课件3：2.4.2 圆的一般方程

3．经过圆 x2＋2x＋y2＝0 的圆心 C，且与直线 x＋y＝0 垂直的
直线方程是( )
A．x＋y＋1＝0
B．x＋y－1＝0
C．x－y＋1＝0
D．x－y－1＝0
解析：x2＋2x＋y2＝0 配方得(x＋1)2＋y2＝1，
圆心为(－1，0)，故所求直线为 y＝x＋1，即 x－y＋1＝0.
答案：C
4．已知方程 x2＋y2－2(t＋3)x＋2(1－4t2)y＋16t4＋9＝0(t∈R) 表示的图形是圆． (1)求 t 的取值范围； (2)求其中面积最大的圆的方程； (3)若点 P(3，4t2)恒在所给圆内，求 t 的取值范围．
(2)设 M(x，y)，C(x0，y0)，因为 B(3，0)，M 是线段 BC 的中点， 由中点坐标公式得 x＝x0＋2 3，y＝y0＋2 0， 所以 x0＝2x－3，y0＝2y. 由(1)知，点 C 的轨迹方程为(x－1)2＋y2＝4(y≠0)． 将 x0＝2x－3，y0＝2y 代入得(2x－4)2＋(2y)2＝4， 即(x－2)2＋y2＝1. 因此动点 M 的轨迹方程为(x－2)2＋y2＝1(y≠0).
2.4.2 圆的一般方程
1
素养目标 1.理解圆的一般方程及其特点； 2.掌握圆的一般方程和标准方程的互 化；(重点、难点) 3.会求圆的一般方程以及简单的轨迹方 程．(难点)
学科素养
1.数学运算； 2.数学抽象； 3.直观想象
情境导学
已知圆心(3，－1)，半径为 3，请写出圆的标准方程. 想一想： (1)上述方程能否化为二元二次方程的形式？ (2)若把圆的标准方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2 展开后， 会得出怎样的形式？
当_____D_2_＋__E_2_－__4_F_＞__0_______时，二元二次方程 x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0 叫做圆的一般方程．
2．由圆的一般方程判断点与圆的位置关系
已知点 M(x0，y0)和圆的方程 x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0)，则其 位置关系如表：
位置关系
代数关系Βιβλιοθήκη 所以外心坐标为(1，－1)，外接圆半径为 5.
方法二：设△ABC 的外接圆方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，
因为 A，B，C 在圆上，
（1－a）2＋（4－b）2＝r2，
a＝1，
所以（－2－a）2＋（3－b）2＝r2，解得b＝－1，
（4－a）2＋（－5－b）2＝r2， r＝5，
即外接圆的圆心为(1，－1)，半径为 5,
因为平行四边形的对角线互相平分， 所以2x＝x0－2 3，2y＝y0＋2 4， 整理得xy00＝ ＝xy＋ －34， ， 又点 N(x0，y0)在圆 x2＋y2＝4 上， 所以(x＋3)2＋(y－4)2＝4. 所以点 P 的轨迹是以(－3，4)为圆心，2 为半径的圆. 直线 OM 与轨迹相交于两点－95，152和－251，258，不符合题意，舍去， 所以点 P 的轨迹为圆(x＋3)2＋(y－4)2＝4，除去两点－95，152和－251，258.
跟踪训练
如果 x2＋y2－2x＋y＋k＝0 是圆的方程，则实数 k 的范围是________．
解析：由题意可知(－2)2＋12－4k>0，即
5 k<4.
答案：－∞，54
题型二 求圆的一般方程 【例 2】已知△ABC 的三个顶点为 A(1，4)，B(－2，3)，C(4，－5)， 求△ABC 的外接圆方程、外心坐标和外接圆半径.
题型探究
题型一 圆的一般方程的概念
【例 1】判断下列方程分别表示什么图形.
(1)x2＋y2＋2x＋2y＋2＝0;
(2)x2＋y2－2x＋4y－6＝0;
(3)x2＋y2－2ax－b2＝0;
(4)3x2＋3y2－2x＋4y－6＝0.
解：(1)方法一(配方法)：原方程等价于(x＋1)2＋(y＋1)2＝0， 因此方程表示点(－1，－1). 方法二(公式法)：因为 D2＋E2－4F＝22＋22－4×2＝0， 所以方程表示点－D2 ，－E2，即(－1，－1). (2)原方程等价于(x－1)2＋(y＋2)2＝( 11)2， 因此方程表示圆心为(1，－2)，半径为 11的圆.
