高中数学 第一章 三角函数 1.2.1 任意角的三角函数(二)学案 苏教版必修4-苏教版高一必修4数

1.2.1 任意角的三角函数(二)
[学习目标] 1.掌握正弦、余弦、正切函数的定义域.2.了解三角函数线的意义，能用三角函数线表示一个角的正弦、余弦和正切.3.能利用三角函数线解决一些简单的三角函数问题．
[知识链接] 什么叫做单位圆？
答 以坐标原点为圆心，以一个单位长度为半径画一个圆，这个圆就叫做单位圆． [预习导引]
1．任意角的三角函数的定义域
正弦函数y ＝sin x 的定义域是R ；余弦函数y ＝cos x 的定义域是R ；正切函数y ＝tan x 的定义域是{x |x ∈R 且x ≠k π＋π
2，k ∈Z }．
2．有向线段
(1)定义：规定了方向(即规定了起点和终点)的线段称为有向线段．若有向线段AB 在有向直线l 上或与有向直线l 平行，根据有向线段AB 与有向直线l 的方向相同或相反，分别把它的长度添上正号或负号，这样所得的数，叫做有向线段的数量．
(2)方向：在坐标系中，规定：有向线段的方向与坐标系的方向相同时，数量为正；反向时，数量为负． 3．三角函数线
如图，设单位圆与x 轴的正半轴交于点A ，与角α的终边交于P 点．过点P 作x 轴的垂线PM ，垂足为M ，过A 作单位圆的切线交OP 的延长线(或反向延长线)于T 点．单位圆中的有向线段
MP 、OM 、AT 分别叫做角α的正弦线、余弦线、正切线．记作：sin α＝MP ，cos α＝OM ，
tan α＝AT .
要点一 利用三角函数线比较大小
例1 分别作出2π3和4π5的正弦线、余弦线和正切线，并比较sin 2π3和sin 4π5，cos 2π
3和
cos 4π5，tan 2π3和tan 4π
5
的大小．
解 如图，sin 2π3＝MP ，cos 2π3＝OM ，tan 2π3＝AT ，sin 4π5＝M ′P ′，cos 4π5＝OM ′，tan
4π5＝AT ′.
显然|MP |>|M ′P ′|，符号皆正， ∴sin 2π3>sin 4π
5
；
|OM |<|OM ′|，符号皆负，∴cos 2π3>cos 4π5；
|AT |>|AT ′|，符号皆负，∴tan 2π3<tan 4π
5
.
规律方法 利用三角函数线比较三角函数值的大小时，一般分三步：①角的位置要“对号入座”；②比较三角函数线的长度；③确定有向线段的正负．
跟踪演练1 sin 25π，cos 65π，tan 2
5π从小到大的顺序是________．
答案 cos 65π<sin 25π<tan 2
5
π
解析 分别在单位圆中作出它们的三角函数线，由图可知：
cos 65π<0，tan 25π>0，sin 2
5π>0.
∵|MP |<|AT |， ∴sin 25π<tan 25
π.
故cos 65π<sin 25π<tan 25π.
要点二 利用三角函数线解不等式
例2 利用单位圆中的三角函数线，分别确定角θ的取值范围． (1)sin θ≥
32；(2)－12≤cos θ<3
2
. 解 (1)图①中阴影部分就是满足条件的角θ的范围，即
⎩
⎪⎨⎪⎧⎭
⎪⎬⎪
⎫θ⎪⎪⎪
2k π＋π3≤θ≤2k π＋2π
3，k ∈Z
. (2)图②中阴影部分就是满足条件的角θ的范围，即
{θ|2k π－23π≤θ<2k π－π6或2k π＋π6<θ≤2k π＋2
3
π，k ∈Z }．
规律方法 用单位圆中的三角函数线求解简单的三角不等式，应注意以下两点：(1)先找到“正值”区间，即0～2π间满足条件的角θ的范围，然后再加上周期；(2)注意区间是开区间还是闭区间．
跟踪演练2 已知点P (sin α－cos α，tan α)在第一象限，若α∈[0,2π)，求α的取值范围．
解 ∵点P 在第一象限内，
∴⎩⎪⎨
⎪⎧
sin α－cos α>0，tan α>0，
∴⎩
⎪⎨
⎪⎧
sin α>cos α，tan α>0.
结合单位圆(如图所示)中三角函数线及0≤α<2π， 可知π4<α<π2或π<α<5π4
.
