2019-2020学年中山市名校新高考高二数学下学期期末统考试题

同步测试
一、选择题：本题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．若双曲线22
221x y a b
-=的一条渐近线经过点()3,4-，则此双曲线的离心率为( )
A ．
73
B ．
54
C ．
43
D ．
53
2．已知双曲线的左、右焦点分别为，过作的渐近线的垂线，垂足为点
，则的离心率为
A ．
B ．
C ．
D ．
3．已知x ，0y >，21x y +=，若21
x y
+>234m m ++恒成立，则实数m 的取值范围是 A ．1m ≥-或4m ≤- B ．4m ≥或1m ≤- C ．41m -<<
D ．14-<<m
4．如图，P 是正四面体V ABC -的面VBC 上一点，点P 到平面ABC 距离与到点V 的距离相等，则动点P 的轨迹是( )
A ．直线
B ．抛物线
C ．离心率为
22
的椭圆 D ．离心率为3的双曲线
5．由曲线2y x =，2y x 所围成图形的面积是（ ）
A ．
13
B ．
16
C ．
12
D ．
403
6．若在
可导，且
，则
（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
7．已知函数在上可导，且，则（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
8．已知函数()32log ,0
41,0
x x f x x x x ⎧>=⎨
++≤⎩，函数()() F x f x b =-有四个不同的零点1x 、2x 、3x 、4x ，且
满足:1234x x x x <<<，则22
13
23432
x x x x x x +-的取值范围是（ ） A ．)
22,⎡+∞⎣
B ．833,
9⎛⎤ ⎥⎝⎦
C ．[
)3,+∞ D ．8322,
9⎡
⎤
⎢⎥⎣⎦
9．古有苏秦、张仪唇枪舌剑驰骋于乱世之秋，今看我一中学子论天、论地、指点江山．现在高二某班需从甲、乙、丙、丁、戊五位同学中，选出四位同学组成重庆一中“口才季”中的一个辩论队，根据他们的文化、思维水平，分别担任一辩、 二辩、三辩、 四辩，其中四辩必须由甲或乙担任，而丙与丁不能担任一辩，则不同组队方式有（ ） A ．14种
B ．16种
C ．20种
D ．24种
10．已知集合{
}
2
50M x x x =-，{2,3,4,5,6,7,8}N =,则M N ⋂等于( )
A ．{}3,4
B ．5,6
C ．{}2,3,4
D ．{}2,3,4,5
11．椭圆3cos (4sin x y θ
θθ=⎧⎨
=⎩
为参数)的离心率是( ) A ．
74
B ．
73
C ．
72
D ．
75
12．如果(
)
12f
x x x +=+，则()f x 的解析式为（ ）
A ．()()21f x x x =≥
B ．()()2
10f x x x =-≥
C ．()()2
11f x x x =-≥ D ．()()2
0f x x
x =≥
二、填空题：本题共4小题
13．如图，以长方体ABCD A B C D ''''-的顶底D 为坐标原点，过D 的三条棱所在的直线为坐标轴，建立空间直角坐标系，若DB '的坐标为(5,4,3)，则AC '的坐标为________
14．抛物线22y x =的准线方程为________．
15．已知顶点在原点的抛物线C 的焦点与椭圆22
1167
x y +=的右焦点重合，则抛物线C 的方程为______．
16．从甲、乙、丙、丁4位同学中随机选出2名代表参加学校会议，则甲被选中的概率是 ． 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>经过点(2,1?)A ，离心率为22
，过点(3,?0)B 的直线l 与椭圆C 交于不同的两点,M N ． （1）求椭圆C 的方程； （2）求BM BN ⋅的取值范围.
18．如图，已知1F ，2F 分别为椭圆1C ：22
221(0)x y a b a b
+=>>的上、下焦点，1F 是抛物线2C ：24x y
=的焦点，点M 是1C 与2C 在第二象限的交点，且15
3
MF =. （1）求椭圆1C 的方程；
（2）与圆()2
211x y ++=相切的直线l ：()y k x t =+（其中0kt ≠）交椭圆1C 于点A ，B ，若椭圆1
C 上一点P 满足OA OB OP λ+=，求实数2λ的取值范围.
19．（6分）中国北斗卫星导航系统是中国自行研制的全球卫星导航系统，作为国家战略性空间基础设施，我国北斗卫星导航系统不仅对国防安全意义重大，而且在民用领域的精准化应用也越来越广泛.据统计，2016年卫星导航与位置服务产业总产值达到2118亿元，较2015年约增长22.06%.下面是40个城市北斗卫星导航系统与位置服务产业的产值（单位：万元）的频率分布直方图：
（1）根据频率分布直方图，求产值小于500万元的城市个数；
（2）在上述抽取的40个城市中任取2个，设Y 为产值不超过500万元的城市个数，求Y 的分布列及期望和方差.
