Q 是“M ”形新图象上一动点，是否存在以CQ 为直径的圆与x 轴相切于点P ？
若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．
14
9.（湖北省咸宁市，24，12）如图，直线34
3
+-
=x y 与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ,抛物线c bx x y ++-=28
3。

经过B A 、两点，与x 轴的另一个交点为C .
(1)求抛物线的解析式；学！科网
(2)点P 是第一象限抛物线上的点，连接OP 交直线AB 于点Q ,设点P 的横坐标为m ，PQ 与OQ 的比值为
y ，求y 与m 的函数关系式，并求出PQ 与OQ 的比值的最大值；
（3）点D 是抛物线对称轴上的一动点，连接CD OD 、.设ODC ∆外接圆的圆心为M ，当ODC ∠sin 的值最大时，求点M 的坐标.
10. （2018湖南省怀化市，24，14分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线c x ax y ++=22与x 轴交于A （-1，0），B （3，0）两点，与y 轴交于点C ，点D 是该抛物线的顶点． （1）求抛物线的解析式和直线AC 的解析式；
（2）请在y 轴上找一点M ，使∆BDM 的周长最小，求出点M 的坐标；
（3）试探究：在抛物线上是否存在点P ，使以点A ，P ，C 为顶点，AC 为直角边的三角形是直角三角形？若存在，请求出符合条件的点P 的坐标；若不存在，请说明理由．
A B C
x
y O
备用图
x
y
O
A
B
C
P
Q
图①
l
E y
A B O D C
· ·
图②
第25题图
O A C B
x
y
·
D x
15
11. （2018贵州省毕节市，27，16分）如图,以D 为顶点的抛物线2y x bx c =-++交x 轴于A 、B 两点，交y 轴于点C ,直线BC 的表达式为3y x =-+． (1)求抛物线的表达式；
(2)在直线BC 上有一点P ，使PO ＋P A 的值最小,求点P 的坐标；
(3)在x 轴上是否存在一点Q ，使得以A 、C 、Q 为顶点的三角形与△BCD 相似?若存在，请求出点Q 的坐标；若不存在,请说明理由．
12. （2018湖南娄底，26，10）如图，抛物线2
y
ax bx c 与两坐标轴相交于点
16
(1,0)(3,0)(0,3)A B C 、、，D 是抛物线的顶点， E 是线段AB 的中点
.
(1)求抛物线的解析式，并写出D 点的坐标; (2) (,)F x y 是抛物线上的动点； ①当1,0x
y 时，求BDF 的面积的最大值；
②当AEF DBE 时，求点F 的坐标.
14. （2018长春，23，10分）
如图，在Rt △ABC 中，∠C=90°，∠A=30°，AB=4,动点P 从点A 出发，沿AB 以每秒2个单位长度的速度向终点B 运动.过点P 作PD ⊥AC 于点D （点P 不与A 、B 重合），作∠DPQ=60°，边PQ 交射线DC 于点Q ，设点P 的运动时间为t 秒，
（1）用含t 的代数式表示线段DC 的长.学科+网 （2）当点Q 与点C 重合时，求t 的值.
（3）设△PDQ 于△ABC 重叠部分图形的面积为S ，求S 与t 之间的函数关系式. （4）当线段PQ 的垂直平分线经过△ABC 一边中点时，直接写出t 的值.
Q D C A
P
17
15. （2018长春，第24题，12分）
如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD 的对称中心为坐标原点O ，AD ⊥y 轴于点E （点A 在点D 的左侧）.经过E 、D 两点的函数2
112y
x mx （x ≥0）的图象记为1G ，函数2
112
y x mx （x ＜0）的图象记为2G ，其中m 是常数，图象1G 、2G 合起来得到的图象记为G.设矩形ABCD 的周长为L.
（1）当点A 的横坐标为-1时，求m 的值. （2）求L 与m 之间的函数关系式.
（3）当2G 与矩形ABCD 恰好有两个公共点时，求L 的值.
（4）设G 在-4≤x≤2上最高点的纵坐标为0y ，当0392
y ≤≤时，直接写出L 的取值范围.
x
y
B
A
C
D
O
16.（2018吉林省，25, 10分）.如图，在矩形ABCD 中，AB=2cm ，∠ADB=30°，P,Q 两点分别从A,B 同时出发，点P 沿折线AB-BC 运动，在AB 上的速度是2cm/s,在BC 上的速度是23 cm/s ；点Q 在BD 上以2cm/s 的速度向终点D 运动.过点P 作PN ⊥AD,垂足为点N.连接PQ ，以PQ,PN 为邻边作PQMN. 设运动的时间
为x （s ），
PQMN 与矩形ABCD 重叠部分的图形面积为y(2
)cm .
(1) 当PQ ⊥AB 时，x=__________;
(2) 求y 关于x 的函数解析式，并写出x 的取值范围；
(3) 直线AM 将矩形ABCD 的面积分成1:3两部分时，直接写出x 的值
18
17. （2018吉林省，26, 10分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线2
23(0)y ax ax a a =+-<与x 轴相较于A,B 两点，与y 轴相较于点C ，顶点为D ，直线DC 与x 轴相交于点E. (1)当a=-1时，抛物线顶点D 的坐标为_______，OE=_________; (2)OE 长是否与a 值有关，说明你的理由；
（3）设∠DEO=β, 45°≤β≤60°,求a 的取值范围；
（4）以DE 为斜边，在直线DE 的左下方作等腰直角三角形PDE 。