即α的取值范围为(π4，π2)∪(π，5π4)．
要点三 利用三角函数线求函数的定义域 例3 求函数f (x )＝1－2cos x ＋ln ⎝ ⎛
⎭
⎪⎫
sin x －22的定义域． 解 由题意，自变量x 应满足不等式组
⎩
⎪⎨⎪⎧
1－2cos x ≥0，sin x －22>0.即⎩⎪⎨
⎪⎧
cos x ≤1
2，sin x >2
2
.
则不等式组的解的集合如图(阴影部分)所示，
∴⎩⎨⎧⎭
⎬⎫x |2k π＋π3≤x <2k π＋3
4π，k ∈Z .
规律方法 求三角函数定义域时，一般应转化为求不等式(组)的解的问题．利用数轴或三角函数线是解三角不等式常用的方法．解多个三角不等式时，先在单位圆中作出使每个不等式成立的角的范围，再取公共部分．
跟踪演练3 求函数f (x )＝lg(3－4sin 2
x )的定义域．
解 ∵3－4sin 2x >0，∴sin 2
x <34，
∴－
32<sin x <3
2
.如图所示．
∴x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫2k π－π3，2k π＋π3∪⎝ ⎛⎭⎪⎫2k π＋2π3，2k π＋4π3 (k ∈Z )，
即x ∈⎝
⎛⎭⎪⎫n π－π3，n π＋π3 (n ∈Z )．
1.如图在单位圆中角α的正弦线、正切线、余弦线依次是________．
答案 MP 、AT 、OM
2．角α(0<α<2π)的正弦、余弦线的长度相等，且正弦、余弦符号相异，那么α的值为________． 答案
3π4或7π4
3．在[0,2π]上，满足sin x ≥1
2
的x 的取值范围为________．
答案 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6
，5π6
4．利用三角函数线比较下列各组数的大小(用“>”或“<”连接)： (1)sin 34π________sin 5
6π；
(2)cos 34π________cos 5
6π；
(3)tan 34π________tan 5
6
π.
答案 (1)> (2)> (3)<
1.三角函数线的意义
三角函数线是用单位圆中某些特定的有向线段的长度和方向表示三角函数的值，三角函数线的长度等于三角函数值的绝对值，方向表示三角函数值的正负．具体地说，正弦线、正切线的方向同纵坐标轴一致，向上为正，向下为负；余弦线的方向同横坐标轴一致，向右为正，向左为负．三角函数线将抽象的数用几何图形表示出来了，使得问题更形象直观，为从几何途径解决问题提供了方便． 2．三角函数线的画法
定义中不仅定义了什么是正弦线、余弦线、正切线，同时也给出了角α的三角函数线的画法即先找到P 、M 、T 点，再画出MP 、OM 、AT .注意三角函数线是有向线段，要分清始点和终点，字母的书写顺序不能颠倒．
3．三角函数线是三角函数的几何表示，它直观地刻画了三角函数的概念．与三角函数的定义结合起来，可以从数与形两方面认识三角函数的定义，并使得对三角函数的定义域、函数值符号的变化规律的理解容易了．
一、基础达标 1．有三个命题： ①π6和5π
6的正弦线相等； ②π3和4π
3的正切线相等； ③π4和5π
4的余弦线相等． 其中正确说法有________． 答案 ①② 解析
π6和5π6的正弦线关于y 轴对称，大小相等；π3和4π
3
两角的正切线关于原点对称，大小相等；π4和5π
4
的余弦线互为相反数．故①和②正确．
2．函数y ＝tan ⎝
⎛⎭⎪⎫x －π3的定义域为________．
答案 ⎩⎨⎧⎭
⎬⎫x |x ≠k π＋5π
6，k ∈Z
解析 ∵x －π3≠k π＋π2，k ∈Z ，∴x ≠k π＋5π
6
，k ∈Z .
3．设a ＝sin(－1)，b ＝cos(－1)，c ＝tan(－1)，则a 、b 、c 按从小到大的顺序排列是________． 答案 c <a <b
解析 作α＝－1的正弦线，余弦线，正切线可知：
b ＝OM >0，a ＝MP <0，
c ＝AT <0，且MP >AT .
故c <a <b .
