2023届山东省潍坊市第七中学数学高一上期末经典模拟试题含解析
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（1）求 的表达式；
（2）宿舍应建在离工厂多远处，可使总费用最小，并求 最小值
19．已知 .
（1）求函数 的定义域；
（2）判断函数 的奇偶性，并加以说明；
（3）求 的值.
20．已知函数
（1）求 的最小正周期；
（2）讨论 在区间 上的单调递增区间
21．已知函数
（1）画出 的图象，并根据图象写出 的递增区间和递减区间；
【解析】（1）由三角恒等变换得 ，再求最小正周期；
（2）整体代换得函数的增区间为 ，再结合 求解即可.
【小问1详解】
解：
.
所以， ，即最小正周期为 .
【小问2详解】
解：令 ，解得 ，
因为 ，
所以，当 时，得其增区间为 ；当 时，得其增区间为 ；
所以， 在区间 上 单调递增区间为 ，
21、（1）作图见解析， 递增区间为 ， 递减区间为 ；
12．函数 的定义域是______
13．已知角 的顶点为坐标原点，始边为 轴的正半轴，终边经过点 ，则 ___________.
14．已知定义在 上的函数 满足 ，且当 时， .若对任意 ， 恒成立，则实数 的取值范围是______
15．已知 ，若 ，使得 ，若 的最大值为M，最小值为N，则 ___________.
2022-2023学年高一上数学期末模拟试卷
注意事项
1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．
2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置．
3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符．
4．作答选择题，必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效．
16．已知函数 ，则函数f（x）的值域为______．
三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．已知函数 ，
（1）求函数 的最大值；
（2）若 ， ，求 的值
18．某工厂利用辐射对食品进行灭菌消毒，先准备在该厂附近建一职工宿舍，并对宿舍进行防辐射处理，防辐射材料的选用与宿舍到工厂距离有关．若建造宿舍的所有费用p（万元）和宿舍与工厂的距离x（km）的关系式为 （0≤x≤15），若距离为10km时，测算宿舍建造费用为20万元．为了交通方便，工厂与宿舍之间还要修一条道路，已知购置修路设备需10万元，铺设路面每千米成本为4万元．设 为建造宿舍与修路费用之和
【详解】由题意可知： ，
故选：A
9、C
【解析】根据函数零点存在性定理进行判断即可
【详解】∵ ， ，
∴ ，
∴函数在区间(2,3)上存在零点
故选C
【点睛】求解函数零点存在性问题常用的办法有三种：一是用定理，二是解方程，三是用图象．值得说明的是，零点存在性定理是充分条件，而并非是必要条件
10、C
【解析】根据题意，由基本不等式的性质可得 ，即可得答案.
三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）3（2）
【解析】（1）利用倍角公式和辅助角公式化简，结合三角函数性质作答即可.
（2）利用换元法求解即可.
【小问1详解】
函数
令 解得
∴当 ， 时，函数 取到最大值3.
【小问2详解】
∵ ，∴
设 ，则
18、（1） ；（2）宿舍应建在离工厂 km处，可使总费用最小， 最小值为65万元
【详解】作出 在 上的图象（如图所示）
因为 ， ，
所以当 的图象与直线 相交时，由函数图象可得，
设前三个交点横坐标依次为 、 、 ，此时和最小为N，
由 ，得 ，
则 ， ， ， ；
当 的图象与直线 相交时，
设三个交点横坐标依次为 、 、 ，此时和最大为 ，
由 ，得 ，
则 ， ， ；
所以 .
故答案为： .
根据解析式画出函数部分图像如下所示；因为对任意 ， 恒成立，
根据图像当 时，函数 与图像交于点 ，
即 的横坐标即为 的最大值才能符合题意，所以 ，解得 ，
所以实数 的取值范围是： .
故答案为： .
15、
【解析】作出 在 上的图象， 为 的图象与直线y=m交点的横坐标，
利用数形结合思想即可求得M和N﹒
（2） 最小值为 ，y取最小值时 .