设P （m.n ）,直接写出n 关于m 的函数解析式及自变量m 的取值范围。

18. （2018江苏扬州，28，12）如图1，四边形OABC 是矩形，点A 的坐标为（3，0），点C 的坐标为（0，6），点P 从点O 出发，沿OA 以每秒1个单位长度的速度向点A 出发，同时点Q 从点A 出发，沿AB 以每秒2个单位长度的速度向点B 运动，当点P 与点A 重合时运动停止．设运动时间为t 秒． （1）当t=2时，线段PQ 的中点坐标为________； （（2）当△CBQ 与△PAQ 相似时，求t 的值；
（3）当t=1时，抛物线y=x 2+bx+c 经过P ，Q 两点，与y 轴交于点M ，抛物线的顶点为K ，如图2所示，
19
问该抛物线上是否存在点D ，使∠MQD=∠MKQ ？若存在，求出所有满足条件的D 的坐标；若不存在，说明理由．
19.（2018辽宁省沈阳市，25，12分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线1C ：y ＝2
ax +bx-1经过点A （-2，1）和点B （-1，-1），抛物线2C ：y ＝2
2x +x+1，动直线x ＝t 与抛物线1C 交于点N ，与抛物线2C 交于点M. （1）求抛物线1C 的表达式;
（2）直接用含t 的代数式表示线段MN 的长;
（3）当△AMN 是以MN 为直角边的等腰直角三角形时，求t 的值；
（4）在（3）的条件下，设抛物线1C 与y 轴交于点P ，点M 在y 轴右侧的抛物线2C 上，连接AM 交y 轴于点K ，连接KN ，在平面内有一点Q ，连接KQ 和ON ．当KQ ＝1且∠KNQ ＝∠BNP 时，请直接写出点Q 的坐标
.
20. （2018青海，28，12分）如图18，抛物线与坐标轴2y ax bx c =++交点分别为A （-1，0）、B
（3，0）、C（0，2），作直线PC.（1）求抛物线的解析式；（2）点P为抛物线上第一象限内一动点，过点P作PD⊥x轴于点D，设点P的横坐标为t(0＜t＜3），求△AB P的面积S与t的函数关系式；
（3）条件同（2）、若△ODP与△COB相似，求点P的坐标.
图18
21.（2018山西省，23题，13分）综合与探究
如图，抛物线与x轴交于点A，B两点，（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，连接AC，BC。

