浙江省绍兴一中08-09学年高三上学期期中考试(数学理)

浙江省绍兴一中08-09学年高三上学期期中考试
（数学理）
一、选择题：（本大题共10个小题，每小题5分，共50分。

在每不题给出的四个选项中，
只有一项是符合题目要求的）。

1、已知复数i z +=21，i z -=12，则21z z z ⋅=在复平面上对应的点位于
A ．第一象限
B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限
2、定义集合运算：},,log |{B y A x y z z B A x ∈∈==⊗，且}3,2,1{=A ，
}3,2,1{=B ，则集合B A ⊗中的元素个数是
A ．4
B ．5
C ．6
D ．9
3、已知3sin()(2)tan()
2()()
cos f cos π
παπαααπα---+
=
--，则31()3f π-的值为
A ．
1
2 B ．1
2
-
C
．
2
D
．2
-
4、函数1)(3
++=x ax x f 有极值的充要条件是
A ．0≥a
B ．0>a
C ．0≤a
D ．0<a
5、已知平面α外不共线的三点C B A 、、到α的距离都相等，则下列结论中正确的一个是
A ．平面ABC 必平行于平面α
B ．平面AB
C 必与平面α相交
C ．平面ABC 必垂直于平面α
D . 存在ABC ∆的一条中位线平行于α或在α内 6．“龟兔赛跑”讲述了这样的故事：领先的兔子看着慢慢爬行的乌龟，骄傲起来，睡了一觉，当它醒来时，发现乌龟快到终点了，于是急忙追赶，但为时已晚，乌龟还是先到达了终点…用S 1、S 2分别表示乌龟和兔子所行的路程，t 为时间，则下图与故事情节相吻合的是
7．已知等差数列{}n a 的通项公式为35n a n =-，则()()()5
6
7
111x x x +++++的展开式中含4
x 项的系数是该数列的是
A B C D
A ．第9项
B ．第10项
C ．第19项
D ．第20项
8、设O 为坐标愿点，F 为抛物线x y 42
=的焦点，A 是抛物线上的一点，若4-=⋅，
则点A 的坐标是 A
．)22,2(± B ．)2,1(± C ．)2,1( D ．)22,2( 9、已知随机变量),(~p n B ξ，且12=ξE ，4.2=ξD ，则n 与p 的值分别为
A ．16与0.8
B ．20与0.4
C ．12与0.6
D ．15与0.8
10．设M 是具有以下性质的函数f （x ）的全体：对于任意s ＞0，t ＞0，都有f （s ）+f （t ）
＜f （s+t ）.给出函数.12)(,log )(221-==x x f x x f 下列判断正确的是
A ．M x f M x f ∈∈)(,)(21
B ．M x f M x f ∉∈)(,)(21
C ．M x f M x f ∈∉)(,)(21
D ．M x f M x f ∉∉)(,)(21
二．填空题(共7小题，每小题5分，共35分，)
11将写有1，2，3，4，5的5张卡片分别放入标有1，2，3，4，5的5个盒子内，每个盒子里放且只放1张卡片，那么2号卡片不在2号盒内且4号卡片不在4号盒内放法数等于 ▲
12．已知曲线2
1y x =-在0x x =点处的切线与曲线3
1y x =- 在0x x =点处的切线互相平行，则0x 的值为 ▲ ．
13．求满足222
2135n M +++
+<的最大整数解
的程序框图A 应为 ▲ .
14．一物体在力()34F x x =+的作用下，沿着与F 相同的方向， 从0x =处运动到4x =处，力F 所做的功为______▲________。

15．一个几何的三视图如图所示：其中，正视图中△ABC
的边长是2的正三角形，俯视图为正六边形，那么该几何体 几的体积为 ▲ .
开始
16、在ABC ∆中，如果点A 在BC 边上的射影是D ，ABC ∆的三边AB AC BC 、、的长依次是c b a 、、，则b c C b a c o s c o s ⋅+⋅=，类比这一结论，推广到空间：在四面体ABC P -中，P C A PBC PAB ABC ∆∆∆∆、、、的面积依次为321S S S S 、、、，二面角
B CA P A B
C P C AB P ------、、的度数依次为γβα、、，则=S ▲
17．给出下列四个命题：
①存在)cos()(,αα+=∈x x f R 使函数是奇函数；②要得到函数)3
2sin(π
-
=x y 的
图象，只要将函数3
2s i n π
的图象向左平移
x y =个单位；③函数;3
2|3s i n |3s i n )(π的最小正周期为
x x x f += ④函数x y tan =的图象既是中心对称图形，又是轴对称图形.
其中，真命题的编号是 ▲ .（写出所有真命题的编号） 三．解答题：本大题共5小题，共72分. 18：（本小题满分14分）
如图多面体，它的正视图为直角三角形，侧视图为矩形，俯视图为直角梯形（尺寸如图所示）。