【解析】（1）由 即得图象，由图象即得单调区间；
（2）利用基本不等式即得.
【小问1详解】
由函数 ，图象如图：
递增区间为 ， 递减区间为 ；（注：写成 也可以）
【小问2详解】
当 时， ，
等号当且仅当 时成立，
∴ 的最小值为 ，y取最小值时
13、
【解析】利用三角函数定义求出 、 的值，结合诱导公式可求得所求代数式的值.
【详解】由三角函数的定义可得 ， ，
因此， .
故答案为： .
14、
【解析】根据题意求出函数 和 图像，画出图像根据图像解题即可.
【详解】因为 满足 ，即 ；
又由 ，可得 ，因为当 时 ，
所以当 时， ，所以 ，即 ；
所以当 时， ，所以 ，即 ；
故选：B.
4、C
【解析】先求出直观图中，∠ADC=45°，AB=BC=2， ，DC=4，即可得到原图形是一个直角梯形和各个边长及高，直接求面积即可.
【详解】直观图中，∠ADC=45°，AB=BC=2，DC⊥BC，∴ ，DC=4，
∴原来的平面图形上底长为2，下底为4，高为 的直角梯形，
∴该平面图形的面积为 .
故选：C
5、A
【解析】首先判断 ， 和 的大小关系，然后根据函数的单调性，判断 的大小关系.
【详解】 ， ，
， ， ， ，
是 上的减函数， .
故选：A.
6、B
【解析】先判断各函数最小正周期，再确定各函数在区间上单调性，即可选择判断
【详解】对于A, 最小正周期为2π,在区间 上单调递减，不合题意；
对于B, 最小正周期为π,在区间 上 单调递减，符合题意；
【详解】根据题意， ， ， ，
则 ，当且仅当 时等号成立，
即 的最大值为1.
故选：
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11、
【解析】设 ，可转化为 有两个正解，进而可得参数范围.
【详解】设 ，
由 有两个零点，
即方程 有两个正解，
所以 ，解得 ，
即 ，
故答案为： .
12、
【解析】 ，即定义域为
A. B.
C. D.
8．函数 的定义域为（）
A.（0，2]B.[0，2]
C.[0，2）D.（0，2）
9．函数 的零点所在区间是
A. B.
C. D.
10．已知 ， ，且 ， ， ，那么 的最大值为（）
A. B.
C.1D.2
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11．已知 （其中 且 为常数）有两个零点，则实数 的取值范围是___________.
点睛：常见基本初等函数定义域的基本要求
(1)分式函数中分母不等于零
(2)偶次根式函数的被开方式大于或等于0.
(3)一次函数、二次函数的定义域均为R.
(4)y＝x0的定义域是{x|x≠0}
(5)y＝ax(a>0且a≠1)，y＝sinx，y＝cosx的定义域均为R.
(6)y＝logax(a>0且a≠1)的定义域为(0，＋∞)
5．如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1．已知角 的终边过点 ，则 （）
A. B.
C. D.1
2．在边长为3的菱形 中， ， ，则 =（）
A. B.-1
C. D.
3．已知角 的终边上一点 ，且 ，则 （）
答：宿舍应建在离工厂 km处，可使总费用最小， 最小值为65万元
【点睛】利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：
（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；
（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；
（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方
对于C, 最小正周期为2π,在区间 上单调递减，不合题意；
对于D, 最小正周期为π,在区间 上单调递增，不合题意；
故选：B.
7、B
【解析】利用集合间的关系，集合的交并补运算对每个选项分析判断.
【详解】由题 ，故A错；
∵ ， ，∴ ，B正确；
，C错；
，D错；
故选:B
8、A
【解析】根据对数函数的定义域，结合二次根式的性质进行求解即可.