点P是第四象限内抛物线上的一个动点，点P的横坐标为m，过点P作PM⊥x轴，垂足为点M，PM交BC于点Q，过点P作PE∥AC交x轴与点E，交BC于点F。

（1）求A,B，C的坐标；
（2）试探究在点P运动的过程中，是否存在这样的点Q，使得以点A,C,Q为顶点的三角形是等腰三角形，若存在请直接写出此时点Q的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）请用含m的代数式表示线段QF的长，并求出m为何值时QF有最大值。

22.（2018广西贵港，25，11分）如图，已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象与x轴相交于A（－1，0），B （3，0）两点，与y轴相交于点C（0，－3）．
（1）求这个二次函数的表达式；
（2）若P是第四象限内这个二次函数图象上任意一点，PH⊥x轴于点H，与BC交于点M，连接P C．
①求线段PM的最大值；
②当△PCM是以PM为一腰的等腰三角形时，求点P的坐标．
20
21
x
y M
H
B
A C
O
P
23. （2018贵州铜仁，25，14）（本大题满分14分）如图，已知抛物线经过点A （-1，0），B （4，0），C （0，2）三点，点D 与点C 关于x 轴对称，点P 是x 轴上的一个动点，设点P 的坐标为（m ，0），过点P 作x 轴的垂线l 交抛物线于点Q ，交直线BD 于点M. （1）求该抛物线所表示的二次函数的表达式； （2）已知点F （0,
1
2
），当点P 在x 轴上运动时，试求m 为何值时，四边形DMQF 是平行四边形； （3）点P 在线段AB 运动过程中，是否存在点Q ，使得以点B 、Q 、M 为顶点的三角形与△BOD 相似，若存在，求出点Q 的坐标，若不存在，请说明理由.
24. (2018湖南湘西州，26，22分)如图1，经过原点O 的抛物线y ＝ax ²＋bx (a 、b 为常数，a ≠0)与x 轴相交于另一点A (3，0)．直线l ：y ＝x 在第一象限内和此抛物线相交于点B (5，t )，与抛物线的对称轴相交于点C ． (1)求抛物线的解析式；学+科网
(2)在x 轴上找一点P ，使以点P 、O 、C 为顶点的三角形与以点A 、O 、B 为顶点的三角形相似，求满足条件的点P 的坐标；
(3)直线l 沿着x 轴向右平移得到直线l ′，l ′与线段OA 相交于点M ，与x 轴下方的抛物线相交于点N ，过点N 作NE ⊥x 轴与点E ．把△MEN 沿着直线l ′折叠，当点E 恰好落在抛物线上时(图2)．求直线l ′的解析式； (4)在(3)问的条件下(图3)，直线l ′与y 轴相交于点K ，把△MOK 绕点O 顺时针旋转90°得到△M ′OK ′，点F 为直线l ′上的动点．当△M ′FK ′为等腰三角形时，求满足条件的点F 的坐标．
第26题图
25.（2018江苏常州，28，10）(本小题满分10）
如图，二次函数y=－x2+bx+2的图像与x轴交于点A、B，与y轴交于点C，点A标为(－4，0)，P是抛物线上一点(点P与点A、B、C不重
（1）b=___，点B坐标是___;
（2）设直线PB与直线AC相交于点M，是否存在这样的点P，使得PM:MB=1:2?若存在，求出点P的横坐标;若不存在，请说明理由．
(3)连接AC、BC，判断∠CAB与∠CBA的数量关系，并说明理由．
26.（2018•徐州，23，8分）如图，在矩形ABCD中，AD＝4，点E在边AD上，连接CE，以CE为边向右上方作正方形CEFG，作FH⊥AD，垂足为H，连接AF．
（1）求证：FH＝ED；
（2）当AE为何值时，△AEF的面积最大？
22
23
27. （2018江苏徐州，27，10分） 如图，在平面直角坐标系中，二次函数y ＝－x 2+6x －5的图像与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ，其顶点为P ，连接P A 、AC 、CP ，过点C 作y 轴的垂线l ，（1）求点P 、C 的坐标；
（2）直线l 上是否存在点Q ，使△ PBQ 的面积等于△ P AC 的面积的2倍？若存在，求出点Q 的坐标，若不存在，请说明理由。