方法二：设 AB 的中点为 D，由中点坐标公式得 D(1，0)． 由直角三角形的性质知|CD|＝12|AB|＝2.由圆的定义知， 动点 C 的轨迹是以 D(1，0)为圆心，2 为半径的圆 (由于 A，B，C 三点不共线，所以应除去与 x 轴的交点)． 所以直角顶点 C 的轨迹方程为(x－1)2＋y2＝4(y≠0)．
(3)因为 D2＋E2－4F＝4a2＋4b2≥0，所以当 a＝b＝0 时，方程表示原点； 当 a，b 不全为 0 时，方程表示以(a，0)为圆心， a2＋b2为半径的圆. (4)原方程等价于 x2＋y2－32x＋34y－2＝0，配方， 得x－312＋y＋322＝ 3232， 因此方程表示圆心为13，－23，半径为 323的圆．
跟踪训练 若 A(5，0)，B(－1，0)，C(－3，3)三点的外接圆为⊙M， 求⊙M 的方程．若点 D(m，3)在⊙M 上，求 m 的值．
解：设过 A(5，0)，B(－1，0)，C(－3，3)的圆的一般方程 为 x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0.
52＋02＋5D＋E×0＋F＝0，
依题意有（－1）2＋02－D＋E×0＋F＝0， （－3）2＋32－3D＋3E＋F＝0，
则以 C 为圆心， 5为半径的圆的方程为( )
A．x2＋y2－2x＋4y＝0
B．x2＋y2＋2x＋4y＝0
C．x2＋y2＋2x－4y＝0
D．x2＋y2－2x－4y＝0
解析：直线(a－1)x－y＋a＋1＝0 可化为(－x－y＋1)＋a(1＋x)＝0， 由－x＋x－1＝y＋0 1＝0，得 C(－1，2)． 所以圆的方程为(x＋1)2＋(y－2)2＝5， 即 x2＋y2＋2x－4y＝0. 答案：C
类题通法 方程 x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0 表示圆的两种判断方法 (1)配方法．对形如 x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0 的二元二次方程可以通过配方 变形成“标准”形式后，观察是否表示圆. (2)运用圆的一般方程的判断方法求解．即通过判断 D2＋E2－4F 是否为正， 确定它是否表示圆. 提醒：在利用 D2＋E2－4F>0 来判断二元二次方程是否表示圆时，务必注意 x2 及 y2 的系数．
类题通法 求与圆有关的轨迹方程的常用方法 (1)直接法：根据题目的条件，建立平面直角坐标系，设出动点坐标， 找出动点所满足的条件，并用坐标表示，化简即得轨迹方程. (2)定义法：当动点的轨迹符合圆的定义时，可直接写出动点的轨迹 方程．
(3)相关点法：若动点 P(x，y)随着圆上的另一动点 Q(x1，y1)运动 而运动，且 x1，y1 可用 x，y 表示，则可将 Q 点的坐标代入已知 圆的方程，即得动点 P 的轨迹方程．
解析：方法一：设 P(x，y)，由条件知 PM⊥PN，且 PM，PN 的 斜率存在，故 kPM·kPN＝－1, 即yx－＋02·xy－－20＝－1，x2＋y2＝4. 又当 P，M，N 三点共线时， 不能构成三角形，所以 x≠±2, 即所求轨迹方程为 x2＋y2＝4(x≠±2).
方法二：由题可知，点 P 的轨迹是以 MN 为直径的圆(除去 M，N 两点), 所以点 P 的轨迹方程是 x2＋y2＝4(x≠±2)．
解：(1)已知方程可化为(x－t－3)2＋(y＋1－4t2)2 ＝(t＋3)2＋(1－4t2)2－16t4－9， 所以 r2＝－7t2＋6t＋1>0，由二次函数的图象解得－17<t<1. (2)由(1)知 r2＝－7t2＋6t＋1＝－7t－372＋176， 所以当 t＝73∈－17，1时，rmax＝477，此时圆的面积最大， 所对应的圆的方程是x－2742＋y＋41932＝176.