（Ⅰ）求证：AE//平面DCF ；
（Ⅱ）当AB 的长为何值时,二面角A-EF-C 的大小为︒60？
19．（本小题满分14分）
某工厂生产甲、乙两种产品，每种产品都是经过第一和第二道工序加工而成，两道工序的加工结果相互独立，每道工序的加工结果都有A 、B 两个等级对每种产品，只有两道工序的结果都为A 等级时，才为一等品，其余均为二等品。

（1）已知甲、乙两种产品每道工序的加工结果为A 等级的概率如表一所示，分别求工厂生产甲、乙产品为一等品的概率甲P 和乙P
(2)已知一件产品的利润如表二所示，用ηξ、分别表示一件甲、乙产品的利润，在（1）的条件下，求ηξ、的分布列及其数学期望
20（本小题满分15分）
椭圆)0(,1:22
22>>=+b a b
y a x C 的两个焦点为21,F F ,点P 在椭圆C 上,且
3
14
||,34||,2
1211==⊥PF PF F F PF , (1) 求椭圆C 的方程;
(2) 若直线L 过圆0242
2
=-++y x y x 的圆心M,交椭圆C 于A,B 两点,且A,B 关于点M 对
称,求直线L 的方程.
21．（本小题满分15分） 已知函数b
x ax
x f +=
2
)(在1=x 处取得极值2 （1）求函数)(x f 的表达式
（2）当m 满足什么条件时，函数)(x f 在区间)12,(+m m 上单调递增？
22. （本小题满分14分）
在xoy 平面上有一系列点 ),,(),,(),,(222111n n n y x P y x P y x P 对每个自然数n ，点n P 位于函数)0(2
≥=x x y 的图象上，以点n P 为圆心的圆⊙n P 与x 轴都相切，且⊙n P 与⊙1+n P 又彼此外切，若)(,111*+∈<=N n x x x n n 。

（1）求n x 与1+n x 的关系；（2）求数列{}n x 的通项公式；（3）设⊙n P 的面积为n S ，记n n S S S T +++= 21，求证：π2
3
<
n T 。

2008学年绍兴一中高三数学（理科）答题纸
一、选择题：本大题共10个小题，每小题5分，共50分。

在每不题给出的四个选项中，
只有一项是符合题目要求的.
二、填空题：本大题共7小题，每小题4分，共28分.
11 ,12 ,13 ,14
15 ,16 , 17
三、解答题：本大题共5小题，共72分.
18（本小题满分14分）
解：
19．（本题满分14分）
解：
20．（本小题满分15分）解：
21．（本小题满分15分）解：
22．（本小题满分14分）
理科数学参考答案
11 78 12、 0;-2/3； 13、 n-4 ；14. 40 15. 3/2 16、γβαcos cos cos 321S S S S ++= ；
17、 1. 3 ； 三、解答题
19解：本题主要考查三视图、空间线面关系、空间向量的概念与运算等基础知识，同时考查空间想象能力和推理运算能力． 方法一： （Ⅰ）（7分）证明：过点E 作EG CF ⊥交CF 于G ，连结DG ，
可得四边形BCGE 为矩形， 又ABCD 为矩形，
所以AD EG
∥，从而四边形ADGE 为平行四边形， 故AE DG ∥． 因为AE ⊄平面DCF ，DG ⊂平面DCF ， 所以AE ∥平面DCF ．
（Ⅱ）（7分）解：过点B 作BH EF ⊥交FE 的延长线于H ，连结AH ． 由平面ABCD ⊥平面BEFC ，AB BC ⊥，得
AB ⊥平面BEFC ， 从而AH EF ⊥．
所以AHB ∠为二面角A EF C --的平面角． 在Rt EFG △中，因为EG AD ==2EF =，所以60CFE ∠=，1FG =．
又因为CE EF ⊥，所以4CF =， 从而3BE CG ==．
D A
B
E
F
C
H G
于是sin BH BE BEH =∠=
． 因为tan AB BH AHB =∠， 所以当AB 为
9
2
时，二面角A EF C --的大小为60． 方法二：如图，以点C 为坐标原点，以CB CF ，和CD 分别作为x 轴，y 轴和z 轴，建立空间直角坐标系C xyz -． 设AB a BE b CF c ===，，，
则(000)C ，，
，)A a ，
，0)B ，
，0)E b ，，(00)F c ，，． （Ⅰ）证明：(0)AE b a =-，，
，(30)CB =，，，(00)BE b =，，， 所以0CB CE =，0CB BE =，从而CB AE ⊥，CB BE ⊥， 所以CB ⊥平面ABE ．
因为CB ⊥平面DCF ，
所以平面ABE ∥平面DCF ． 故AE ∥平面DCF
．
（Ⅱ）解：因为(0)EF c b =-，，(30)CE b =，，
， 所以0EF CE =，||2EF
=，从而
3()02b c b -+-=⎧=，
，
解得34b c ==，
．
所以0)E ，，(040)F ，，．
设(1
)n y z =，，与平面AEF 垂直， 则0n AE =，0n EF =
，
解得(1n =． 又因为BA ⊥平面BEFC ，(00)BA a =，
，，
所以||1|cos |2
||||4BA n n BA BA n a <>=
==，，
得到92
a =
． 所以当AB 为
9
2
时，二面角A EF C --的大小为60．
20、解：（1）由于对每种产品，只有两道工序的结果都为A 等级时，才为一等品，其余均为二等品。

