【精品推荐】最新人教A版高中数学必修五第一章1.2第3课时几何计算问题课件

1．在△ABC 中，已知 B＝60°，cos C＝13，AC＝3 6，求△ABC 的面积．
解析：设 AB，BC，AC 的长分别为 c，a，b，
∵B＝60°，∴sin B＝ 23，cos B＝12.
又 sin C＝ 1－cos2C＝23 2，
由正弦定理可得 c＝bssiinnBC＝3
6×2 3 3
2 ＝8，
4．若锐角△ABC 的面积为 10 3，且 AB＝5，AC＝8，则 BC 等于 ________． 解析：由已知得△ABC 的面积为12AB·ACsin A＝20sin A＝10 3，所以 sin A＝ 23，A∈(0，π2)，所以 A＝π3.由余弦定理得 BC2＝AB2＋AC2－ 2AB·ACcos A＝49，BC＝7. 答案：7
当 cos A＝0 时，A＝π2，B＝π6，
a＝4
3
3，b＝2
3
3 .
所以△ABC 的面积 S＝12absin C
＝12×433×233× 23＝233；………………………………8 分
当 cos A≠0 时，得 sin B＝2sin A， 由正弦定理得 b＝2a，
a2＋b2－ab＝4， 联立方程组b＝2a，
课时作业
[自主梳理]
三角形中的计算、证明问题除正弦定理、余弦定理外，还有如下公式： (1)l＝a＋b＋c(l 为三角形的周长)； (2)A＋B＋C＝π； (3)S＝12ab·sin C＝12bcsin A＝12ac·sin B； (4)S＝12ah(h 是 a 对应的高)；
(5)S＝a4bRc(R 是三角形外接圆的半径)； (6)S＝2R2sin A·sin B·sin C(R 是三角形外接圆的半径)； (7)S＝12r(a＋b＋c)(r 为三角形内切圆的半径)； (8)S＝ pp－ap－bp－cp＝12a＋b＋c.
＝a2－2ca2＋b2·b2－2cb2＋a2
＝ba＝22RRssiinn BA＝ssiinn BA＝右边．
法二：化边为角
左边＝sin sin
A－sin B－sin
C·cos C·cos
B A
＝ssiinnAB＋＋CC－－ssiinn
C·cos C·cos
B A
＝ssiinn
Bcos Acos
CC＝ssiinn
BA＝右边．
解决此类问题，既要用到三角形中特有的恒等变形公式，又要用到任 意角三角函数的恒等变形公式，两者要结合，灵活运用．三角形边和 角的相互转换公式，主要是正弦定理、余弦定理和射影定理这三个定 理组，知道一组就可推出其余两组，因此，这类题型都可用不同的途 径求解．
3．在△ABC 中，求证：b2cos 2A－a2cos 2B＝b2－a2. 证明：左边＝b2(1－2sin2A)－a2(1－2sin2 B) ＝b2－a2－2b2sin2 A＋2a2 sin2 B ＝b2－a2－2(b2sin2 A－a2sin2 B)． ∵sina A＝sinb B， ∴a2sin2 B＝b2sin2 A， ∴等式成立．
[解析] 设 CD＝x，则 AD＝BD＝5－x， 在△CAD 中，由余弦定理： cos∠CAD＝5－2×x42＋5－42－x x2＝3312， 解之得：x＝1. ∴CD＝1，AD＝BD＝4. 在△CAD 中，由正弦定理可知sAinDC＝sin∠CDCAD，
∴sin C＝ACDD· 1－cos2∠CAD ＝4 1－33122＝38 7. ∴S△ABC＝12AC·BC·sin C＝12×4×5×38 7＝145 7，即△ABC 的面积为145 7.
A. 57
B. 37
C. 21
D. 13
解析：由 S△ABC＝12bcsin A 得 3＝12×1×c·sin 120°，∴c＝4. 由余弦定理，a2＝b2＋c2－2bccos A，∴a2＝12＋42－2×1×4cos 120°＝21， ∴a＝ 21，故选 C. 答案：C
3．(2016·高考全国Ⅲ卷)在△ABC 中，B＝π4，BC 边上的高等于13BC， 则 sin A＝( )
B. 2
3
1
C. 4
D.2
解析：sina A＝sinb B＝sinc C＝2×1＝2，∴sin A＝a2，sin B＝b2.
又 S＝12absin C＝1，∴sin C＝a2b.∴sin Asin Bsin C＝a2·b2·a2b＝12.故选 D. 答案：D
4．在△ABC 中，已知 a＝5，b＝7，B＝120°，则△ABC 的面积为 ________．
[随堂训练]
1．在△ABC 中，若 a＝7，b＝3，c＝8，则△ABC 的面积等于( )
A．12
21 B. 2
C．28
D．6 3
解析：由余弦定理可得 cos A＝12，A＝60°，∴S△ABC＝12bcsin A＝6 3. 故选 D. 答案：D
2．在△ABC 中，A＝120°，b＝1，S△ABC＝ 3，则角 A 的对边的长为( )
a＝2 解得
3
3，
b＝4
3
3 .
