辽宁省2017—2018学年高二第一学期期末模拟考试卷(三)

辽宁省2017—2018学年高二第一学期期末模拟考试卷（三）
（理科）
（考试时间120分钟满分150分）
一、单项选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.
1．若集合A={x∈R|x2﹣3x≤0}，B={1，2}，则A∩B=（）
A．{x|0≤x≤3}B．{1，2}C．{0，1，2}D．{0，1，2，3}
2．设命题P：∃n∈N，n2＜2n，则￢P为（）
A．∀n∈N，n2＜2n B．∃n∈N，n2≥2n C．∀n∈N，n2≥2n D．∃n∈N，n2＞2n
3．已知不共线的两个向量满足且，则=（）
A．3 B．4 C．D．
4．某几何体的三视图如图所示，图中的四边形都是边长为1的正方体，两条虚线互相垂直，则该几何体的体积是（）
A．B．C．D．
5．如图是一个算法的流程图．若输入x的值为2，则输出y的值是（）
A．0 B．﹣1 C．﹣2 D．﹣3
6．在△ABC中，若b=3，A=120°，三角形的面积，则三角形外接圆的半径为（）
A．B．3 C．D．6
7．如图，设D是图中边长分别为1和2的矩形区域，E是D内位于函数y=（x ＞0）图象下方的区域（阴影部分），从D内随机取一个点M，则点M取自E内的概率为（）
A． B．C．D．
8．在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=BC=4，AA1=2，则直线BC1与平面BB1D1D 所成角的正弦值为（）
A．B．C．D．
9．若a＞0，b＞0，且函数f（x）=6x3﹣ax2﹣2bx+2在x=1处有极值，若t=ab，则t的最大值为（）
A．B．6 C．D．9
10．若函数在内任取两个实数p，q，且p≠q，不等
式恒成立，则a的取值范围是（）
A．[﹣1，0]B．[﹣1，+∞）C．[0，3]D．[3，+∞）
11．已知焦点在y轴上的双曲线C的中心是原点O，离心率等于，以双曲线C 的一个焦点为圆心，2为半径的圆与双曲线C的渐近线相切，则双曲线C的方程为（）
A．B．C．D．
12．定义在R上的偶函数f（x）的导函数为f'（x），若对任意的实数x，都有2f （x）+xf'（x）＜2恒成立，则使x2f（x）﹣4f（2）＜x2﹣4成立的实数x的取值范围是（）
A．（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞）B．（﹣2，0）∪（0，2）C．{x|x≠±2} D．（﹣2，2）
二、填空题（每题5分，满分20分）
13．已知实数x，y满足，且数列6x，z，2y为等差数列，则实数z的最大值是．
14．已知数列{a n}满足a n
+2=a n
+1
﹣a n，且a1=2，a2=3，则a2017的值为．
15．已知椭圆的左、右焦点为F1、F2，点F1关于直线y=﹣x的对称点P在椭圆上，则△PF1F2的周长为．
16．已知以F为焦点的抛物线y2=4x上的两点A、B满足，求|AB|=．
三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17．锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，向量，
，且．
（1）求角B的大小；
（2）若sinAsinC=sin2B，求a﹣c的值．
18．已知数列{a n}的前n项和为S n，首项为a1且1，a n，S n成等差数列．
（1）求数列{a n}的通项公式；
（2）数列{b n}满足b n=（log2a2n+1）×（log2a2n+3），求数列的前n项和T n．19．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为菱形，∠DAB=60°，PD⊥平面ABCD，PD=AD=4，点E、F分别为AB和PD的中点．
（1）求证：直线AF∥平面PEC；
（2）求平面PAD与平面PEC所成锐二面角的正切值．
20．设a为实数，函数f（x）=e x﹣x+a，x∈R．
（1）求f（x）在区间[﹣1，2]上的最值；