20．（6分）已知函数()sin 2cos 22sin cos 36f x x x x x ππ⎛
⎫
⎛
⎫=++++ ⎪ ⎪⎝
⎭⎝
⎭，x R ∈． （1）求函数()f x 的最小正周期；
（2）求函数()f x 的对称中心和单调递增区间．
21．（6分）某校20位同学的数学与英语成绩如下表所示： 学号 1
2 3
4 5 6
7 8
9 10 数学成绩 99 96
95
87 92
97
81 72
99 79
英语成绩 91
97
89 91 93
95 100 100 94 81 学号 11
12 13
14
15
16
17
18
19 20
数学成绩 81 85 96
94 89
89
93
93
70 86
英语成绩
78
84
97
92
93
97
92 95
74
87
将这20位同学的两科成绩绘制成散点图如下：
（1）根据该校以往的经验，数学成绩x 与英语成绩y 线性相关.已知这20名学生的数学平均成绩为88.65，英语平均成绩为91.考试结束后学校经过调查发现学号为7的A 同学与学号为8的B 同学（分别对应散点图中的A 、B ）在英语考试中作弊，故将两位同学的两科成绩取消，取消两位作弊同学的两科成绩后，求其余同学的数学成绩与英语成绩的平均数；
（2）取消两位作弊同学的两科成绩后，求数学成绩x 与英语成绩y 的线性回归方程y bx a =+，并据此估计本次英语考试学号为8的同学如果没有作弊的英语成绩（结果保留整数）. 附：20位同学的两科成绩的参考数据：
20
1
161850i i
i x y
==∑，20
21
158545i i x ==∑.
参考公式：20
120
2
21
i i
i i
i x y nx y
b x
nx
==-⋅=
-∑∑，a y bx =-.
22．（8分）若1()()1()x x
f x e ae a e x a a R -=--+++∈．
（1）讨论()f x 的单调性；
（2）若对任意(0,1)a ∈，关于x 的不等式1
()()a f x e a λ->-在区间()1,a -+∞上恒成立，求实数λ的取
值范围．
参考答案
一、选择题：本题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．D 【解析】
因为双曲线22
221x y a b -=的一条渐近线经过点（3，-4），
2225
349163
c b a c a a e a ∴=∴-=∴=
=，（），． 故选D.
考点：双曲线的简单性质
【名师点睛】渐近线是双曲线独特的性质，在解决有关双曲线问题时，需结合渐近线从数形结合上找突破
口.与渐近线有关的结论或方法还有：（1）与双曲线22221x y a b -=共渐近线的可设为22
22(0)x y a b λλ-=≠；
（2）若渐近线方程为b y x a =±，则可设为22
22(0)x y a b
λλ-=≠；（3） 双曲线的焦点到渐近线的距离等
于虚半轴长b ；（4
）222
21(0.0)x y a b a b -=>>的一条渐近线的斜率为b a ==.可以看出，双曲线的渐近线和离心率的实质都表示双曲线张口的大小．另外解决不等式恒成立问题关键是等价转化，其实质是确定极端或极限位置. 2．D 【解析】 【分析】
利用点到直线的距离公式求出，利用勾股定理求出，由锐角三角函数得出
，由诱导公式得出，在利用余弦定理可得出、、的齐次方程，可解出双曲线离心率的值。

【详解】
如下图所示，双曲线的右焦点，渐近线的方程为，
由点到直线的距离公式可得，
由勾股定理得，
在中，，，
在中，，，，
，
由余弦定理得，化简得，，
即，因此，双曲线的离心率为，故选：D。

【点睛】
本题考查双曲线离心率的求解，属于中等题。

求离心率是圆锥曲线一类常考题，也是一个重点、难点问题，求解椭圆或双曲线的离心率，一般有以下几种方法：
①直接求出、，可计算出离心率；
②构造、的齐次方程，求出离心率；
③利用离心率的定义以及椭圆、双曲线的定义来求解。

3．C 【解析】
分析：用“1”的替换先解
21
x y
+的最小值，再解m 的取值范围。

详解：()2121128x y x y x y ⎛⎫⎛⎫
+⨯=++≥
⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
，所以2034m m <+-的解集为()4,1-，故选C 点睛：已知二元一次方程，求二元一次分式结构的最值，用“1”的替换是均值不等式的应用，构造出b a
a b
+的模型，再验证条件。

4．C 【解析】
分析：由题设条件将点P 到平面ABC 距离与到点V 的距离相等转化成在面VBC 中点P 到V 的距离与到定直线BC 的距离比是一个常数，依据圆锥曲线的第二定义判断出其轨迹的形状．
详解：∵正四面体V ﹣ABC ∴面VBC 不垂直面ABC ，过P 作PD ⊥面ABC 于D ，过D 作DH ⊥BC 于H ，连接PH ，
可得BC ⊥面DPH ，所以BC ⊥PH ，故∠PHD 为二面角V ﹣BC ﹣A 的平面角令其为θ 则Rt △PGH 中，|PD|：|PH|=sinθ（θ为V ﹣BC ﹣A 的二面角的大小）． 又点P 到平面ABC 距离与到点V 的距离相等，即|PV|=|PD|
∴|PV|：|PH|=sinθ＜1，即在平面VBC 中，点P 到定点V 的距离与定直线BC 的距离之比是一个常数s inθ，
又在正四面体V ﹣ABC ，V ﹣BC ﹣A 的二面角的大小θ有：2
23
1， 由椭圆定义知P 点轨迹为椭圆在面SBC 内的一部分． 故答案为：C ．
点睛：（1）本题主要考查二面角、椭圆的定义、轨迹方程等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想．(2)解答本题的关键是联想到圆锥曲线的第二定义. 5．A 【解析】 【分析】
先计算交点，再根据定积分计算面积. 【详解】 曲线2y x =，2y
x ，交点为：(0,0),(1,1)
围成图形的面积：
30
2
321121
1()()033
3x x dx x x ⎰-=-= 故答案选A 【点睛】
本题考查了定积分的计算，意在考查学生的计算能力. 6． D 【解析】 【分析】
根据导数的定义进行求解即可． 【详解】 ∵
，
∴，
即，
则．
故选D ． 【点睛】
本题主要考查导数的计算，根据导数的极限定义进行转化是解决本题的关键． 7．A 【解析】 【分析】 求导后代入可得关于
的方程，解方程求得结果.