所以，6.075.08.0=⨯=甲P 45.06.075.0=⨯=乙P ……………… 5分
（2）有条件知，ξ的取值只能为5、3，η的取值只能为4、2，且 6.075.08.0()5(=⨯===一件甲产品为一等品）P P ξ 4.06.01()3(=-===一件甲产品为二等品）P P ξ 45.06.075.0()4(=⨯===一件乙产品为一等品）P P η 55.045.01()2(=-===一件乙产品为二等品）P P η 所以ηξ、的分布列为：
……………… 10分 所以 2.44.036.05=⨯+⨯=ξE
9.255.0245.04=⨯+⨯=ηE
故ηξ、的数学期望分别为 2.4和9.2 ……………… 14分
21. 解:(1)因为点P 在椭圆 C 上,所以3,6||||221==+=a PF PF a 在21F PF Rt ∆中,52||||||2
122=-=PF PF FF 故椭圆的半焦距5=
c ,
所以42
2
2
=-=c a b ,则椭圆C 的方程为: .14
92
2=+y x ----------7分 (2)设),(),,(2211y x B y x A
已知圆的方程为5)1()2(2
2
=-++y x 圆心)1,2(-M ,从而可设直线L 的方程为
1)2(++=x k y
代入椭圆C 的方程得:0273636)1836()94(2
2
2
2
=-+++++k k x k k x k
因为A,B 关于点M 对称,所以29491822221-=++-=+k k k x x ,解得9
8=k ,此时0>∆成立. 所以直线的方程为02598=+-y x .--------------15分
(第(2)题也可以用点差法求解)
22、因222/
)
()2()()(b x x ax b x a x f +-+= 而函数b
x ax x f +=2)(在1=x 处取得极值2 所以 ⎩⎨⎧==2)1(0)1(/f f ⇒ ⎪⎩⎪⎨⎧=+=-+2102)1(b
a a
b a ⇒ ⎩⎨⎧==14b a 所以 214)(x x x f += 为所求 ……………… 7分
（2）由（1）知222222/
)1()1)(1(4)1(8)1(4)(x x x x x x x f ++--=+-+=
可知，)(x f 的单调增区间是]1,1[- 所以，⎪⎩
⎪⎨⎧+<≤+-≥121121m m m m ⇒ 01≤<-m
所以当]1,1(-∈m 时，函数)(x f 在区间)12,(+m m 上单调递增 ………… 15分
22. 解：（1）依题意，⊙n P 的半径2n n n x y r ==，且11||+++=n n n n r r P P ，
12121)()(++++=-+-∴n n n n n n y y y y x x ，两边平方化简得1214)(++=-n n n n y y x x ，
即212214)(++=-n n n n x x x x ，由于01>>+n n x x ，得n x 与1+n x 的关系为
112++=-n n n n x x x x ---4分
（2）由（1）可得211
1=-+n n x x ，且111=x ，所以⎭
⎬⎫⎩⎨⎧n x 1是等差数列，121-=⇒n x n ， 所以)(1
21*∈-=N n n x n -----------8分 1- 1 • • )(/x f )(x f 负 正 负
（3）由（2）得442)12(-===n y r S n n n π
ππ，
n n S S S T +++= 21=])12(151311[222-+++n π )]}121321()5131()311[(211{])12)(32(15313111[---+-+-+=--+⨯+⨯+
≤n n n n ππ=
ππ23)]1211(211[<--+n -------------14分。