（2）当 时，求函数 的最小值，并求y取最小值时x的值．（结果保留根号）
参考答案
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1、B
【解析】根据三角函数的定义求出 ，再根据二倍角余弦公式计算可得；
【详解】解：∵角 的终边过点 ，所以 ，
∴ ，故
【解析】（1）根据距离为 时，测算宿舍建造费用为20万元，可求 的值，由此，可得 的表达式；
（2） ，利用基本不等式，即可求出函数的最小值
【详解】解：（1）由题意可知，距离为10km时，测算宿舍建造费用为20万元，则 ，解得k=900，所以 ，则 ；
（2）因为 ，当且仅当 ，即 时取等号，此时总费用最小
故选：B
2、C
【解析】运用向量的减法运算，表示向量，再运用向量的数量积运算，可得选项.
【详解】
.
故选:C.
【点睛】本题考查向量的加法、减法运算，向量的线性表示，向量的数量积运算，属于基础题.
3、B
【解析】由三角函数的定义可列方程解出 ，需注意 的范围
【详解】由三角函数定义 ,
解得 ,由 ,知 ,则 .
19、 (1) (2) 偶函数 (3)
【解析】（1）根据定义域的要求解出定义域即可；（2）奇偶性的证明首先定义域对称，再求解 ，得 ，所以为偶函数；（3）按照对数计算公式求解
试题解析：
（1）由 得
所以函数 的域为
（2）因为函数 的域为
又
所以函数 为偶函数
（3）
20、（1）最小正周期是
（2）单调递增区间 ，
16、
【解析】求函数的导数利用函数的单调性求值域即可．
【详解】解： 函数 ，
，
由 ，解得 ，此时函数单调递增
由 ，解得 ，此时函数单调递减
函数 的最小值为 （2） ，
（1） ， （5）
最大值为 （5） ，
，
即函数的值域为： ．
故答案为 ．
【点睛】本题主要考查函数的值域的求法，利用导数研究函数的单调性是解决本题的关键,属于基础题．
A. B.
C. D.
4．用斜二测画法画一个水平放置的平面图形的直观图为如图所示的直角梯形，其中BC=AB=2，则原平面图形的面积为（）
A. B.
C. D.
. D.
6．下列四个函数中，以π为最小正周期，且在区间 上单调递减的是（）
A. B.
C. D.
7．已知集合 ，则（）
（2）宿舍应建在离工厂多远处，可使总费用最小，并求 最小值
19．已知 .
（1）求函数 的定义域；
（2）判断函数 的奇偶性，并加以说明；
（3）求 的值.
20．已知函数
（1）求 的最小正周期；
（2）讨论 在区间 上的单调递增区间
21．已知函数
（1）画出 的图象，并根据图象写出 的递增区间和递减区间；
【解析】（1）由三角恒等变换得 ，再求最小正周期；
（2）整体代换得函数的增区间为 ，再结合 求解即可.
【小问1详解】
解：
.
所以， ，即最小正周期为 .
【小问2详解】
解：令 ，解得 ，
因为 ，
所以，当 时，得其增区间为 ；当 时，得其增区间为 ；
所以， 在区间 上 单调递增区间为 ，
21、（1）作图见解析， 递增区间为 ， 递减区间为 ；
12．函数 的定义域是______
13．已知角 的顶点为坐标原点，始边为 轴的正半轴，终边经过点 ，则 ___________.
14．已知定义在 上的函数 满足 ，且当 时， .若对任意 ， 恒成立，则实数 的取值范围是______
15．已知 ，若 ，使得 ，若 的最大值为M，最小值为N，则 ___________.
2022-2023学年高一上数学期末模拟试卷
注意事项
1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．
2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置．
3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符．
4．作答选择题，必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效．
16．已知函数 ，则函数f（x）的值域为______．
三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．已知函数 ，
（1）求函数 的最大值；
（2）若 ， ，求 的值
18．某工厂利用辐射对食品进行灭菌消毒，先准备在该厂附近建一职工宿舍，并对宿舍进行防辐射处理，防辐射材料的选用与宿舍到工厂距离有关．若建造宿舍的所有费用p（万元）和宿舍与工厂的距离x（km）的关系式为 （0≤x≤15），若距离为10km时，测算宿舍建造费用为20万元．为了交通方便，工厂与宿舍之间还要修一条道路，已知购置修路设备需10万元，铺设路面每千米成本为4万元．设 为建造宿舍与修路费用之和
【详解】由题意可知： ，
故选：A
9、C
【解析】根据函数零点存在性定理进行判断即可
【详解】∵ ， ，
∴ ，
∴函数在区间(2,3)上存在零点
故选C
【点睛】求解函数零点存在性问题常用的办法有三种：一是用定理，二是解方程，三是用图象．值得说明的是，零点存在性定理是充分条件，而并非是必要条件
10、C
【解析】根据题意，由基本不等式的性质可得 ，即可得答案.