【详解】 由得：
令
，则
，解得：
本题正确选项： 【点睛】
本题考查导数值的求解，关键是能够根据导数运算法则得到导函数的解析式，属于基础题.
8．D
【解析】
【分析】
作出函数()
y f x
=的图象，可得出当直线y b
=与函数()
y f x
=的图象有四个交点时b的取值范围，根据图象得出124
x x
+=-，
34
1
x x=，并求出实数
3
x的取值范围，将代数式
22
1323
4
3
2
x x x x
x
x
+
-转化为关于
3
x 的函数，利用双勾函数的基本性质求出
22
1323
4
3
2
x x x x
x
x
+
-的取值范围.
【详解】
作出函数()
y f x
=的图象如下图所示：
由图象可知，当01
b
<≤时，直线y b
=与函数()
y f x
=的图象有四个交点，
由于二次函数241
y x x
=++的图象关于直线2
x=-对称，则124
x x
+=-，
又
4344
log log
x x
=，由题意可知，
3
01
x
<<，
4
1
x>，
4344
log log
x x
∴-=，可得
34
1
x x=，
4
3
1
x
x
∴=，由(]
33
log0,1
x b
=∈，即
33
0log1
x
<-≤，解得
3
1
1
3
x
≤<.
22
2
1323
4
3
2
33
1
2
2
x x x x
x
x
x x
+
∴-=+，令2
3
1
,1
9
t x
⎡⎫
=∈⎪
⎢⎣⎭，则
1
2
y t
t
=+，
由基本不等式得
11
22222
y t t
t t
=+≥⋅=
21
,1
9
t
⎡⎫
=⎪
⎢⎣⎭时，等号成立，
当
1
9
t=时，
283
9
99
y=+=，当1
t=时，3
y=，所以，
183
222
9
t
t
≤+≤，
因此，22
1323432x x x x x x +-的取值范围是839⎡
⎤⎢⎥⎣
⎦，故选：D.
【点睛】
本题考查函数零点的取值范围，解题时要充分利用图象的对称性以及对数的运算性质得出一些定值条件，并将所求代数式转化为以某个变量为自变量的函数，转化为函数值域求解，考查化归与转化思想、函数方程思想的应用，属于中等题. 9．D 【解析】
五人选四人有4
55C =种选择方法，分类讨论： 若所选四人为甲乙丙丁，有22
224A A ⨯=种； 若所选四人为甲乙丙戊，有112
2228C C A ⨯⨯=种； 若所选四人为甲乙丁戊，有112
2228C C A ⨯⨯=种；
若所选四人为甲丙丁戊，有1
2
2C =种； 若所选四人为乙丙丁戊，有1
2
2C =种； 由加法原理：不同组队方式有4882224++++=种. 10．C 【解析】 【详解】
分析：利用一元二次不等式的解法求出M 中不等式的解集确定出M ，然后利用交集的定义求解即可. 详解：由M 中不等式变形得()50x x -<， 解得05x <<，即{}|05M x x =<<，
因为{}2,3,4,5,6,7,8N =，{}2,3,4M N ∴⋂=，故选C.
点睛：研究集合问题，一定要抓住元素，看元素应满足的属性.研究两集合的关系时，关键是将两集合的关系转化为元素间的关系，本题实质求满足属于集合A 且属于集合B 的元素的集合. 本题需注意两集合一个是有限集，一个是无限集，按有限集逐一验证为妥. 11．A 【解析】 【分析】
先求出椭圆的普通方程，再求其离心率得解. 【详解】
椭圆3cos 4sin x y θθ
=⎧⎨=⎩的标准方程为22
1916x y +=，所以.
所以e 故答案为A 【点睛】
(1) 本题主要考查参数方程和普通方程的互化，考查椭圆的简单几何性质，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理计算能力. (2)在椭圆中，2
2
2
,.c c a b e a
=-= 12．C 【解析】 【分析】
根据配凑法，即可求得()f x 的解析式，注意定义域的范围即可． 【详解】
因为)
1f x =+))
2
111f =
-
令1t =
，1t ≥
则()2
1f t t =-，1t ≥ 即()()2
11f x x x =-≥
所以选C 【点睛】
本题考查了配凑法在求函数解析式中的应用，注意定义域的范围，属于基础题． 二、填空题：本题共4小题 13．(5,4,3)- 【解析】 【分析】
根据DB '的坐标，求B '的坐标，确定长方体的各边长度，再求AC '的坐标. 【详解】
点D 的坐标是()0,0,0，()5,4,3DB '=，
()5,4,3B '∴
5AD ∴=，4DC =，3DD '=
()5,0,0A ∴，()0,4,3C '
()5,4,3AC '∴=-
故答案为:()5,4,3-. 【点睛】
本题考查向量坐标的求法，意在考查基本概念和基础知识，属于简单题型. 14．18
y =- 【解析】 【分析】
先将抛物线化为标准方程，进而可得出准线方程. 【详解】
因为抛物线2
2y x =的标准方程为：2
1
2
x y =
， 因此其准线方程为：18
y =-. 故答案为：18
y =- 【点睛】
本题主要考查抛物线的准线，熟记抛物线的标准方程即可，属于基础题型. 15．212y x = 【解析】 【分析】
求得抛物线的右焦点坐标，由此求得抛物线方程. 【详解】
椭圆的2
2
16,7a b ==，故2229c a b =-=，故3c =，所以椭圆右焦点的坐标为()3,0，故
32
p ，所以
212p =，所以抛物线的方程为212y x =.