（2）求证：当a＞﹣1，且x＞0时，．
21．已知椭圆与y轴交于B1、B2两点，F1为椭圆C的左
焦点，且△F1B1B2是腰长为的等腰直角三角形．
（1）求椭圆C的方程；
（2）设直线x=my+1与椭圆C交于P、Q两点，点P关于x轴的对称点为P1（P1与Q不重合），则直线P1Q与x轴是否交于一个定点？若是，请写出该定点坐标，
并证明你的结论；若不是，请说明理由．
22．已知函数f（x）=（x+1）lnx﹣a（x﹣1）．
（1）当a=3时，求曲线y=f（x）在（1，f（1））处的切线方程；
（2）设，且a＞1，讨论函数g（x）的单调性和极值点．
参考答案
一、单项选择题
1．解：∵集合A={x∈R|x2﹣3x≤0}={x|0≤x≤3}，
B={1，2}，
∴A∩B={1，2}．
故选：A．
2．解：因为特称命题的否定是全称命题，
所以命题P：∃n∈N，n2＜2n的否定是∀n∈N，n2≥2n；
故选：C
3．解：∵，
∴．
∴|﹣|2=．
∴=3．
故选：A．
4．解：由已知中的三视图，可得该几何体是一个正方体切去一个正四棱锥所得的组合体，
正方体的棱长为1，故体积为1，
正四棱锥的底面面积为1，高为，故体积为：
=，
故组合体的体积V=1﹣=．
故选：B ．
5．解：执行一次循环，y=0，x=0；
执行第二次循环，y=﹣1，x=﹣2；
执行第三次循环，y=﹣2，满足条件，退出循环
故选C
6．解：∵=bcsinA=，解得c=3． ∴由余弦定理可得：a 2=b 2+c 2﹣2bccosA=32+32﹣2×3×3×cos120°=27， 解得a=3
，
∴2R===6，
解得R=3．
故选：B ．
7．解：本题是几何概型问题，
区域E 的面积为：S=2×=1+=1﹣ln =1+ln2 ∴“该点在E 中的概率”事件对应的区域面积为 1+ln2，
矩形的面积为2
由集合概率的求解可得P=
故选C
8．解：以D 为原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，DD 1为z 轴，建立空间直角坐标系， 则B （2，2，0），C 1（0，2，1），D （0，0，0），D 1（0，0，1），
=（﹣2，0，1），=（2，2，0），=（0，0，1），
设平面BB1D1D的法向量=（x，y，z），
则，，取x=1，得=（1，﹣1，0），
设BC1与平面BB1D1D所成的角为θ，
则sinθ===．
∴BC1与平面BB1D1D所成的角的正弦值为：．
故选：D．
9．解：由题意，导函数f′（x）=18x2﹣2ax﹣2b，
∵在x=1处有极值，
∴a+b=9，
∵a＞0，b＞0，
∴ab≤（）2=，当且仅当a=b=时取等号，
∴t=ab的最大值等于．
故选：A．
10．解：由题意，要使不等式恒成立，
只需f′（x）＞0在（，1）上恒成立．
因为f′（x）=2x+a﹣，所以2x+a﹣＞0在（，1）上恒成立，
即a＞﹣2x，x∈（，1）恒成立，
令g（x）=﹣2x，x∈（，1），g′（x）=﹣﹣2＜0，
g（x）在（，1）递减，g（x）＜g（）=3
只需a≥3，
故选：D．
11．解：设双曲线的焦点为（0，c），渐近线方程为ax﹣by=0，
由于圆与双曲线的渐近线相切，
则=2，
化简得，b=2，
因为=，即：，所以a=2，
所以双曲线的方程为：．
故选：D．
12．解：当x＞0时，由2f（x）+xf′（x）﹣2＜0可知：两边同乘以x得：2xf（x）﹣x2f′（x）﹣2x＜0
设：g（x）=x2f（x）﹣x2
则g′（x）=2xf（x）+x2f′（x）﹣2x＜0，恒成立：
∴g（x）在（0，+∞）单调递减，
由x2f（x）﹣4f（2）＜x2﹣4，
∴x2f（x）﹣x2＜4f（2）﹣4，
即g（x）＜g（2）
即x＞2；
当x＜0时，函数是偶函数，同理得：x＜﹣2，
综上可知：实数x的取值范围为（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞），
故选：A．
二、填空题
13．解：画出满足条件的平面区域，如图示：
由，解得A（1，1），
∵数列6x，z，2y为等差数列，
∴z=3x+y，得：y=﹣3x+z，