三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）3（2）
【解析】（1）利用倍角公式和辅助角公式化简，结合三角函数性质作答即可.
（2）利用换元法求解即可.
【小问1详解】
函数
令 解得
∴当 ， 时，函数 取到最大值3.
【小问2详解】
∵ ，∴
设 ，则
18、（1） ；（2）宿舍应建在离工厂 km处，可使总费用最小， 最小值为65万元
【详解】作出 在 上的图象（如图所示）
因为 ， ，
所以当 的图象与直线 相交时，由函数图象可得，
设前三个交点横坐标依次为 、 、 ，此时和最小为N，
由 ，得 ，
则 ， ， ， ；
当 的图象与直线 相交时，
设三个交点横坐标依次为 、 、 ，此时和最大为 ，
由 ，得 ，
则 ， ， ；
所以 .
故答案为： .
根据解析式画出函数部分图像如下所示；因为对任意 ， 恒成立，
根据图像当 时，函数 与图像交于点 ，
即 的横坐标即为 的最大值才能符合题意，所以 ，解得 ，
所以实数 的取值范围是： .
故答案为： .
15、
【解析】作出 在 上的图象， 为 的图象与直线y=m交点的横坐标，
利用数形结合思想即可求得M和N﹒
（2） 最小值为 ，y取最小值时 .
【解析】（1）由 即得图象，由图象即得单调区间；
（2）利用基本不等式即得.
【小问1详解】
由函数 ，图象如图：
递增区间为 ， 递减区间为 ；（注：写成 也可以）
【小问2详解】
当 时， ，
等号当且仅当 时成立，
∴ 的最小值为 ，y取最小值时
13、
【解析】利用三角函数定义求出 、 的值，结合诱导公式可求得所求代数式的值.
【详解】由三角函数的定义可得 ， ，
因此， .
故答案为： .
14、
【解析】根据题意求出函数 和 图像，画出图像根据图像解题即可.
【详解】因为 满足 ，即 ；
又由 ，可得 ，因为当 时 ，
所以当 时， ，所以 ，即 ；
所以当 时， ，所以 ，即 ；
故选：B.
4、C
【解析】先求出直观图中，∠ADC=45°，AB=BC=2， ，DC=4，即可得到原图形是一个直角梯形和各个边长及高，直接求面积即可.
【详解】直观图中，∠ADC=45°，AB=BC=2，DC⊥BC，∴ ，DC=4，
∴原来的平面图形上底长为2，下底为4，高为 的直角梯形，
∴该平面图形的面积为 .
故选：C
5、A
【解析】首先判断 ， 和 的大小关系，然后根据函数的单调性，判断 的大小关系.
【详解】 ， ，
， ， ， ，
是 上的减函数， .
故选：A.
6、B
【解析】先判断各函数最小正周期，再确定各函数在区间上单调性，即可选择判断
【详解】对于A, 最小正周期为2π,在区间 上单调递减，不合题意；
对于B, 最小正周期为π,在区间 上 单调递减，符合题意；
【详解】根据题意， ， ， ，
则 ，当且仅当 时等号成立，
即 的最大值为1.
故选：
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11、
【解析】设 ，可转化为 有两个正解，进而可得参数范围.
【详解】设 ，
由 有两个零点，
即方程 有两个正解，
所以 ，解得 ，
即 ，
故答案为： .