故答案为：212y x = 【点睛】
本小题主要考查椭圆焦点的计算，考查根据抛物线的焦点计算抛物线方程，属于基础题. 16．
12
【解析】
试题分析：从甲、乙、丙、丁4位同学中随机选出2名代表共有2
4
6C =种基本事件，甲被选中包含133C =种，基本事件，因此甲被选中的概率是31
=.62
考点：古典概型概率
三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．（1）22
163
x y +=（2）(2,?
3] 【解析】
试题分析：（1）将点(2,1
?)A 代入椭圆方程,结合关系式c
e a
=和222a b c =+,组成方程组,可解得,,a b c 的值,从而可得椭圆的方程.（2）由题意分析可知直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为(3)y k x =-.将直线方程和椭圆方程联立,消去y 整理为关于x 的一元二次方程.由题意可知其判别式大于0,可得k 的范围. 设
M ，N 的坐标分别为11(,)x y ，22(,)x y .由韦达定理可得1212,x x x x +⋅的值.根据数量积公式用k 表示
BM BN ⋅.根据k 的范围求BM BN ⋅得范围.
试题解析：解：（1）由题意得22222
411,{,2.2
a b a b c c a +==+=解得6a =，3b =．
椭圆C 的方程为22
163
x y +=．
（2）由题意显然直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为(3)y k x =-，
由2
2
(3),
{1,63
y k x x y =-+=得2222
(12)121860k x k x k +-+-=. 直线l 与椭圆C 交于不同的两点M ，N ，
42221444(12)(186)24(1)0k k k k ∆=-+-=->，解得11k -<<.
设M ，N 的坐标分别为11(,)x y ，22(,)x y ，
则2122
1212k x x k
+=+，212218612k x x k -=+，11(3)y k x =-，22(3)y k x =-． 1212(3)(3)BM BN x x y y ⋅=--+2
1212(1)[3()9]k x x x x =+-++
223312k k
+=+23322(12)k =+
+． ，233
2322(12)
k ∴<
+≤+．BM BN ∴⋅的取值范围为(2,?3]． 考点：1椭圆的简单基本性质;2直线与椭圆的位置关系;3值域问题.
18． (1)22
134
x y +=；(2)440,,433⎛⎫⎛⎫⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.
【解析】
试题分析：（1）由题意得()10,1F ，所以22
1a b -=，又由抛物线定义可知2
3M y =
，23M ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭
，由椭圆定义知，122a MF MF =+ 4=，得2a =，故2
3b =，从而椭圆1C 的方程为22
134
x y +=；
（2）120x x x λ+=，120y y y λ+=，联立()22,4312,y k x t x y ⎧=+⎨+=⎩得()()222
68,4343k t kt
P k k λλ⎛⎫- ⎪ ⎪++⎝⎭，代入椭圆方程，所以222
2
443k t k
λ=+，又221t k t =-，所以2
440,,433λ⎛⎫⎛⎫∈⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭． 试题解析：
（1）由题意得()10,1F ，所以22
1a b -=，又由抛物线定义可知15
13
M MF y =+=
， 得2
3M y =
，于是易知23M ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭
，从而273MF ==，由椭圆定义知， 122a MF MF =+ 4=，得2a =，故23b =， 从而椭圆1C 的方程为22
134
x y +=．
（2）设()11,A x y ，()22,B x y ，()00,P x y ，则由OA OB OP λ+=知，120x x x λ+=，120y y y λ+=，
且22
00134
x y +=，①
又直线l ：()y k x t =+（其中0kt ≠）与圆()2
211x y ++=
1=，
由0k ≠，可得2
21t
k t =
-（1t ≠±，0t ≠），② 又联立()22
,4312,
y k x t x y ⎧=+⎨+=⎩消去y 得()22222
4363120k x k tx k t +++-=，且0∆>恒成立， 且2122643k t x x k +=-+，22122
312
43k t x x k
-=+， 所以()121228243kt
y y k x x kt k +=++=
+，
所以得()(
)
222
68,4343k t
kt P k k λλ⎛⎫-
⎪ ⎪++⎝
⎭
，代入①式，得()()422222
2222121614343k t k t k k λλ+=++，
所以22
2
2
443k t k
λ=+， 又将②式代入得，
22
22
4
11
1t t
λ=
⎛⎫++ ⎪⎝⎭，0t ≠，1t ≠±， 易知2221111t t ⎛⎫++> ⎪⎝⎭，且2
221113t t
⎛⎫++≠ ⎪⎝⎭，所以2440,,433λ⎛⎫⎛⎫∈⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭． 19． (1)1；(2)答案见解析. 【解析】
分析：（1）根据频率分布直方图，能求出产值小于500万元的城市个数；
（2）由Y 的所有可能取值为0，1，2，分别求出相应的概率，由此能求出Y 的分布列及期望和方差. 详解：（1）根据频率分布直方图可知，产值小于500万元的城市个数为：[（0.03+0.04）×5]×40=1． （2）Y 的所有可能取值为0，1，2．
，
，
．
∴Y 的分布列为： Y 0 1 2 P
期望为：，
方差为：
．
点睛：本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布、期望、方差等知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想. 20． (1) T π=. (2) (,0)6
2k π
π-
+
，k Z ∈；5[,]1212
k k ππ
ππ-++，k Z ∈. 【解析】
分析：（1）分别利用两角和的正弦、余弦公式及二倍角正弦公式化简函数式，然后利用用公式求周期即可； （2）根据正弦函数的图象与性质，求出函数f （x ） 的对称中心与单调增区间．
详解：（1）∵()222223
366f x sin xcos
cos xsin
cos xcos sin xsin sin x π
πππ⎛
⎫⎛
⎫
=++-+ ⎪ ⎪⎝
⎭⎝⎭
22x sin x =+
223sin x π⎛
⎫=+ ⎪⎝
⎭．
∴T π=． （2）令sin 203x π⎛⎫
+
= ⎪⎝
⎭得：62
k x ππ
=-+，k Z ∈ 所以对称中心为：,062k ππ⎛⎫
-+ ⎪⎝⎭
，k Z ∈ 令2222
3
2
k x k π
π
π
ππ-
+≤+
≤
+
解得单调递增区间为：5,1212k k ππππ⎡⎤
-
++⎢⎥⎣⎦
，k Z ∈.