所以△ABC 的面积
S＝12absin C＝12×233×433× 23＝23 3.……10 分 ∴△ABC 的面积为233.………………………12 分
[规范与警示] (1)利用正弦定理可以实现三角形中的边角关系的转 化． (2)除了常用两边及其夹角正弦值的乘积的一半外，面积公式还有①S ＝ pp－ap－bp－c＝p·r(p 是周长的一半，即 p＝a＋2b＋c，r 为 内切圆半径)． ②S＝a4bRc(R 为外接圆半径)．
对于此类问题，一般用公式 S＝12absin C＝12bcsin A＝12acsin B 进行求 解，可分为以下两种情况： (1)若所求面积为不规则图形，可通过作辅助线或其他途径构造三角 形，转化为求三角形的面积． (2)若所给条件为边角关系，则需要运用正、余弦定理求出某两边及 夹角，再利用三角形面积公式进行求解．
课时作业
180°，∴cos∠ADB＝cos(180°－∠ADC)＝ －cos∠ADC.∴422＋×x24×2－x252＝－422＋×x24×2－x232. 解得 x＝2，即 BC 边的长为 2.
有关长度问题，要有方程意识，设未知数，列方程求解是经常用到的 方法．
2．在△ABC 中，D 在边 BC 上，且 BD＝2，DC＝1，B＝60°，∠ADC ＝150°，求 AC 的长及△ABC 的面积． 解析：在△ABD 中，∠BAD＝150°－60°＝90°， ∴AD＝BD×sin 60°＝2sin 60°＝ 3. 在△ACD 中，由余弦定理， 得 AC2＝( 3)2＋12－2× 3×1×cos 150°＝7， ∴AC＝ 7.
[双基自测]
1．在△ABC 中，a＝ 2，A＝45°，则△ABC 外接圆的半径 R 等于( )
A．1
B．2
C．4
D．无法确定
解析：由 2R＝sina A＝
2， 2
∴R＝1.
2
Hale Waihona Puke 答案：A2．已知△ABC 的面积为32，且 b＝2，c＝ 3，则( )
A．A＝30°
B．A＝60°
C．A＝30°或 150°
又因为△ABC 的面积等于 3，所以12absin C＝ 3，得 ab＝4.
a2＋b2－ab＝4，
a＝2，
联立方程组ab＝4，
解得b＝2. ………………4 分
(2)由题意得 sin(B＋A)＋sin(B－A)＝4sin Acos A，
即 sin Bcos A＝2sin Acos A．………………………………6 分
又 AB＝BD×cos 60°＝2cos 60°＝1.
∴S△ABC＝12AB×BC×sin
B＝12×1×3×sin
60°＝3
4
3 .
探究三 与有关公式结合，证明恒等式成立
[典例 3]
在△ABC
中，求证：ab－ －cc··ccooss
BA＝ssiinn
B A.
[证明] 法一：化角为边
左边＝ab－－ccab22＋＋22abccc2c2－－ba22
D．A＝60°或 120°
解析：S△ABC＝12bcsin A＝12×2× 3·sin A＝32，所以 sin A＝ 23，又因 为 A∈(0°，180°)，所以 A＝60°或 120°.
答案：D
3．若△ABC 的外接圆半径 R 和面积都等于 1，则 sin A·sin Bsin C＝( )
1
3
A.4
3
10
A.10
B. 10
5 C. 5
3 10 D. 10
解析：过点 A 作 AD⊥BC，垂足为点 D，设 BC＝a，则 AD＝13a，又
B＝π4，则 BD＝13a，DC＝23a，所以 AC＝ AD2＋DC2＝ 35a.由正弦定
5
理得sina
A＝
3
a π，解得
sin
A＝3
10 10 .
sin4
答案：D
1.2 应用举例
第 3 课时 几何计算问题
考纲定位
重难突破
1.掌握三角形的面积公式． 重点：正、余弦定理、三角
2．利用面积公式、正弦定 函数公式及其性质．
理、余弦定理、三角函数公 难点：三角函数公式与正、
式求解综合问题.
余弦定理的结合.
01 课前 自主梳理 02 课堂 合作探究 03 课后 巩固提升
解析：由余弦定理得 b2＝a2＋c2－2accos B，即 c2＋5c－24＝0，解得
c＝3，所以
S△ABC＝12acsin
B＝12×5×3sin
120°＝154
3 .
答案：154 3
探究一 有关三角形面积问题 [典例 1] 在△ABC 中，BC＝5，AC＝4，cos∠CAD＝3312，且 BD＝ AD，求△ABC 的面积．
2
∴sin A＝sin(B＋C)＝sin Bcos C＋cos Bsin C ＝ 23×13＋12×232 ＝ 63＋ 32， 故所求面积 S△ABC＝12bcsin A＝6 2＋8 3.
探究二 三角形中线段长度的计算 [典例 2] 在△ABC 中，AB＝5，AC＝3，D 为 BC 的中点，且 AD＝ 4，求 BC 边的长．
与三角形面积有关的综合问题 [典例] (本题满分 12 分)在△ABC 中，内角 A，B，C 对边的边长分 别为 a，b，c，已知 c＝2，C＝π3. (1)若△ABC 的面积等于 3，求 a，b； (2)若 sin C＋sin(B－A)＝2sin 2A，求△ABC 的面积．
[解] (1)由余弦定理及已知条件，得 a2＋b2－ab＝4，……2 分
[解析] 设 BC＝x，则由 D 为 BC 的中点， 可得 BD＝DC＝x2. 在△ADB 中，cos∠ADB＝AD22＋·ABDD·B2－DAB2＝422＋×x24×2－x252.在△ADC 中， cos∠ADC＝AD22＋·ADDC·D2－CAC2＝422＋×x24×2－x232.又∠ADB＋∠ADC＝