显然直线过A（1，1）时，z最大，z的最大值是：4，故答案为：4．
14．解：数列{a n}满足a1=2，a2=3，a n
+2=a n
+1
﹣a n，a n
+3
=a n
+2
﹣a n
+1
，
可得a n
+3
=a n，
数列的周期为3．
a2017=a672
×3+1
=a1=2．
故答案为：2．
15．解：设椭圆的左焦点为（﹣c，0），
点F1关于直线y=﹣x的对称点P（0，c），
由题意方程可得b=c=，a==2，
由题意的定义可得△PF1F2的周长为2a+2c=2+4．
故答案为：．
16．解：设，由，可得：=3m，
由抛物线的定义知AA1=3m，BB1=m，
∴△ABC中，AC=2m，AB=4m，k AB=，
∴直线AB方程为y=（x﹣1），
与抛物线方程联立消y得3x2﹣10x+3=0
所以|AB|=x1+x2+2=，
故答案为：．
三、解答题
17．解：（1）∵，，且．
∴=2sinBcosB﹣cos2B=﹣sin（2B+）=0，
又因为锐角三角形，所以；
（2）∵sinAsinC=sin2B，由正弦定理可得：ac=b2，
由余弦定理可得：b2=a2+c2﹣2accosB，
∴ac=a2+c2﹣2accos，化为（a﹣c）2=0，解得a﹣c=0．
18．解：（1）∵1，a n，S n成等差数列，∴2a n=S n+1，
∴n=1时，2a1=a1+1，解得a1=1．n≥2时，2a n﹣2a n﹣1=a n，即a n=2a n﹣1．
∴数列{a n}是等比数列，公比为2，首项为1．∴．
（2）b n=（log2a2n+1）×（log2a2n+3）==2n（2n+2）=4n（n+1），
∴，
∴数列的前n项和T n=+…+
==．
19．证明：（1）取PC中点Q，连接EQ，FQ，
∵点E、F分别为AB和PD的中点，底面ABCD为菱形，
∴FQ=AE，∴FQ AE，
∴四边形AEQF是平行四边形，
∴AF∥EQ，
∵AF⊄平面PEC，EQ⊂平面PEC，
∴由线面平行的判定定理得直线AF∥平面PEC．
解：（2）以D为原点，DE为x轴，DC为y轴，DP为z轴，建立空间直角坐标系，
P（0，0，4），E（2，0，0），C（0，4，0），
=（2，0，﹣4），=（﹣2，4，0），
设平面PEC的法向量=（x，y，z），
则，取x=2，得=（2，），
∴面PEC的法向量
同理得面PAD的法向量，
设所求二面角为α，则，
∴．
故平面PAD与平面PEC所成锐二面角的正切值为．
20．解：（1）f'（x）=e x﹣1，令f'（x）=0，则x=0，
x∈（﹣1，0），f'（x）＜0，f（x）为减函数，
x∈（0.2），f'（x）＞0，f（x）为增函数，
所以，f（x）min=f（0）=1+a；
又因为，
所以．
（2）证明：令，
由（1）知，g'（x）≥g'（0）=1+a＞0，
所以g（x）在（0，+∞）单调递增，
所以g（x）＞g（0）=0，
所以，当a＞﹣1，且x＞0时，．
21．解：（1）椭圆与y轴交于B1、B2两点，
F1为椭圆C的左焦点，且△F1B1B2是腰长为的等腰直角三角形．可得b=c，a=，则b=1，
椭圆C的方程：．
（2）设P（x1，y1）Q（x2，y2）P1（x1，﹣y1）
由直线x=my+1与联立得，（m2+2）y2+2my﹣1=0
韦达定理得，
而直线PQ的方程为，令y=0，则
，
所以直线PQ过定点（2，0）．
22．解：（1）f（x）的定义域为（0，+∞）．
当a=3时，，
f'（1）=﹣1，f（1）=0．
所以曲线y=f（x）在（1，f（1））处的切线方程为x+y﹣1=0．
（2），x＞0，a＞1，
，
令F（x）=x2+2（1﹣a）x+1，其对称轴为x=a﹣1＞0，△=4a（a﹣2）
①当△≤0，即1＜a≤2，F（x）≥0，g'（x）≥0，
g（x）在（0，+∞）单调递增，无极值．
②当△＞0，即a＞2，
令g'（x）＞0，则，
令g'（x）＜0，则
所以，增区间为
减区间为
所以，极大值点是，极小值点是
综上：当1＜a≤2时，f（x）在（0，+∞）单调递增，无极值．
当a＞2时，f（x）在上单调递增，
在上单调递减；
极大值点是，极小值点是．。