点睛：函数()sin (0,0)y A x B A ωϕω=++>>的性质 (1) max min =+y A B y A B ，=-. (2)周期2π
.T ω
=
(3)由 ()π
π2
x k k Z ωϕ+=
+∈求对称轴 (4)由()ππ2π2π22k x k k Z ωϕ-+≤+≤+∈求增区间;由()π3π
2π2π22
k x k k Z ωϕ+≤+≤
+∈求减区间. 21．（1）其余学生的数学平均分、英语平均分都为90分；
（2）数学成绩x 与英语成绩y 的线性回归方程0.7522.5y x =+，本次英语考试学号为8的同学如果没有作弊，他的英语成绩估计为77分. 【解析】 【分析】
（1）利用平均数的公式求出这20名学生的数学成绩之和以及英语成绩之和，再减去7、8号学生的数学成绩和英语成绩，计算其余18名学生的数学成绩平均分和英语成绩的平均分； （2）设取消的两位同学的两科成绩分别为()1919,x y 、()2020,x y ，根据题中数据计算出
181
i i
i x y =∑和18
2
1
i
i x
=∑，
并代入最小二乘法公共计算出回归系数b 和a ，可得出回归方程，再将8号学生的数学成绩72x =代入回归直线方程可得出其英语成绩. 【详解】
（1）由题20名学生的数学成绩之和为88.65201773⨯=，英语成绩之和为91201820⨯=， 取消两位作弊同学的两科成绩后，其余18名学生的数学成绩之和177381721620--=， 其余18名学生的英语成绩之和为18201001001620--=.
∴其余18名学生的数学平均分x ，英语平均分y 都为
1620
9018
=； （2）不妨设取消的两位同学的两科成绩分别为()1919,x y 、()2020,x y ， 由题
1820
1
1
811007210016185081007200146550i i
i i
i i x y x y ===-⨯-⨯=--=∑∑，
18
20
22221
1
817215854565615184146800i
i i i x
x ===---=-=∑∑，
18
118
2
21
18146550189090750
0.751468001890901000
18i i
i i t x y x y
b x x
==-⋅-⨯⨯=
=
==-⨯⨯-∑∑，
900.759022.5a y bx =-=-⨯=，
∴数学成绩x 与英语成绩y 的线性回归方程0.7522.5y x =+.
代入学号为8的同学数学成绩72x = 得0.757222.576.577y =⨯+=≈，
∴本次英语考试学号为8的同学如果没有作弊，他的英语成绩估计为77分.