点 M 在圆外 点 M 在圆上 点 M 在圆内
x20＋y20＋Dx0＋Ey0＋F_>__0 x20＋y20＋Dx0＋Ey0＋F_＝__0 x20＋y20＋Dx0＋Ey0＋F_<__0
小题体验 判断(正确的打“√”，错误的打“×”). (1)方程 x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0 表示圆．( )
解析：只有在 D2＋E2－4F>0 的情况下该方程才表示圆. 答案：×
答案：x2＋y2＝4(x≠±2)
探究题 2 设定点 M(－3，4)，动点 N 在圆 x2＋y2＝4 上运动， 以 OM，ON 为两边作平行四边形 MONP，求点 P 的轨迹．
解：如图，设 P(x，y)，N(x0，y0)，
则线段 OP 的中点坐标为2x，2y， 线段 MN 的中点坐标为x0－2 3，y0＋2 4.
(2)利用圆的一般方程无法判断点与圆的位置关系．( )
解析：利用圆的一般方程，也可以判断点和圆的位置关系.
答案：×
(3)圆的标准方程与一般方程可以相互转化．( )
解析：圆的标准方程展开化简可以得到一般方程；圆的一般方程配方 变形可以得到标准方程. 答案：√ (4)利用待定系数法求圆的一般方程，需要三个独立的条件．( ) 解析：圆的一般方程中有三个参数 D，E，F，所以利用待定系数法 求方程时需建立三个等式，即需要三个独立的条件． 答案：√
D＝－4， 解得E＝－235，即所求圆的一般方程为 x2＋y2－4x－235y－5＝0.
F＝－5，
因为点 D(m，3)在⊙M 上，所以 m2＋32－4m－235×3－5＝0，
解得 m＝－3 或 m＝7.
题型三 与圆有关的轨迹问题 探究题 1 已知 M(－2，0)，N(2，0)，则以 MN 为斜边的直角三角形的 直角顶点 P 的轨迹方程是__________．
课堂检测
1．如果方程 x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F＞0)所表示的曲线关于
直线 y＝x 对称，则必有( )
A．D＝E
B．D＝F
C．E＝F
D．D＝E＝F
解析：由 D2＋E2－4F＞0 知，方程表示的曲线是圆，
其圆心－D2 ，－E2在直线 y＝x 上，故 D＝E. 答案：A
2．当 a 为任意实数时，直线(a－1)x－y＋a＋1＝0 恒过定点 C，
新知初探
1.圆的一般方程
方程 x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0 的三种情况
方程
条件
图形
x2＋y2＋
D2＋E2－4F＜
Dx＋Ey
不表示任何图形
0
＋F＝0
方程
条件
图形
D2＋E2－4F＝0
x2＋y2＋Dx＋Ey＋F ＝0 D2＋E2－4F＞0
表示一个点____－__D2_，__－_E2_____ 表示以_－__D_2_，__－__E2_ _为圆心， 以__12__D__2＋__E__2－__4_F___为半径的圆
所以圆的标准方程为(x－1)2＋(y＋1)2＝25,
展开易得其一般方程为 x2＋y2－2x＋2y－23＝0.
类题通法 求圆的方程时，如果由已知条件容易求得圆心坐标、半径或需利用 圆心的坐标或半径列方程，一般采用圆的标准方程，再用待定系数 法求出 a，b，r；如果已知条件与圆心和半径都无直接关系，一般 采用圆的一般方程，再用待定系数法求出常数 D，E，F.
(3)当且仅当 32＋(4t2)2－2(t＋3)×3＋2(1－4t2)·(4t2)＋16t4＋9<0 时，
点
P
恒在圆内，所以
8t2－6t<0，所以
解：方法一：设△ABC 的外接圆方程为 x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，
因为 A，B，C 在圆上，
1＋16＋D＋4E＋F＝0，
D＝－2，
所以4＋9－2D＋3E＋F＝0， 所以E＝2，
16＋25＋4D－5E＋F＝0， F＝－23，
所以△ABC 的外接圆方程为 x2＋y2－2x＋2y－23＝0，
即(x－1)2＋(y＋1)2＝25.
跟踪训练 已知 Rt△ABC 的斜边为 AB，且 A(－1，0)，B(3，0)． 求：(1)直角顶点 C 的轨迹方程； (2)直角边 BC 的中点 M 的轨迹方程．
解：(1)方法一：设 C(x，y)，因为 A，B，C 三点不共线，所以 y≠0. 因为 AC⊥BC，且 BC，AC 斜率均存在， 所以 kAC·kBC＝－1. 又 kAC＝x＋y 1，kBC＝x－y 3， 所以x＋y 1·x－y 3＝－1， 化简得 x2＋y2－2x－3＝0. 因此，直角顶点 C 的轨迹方程为 x2＋y2－2x－3＝0(y≠0)．