高二数学上学期第一次月考试题 文

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玉溪一中2018-2019学年上学期高二年级第一次月考
文科数学试卷
第Ⅰ卷
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分. 1．已知全集R U =，集合{}
x y x A lg ==, 集合{
}
1+=
=x y y B ，那么()=⋂B C A U
（ ） A ．φ
B ．
C ．
D ．
2．设是两条不同的直线，是两个不同的平面，则下列结论正确的是（ ） A ． 若，则 B ． 若，则
C ． 若
，则
D ． 若
，则
3．已知直线12:(3)453,:2(5)8l m x y m l x m y ++=-++=平行，则实数m 的值为（ ） A ．7- B ． 1- C ．1-或7- D ． 13
3
4．一个棱长为1的正方体被一个平面截去一部分后，剩余部分的三 视图如图所示，则该几何体的体积为( ) A ．
61 B ．31 C ． 32 D ．6
5 5．已知数列是公差不为0的等差数列，且，，
为等
比数列的连续三项，则
的值为（ ）
A ．
B ． 4
C ． 2
D ．
6．当
时，执行如图所示的程序框图，输出的值为（ ）．
A ． 2
B ．
C ．
D ．
7.已知02π
αβ<<<
且4sin 5α=
， ()1
tan 3
αβ-=-，则
tan β=（ ） A ． 13 B ． 913 C ． 13
9
D ．
3
8．某赛季甲、乙两名篮球运动员5场比赛得分的茎叶图如图所示，已知甲得分的极差为 32，乙得分的平均值为24，则下列结论错误的是( ) A ．
B ．甲得分的方差是736
C ．乙得分的中位数和众数都为26
D ．乙得分的方差小于甲得分的方差
9．某学校老师中，型血有36人、型血有24人、型血有12人，现需要从这些老师中抽取一个容量为的样本.如果采用系统抽样和分层抽样方法抽取，都不用剔除个体；如果样本容量减少一个，则在采用系统抽样时，需要在总体中剔除2个个体，则样本容量可能为（ ） A ．
B ．
C ．
D ．
10．已知实数满足不等式组，则的最大值为（ ）
A ．5
B ．3
C ．1
D ．-4
11．已知满足 (其中是常数)，则的形状一定是（ ）
A ． 正三角形
B ． 钝角三角形
C ． 等腰三角形
D ． 直角三角形
12．已知函数
且的最大值为,则的取值范围是
A ．
B ．
C ．
D ．
第Ⅱ卷
二、填空题：本题共4小题，每题5分，共20分. 13．若
，
，
，则与的夹角为__________．
14．数列 的前49项和为__________．
15．已知定义在R 上的函数()f x 满足()32f =，且对任意的实数x ，都有
()()515f x f x ⋅+=恒成立，则()2018f 的值为__________．
16．已知正实数
，满足
，若不等式
有解则实数的取值
范围是__________．
三、解答题：本大题共6小题，共70分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（10分）设ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,,a b c 已知2cos 2.b C a c =- （1）求B ；
（2）若2,b c ==求ABC ∆的面积.
18．（12分）已知函数2
1
2sin cos sin 3)(2
-⎪⎭⎫ ⎝
⎛
-
+=πx x x x f ． （1）求函数的单调增区间；
（2）若⎥⎦⎤
⎢⎣
⎡-∈6,6ππx ，求函数的值域．
19．（12分）设12a =， 24a =，数列{}n b 满足：122n n b b +=+且1n n n a a b +-=. （1）求证：数列{}2n b +是等比数列； （2）求数列{}n a 的通项公式.
20．（12分）如图，四边形
为等腰梯形
沿
折起，使得平面平面为的中点，连接（如图2）.
（1）求证：
； （2）求直线
与平面
所成的角的正弦值.
D
B
C
A
C
B
A
D
图1 图2
21．（12分）设圆C 的圆心在x 轴上，并且过()()1,1,1,3A B -两点. (1)求圆C 的方程；
(2)设直线y x m =-+与圆C 交于,M N 两点，那么以MN 为直径的圆能否经过原点，若能，请求出直线MN 的方程；若不能，请说明理由.
22．（12分）已知函数，．
(1)若函数
是奇函数，求实数
的值； (2)在(1)的条件下，判断函数
与函数
的图象公共点个数并说明理
由； (3)当时，函数的图象始终在函数 的图象上方，
求实数的取值范围．
玉溪一中2018-2019学年上学期高二年级第一次月考
文科数学参考答案
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.
二、填空题：本题共4小题，每题5分，共20分. 13．
6π 14．2549 15.2
15 16．15m m ≤-≥或 三、解答题：本大题共6小题，共70分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（10分）设ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,,a b c 已知2cos 2.b C a c =- （1）求B ；
（2）若2,b c =
=求ABC ∆的面积.
解:（1）由已知以及正弦定理可得()2sin cos 2sin sin 2sin sin B C A C B C C =-=+-
2sin cos 2cos sin sin B C B C C =+- 2cos sin sin 0B C C ∴-= .............. 3分
1
0,sin 0,cos 0,.2
3
C C B B B π
ππ<<∴>∴=<<∴=Q 又 (5)
分
（2）由（1）以及余弦定理可得2742a a =+- ......... 6分 .