【点睛】
本题考查平均数的计算，同时也考查了回归直线方程的求解，解题的关键就是理解最小二乘法公式，考查计算能力，属于中等题. 22．（1）见解析（2）e λ≤ 【解析】 【分析】
（1）求导得1()()
()()x x x
x
x
e e e a
f x e ae
a e e
---'=+-+=，再分成0a ≤、0a e <<、a e =、a e >四种情况，结合导数的符号得出函数的单调性； （2）设()ln 1h a a a =-+，1
()1h a a
'
=
-，得单调性，则ln 1a a <-，由（1）可得min ()(1)1f x f a ==-，则11a a e a λ--<-，令11()a a g a e a
--=-，求导112
(2)1()()a a a e g a e a ---+'=-，令1
()(2)1a a a e ϕ-=-+，1()(1)a 'a a e ϕ-=- ，根据导数可得出函数的单调性与最值，由此可以求出答案．
【详解】
解：（1）1()()
()()x x x x
x
e e e a
f x e ae
a e e
---'=+-+=， ①当0a ≤时，令()0f x '≥则1x ≥，令()0f x '<，则1x <，
∴()f x 在()1-∞，
上单调递减，在[
)1,+∞单调递增； ②当0a e <<时，ln 1a <，令()0f x '≥，则1x ≥或ln x a ≤，令()0f x '<，则ln 1a x <<， ∴()f x 在(),ln a -∞和()1,+∞上单调递增，在[]ln ,1a 上单调递减； ③当a e =时，()f x 在R 上单调递增；
④当a e >时ln 1a >，令()0f x '≥则ln ≥x a 或ln1x ≤，令()0f x '<则1ln x a <<， ∴()f x 在(),1-∞和[
)ln ,+∞a 上单调递增，在[]1,ln a 上单调递减； （2）当01a <<时，ln 1a a <-，设()ln 1h a a a =-+，1
()10h a a
'=->， ∴()h a 在()0,1上递增，()(1)0h a h <=， ∴ln 1a a <-，
由（1）知()f x 在()1,1a -上递减，在()1
+∞，上递增， ∴min ()(1)1f x f a ==-，∴11a a
e a
λ--<
-，
令11()a a
g a e a
--=-(01)a <<，则112
(2)1()()a a a e g a e a ---+'=-， 令1
()(2)1a a a e
ϕ-=-+，1()(1)a 'a a e ϕ-=-，
当01a <<时，()0'a ϕ<，故()a ϕ在()0,1上递减， ∴()(1)0a ϕϕ>=，∴()0g a '>，∴()g a 在()0,1上递增， ∵()(0)g a g e >=， ∴e λ≤． 【点睛】
本题主要考查利用导数研究函数的单调性与最值，考查利用导数研究函数恒成立问题，考查推理能力与计算能力，考查转化与化归思想与分类讨论思想，多次求导是解决本题的关键，属于难题．
同步测试
一、选择题：本题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．某研究型学习小组调查研究学生使用智能手机对学习的影响．部分统计数据如下表：
使用智能手机 不使用智能手机 合计 学习成绩优秀 4 8 12 学习成绩不优秀 16 2 18 合计 20
10
30
附表：
20()P K k ≥
0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 0k 2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
经计算210K =，则下列选项正确的是
A ．有99.5%的把握认为使用智能手机对学习有影响
B ．有99.5%的把握认为使用智能手机对学习无影响
C ．有99.9%的把握认为使用智能手机对学习有影响
D ．有99.9%的把握认为使用智能手机对学习无影响 2．若命题0
0:,1x P x Z e ∃∈<，则p ⌝为（ ）
A ．,1x x Z e ∀∈<
B ．,1x x Z e ∀∈≥
C ．,1x x Z e ∀∉<
D ．,1x x Z e ∀∉≥
3．函数
的最小正周期为，则该函数的图象（ ）
A ．关于直线对称
B ．关于直线对称
C ．关于点对称
D ．关于点对称
4．已知a>0，b>－1，且a ＋b ＝1，则22
21
a b a b ++
+的最小值为( ) A 3+22
B 3+2
C ．
32
2
- D 3-22
5．已知111,2,,3,2
3a ⎧⎫∈-⎨⎬⎩
⎭
，若()
a f x x 为奇函数，且在(0,)+∞上单调递增，则实数a 的值是( )
A ．1,3-
B ．1,33
C ．11,,33-
D ．11,,332 6．若函数()321f x x ax =-+在（0，2）内单调递减，则实数a 的取值范围为 （ ）
A ．a ≥3
B ．a =3
C ．a ≤3
D ．0< a <3
7．已知()f x 是定义在R 上的函数，且对任意的x ∈R 都有()()2cos f x f x x +-=，()sin 0f x x '+<，若角α满足不等式()()0f f παα++≥，则α的取值范围是（ ）
A ．,2π⎛
⎤-∞- ⎥⎝⎦ B ．(,]π-∞ C ．,22ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ D ．0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦
8．设有下面四个命题
1:p 若1x >，则0.30.3x >；
2:p 若()~4,0.3X B ，则()0.84D X =；
3:p 若ln 1x x +>，则1x >；
4:p 若()2~3,X N σ，则()()25P X P X <>>.
其中真命题的个数为（ ）
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
9．已知2F ，1F 是双曲线22
221(0,0)y x a b a b
-=>>的上、下两个焦点，1F 的直线与双曲线的上下两支分别交于点B ，A ，若2ABF 为等边三角形，则双曲线的渐近线方程为（ ）
A ．2y x =±
B ．22y x =±
C ．6y x =±
D ．66
y x =± 10．下面几种推理过程是演绎推理的是 ( )
A ．某校高三(1)班有55人，2班有54人，3班有52人，由此得高三所有班人数超过50人
B ．两条直线平行，同旁内角互补，如果∠A 与∠B 是两条平行直线的同旁内角，则∠A ＋∠B ＝180°
C ．由平面三角形的性质，推测空间四边形的性质
D ．在数列{a n }中，a 1＝1，a n ＝ (a n －1＋)(n≥2)，由此归纳出{a n }的通项公
11．已知函数()()212,042ln 3,4x x x f x x x ⎧-+≤≤⎪=⎨⎪->⎩
，若方程()f x m =有三个实数根123,,x x x ，且123x x x <<，
则312x x x -的取值范围为 （ ）
A ．[)52ln 2,4-
B ．)
252ln 2,1e ⎡--⎣
C ．)242ln 2,1e ⎡+-⎣
D ．[)3ln 2,52ln 2-+
12．某品牌小汽车在匀速行驶中每小时的耗油量y （升）关于行驶速度x （千米/时）的函数解析式为31118(0120)8100010
y x x x =-+<≤.若要使该汽车行驶200千米时的油耗最低，则汽车匀速行驶的速度应为（ ） A ．60千米/时
B ．80千米/时
C ．90千米/时
D ．100千米/时 二、填空题：本题共4小题
13．幂函数()()2221 33m m f x m m x -+=-+在区间()0,∞+上是增函数，则m =________.