第27题图
28. (2018辽宁葫芦岛，26，14分)如图，抛物线y ＝ax 2＋4x ＋c (a ≠0)经过点A (－1，0)，点E (4，5)，与y 轴交于点B ，连接AB ． （1）求该抛物线的解析式；
（2）将△ABO 绕点O 旋转，点B 的对应点为点F ．
①当点F 落在直线AE 上时，求点F 的坐标和△ABF 的面积；
②当点F 到直线AE 2时，过点F 作直线AE 的平行线与抛物线相交，请直接写出交点的坐标．
x
y
-1E
B A
O
x
y
-1E
B A
O
24
29.（2018内蒙古包头，26，12分）如图13，在平面直角坐标系中，已知抛物线22
3
212-+=x x y 与x 轴交于
A 、
B 两点（点A 在点B 点左侧），与y 轴交于点
C ，直线l 经过A 、C 两点，连接BC . （1）求直线l 的解析式；学……科网
（2）若直线x ＝m （m <0）与该抛物线在第三象限内交于点E ，与直线l 交于点D ， 连接OD .当OD ⊥AC 时，求线段DE 的长；
（3）取点G （0，－1），连接AG ，在第一象限内的抛物线上，是否存在点P ， 使∠BAP ＝∠BCO －∠BAG ？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由.
30. （2018内蒙古通辽，26，12分）如图，抛物线y ＝ax 2＋bx －5与坐标轴交于A （－1，0），B （5，0），C （0，－5）三点，顶点为D ．
（1）请直接写出抛物线的解析式及顶点D 的坐标；
（2）连接BC 与抛物线的对称轴交于点E ，点P 为线段BC 上的一个动点（点P 不与B 、C 两点重合），过点P 作PF ∥DE 交抛物线于点F ，设点P 的横坐标为m ．
①是否存在点P ，使四边形PEDF 为平行四边形？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，说明理由． ②过点F 作FH ⊥BC 于点H ，求△PFH 周长的最大值．
25
31. （2018山东莱芜，24，12分）如图，抛物线y ＝2ax ＋ｂx ＋ｃ经过A （－1，0），B （4，0），C （0，3）
三点，D 为直线BC 上方抛物线上一动点，DE ⊥BC 于E ． （1）求抛物线的函数表达式；
（2）如图1，求线段DE 长度的最大值；
（3）如图2，设AB 的中点为F ，连接CD ，CF ，是否存在点D ，使得△CDE 中有一个角与∠CFO 相等？
若存在，求点D 的横坐标；若不存在，请说明理由．
y x 图 1
E D
C
B
A
O y x
F 图 2
E
D
C
B A
O
32. （2018上海，24，12分）在平面直角坐标系xOy 中（如图），已知抛物线
212y x bx c =-++ 经过点A （-1，0）和点B （0，5
2
），顶点为C ，点D 在
其对称轴上且位于点C 下方，将线段DC 绕点D 按顺时针方向旋转90°，点C 落在抛物线上的点P 处． (1)求这条抛物线的表达式； (2)求线段CD 的长；
26
(3)将抛物线平移，使其顶点C 移到原点O 的位置，这时点P 落在点E 的位置，如果点M 在y 轴上，且以O 、D 、E 、M 为顶点的四边形面积为8，求点M 的坐标．
云南省昆明市，22，9分）如图，抛物线2y ax bx =+过点A (1，－3)，对称轴是直线x ＝2，且抛物线与x
轴的正半轴交于点A ．
（1）求抛物线的解析式，并根据图象直接写出当y ≤0时，自变量x 的取值范围； （2）在第二象限内的抛物线上有一点P ，当P A ⊥AB 时，求△P AB 的面积．
34. （2018广西南宁，26，10）如图，抛物线y ＝ax 2﹣5ax ＋c 与坐标轴分别交于点A ，C ，E 三点，其中A （﹣3，0），C （0，4），点B 在x 轴上，AC ＝BC ，过点B 作BD ⊥x 轴交抛物线于点D ，点M ，N 分别是线段CO ，BC 上的动点，且CM ＝BN ，连接MN ，AM ，AN ． （1）求抛物线的解析式及点D 的坐标；
（2）当△CMN 是直角三角形时，求点M 的坐标； （3）试求出AM ＋AN 的最小值．
27
35. (2018黑龙江大庆，28，9)如图，抛物线y ＝x ²＋bx ＋c 与x 轴交于A ，B 两点，B 点坐标为(4，0)，与y 轴交于点C (0，4) （1）求抛物线的解析式
（2）点P 在x 轴下方的抛物线上，过点P 的直线y ＝x ＋m 与直线BC 交于点E ，与y 轴交于点F ，求PE ＋EF 的最大值；
（3）点D 为抛物线对称轴上一点。