12、
【解析】 ，即定义域为
A. B.
C. D.
8．函数 的定义域为（）
A.（0，2]B.[0，2]
C.[0，2）D.（0，2）
9．函数 的零点所在区间是
A. B.
C. D.
10．已知 ， ，且 ， ， ，那么 的最大值为（）
A. B.
C.1D.2
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11．已知 （其中 且 为常数）有两个零点，则实数 的取值范围是___________.
点睛：常见基本初等函数定义域的基本要求
(1)分式函数中分母不等于零
(2)偶次根式函数的被开方式大于或等于0.
(3)一次函数、二次函数的定义域均为R.
(4)y＝x0的定义域是{x|x≠0}
(5)y＝ax(a>0且a≠1)，y＝sinx，y＝cosx的定义域均为R.
(6)y＝logax(a>0且a≠1)的定义域为(0，＋∞)
5．如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1．已知角 的终边过点 ，则 （）
A. B.
C. D.1
2．在边长为3的菱形 中， ， ，则 =（）
A. B.-1
C. D.
3．已知角 的终边上一点 ，且 ，则 （）
答：宿舍应建在离工厂 km处，可使总费用最小， 最小值为65万元
【点睛】利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：
（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；
（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；
（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方
对于C, 最小正周期为2π,在区间 上单调递减，不合题意；
对于D, 最小正周期为π,在区间 上单调递增，不合题意；
故选：B.
7、B
【解析】利用集合间的关系，集合的交并补运算对每个选项分析判断.
【详解】由题 ，故A错；
∵ ， ，∴ ，B正确；
，C错；
，D错；
故选:B
8、A
【解析】根据对数函数的定义域，结合二次根式的性质进行求解即可.
（2）当 时，求函数 的最小值，并求y取最小值时x的值．（结果保留根号）
参考答案
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1、B
【解析】根据三角函数的定义求出 ，再根据二倍角余弦公式计算可得；
【详解】解：∵角 的终边过点 ，所以 ，
∴ ，故
【解析】（1）根据距离为 时，测算宿舍建造费用为20万元，可求 的值，由此，可得 的表达式；
（2） ，利用基本不等式，即可求出函数的最小值
【详解】解：（1）由题意可知，距离为10km时，测算宿舍建造费用为20万元，则 ，解得k=900，所以 ，则 ；
（2）因为 ，当且仅当 ，即 时取等号，此时总费用最小
故选：B
2、C
【解析】运用向量的减法运算，表示向量，再运用向量的数量积运算，可得选项.
【详解】
.
故选:C.
【点睛】本题考查向量的加法、减法运算，向量的线性表示，向量的数量积运算，属于基础题.
3、B
【解析】由三角函数的定义可列方程解出 ，需注意 的范围
【详解】由三角函数定义 ,
解得 ,由 ,知 ,则 .
19、 (1) (2) 偶函数 (3)
【解析】（1）根据定义域的要求解出定义域即可；（2）奇偶性的证明首先定义域对称，再求解 ，得 ，所以为偶函数；（3）按照对数计算公式求解
试题解析：
（1）由 得
所以函数 的域为
（2）因为函数 的域为
又
所以函数 为偶函数
（3）
20、（1）最小正周期是
（2）单调递增区间 ，
16、
【解析】求函数的导数利用函数的单调性求值域即可．
【详解】解： 函数 ，
，
由 ，解得 ，此时函数单调递增
由 ，解得 ，此时函数单调递减
函数 的最小值为 （2） ，
（1） ， （5）
最大值为 （5） ，
，
即函数的值域为： ．
故答案为 ．
【点睛】本题主要考查函数的值域的求法，利用导数研究函数的单调性是解决本题的关键,属于基础题．
A. B.
C. D.
4．用斜二测画法画一个水平放置的平面图形的直观图为如图所示的直角梯形，其中BC=AB=2，则原平面图形的面积为（）
A. B.
C. D.
. D.
6．下列四个函数中，以π为最小正周期，且在区间 上单调递减的是（）
A. B.
C. D.
7．已知集合 ，则（）