14．22
318lg1002-⎛⎫++= ⎪⎝⎭
______. 15．已知圆C 1：22(2)(3)1x y -+-=，圆C 2：22(3)(4)9x y -+-=，M ，N 分别是圆C 1，C 2上的动点，P 为x 轴上的动点，则PM PN +的最小值_____． 16．若x ，y ，z 满足约束条件4802400x y x y y --≤⎧⎪-+≥⎨⎪≤⎩
，则z =__________．
三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．实数m 取什么值时，复数()2z m m i =+-是：
（1）实数；
（2）纯虚数；
（3）表示复数z 的点在复平面的第四象限.
18．已知函数21()ln ()2
f x x a x a R =-∈. （1）讨论()f x 的单调性；
（2）若存在实数0[1,]x e ∈，使得()00f x <，求正实数a 的取值范围.
19．（6分）设函数()|||2|f x x a x =-+-，x ∈R .
（1）当1a =-时，解不等式()3f x x ≤+；
（2）若0x R ∃∈，0()|3|f x a <+，求a 的取值范围.
20．（6分）如图所示，在直角坐标系xOy 中，曲线C 由以原点为圆心，半径为2的半圆和中心在原点，焦点在x 轴上的半椭圆构成，以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系.
（1）写出曲线C 的极坐标方程；
（2）已知射线7(0)6
πθ=
ρ≥与曲线C 交于点M ，点N 为曲线C 上的动点，求MON ∆面积的最大值. 21．（6分）已知31()4,3f x x ax a =++∈R . （1）若4a =-，求函数()f x 的单调递增区间；
（2）若9a ≥-，且函数()f x 在区间[0,3]上单调递减，求a 的值.
22．（8分）已知在等比数列{a n }中，2a ＝2，，45a a ＝128，数列{b n }满足b 1＝1，b 2＝2，且{12
n n b a +}为等差数列．
（1）求数列{a n }和{b n }的通项公式；
（2）求数列{b n }的前n 项和
参考答案
一、选择题：本题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．A
【解析】
【分析】
【详解】
根据附表可得2107.879K =>,所以有99.5%的把握认为使用智能手机对学习有影响，选A
2．B
【解析】
【分析】
利用特称命题的否定是全称命题，写出结果即可．
【详解】
因为特称命题的否定是全称命题，
所以命题p ：00:,1x P x Z e
∃∈<，则￢p 为：∀x ∈Z ，e x ≥1，
故选：B ．
【点睛】 本题考查特称命题与全称命题的否定，是基础题．
3．B
【解析】
【分析】 求出函数的解析式，然后判断对称中心或对称轴即可．
【详解】
函数f （x ）＝2sin （ωx ）（ω＞0）的最小正周期为，可得ω＝4，
函数f （x ）＝2sin （4x ）．
由4x kπ+，可得x ，k ∈Z ．
当k ＝0时，函数的对称轴为：x ．
故选：B ．
【点睛】
本题考查三角函数的性质的应用，周期的求法，考查计算能力，是基础题
4．A
【解析】
分析：由01a b -＞，＞，且1a b ＋＝ ，变形可得
2222121 102112a b a b f a a a b a b a a
++=++-+=+=++-（），＜＜． 利用导数求其最值；
详解：01a b -＞，＞ ，且a ＋b ＝1，
∴2222121 102112a b a b f a a a b a b a a
++=++-+=+=++-（），＜＜．． 令22222
21(88)0(2)(2)a a f a a a a a --+'=-+--（）＝＞ ，解得4222a -＜＜ ，此时函数f a （）单调递增；令0f a '（）＜，解得0422a -＜＜， 此时函数f a （
）单调递减．
∴当且仅当4a =-时，函数f a （）取得极小值即最小值，42f -=
（ 点睛：本题考查利用导数研究函数的最值，属中档题.
5．B
【解析】
【分析】
先根据奇函数性质确定a 取法，再根据单调性进行取舍，进而确定选项.
【详解】
因为()a f x x =为奇函数，所以11,3,3a ⎧
⎫∈-⎨⎬⎩⎭
因为()()0,f x +∞在上单调递增，所以13,3a ⎧⎫∈⎨⎬⎩⎭
因此选B.
【点睛】
本题考查幂函数奇偶性与单调性，考查基本判断选择能力.
6．A
【解析】
【分析】
由题可得：()2320f x x ax '=-≤在()0,2恒成立.整理得：32x a ≤在()0,2恒成立.求得：36x <，即可得：26a ≥，问题得解．
【详解】
由题可得：()2
320f x x ax '=-≤在()0,2恒成立. 即：32x a ≤在()0,2恒成立．
又3326x <⨯=，所以26a ≥.
所以3a ≥
故选A
【点睛】
本题主要考查了导数与函数单调性的关系，还考查了恒成立问题解决方法，考查转化能力，属于中档题． 7．A
【解析】
【分析】
构造新函数()()cos g x f x x =-，由()sin 0f x x '+<可得()g x 为单调减函数，由()()2cos f x f x x +-=
可得()g x 为奇函数，从而解得α的取值范围.