①当ΔBCD 是以BC 为直角边的直角三角形时，直接写出点D 的坐标； ②若ΔBCD 是锐角三角形，直接写出点D 的纵坐标n 的取值范围。

36.（2018湖北恩施州，24，12分）如图，已知抛物线交x 轴于A 、B 两点，交y 轴于C 点，A 点坐标为(1,0)-，
2OC =，3OB =，点D 为抛物线的顶点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）P 为坐标平面内一点，以B 、C 、D 、P 为顶点的四边形是平行四边形，求P 点坐标；
（3）若抛物线上有且仅有三个点1M 、2M 、3M 使得1M BC ∆、2M BC ∆、3M BC ∆的面积均为定值S ，求出定值S 及1M 、2M 、3M 这三个点的坐标．
28
37. (2018湖北黄石，25，10分)已知抛物线y ＝a (x －1)2过点(3，1)，D 为抛物线的顶点． (1)求抛物线的解析式；
(2)若点B 、C 均在抛物线上，其中点B (0，
1
4
)，且∠BDC ＝90°，求点C 的坐标； (3)如图，直线y ＝kx ＋4－k 与抛物线交于P 、Q 两点． ①求证：∠PDQ ＝90°； ②求△PDQ 面积的最小值．
y
Q
o
D
P
第25题图
38. （2018湖北十堰，25，12分）已知抛物线y ＝1
2x 2＋bx ＋c 经过点A （－2，0），B （0，－4），与x 轴交
于另一点C ，连接BC ． （1）求抛物线的解析式；
（2）如图，P 是第一象限内抛物线上一点，且S △PBO ＝S △PBC ，求证：AP ∥BC ；
（3）在抛物线上是否存在点D ，直线BD 交x 轴于点E ，使△ABE 与以A ，B ，C ，E 中的三点为顶点的三角形相似（不重合）？若存在，请求出点D 的坐标；若不存在，请说明理由．
29
39. （2018湖北随州24，12分）（本题满分12分）如图1，抛物线C 1：y ＝ax 2－2ax ＋c （a ＜0）与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ．已知点A 的坐标为（－1，0），点O 为坐标原点，OC ＝3OA ，抛物线C 1的顶点为G ．
（1）求出抛物线C 1的解析式，并写出点G 的坐标；
（2）如图2，将抛物线C 1向下平移k （k ＞0）个单位，得到抛物线C 2，设C 2与x 轴的交点为A ′、B ′，顶点为G ′，当△A ′B ′G ′是等边三角形时，求k 的值；
（3）在（2）的条件下，如图3，设点M 为x 轴正半轴上一动点，过点M 作x 轴的垂线分别交抛物线C 1、C 2于P 、Q 两点，试探究在直线y ＝－1上是否存在点N ，使得P 、Q 、N 为顶点的三角形与△AOQ 全等，若存在，直接写出点M ，N 的坐标；若不存在，请说明理由．
A O B
x
y
C
G A
O
B x
y
C G
G′
A′ B ′
（图1）
（图2）
A
O B
x
y
C
G （图3）
y =-1
备用图。