4．cos 1，sin 1，tan 1的大小关系是________． 答案 cos 1<sin 1<tan 1
解析 分析1弧度角的范围，作出单位圆及三角函数线，如图所示，设1弧度角的终边与单位圆交于点P (x ，y )，x 轴正半轴与单位圆交于点A (1,0)，过P 作PM ⊥Ox ，垂足为M ，过A 作单位圆的切线与OP 的延长线交于点T ，则有OM <MP <AT ，
即cos 1<sin 1<tan 1.
5．sin 2cos 3tan 4的符号是________． 答案 负号
解析 ∵π
2<2<π，∴sin 2>0，
∵π2<3<π，∴cos 3<0，∵π<4<3
2π， ∴tan 4>0.
∴sin 2cos 3tan 4<0.
6．集合A ＝[0,2π]，B ＝{α|sin α<cos α}，则A ∩B ＝______________.
答案 ⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π4∪⎝ ⎛⎦
⎥⎤54π，2π
7．利用三角函数线，写出满足下列条件的角x 的集合： (1)sin x >－12且cos x >1
2
；(2)tan x ≥－1.
解 (1)由图(1)知：当sin x >－12且cos x >1
2
时，角x 满足的集合：
⎩⎨⎧⎭
⎬⎫x |－π6＋2k π<x <π
3＋2k π，k ∈Z .
(2)由图(2)知：当tan x ≥－1时，角x 满足的集合为
⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |2k π－π4≤x <2k π＋π
2，k ∈Z
∪⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |2k π＋34π≤x <2k π＋3
2π，k ∈Z .
即⎩⎨⎧⎭
⎬⎫x |n π－π4≤x <n π＋π
2，n ∈Z .
二、能力提升
8．如果π4<α<π
2，那么下列不等式成立的是________．
①cos α<sin α<tan α； ②tan α<sin α<cos α；
③tan (－α)<sin (－α)<cos (－α)； ④cos (－α)<sin (－α)<tan (－α)． 答案 ①③ 9．不等式tan α＋
3
3
>0的解集是______________． 答案 ⎩⎨⎧⎭
⎬⎫α|k π－π6<α<k π＋π2，k ∈Z
解析 不等式的解集如图所示(阴影部分)，
即⎩⎨⎧⎭
⎬⎫α|k π－π6<α<k π＋π2，k ∈Z .
10．把sin π12，sin 512π，cos 57π，tan 5
12π由小到大排列为________________．
答案 cos 57π<sin π12<sin 512π<tan 5
12
π
解析 如图可知，sin π12＝M 1P 1>0，sin 512π＝M 2P 2>0，tan 512π＝AT >0，cos 5
7π＝OM 3<0.
而0<M 1P 1<M 2P 2<AT ，
∴0<sin π12<sin 512π<tan 5
12
π.
而cos 57π<0，∴cos 57π<sin π12<sin 512π<tan 5
12π.
11．求函数y ＝log sin x (2cos x ＋1)的定义域． 解 由题意得，要使函数有意义，
则须⎩
⎪⎨
⎪⎧
sin x >0且sin x ≠1，
2cos x ＋1>0，
如图所示，阴影部分(不含边界与y 轴)即为所求．
所以所求函数的定义域为{x |2k π<x <2k π＋π2，或2k π＋π2<x <2k π＋2
3π，k ∈Z }．
12．利用三角函数线，写出满足下列条件的角α的集合： (1)sin α≥
22；(2)cos α≤1
2
. 解 (1)由图①知：当sin α≥
2
2
时，角α满足的集合为⎩
⎪⎨⎪⎧⎭
⎪⎬⎪
⎫α⎪⎪⎪
π4＋2k π≤α≤3π4＋2k π，k ∈Z
.
(2)由图②知：当cos α≤1
2
时，角α满足的集合为
⎩
⎪⎨⎪⎧⎭
⎪⎬⎪
⎫α⎪⎪⎪
π3＋2k π≤α≤5π3＋2k π，k ∈Z
. 三、探究与创新
13．当α∈⎝
⎛⎭⎪⎫0，π2时，求证：sin α<α<tan α.
证明 如图所示，在直角坐标系中作出单位圆，α的终边与单位圆交于P ，α的正弦线、正切线为有向线段MP ，AT ，则
MP ＝sin α，AT ＝tan α.
因为S △AOP ＝12OA ·MP ＝1
2
sin α，
S 扇形AOP ＝12αOA 2＝12
α， S △AOT ＝12
OA ·AT ＝12
tan α，
又S △AOP <S 扇形AOP <S △AOT ，
所以12sin α<12α<12
tan α， 即sin α<α<tan α.。