【详解】
解：令()()cos g x f x x =-
因为()sin 0f x x '+<，
所以()g x 为R 上的单调减函数，
又因为()()2cos f x f x x +-=，
所以()cos ()cos cos g x x g x x 2x ++-+=，
即()()0g x g x +-=，即()()g x g x -=-，
所以函数()g x 为奇函数，
故()()0f f παα++≥，
即为()cos()()cos g g 0παπααα+++++≥，
化简得()()g g 0παα+
+≥， 即()()g g παα+≥-，即()()g g παα+≥-，
由单调性有παα+
≤-， 解得2π
α≤，故选A.
【点睛】
本题考查了函数性质的综合运用，解题的关键是由题意构造出新函数，研究其性质，从而解题.
8．C
【解析】
分析：对四个命题逐一分析即可.
详解：对1:p 若1x >，则0.30.3x <，故1p 不正确；
对2:p 若()~4,0.3X B ，则()()10.84D X np p =-=，故2p 正确；
对3:p 若ln 1x x +>，则1x >，故3p 正确；
对4:p 若()
2~3,X N σ，对称轴为3x =，则()()25P X P X <>>，故4p 正确. 故选：C.
点睛：本题考查了命题真假的判断，是基础题.
9．D
【解析】
根据双曲线的定义，可得122BF BF a -=， 是等边三角形，即2BF AB = ∴122BF BF a -=， 即112BF AB AF a -==
即又212AF AF a -=，
2124AF AF a a ∴=+=， 1212122412AF F AF a AF a F AF ==∠=中，，，
0°222121212||||2?120F F AF AF AF AF cos ∴=+-︒ 即
222214416224282
c a a a a a =+-⨯⨯⨯-=（）， 解得22222766c a b c a a a ==-，则＝＝，
由此可得双曲线C 的渐近线方程为6y x =±
. 故选D ．
【点睛】本题主要考查双曲线的定义和简单几何性质等知识，根据条件求出a ，b 的关系是解决本题的关键．
10．B
【解析】
演绎推理是由普通性的前提推出特殊性结论的推理．其形式在高中阶段主要学习了三段论：大前提、小前提、结论，由此对四个命题进行判断得出正确选项．
A 选项“高三1班有55人，2班有54人，3班有52人，由此得高三所有班人数超过50人”是归纳推理；故错；
B 选项是演绎推理，大前提是“两条直线平行，同旁内角互补，”，小前提是“∠A 与∠B 是两条平行直线的同旁内角”，结论是“∠A+∠B=180°”，故正确；
C 选项“由平面三角形的性质，推出空间四边形的性质”是类比推理；故错；
D 选项“在数列 中， ， ，通过计算 由此归纳出{a n }的通项公式”是归纳推理．故错．
综上得，B 选项正确
故选B ．
11．B
【解析】
【分析】
先将方程()f x m =有三个实数根，转化为()y f x =与y m =的图象交点问题，得到m 的范围，再用m
表示()
312
32,0,2
m
x x x e m m
-=+-∈，
令()()
32,0,2
m
g m e m m
=+-∈，利用导数法求()
g m的取值范围即可. 【详解】
已知函数()
()
2
1
2,04
2
ln3,4
x x x
f x
x x
⎧
-+≤≤
⎪
=⎨
⎪->
⎩
，
其图象如图所示：
因为方程()
f x m
=有三个实数根，
所以02
m
<<，
令2
1
2
2
x x m
-+=，
得
12
2
x x m
=，
令()
ln3
x m
-=，
所以
3
3
m
x e
=+，
所以()
312
32,0,2
m
x x x e m m
-=+-∈，
令()()
32,0,2
m
g m e m m
=+-∈，
所以()2
m
g m e
'=-，
令()20
m
g m e
'=-=，得ln2
m=，
当0ln2
m
<<时，()0
g m
'<，当n22
l m
<<时，()0
g m
'>，
所以当ln2
m=时，()
g m取得极小值52ln2
-.
又()()2
04,21
g g e
==-，
所以()
g m的取值范围是：2
[52ln2,1)
e
--.
即312
x x x
-的取值范围为2
[52ln2,1)
e
--.
【点睛】
本题主要考查函数与方程，导数与函数的单调性、极值最值，还考查了数形结合的思想和运算求解的能力，属于难题.
12．C
【解析】
分析：先设速度为x 千米/小时，再求出函数f(x)的表达式，再利用导数求其最小值.
详解：当速度为x 千米/小时时，时间为200x
小时， 所以f(x)=321120013600(18)20(0120)8100010405x x x x x x
-+⋅=+-<≤ 所以33
22236002290()(0120405405x f x x x x x
'-⨯=-=<≤） 令)0,90.f x x =∴='（
当x ∈（0,90）时，函数f(x)单调递减，当x ∈（90,120）时，函数f(x)单调递增.
所以x=90时，函数f(x)取得最小值.
故答案为C.
点睛：（1）本题主要考查导数的应用，意在考查学生对这些知识的掌握水平和解决实际问题的能力.(2) 如果求函数在开区间(,)a b 内的最值，则必须通过求导，求函数的单调区间，最后确定函数的最值．
二、填空题：本题共4小题
13．1
【解析】
【分析】
根据幂函数的定义求出m 的值，判断即可．
【详解】
若幂函数()()222133m m f x m m x -+=-+在区间（0，+∞）上是增函数，
则由m 1﹣3m+3＝1解得：m ＝1或m ＝1，
m ＝1时，f （x ）＝x ，是增函数，
m ＝1时，f （x ）＝1，是常函数（不合题意，舍去），
故答案为1．
【点睛】
本题考查了幂函数的定义，考查函数的单调性问题，是一道基础题．
14．10
【解析】。