()2230,31,a a a a ∴--===-解得或舍去 ......... 8分
113222ABC S acsinB ∆∴=
=⨯⨯=分 19．（12分）已知函数2
1
2sin cos sin 3)(2
-⎪⎭⎫ ⎝
⎛
-
+=πx x x x f ． （1）求函数的单调增区间；
（2）若⎥⎦
⎤⎢⎣⎡-∈3,6π
πx ，求函数的值域．
解：（1）
.
由
,
所以函数的单调增区间是
（2）由]3,6[π
π-
∈x 得]6
5,6[62π
ππ-∈+ x ，从而，
所以，函数
的值域为]1,2
1
[-.
19．（12分）设12a =， 24a =，数列{}n b 满足：122n n b b +=+且1n n n a a b +-=. （1）求证：数列{}2n b +是等比数列； （2）求数列{}n a 的通项公式. (1)解：由题知：
12222
222
n n n n b b b b ++++==++，又121422b a a =-=-=Q ，∴124b +=，
∴{}2n b +是以4为首项，以2为公比的等比数列.
()2由(1)可得1242n n b -+=g ，故122n n b +=-.
1n n n a a b +-=Q ， ∴211a a b -=，322a a b -=，433a a b -=，…… 11n n n a a b ---=.
累加得： 11231n n a a b b b b --=+++⋯+，
()()()()
234222222222n n a =+-+-+-+⋯+-
(
)()21
212=2+
2112
n n -----1
2
2n n +=-，
即()1
2
22n n a n n +=-≥. 而1112221a +==-⨯，
∴(
)
1*22n n a n n N +=-∈. 21．（12分）如图，四边形
为等腰梯形
沿
折起，使得平面
平面
为
的中点，连接
（如图2）.
（1）求证： ； （2）求直线
与平面
所成的角的正弦值.
A
B
图
1 图2
（1）证明： 在梯形ABCD 中，作 AB CH ⊥于点H ,则1=BH ,3=CH ,
∵2=BC ,∴3=CH , ∴,,
∴， 又∵平面
平面
且平面
平面
， ∴
平面
，∴
．
（2）取AC 中点F ，连接EF 、EC.
，
设E 点到平面BCD 的距离为，因为，
,
DE 与平面BCD 所成角为，则.
21．（12分）设圆C 的圆心在x 轴上，并且过()()1,1,1,3A B -两点. (1)求圆C 的方程；
(2)设直线y x m =-+与圆C 交于,M N 两点，那么以MN 为直径的圆能否经过原点，若能，请求出直线MN 的方程；若不能，请说明理由.
解：(1)∵圆C 的圆心在AB 的垂直平分线上，
又AB 的中点为()0,2， 1AB k =，∴AB 的中垂线为2y x =-+. ∵圆C 的圆心在x 轴上，∴圆C 的圆心为()2,0C ，
因此，圆C 的半径r AC =，∴圆C 的方程为()2
2210x y -+=. (2)设()()1122,,,M x y N x y 是直线y x m =-+与圆C 的交点， 将y x m =-+代入圆C 的方程得： ()2
2
24260x m x m -++-=.
∴2121262,2m x x m x x -+=+⋅=. ∴MN 的中点为22,22m m H +-⎛⎫
⎪⎝⎭
. 假如以MN 为直径的圆能过原点，则1
2
OH MN =.
∵圆心()2,0C 到直线MN 的距离为d =
∴MN ==∴2260m m --=，解得1m =
经检验1m =±MN 与圆C 均相交，
∴MN 的方程为1y x =-++1y x =-+-22．（12分）已知函数，．
(1)若函数
是奇函数，求实数
的值； (2)在(1)的条件下，判断函数 与函数
的图象公共点个数并说明理
由；
(3)当时，函数的图象始终在函数 的图象上方，
求实数的取值范围． 解：（1）因为
为奇函数，所以
，
即，，显然，且.
等式左右两边同时乘以得，
化简得，.
上式对定义域内任意恒成立，所以必有，解得.
（2）由（1）知，所以，即，
由得或，所以函数定义域.
要求方程解的个数，即求方程在定义域上的解的个数. 令，显然在区间和均单调递增，
又，
且，
.
所以函数在区间和上各有一个零点，
即方程在定义域上有2个解，
所以函数与函数的图象有2个公共点.
（附：函数与在定义域上的大致图象如图所示）（3）要使时，函数的图象始终在函数的图象的上方，必须使在上恒成立，
令，则，上式整理得在恒成立.
方法一：令，.
①当，即时，在上单调递增，
所以，恒成立；
②当，即时，在上单调递减，
只需，解得与矛盾.
③当，即时，
在上单调递减，在上单调递增，
所以由，解得，
又，所以
综合①②③得的取值范围是.
方法二：因为在恒成立. 即，又，所以得在恒成立
令，则，且，
所以，
由基本不等式可知（当且仅当时，等号成立.）即，
所以, 所以的取值范围是.
金戈铁骑。